Μαθηματικά Α Λυκείου. 14ο Λύκειο Περιστερίου

Μαθηματικά Α Λυκείου 4ο Λύκειο Περιστερίου 06-7

Το φυλλάδιο αυτό χρησιμοποιείται συμπληρωματικά στο σχολικό βιβλίο.

Πιθανότητες. Δίνεται το σύνολο Ω={,,,4,5,6} και τα υποσύνολά του Α={,,4,5} και Β={,4,6}. α) Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α και Β. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α. ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β. iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β.. Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7, PB 0,5 και PA B 0,4. Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. Λ: δεν πραγματοποιείται το Α. Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α. Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.. Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 0% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 5% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα: Α:«ομαθητήςνασυμμετέχειστηθεατρικήομάδα»και Β:«ομαθητήςνασυμμετέχειστηνομάδαποδοσφαίρου», α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Β ii) Α Β iii) Β-Α iv) Α β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. 4. Το70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 0% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι. α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Μ ii) Μ-Α iii) Μ β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i) Να μην έχει μηχανάκι. ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. 5. Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι. 6. Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α) Να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; β) Να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; γ) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 7. Μια τάξη έχει αγόρια και 5 κορίτσια. Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών έχουν 5 ποδήλατο. Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο. 8. Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι

Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9. α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών; ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες; β) Αν 4 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους 9. Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 0. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 4 5 5 5 4 a 5 5 4 5 5 0 6 5 5 0 5 0. για 8 και 8. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων να βρείτε τις παρακάτω τιμές: 6 α) 504 50 β) 0 999 γ) 997 00 δ) 88 88 ε) 999 999 στ) 0 ζ) 99. α) Να αποδείξετε ότι 4 β) Να υπολογίσετε τη παράσταση 8 8 8 8. 4. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 4 9 α) β) 4 9 γ) 4 4 : 6 δ) y y 5. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β 0 και δ γ ώστε να ισχύουν: 4 4 α) Να αποδείξετε ότι και 5. και β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους ισχύει ότι: και 6. 4 7. Αν, να αποδείξετε ότι:.

8. Να αποδείξετε ότι: α) 4 4 β) δ) 0 ε) ζ) 4 5 0 η) Διάταξη πραγματικών αριθμών 6 8 4 8 γ) 4 4 0 στ) 4 4 0 θ) 4 5 0 9. α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, y ισχύει: ( ) (y ) y 6y 0 β) Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: y 6y 0 0 0. Να αποδείξετε ότι: y y.. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με 0 και 0. Να αποδείξετε ότι: α) 4 4. α) Αν α,β ομόσημοι να αποδείξετε ότι:. β) 4 4 6 0 β) Αν α,β,γ ομόσημοι, να αποδείξετε ότι: 6. Αν, να αποδείξετε ότι: 6. 4. Αν, να αποδείξετε ότι: 5 5. 5. Αν, να αποδείξετε ότι: 6. Αν 0,τότε α) να αποδείξετε ότι:.. β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,,,,. 7. Αν 0,τότε: α) Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς,, β) Να αποδείξετε ότι πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο βρίσκεται πλησιέστερα στο από ότι ο. 8. Αν 6 8 και y, να αποδείξετε ότι: α) 8 y β) y 6 γ) 8 y 5 δ) y 9. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y τότε: α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. β) Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η

τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. 0. Αν 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: και.. Αν 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: και.. Να συγκρίνετε τους αριθμούς:. και 4 6 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού. Να απαλλάξετε τη παράσταση 5 από την απόλυτη τιμή. 4. Να απαλλάξετε τη παράσταση από την απόλυτη τιμή. 5. Να απαλλάξετε την παράσταση από τα απόλυτα. 6. Να απαλλάξετε την παράσταση A από τα απόλυτα. 7. Αν, να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές, την παράσταση: A 8. Αν, να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές, την παράσταση: A 4 9. Δίνεται η παράσταση: A y, με, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 4 και y.να αποδείξετε ότι: α) A y β) 0 A 4. 40. Αν,, να αποδείξετε ότι: 5. 4. Αν 0, να αποδείξετε ότι: α) 0 β) γ) 4. Αν να αποδείξετε ότι: α) β) 4. Αν y, να αποδείξετε ότι y. y 44. Αν, 0,να αποδείξετε ότι:. Πότε ισχύει η ισότητα; (δικαιολόγηση) 45. Να αποδείξετε ότι: α) β) y y 46. Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι: 5. β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: 4 5 K

47. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει: y. α) Να αποδείξετε ότι: y,. β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K y y 48. Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d,5 9. α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του. γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: 4 4 8. 49. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και αντίστοιχα, με 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων. i) ii) 7 β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: 7. γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 γεωμετρικά. δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα. Ρίζες πραγματικών αριθμών 50. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) 4 θ) ι) 4 4 κ) 4 5 λ) 4 5. Να αποδείξετε ότι:. 5. Να αποδείξετε ότι: α) 7 7 β) 5. Να αποδείξετε ότι: α) 7 5 7 7 β) 5 5 5 54. Να αποδείξετε ότι: α) 75 47 6 9 08 β) 6 54 50 6 γ) 5 5 5 6 5 5 4 7 5 55. Να αποδείξετε ότι: α) 6 5 9 β) δ) 4 8 4 γ) 4 5 9 4 ε) 5 9 7 9 στ) 5 4 4 6 5 4 5, 0

56. Να αποδείξετε ότι: α) 6 9 5 5 β) 0 6 57. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις: 4 A y y,,y 0 4 58. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις: A 6 9 B 7 0 8 5 59. Να τραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: α) β) γ) 6 5 4 δ) ε) στ) 4 8 7 60. Να τραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή. α) β) γ) 5 5 6. Να αποδείξετε ότι: α) 5 5 β) 7 γ) 8 0 5 6. Να αποδείξετε ότι: α) 6 6 5 5 β) 6 5 0 γ) 0 6 5 6. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 7 και 8. 64. Να συγκρίνεται τους αριθμούς: α) και 4 4 β) 4 0 5 και 0 65. Να λύσετε τις εξισώσεις: 0 α) Εξισώσεις ου Βαθμού β) 0 γ) 0 δ) 66. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) 4 0 γ) 6 0 67. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 68. Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:, β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών

αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 69. Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ, να λύσετε την εξίσωση: 4. 70. Δίνεται η εξίσωση 4. α) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση έχει μοναδική λύση; β) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι αδύνατη; γ) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι ταυτότητα; 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 0 γ) 6 δ) ε) 0 στ) 4 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 4 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 4 β) 6 γ) 74. Να λύσετε την εξίσωση: 4 4. 5 75. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 0 4 4 76. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 4 77. Δίνονται οι παραστάσεις: 4 και, όπου ο είναι πραγματικός αριθμός. α) Για κάθε να αποδείξετε ότι., ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή β) Υπάρχει Η εξίσωση ν α 78. Nα λυθούν οι εξισώσεις: α) 5 0 β) 06 γ) 0 δ) 4 65 0 79. Nα λυθούν οι εξισώσεις: α) 7 0 β) 80. Nα λυθούν οι εξισώσεις: 7 α) 0 β) 8. Nα λυθούν οι εξισώσεις: 5 9 0 γ) 5 4 0 γ) 8 5 5 0 δ) α) 4 8 0 β) 8 8 0 γ) 5 4 8 0 8 0 9 0 4 0 δ) 7 7 4 8 0 ε) 8 0 στ) 4 Εξισώσεις ου βαθμού 6 4 8 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 0 β) 0 γ) 0 7

8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 0 β) 84. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 8 0 4 0 γ) 6 0 δ) 0 0 β) 85. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ. 86. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, για κάθε τιμή του 0 έχει πραγματικές ρίζες. 87. Δίνεται η εξίσωση 4 0. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) μία διπλή ρίζα δ) Καμία πραγματική ρίζα 88. Αν η μία ρίζα της εξίσωσης 0 είναι το, να βρείτε την άλλη της ρίζα. 89. Αν η εξίσωση 4 0 έχει ίσες ρίζες, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 4 0,έχει ρίζες οι οποίες και να βρεθούν. 90. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 4 6 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) 9. Να βρείτε το πρόσημο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να τις λύσετε. α) 6 0 β) 4 0 γ) 0 δ) 5 0, 0 9. Δίνεται το τριώνυμο:, 0. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0. β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. γ) Αν 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Για κάθε 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι. 9. Να βρείτε τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού που έχουν για ρίζες τα ζεύγη των αριθμών: α) και 6 β) και γ) και δ) και ε) λ και 94. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 5 0, να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν ρίζες τα ζεύγη: α), β) k,k γ), δ), ε) στ), 8

95. Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και α) Να αποδείξετε ότι:. β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. 96. Έστω, οι ρίζες τής εξίσωσης 0, λ0. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες ισχύει: β) Να βρείτε την δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες, και. 6. για τις οποίες ισχύει 97. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες. 0 9 0 98. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες. 99. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση: 4 0, έχει ρίζες: α) ετερόσημες β) ομόσημες γ) θετικές δ) αντίθετες ε) αντίστροφες 00. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 4 4 6 α) 9 5 4 0 β) 5 6 0 γ) 9 8 0 0 5 500 50 δ) 0 ε) 0 8 0 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 0. Δίνεται η εξίσωση 0 β) 0 με β, γ πραγματικούς αριθμούς. 0 Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β. β) Να αποδείξετε ότι 4. γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 (). Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. 0. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 4 0 β) 7 5 0 04. Να λύσετε την εξίσωση: 4 0 05. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 8 9 0 β) 5 4 0 Ανισώσεις ου βαθμού 06. Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο. α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. 9

β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε. 07. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 4 β) γ) δ) 5 ε) 5 0 στ) 0 ζ) 8 6 5 08. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 6 0 β) 0 γ) 5 0 δ) 5 0 0 ε) 9 0 στ) ζ) 6 0 η) 4 4 6 θ) 0 5 09. α) Να λύσετε την εξίσωση: 6 0 () β) Να λύσετε την ανίσωση: () γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις () και (). 0. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 4 β) 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) β) γ) δ) 5 ε) 4 στ) 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 α) β) 4. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς 4 και 6 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης 6 4 και να βρείτε τις λύσεις της. γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας 4. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 6 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης 6 4 και να βρείτε τις λύσεις της. γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας. Ανισώσεις ου βαθμού 5. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) β) 0 γ) 6. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 7 0 β) 7 4 0 γ) δ) δ) 7. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 6 8 β) 0 γ) 9 4 0 40 8 8. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: 0

α) 5 0 β) 8 0 γ) 9. Δίνεται το τριώνυμο. α) Να βρείτε τις ρίζες του. β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: 0. γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 5 4 0 και είναι λύσεις της ανίσωσης 0. 0. Δίνεται το τριώνυμο: Α 9, α) Να λύσετε την ανίσωση 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών. β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Δίνεται η παράσταση: 0 0. 0. i) Για 7, να δείξετε ότι: 4,7, για τις οποίες ισχύει 6. ii) Να βρείτε τις τιμές του. Δίνεται η εξίσωση 4 8 7 4 0,. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: α) έχει ρίζες άνισες β) έχει ρίζες ίσες γ) είναι αδύνατη. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ. 0 έχει ρίζες άνισες για κάθε τιμή του 4. Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε. γ)αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:. 5. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η ανίσωση 0 αληθεύει για κάθε. Η Έννοια της Συνάρτησης 6. Ποιες από τις παρακάτω αντιστοιχίσεις είναι συναρτήσεις και ποιες δεν είναι; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και ποιο το σύνολο τιμών σε κάθε περίπτωση; Α Β Α Β Α Β Α Β 7 α α 7 α 7 α 7 β 9 β β β γ 8 γ 8 γ 8 γ 8 Σχήμα Σχήμα Σχήμα Σχήμα 4 7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 5 α) f 5 β) g γ) h

t δ) 5 6 4 4 ε) 8. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 8 α) f 4 β) g 4 6 δ) t ε) 4 7 0 5 6 9. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f β) δ) t ε) g 4 γ) γ) h 0. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f β) δ) t ε). Δίνεται η συνάρτηση f, με f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α. β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο γ) h g 5 5 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε A ισχύει :.. f. h 4 στ) 5 9 στ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 5, 4 4, α) f β) f, 4,. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση f πεδίο ορισμού το. 4, 0 4. Δίνεται η συνάρτηση : f (), 0 α) Να δείξετε ότι f f 8 4 έχει f 0.. β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του,ώστε 5. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 5 β) Να λύσετε την εξίσωση f (). A f f () f ().

6. Δίνεται η συνάρτηση f 4. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. f, f 0, f, f 6. β) Να υπολογίσετε τις τιμές γ) Να αποδείξετε ότι f 4f 8 f f 4. δ) Να λύσετε την εξίσωση f 8. 7. Δίνεται η συνάρτηση f, 0. 4, 0 f f,f,f,f 0. α) Να υπολογίσετε τις τιμές, β) Να αποδείξετε ότι: f f f f 0 5 f. Γραφική παράσταση Συνάρτησης 8. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ, ώστε τα σημεία,4 και, α) Συμμετρικά ως προς τον άξονα. β) Συμμετρικά ως προς τον άξονα y y. γ) Συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων. 9. Δίνονται τα σημεία, και 7, 4, να είναι:. Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα, ώστε το τρίγωνο ΓΑΒ να είναι: α) ισοσκελές με κορυφή το Γ β) ορθογώνιο στο Γ. 40. Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες. α) f 6 β) f 8 γ) f 4 δ) f ε) f στ) f 4. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 6 α) f και g β) f και 4. Δίνονται οι συναρτήσεις: f και g λ 0. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C f και σημείο αυτό; γ) Αν λ και, είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των η παράμετρος λ ώστε να ισχύει: g, και λ παράμετρος με C g έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f 4 και C f και g, με. C g, να βρεθεί α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα. β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.

44. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f.να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της. β)το σύνολο τιμών της. γ) Τις τιμές f0, f, f. δ) Να λύσετε την εξίσωση f 0. ε) Να λύσετε την εξίσωση f 4. στ) Να λύσετε την ανίσωση f 0. ζ) Να λύσετε την ανίσωση f. η) Να λύσετε την ανίσωση f. 45. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g. f g. α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να λύσετε την ανίσωση f g 46. Δίνεται η συνάρτηση g, με g() διέρχεται από το σημείο, 4, α) να δείξετε ότι 6. β) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. γ) για 6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. 47. Δίνεται η συνάρτηση: f (). 4 α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. ii) Να λύσετε την εξίσωση f (). a 48. Δίνονται οι συναρτήσεις f και 4 g με α R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (, ) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α. β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη, τότε: i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Για την τιμή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. -4-4 f - - g - - - O y 4 - - - -4 y y 4 4 - - - -4 y 4. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g - O 4

49. Δίνονται οι συναρτήσεις: f 4 και α) Αν ισχύει f g, να βρείτε την τιμή του α. β) Για, i) να λύσετε την εξίσωση: f g ii) να λύσετε την ανίσωση: f g f g f g g 5,με. και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση: Η συνάρτηση f α β 50. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία:, 4,, 5, α) και β) και γ), και, 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση, f,., 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f 5. Η πολυγωνική γραμμή ABΓΔ του διπλανού σχήματος είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Να βρείτε την f. 54. Δίνεται το τριώνυμο f Γενικές Ασκήσεις α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f για τις διάφορες τιμές του. β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου: f,999 f, 00 γ) Αν, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού: f, 55. Δίνεται το τριώνυμο 5. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β) Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με, τότε : i) να αποδείξετε ότι ii) να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς f ( ),f,f ( ) 56. Θεωρούμε το τριώνυμο f 4, με παράμετρο

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Αν και είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δυο πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει f f. Να αιτιολογήσετε, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου: την απάντησή σας. 57. Δίνεται το τριώνυμο f 6, με λ R α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. γ) Αν, τότε: (i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (ii) Αν, με είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και κ, μ είναι δύο αριθμοί με 0 και f f. Να αιτιολογήσετε την, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου απάντησή σας. 58. Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο. () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση 59. Δίνεται η συνάρτηση f,. f () να έχει πεδίο ορισμού το R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y. γ) Έστω M(, y ) σημείο της C f. Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y. 60. Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να αποδείξετε ότι f,. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: f 0. δ) να λύσετε την εξίσωση f f 8 0. 6. Δίνεται η συνάρτηση f f 0. α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το. β) Αν, τότε: i) Να λύσετε την ανίσωση f f 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση γ) Αν C f C f ii) Να αποδείξετε ότι f 0. 9f 0 6 γεωμετρική πρόοδος με και 6 5,να βρείτε: 65 i) το λόγο λ της προόδου ii) Αν υπάρχει τιμή της συνάρτησης που να είναι ίση με τον α 4. 6

6. Δίνεται η συνάρτηση f. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση f f γ) Να λύσετε την ανίσωση 0. f δ) Να αποδείξετε ότι i) f ii) f f 6. Δίνεται η συνάρτηση f,. α) Να λύσετε την εξίσωση: f f f 5. β) Να λύσετε την εξίσωση: f. 8 γ) Να λύσετε την ανίσωση f 4f. δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα χ χ. f f ε) Να αποδείξετε ότι 4. f f f f 64. Δίνεται η συνάρτηση f ().. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. β) Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε δ) Για f 0. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 4.. f 6. να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες αληθεύει η σχέση 6 65. Δίνεται η συνάρτηση: f (). 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της. f (5) β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. f (8) f (7) γ) Να λύσετε την ανίσωση: 06 (f ()) f () 0 0. δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 66. Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: P(A) P(A), ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: 6 0. α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β). β) Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, να υπολογίσετε: 6 i) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. ii) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. iii) την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. 7

Γεωμετρία

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A AB και AE A. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. β) Η προέκταση της διαμέσου ΑΜ προς τη κορυφή Α διχοτομεί την πλευρά ΔΕ του τριγώνου ΔΑΕ.. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ (προς το Α) θεωρούμε τα σημεία Ε και Δ αντίστοιχα τέτοια, ώστε A AE. Να αποδείξετε ότι: α) BE β) B E γ) B E B. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και στις ίσες πλευρές ΑΒ, ΑΓ παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα A AB και AE A. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. β) τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα. γ) το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές. 4. Δίνεται γωνία Οy και η διχοτόμος της Οδ. Θεωρούμε σημείο Μ της Οδ και σημεία Α και Β στις ημιευθείες Οχ και Οy αντίστοιχα, τέτοια, ώστε OA OB. Να αποδείξετε ότι: α) MA MB β) Η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΜΒ. 5. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και Κ εσωτερικό σημείο του τριγώνου τέτοιο, ώστε KB K. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΑΚ και ΚΑΓ είναι ίσα. β) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. γ) Η προέκταση της ΑΚ διχοτομεί τη γωνία ΒΚΓ. 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A. Στην προέκταση της πλευράς ΒΓ και προς τα δύο της άκρα, θεωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε B E. Να αποδείξετε ότι: α) Bεξ εξ β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. γ) Η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι και διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ 7. Επί των πλευρών O, Oy γωνίας O y θεωρούμε τα σημεία Α, Α και Β,Β αντιστοίχως ώστε: ΟΑ=ΟΒ και ΟΑ =ΟΒ. Αν Μ σημείο της διχοτόμου της, να δείξετε ότι A M A = ΒΜ Β. 8. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ. Αν EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι ίσα. β) EH Z 9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ. Φέρουμε τις αποστάσεις ΜΚ και ΜΛ του σημείου Μ από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι: α) MK M β) Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΚΜΛ 0. Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ είναι ίσα. β) Τα σημεία Α και Δ ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ.. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 και ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β. Από το Δ φέρουμε και έστω Ζ το σημείο στο οποίο η ευθεία ΕΔ τέμνει την προέκταση της ΒΑ (προς το Α). Να αποδείξετε ότι: α) β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΖΕΒ είναι ίσα. 8

. Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ, ΓΔ κάθετο στην ΑΟ και Ζ το σημείο τομής των ΑΕ, ΓΔ, να δείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΔΟΕ είναι ισοσκελές. β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΑΟΓ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ.. Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ότι B.Τα ΚΛ και ΚΜ είναι αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΚΒΣ και ΚΔΣ είναι ίσα. ii. K KM. β) Να αιτιολογήσετε γιατί οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ. Από το Δ φέρουμε προς την πλευρά ΒΓ την κάθετο ΔΕ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) A E β) A B 5. Έστω ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ και το Ε είναι σημείο στην προέκταση της ΑΔ, ώστε E A. Να αποδείξετε ότι: AB A α) AB E β) A 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή τη γωνία Α και B. Έστω ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β και ΔΕ κάθετη στην ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) A E β) A γ) A AB 7. Θεωρούμε δύο σημεία Α και Β τα οποία βρίσκονται στο ίδιο μέρος ως προς μια ευθεία ε, τέτοια ώστε η ευθεία ΑΒ δεν είναι κάθετη στην ε. Έστω A το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε. α) Αν η BA τέμνει την ευθεία ε στο σημείο Ο, να αποδείξετε ότι: i. Η ευθεία ε διχοτομεί τη γωνία AOA. ii. Οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ σχηματίζουν ίσες οξείες γωνίες με την ευθεία ε. β) Αν Κ είναι ένα άλλο σημείο πάνω στην ευθεία ε, να αποδείξετε ότι: i. KA KA ii. KA KB AO OB ΚΥΚΛΟΣ 8. Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο, ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΡΑΜ και ΡΜΒ είναι ίσα. β) M AO M BO. 9. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ < R). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο,R) εφάπτονται στον κύκλο (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ZE β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. 0. Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από σημείο εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: 9

α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα.. Έστω ότι ο κύκλος O,ρ εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου ΡΓΕ στα σημεία Α,Δ και Β. α) Να αποδείξετε ότι: i. P AP ii. P PE E β) Αν A BE, να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΡΓΕ είναι ισοσκελές. ii. Τα σημεία Ρ, Ο και Δ είναι συνευθειακά. ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ (προς το Α) και ΓΑ (προς το Α) τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε τα τμήματα A AB και AE A. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα. β) E B. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο, με διάμετρο ΒΓ. Από σημείο Α του κύκλου φέρουμε την εφαπτομένη (ε) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Από τα σημεία Β και Γ φέρουμε τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στην ευθεία (ε). α) Να αποδείξετε ότι οι ΒΑ και ΓΑ είναι διχοτόμοι των γωνιών ΔΒΓ και ΕΓΒ. β) Αν ΑΖ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι A AE AZ γ) Να αποδείξετε ότι: B E B. 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB A, η διχοτόμος του ΑΔ και ευθεία ε παράλληλη από το Β προς την ΑΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΔ η οποία τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ, την ευθεία ε στο σημείο Λ και την προέκταση της ΒΑ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΒΛΕ είναι ισοσκελή. β) B Z. γ) AE A B. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A είναι A 80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε B BE και E Z. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΒΔΕ και ΓΖΕ. β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΔΕΖ. 6. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A με A 50 τέτοιο, ώστε B B. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ β) Να αποδείξετε ότι B A.. Έστω Δ σημείο της πλευράς ΑΓ, 7. Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓ A 90 με 40. Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΓ και E B. Να υπολογίσετε: α) τις γωνίες του τριγώνου ΔΕΓ. β) τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΔΕΒ. 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90. Η διχοτόμος της γωνίας Β τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Δ. Φέρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) BE AB β) Αν επιπλέον BA 55, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΔΕ. 9. Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και από ένα σημείο Ρ εκτός αυτού φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Το τμήμα ΡΟ τέμνει τον κύκλο στο Μ και η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Δ και Γ αντίστοιχα. 0

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΡΔΓ είναι ισοσκελές. β) Αν A P B 40, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΟΒ. 0. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από το σημείο Δ φέρουμε την παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ορθογώνιο. β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔΕ. γ) Αν η γωνία Β είναι 0 μεγαλύτερη από τη γωνία Γ, να υπολογίσετε τη γωνία ΕΔΓ.. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρνουμε με (Α,Δ εκατέρωθεν της ΒΓ). Να αποδείξετε ότι: α) β) η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΑΓ. γ) 45 δ) ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο φέρουμε τις διαμέσους του ΒΜ και ΓΝ. Προεκτείνουμε την ΒΜ( προς το Μ) κατά τμήμα M BM και την ΓΝ (προς το Ν) κατά τμήμα NE N. α) Να αποδείξετε ότι A B και AE B. β) Είναι τα σημεία Ε,Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΓΑ. Να αποδείξετε ότι: α) A AE β) Τα σημεία Δ, Α και Ε είναι συνευθειακά. γ) E B 4. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα AE AB και Z. Να αποδείξετε ότι: α) BZ E β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά τμήμα M MA. Από το Α φέρουμε παράλληλη προς τη ΒΓ η οποία τέμνει την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: AE α) το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο. β) BM. 6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΚ διχοτόμο της γωνίας Α. Στην προέκταση της ΑΚ θεωρούμε σημείο Δ ώστε AK K. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τις ΑΓ και ΒΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. β) Η ΕΚ είναι μεσοκάθετος του ΑΔ. γ) Τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ είναι ίσα. δ) Το τετράπλευρο ΑΖΔΒ είναι παραλληλόγραμμο. 7. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α και Μ το μέσον της ΑΒ. Η κάθετη από το Μ στην ΑΔ τέμνει το ΑΓ στο Ε. Η παράλληλη από το Β στο ΑΓ τέμνει την προέκταση της ΑΔ στο Κ και την προέκταση της ΕΜ στο Λ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΜ, ΜΒΛ και ΑΒΚ είναι ισοσκελή. β) Το τετράπλευρο ΑΛΒΕ είναι παραλληλόγραμμο. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στο ημιεπίπεδο (ΑΓ, Δ) τέτοιο, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΔΕ να είναι ορθογώνιο. Να αποδείξετε ότι:

α) Το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ. β) Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές γ) BA A E 9. Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δύο διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. 40. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A, τυχαίο σημείο Μ της βάσης του ΒΓ και το ύψος του ΒΗ. Από το Μ φέρουμε κάθετες ΜΔ, ΜΕ και ΜΘ στις ΑΒ, ΑΓ και ΒΗ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΕΗΘ είναι ορθογώνιο β) B M γ) M ME BH. 4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90. Φέρουμε τη διάμεσό του ΑΜ την οποία προεκτείνουμε, προς το μέρος του Μ, κατά τμήμα M AM. Θεωρούμε ευθεία ΔΚ κάθετη στη ΒΓ, η οποία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας Β στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι ορθογώνιο β) ΡΟΜΒΟΣ B KEB 90 γ) E B. 4. Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε το ΑΔ (προς το Δ) κατά τμήμα E A. Έστω Κ το συμμετρικό του Β ως προς το Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές. β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΚ είναι ρόμβος. 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Έστω ότι AE B και AZ. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε AZ AE. β) Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει AZ AE, τότε αυτό είναι ρόμβος. 44. Σε κύκλο κέντρου Ο, έστω ΟΑ μια ακτίνα του. Φέρουμε τη μεσοκάθετη της ΟΑ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΟΒΑ είναι ισόπλευρο. β) Το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι ρόμβος. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ 45. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες: i. A BE ii. BE A β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. 46. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα BN AB και την πλευρά ΒΓ κατά τμήμα M AN. α) Να αποδείξετε ότι: i. N M ii. N M β) Αν Ε το συμμετρικό του Δ ως προς την ευθεία ΜΝ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΜΕΝ είναι τετράγωνο. 47. Εκτός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε τετράγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ. Αν Μ το μέσο του ΒΓ και Λ σημείο στην προέκταση της ΑΜ τέτοιο, ώστε AM M, να αποδείξετε ότι: α) AE β) A E A H γ) Η προέκταση της ΜΑ (προς το Α) τέμνει κάθετα την ΕΗ. 48. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο ΜΒΓ. Αν η προέκταση της ΑΜ τέμνει τη ΒΔ στο σημείο Ε, να αποδείξετε ότι: α) A E 5 β) Τα τρίγωνα ΔΑΕ και ΔΕΓ είναι ίσα γ) Η ΓΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΓΜ.

ΤΜΗΜΑ ΠΟΥ ΕΝΩΝΕΙ ΜΕΣΑ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 49. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε M E. Αν το σημείο Ζ είναι η προβολή του Δ στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι: B α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι ορθογώνιο β) Z 4 50. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. β) Η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ AB A και η διχοτόμος του ΑΔ. Φέρουμε από το Β κάθετη στην ΑΔ που τέμνει την ΑΔ στο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Η. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι: AAB α) Το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ισοσκελές β) EM H γ) EM 5. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Έστω Ε το συμμετρικό σημείο του Β ως προς το Δ και Ζ είναι το μέσο της ΑΔ. Η προέκταση της ΓΔ τέμνει την ΑΕ στο Η. Να αποδείξετε ότι: AB α) H β) Τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΖΔΓ είναι ίσα γ) Η ΓΖ είναι κάθετη στην ΑΕ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με τις γωνίες Β και Γ οξείες και Δ,Μ και Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των ΑΒ και ΒΓ και εκτός του τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε AB σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, τέτοια, ώστε Z και EH. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΒΔΜΕ είναι παραλληλόγραμμο ii. Τα τρίγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ είναι ίσα. β) Αν τα σημεία Ζ, Δ, Ε είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι A 90. 54. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση του ύψους του ΑΚ θεωρούμε σημείο Δ ώστε AK K. Έστω Λ, Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές. β) Το τετράπλευρο ΒΛΚΝ είναι ρόμβος γ) M N ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ 55. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΔΑ (προς το Α) κατά τμήμα AH A. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές β) Το τρίγωνο ΔΖΗ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία Ζ. 56. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ A 90 και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: B α) A β) Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ορθογώνιο γ) A E 57. Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓ A 90 με B. Από το μέσο Μ της ΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ, η οποία τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ. α) i. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ ii. τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΓ. β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΔ είναι μεσοκάθετος του ΑΓ.

58. Θεωρούμε ορθογώνιο ΑΒΓ A 90 και το ύψος του ΑΗ. Έστω Δ και Ε τα συμμετρικά σημεία του Η ως προς τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. AH A AE ii. Η γωνία ΕΗΔ είναι ορθή. iii. Τα σημεία Ε,Α και Δ είναι συνευθειακά. β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΗΔ είναι ίσα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιες αρχικές προϋποθέσεις θα μπορούσε να είναι ίσα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 59. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B και η διχοτόμος ΒΔ της γωνίας Β. Από το μέσο Μ της ΑΓ φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο ΒΔ που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές β) Το τρίγωνο ΜΝΓ είναι ισοσκελές γ) AN B 60. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α ίση με 0 και γωνία Β ίση με 45. Στην προέκταση της ΒΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα A AB. Από το Δ φέρνουμε την κάθετη στην ΑΓ που την τέμνει στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι: α) A K 0 β) Το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισοσκελές γ) Αν Ζ το μέσο της ΔΑ, τότε ZK B 90 δ) Το σημείο Κ ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ΒΔ. 6. Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Έστω ότι Δ είναι το μέσο της ΑΜ τέτοιο, B ώστε B και γωνία A B 0. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΜ. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ορθογώνιο. γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΔΜΓ είναι ίσα. δ) Αν το σημείο Κ είναι η προβολή του Δ στη ΒΓ, να αποδείξετε ότι MK A. 6. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και B. Φέρουμε το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην προέκταση της ΑΒ τέτοιο, ώστε BE B. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΔΕ. AB β) Να αποδείξετε ότι: i. BE ii. AE 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ AB A τέμνει την προέκταση της ΑΓ στο σημείο Ε ώστε, ΑΔ το ύψος του και Μ το μέσο του ΑΒ. Η προέκταση της ΜΔ E. Να αποδείξετε ότι: α) B E β) B A M γ) E A 64. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΓΒ (ΑΓ=ΓΒ). Φέρουμε τα ύψη του ΑΚ και ΓΛ. Αν Ε είναι το μέσο της πλευράς ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΚΕΛ είναι ισοσκελές β) H ΚΛ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΚΕ. ΒΑΡΥΚΕΝΤΡΟ - ΟΡΘΟΚΕΝΤΡΟ 65. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν τα σημεία Μ και Ν είναι τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές β) Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα. γ) Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. δ) Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 66. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και AB B, A B.Στην προέκταση της πλευράς ΔΑ (προς το Α) παίρνουμε σημείο Ε ώστε A AE. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. ii. Το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισόπλευρο. β) Αν η ΕΟ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι Z EB. 4

67. Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη από τις κορυφές Β,Γ αντίστοιχα και Η το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επίσης δίνονται τα Μ, Ν, Κ, Λ μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΑΓ, ΓΗ, ΒΗ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: AH i. MN K ii. NK M iii. Το τετράπλευρο ΜΝΚΛ είναι ορθογώνιο. β) Αν Ο είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι M OK 90. 68. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και 0 με Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: E i. η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Β ii. AE iii.η ΒΕ είναι μεσοκάθετος της διαμέσου ΑΜ. β) Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ που τέμνει την ΒΕ στο Η, να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Η και Ν είναι συνευθειακά. 69. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και το ύψος του ΑΜ. Φέρουμε τη ΜΔ κάθετη στην ΑΓ και θεωρούμε σημείο Η το μέσο του ΜΔ. Από το Η φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ η οποία τέμνει τις ΑΜ και ΑΓ στα σημεία Κ και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: B α) HZ β) MZ B γ) Η ευθεία ΑΗ είναι κάθετη στη ΒΔ. 4 ΤΡΑΠΕΖΙΟ 70. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB A και η διχοτόμος του ΑΔ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο, ώστε AE AB. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ είναι ίσα. β) η ευθεία ΑΔ είναι μεσοκάθετος του ΒΕ. γ) αν το ύψος από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει την ΑΔ στο Η τότε η ευθεία ΕΗ είναι κάθετη στην ΑΒ. 7. Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ A 90 θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε το ύψος του ΑΗ κατά τμήμα και τη διάμεσό του ΑΜ κατά τμήμα. Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 7. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ AB και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η ΑΓ είναι κάθετη στην ΑΔ και η ΒΔ είναι κάθετη στη ΒΓ. Θεωρούμε τα μέσα Μ,Ε και Ζ των ΓΔ,ΒΔ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ME MZ β) Η ΜΖ είναι κάθετη στην ΑΓ γ) Τα τρίγωνα ΜΔΕ και ΜΖΓ είναι ίσα δ) Η ΟΜ είναι μεσοκάθετος του ΕΖ. 74. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ με AB Bτέτοιο, ώστε οι διαγώνιοί του να σχηματίζουν γωνία 60. Από το Δ φέρουμε ΔΜ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. το σημείο Μ είναι μέσο του ΑΟ όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου. ii. AM A β) Αν από το Γ φέρουμε ΓΝ κάθετη στη ΒΔ, να αποδείξετε ότι το ΜΝΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 4 5