Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Transcript

1 Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr

2

3 Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης a για 8 και 4 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός, όπου ν φυσικός αριθμός, είναι πολλαπλάσιο του 4 5 Για ποια τιμή του κ η παράσταση γράφεται σε μορφή δύναμης με βάση ; 6 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων να βρείτε τις παρακάτω τιμές: 6 α) β) γ) δ) ε) στ) 0 ζ) 99 7 α) Να αποδείξετε ότι 4 β) Να υπολογίσετε τη παράσταση Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 57 0, , Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α) β) γ) 4 4 : 6 δ) y y 0 Αν 6, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: α) β) Αν y, να αποδείξετε ότι α) Αν y y, να αποδείξετε ότι: β) Αν, να αποδείξετε ότι: Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β 0 και δ γ ώστε να ισχύουν: 4 και

4 Άλγεβρα Α Λυκείου 4 α) Να αποδείξετε ότι και 5 β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 4 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους ισχύει ότι: και Αν, να αποδείξετε ότι: 6 Αν y και y 4, να βρείτε τα,y,ω Να αποδείξετε ότι: α) 4 4 β) δ) 0 ε) ζ) η) Διάταξη πραγματικών αριθμών γ) στ) θ) α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς, y ισχύει: ( ) (y ) y 6y 0 β) Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: y 6y Να αποδείξετε ότι: y y 0 Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με 0 και 0 Να αποδείξετε ότι: α) 4 4 Αν, να αποδείξετε ότι: 6 Αν, να αποδείξετε ότι: Αν 0,τότε α) να αποδείξετε ότι: β) β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0 0,,,, 4 Αν 0,τότε: α) Να διατάξετε από τον μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς,, β) Να αποδείξετε ότι πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών ο βρίσκεται

5 Άλγεβρα Α Λυκείου πλησιέστερα στο από ότι ο 5 Αν 6 8 και y, να αποδείξετε ότι: α) 8 y β) y 6 γ) 8 y 5 δ) y 6 Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα Αν για τα μήκη και y ισχύει: 4 7 και y τότε: α) Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β) Αν το μειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου 7 Να βρείτε δύο ακέραιους α,β για τους οποίους ισχύει: 4 και 8 Αν 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: και 9 Αν 0, να συγκρίνετε τους αριθμούς: και 0 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: και 4 6 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) Να αποδείξετε ότι: α) γ) 40 4 και 0 5 β) β), 50 0,8 και 4,, 0 0 0,4 Να αποδείξετε ότι: α) 0 β) 0 4 α) Να αποδείξετε ότι: y z y yz z για κάθε, y,z 4 4 β) Να αποδείξετε ότι: y y y για κάθε, y 5 i Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α,β ii Αν,y 0, να αποδείξετε ότι: y 4 4 y y y 6 α) Αν α,β ομόσημοι να αποδείξετε ότι: β) Αν α,β,γ ομόσημοι, να αποδείξετε ότι: 6, να αποδείξετε ότι: 6 7 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει: β) Αν,, 0 με

6 Άλγεβρα Α Λυκείου 8 Αν 0 να αποδείξετε ότι: 4 (ΕΜΕ) 9 Αν 0 να αποδείξετε ότι 40 Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους αριθμούς α,β,γ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:, και Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 4 Να απαλλάξετε τη παράσταση 5 από την απόλυτη τιμή 4 Να απαλλάξετε τη παράσταση από την απόλυτη τιμή 4 Να απαλλάξετε την παράσταση από τα απόλυτα 44 Αν, να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές, την παράσταση: A 45 Αν, να γράψετε χωρίς τις απόλυτες τιμές, την παράσταση: A 4 46 Δίνεται η παράσταση: A y, με, y πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: 4 και y Να αποδείξετε ότι: α) A y β) 0 A 4 47 Αν,, να αποδείξετε ότι: 5 48 Αν 0, να αποδείξετε ότι: α) 0 β) γ) 49 Αν να αποδείξετε ότι: α) β) 50 Αν και y, να αποδείξετε ότι: i y ii y 5 Αν,, να αποδείξετε ότι: 5 Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: α) 5 5 β) 5 5 γ) 5 5 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β για τους οποίους ισχύει: Αν y y y y 0, να αποδείξετε ότι: y 4

7 Άλγεβρα Α Λυκείου 55 Αν y, να αποδείξετε ότι y y 56 Αν, 0,να αποδείξετε ότι: Πότε ισχύει η ισότητα; (δικαιολόγηση) 57 Να αποδείξετε ότι: α) β) y y 58 Αν y, να αποδείξετε ότι: y 59 Δίνεται πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι: 5 β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: 5 K 60 Δίνονται πραγματικοί αριθμοί y, για τους οποίους ισχύει: y α) Να αποδείξετε ότι: y, β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K y y 6 Aν, μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει ότι 6 Αν, να αποδείξετε ότι: 4, να αποδείξετε ότι: 6 Αν, να αποδείξετε ότι 64 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση: d,5 9 α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β) δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και αντίστοιχα, με 7 α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων i) ii) 7 β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: 7 γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A 7 γεωμετρικά δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα 66 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: 0 α) Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των α, β 5

8 Άλγεβρα Α Λυκείου β) Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά Ρίζες πραγματικών αριθμών 67 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) 4 θ) ι) 4 4 κ) 4 5 λ) 4 68 Να αποδείξετε ότι: 69 Να αποδείξετε ότι: α) 7 7 β) 70 Να αποδείξετε ότι: α) β) Να αποδείξετε ότι: α) γ) β) Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: A B 8 9 Γ= Δ= Να αποδείξετε ότι: α) β) δ) γ) ε) στ) , 0 74 Να αποδείξετε ότι: α) β) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη βοήθεια μιας μόνο ρίζας α) 5 β) 4 γ) Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 4 A y y,,y 0 4 6

9 Άλγεβρα Α Λυκείου 77 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: A 6 9 B Να απλοποιήσετε τη παράσταση Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: 4 α) β) γ) 6 δ) ε) Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή α) β) γ) 5 5 δ) 5 στ) 7 8 Να γράψετε το κλάσμα με ρητό παρονομαστή 8 Να αποδείξετε ότι: α) 5 5 β) 7 γ) Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 7 και 8 85 Να συγκρίνετε τους αριθμούς: α) και 4 4 β) και γ) 5 και 5 δ) 4 και 0 86 Αν,y 0, να αποδείξετε ότι: 4y y y y 87 Αν 0 να αποδείξετε ότι: α) β) 88 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι άρρητος 89 Αν, 0 να αποδείξετε ότι 90 α) Αν, 0, να αποδείξετε ότι β) Αν,, 0 να αποδείξετε ότι 8 γ) Αν,, 0, να αποδείξετε ότι 8 7

10 Άλγεβρα Α Λυκείου 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: 0 α) Εξισώσεις ου Βαθμού β) 0 γ) 0 δ) 0 ε) 9 0 στ) 9 ζ) 4 9 η) 0 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) 4 0 γ) 5 4 δ) ε) στ) 0 9 Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 94 Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο γ) α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:, β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 95 Για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ, να λύσετε την εξίσωση: 4 96 Δίνεται η εξίσωση 4 α) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση έχει μοναδική λύση; β) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι αδύνατη; γ) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι ταυτότητα; 97 Αν οι αριθμοί 06 και 07 είναι ρίζες της εξίσωσης πραγματικών αριθμών α,β 98 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 0 γ) 6 4, να βρείτε τις τιμές των δ) ε) 0 στ) 4 99 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 4 00 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: γ) δ) ε) α) 4 β) 6 γ) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 6 γ) 4 0 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 4 β) 5

11 Άλγεβρα Α Λυκείου 0 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) 4 4 δ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ( ) 05 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 4 06 Δίνονται οι παραστάσεις: 4 και, όπου ο είναι πραγματικός αριθμός α) Για κάθε να αποδείξετε ότι, ώστε να ισχύει ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Υπάρχει 07 Να λύσετε την εξίσωση: Η εξίσωση ν α 08 Nα λυθούν οι εξισώσεις: 4 06 α) 5 0 β) 65 0 γ) 0 δ) 09 Nα λυθούν οι εξισώσεις: α) 7 0 β) 0 Nα λυθούν οι εξισώσεις: 7 5 α) 0 β) 9 0 γ) Nα λυθούν οι εξισώσεις: γ) δ) α) β) γ) δ) ε) 8 0 στ) 4 Εξισώσεις ου βαθμού Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 0 β) 0 γ) 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 0 β) 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) γ) 6 0 δ) 0 0 β) 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, για κάθε τιμή του 0 έχει πραγματικές ρίζες 9

12 Άλγεβρα Α Λυκείου 7 Δίνεται η εξίσωση 4 0 Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) μία διπλή ρίζα δ) Καμία πραγματική ρίζα 8 Αν η μία ρίζα της εξίσωσης 0 είναι το, να βρείτε την άλλη της ρίζα 9 Αν η εξίσωση 4 0 έχει ίσες ρίζες, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 4 0,έχει ρίζες οι οποίες και να βρεθούν 0 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 4 6 0, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης ζεύγη: α), β) k,k γ) δ), ε), 5 0, να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν ρίζες τα, στ), Να βρείτε το πρόσημο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να τις λύσετε α) 6 0 β) 4 0 γ) 0 δ) 5 0, 0 Να βρείτε τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού που έχουν για ρίζες τα ζεύγη των αριθμών: α) και 6 β) και γ) και δ) και ε) λ και 4 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και α) Να αποδείξετε ότι: β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε 5 Έστω, οι ρίζες τής εξίσωσης 0, λ0 α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες ισχύει: 6 β) Να βρείτε την δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες, για τις οποίες ισχύει και 6 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζες αντίστροφες Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες 8 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η εξίσωση: 4 0, έχει ρίζες: α) ετερόσημες β) ομόσημες γ) θετικές δ) αντίθετες ε) αντίστροφες 9 Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες η εξίσωση: k k 0, έχει ρίζες από τις

13 Άλγεβρα Α Λυκείου οποίες η μία είναι τριπλάσια της άλλης καθώς και τις ρίζες τις εξίσωσης 0 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) δ) 0 ε) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) Δίνεται η εξίσωση 0 β) 0 με β, γ πραγματικούς αριθμούς 0 Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 4 0 β) Να λύσετε την εξίσωση: Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 6 Δίνεται η εξίσωση με β, γ πραγματικούς αριθμούς Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 0 () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες 7 Δίνεται το τριώνυμο:, 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών γ) Αν 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας δ) Αν 0 και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνετε τους αριθμούς και 8 Δίνεται η εξίσωση: 5 0, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε:

14 Άλγεβρα Α Λυκείου 4 i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει: ii) Για, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Δίνονται η εξίσωση: 0, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους β) Να αποδείξετε ότι γ) Αν για τις ρίζες, ισχύει επιπλέον,τότε : i) Να δείξετε ότι 4 ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες, την τιμή του λ 40 Δίνεται το τριώνυμο:, 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών γ) Αν 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας δ) Για κάθε 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι 4 Δίνεται η εξίσωση: 5 0 () με παράμετρο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης () β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε γ) Αν, είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες ισχύει: 4 4 Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 4 6 0,λ (0,4) α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου β) Να αποδείξετε ότι 6, για κάθε 0, 4 γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; 4 Δίνεται η εξίσωση: 6 0 () με παράμετρο α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β)υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός i) Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης ii) Να δείξετε ότι: 0 και 6 0 ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης: 6 0

15 Άλγεβρα Α Λυκείου Ανισώσεις ου βαθμού 44 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε 45 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 4 β) γ) δ) 5 ε) 5 0 στ) 0 ζ) 46 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 6 0 β) 0 γ) 5 0 δ) ε) 9 0 στ) ζ) 6 0 η) θ) α) Να λύσετε την εξίσωση: 6 0 () β) Να λύσετε την ανίσωση: () γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις () και () 48 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 4 β) 5 49 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) β) γ) δ) 5 ε) 4 στ) 4 50 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 α) β) 4 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 6 β) γ) Να λύσετε τις ανισώσεις: α) β) 0 5 α) Να λύσετε την ανίσωση 5 β) Να βρείτε τους αριθμούς που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β) 54 α) Να λύσετε την ανίσωση: 5 4 β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι: 9 55 Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς 4 και 6 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης 6 4 και να βρείτε τις λύσεις της γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας

16 Άλγεβρα Α Λυκείου 56 Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 6 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης 6 4 και να βρείτε τις λύσεις της γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας 57 Δίνεται η εξίσωση 0 (), με παράμετρο α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι: 5 β) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζών S και το γινόμενο των ριζών P δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες, της εξίσωσης () να ισχύει η σχέση : 0 58 Δίνεται το τριώνυμο 4, α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: 6 β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Αν το τριώνυμο έχει ρίζες,, τότε: i) Να εκφράσετε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών του συναρτήσει του α d, d, 4 ii) Να αποδείξετε ότι: Ανισώσεις ου βαθμού 59 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) β) 0 γ) 60 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 7 0 β) γ) 4 δ) δ) 6 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 6 8 β) 0 γ) 6 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) 5 0 β) 8 0 γ) 6 Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τις ρίζες του β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: 0 γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί και είναι λύσεις της ανίσωσης 0 64 Δίνεται το τριώνυμο: Α 9, α) Να λύσετε την ανίσωση 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεων της στον άξονα των πραγματικών αριθμών β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (α) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

17 Άλγεβρα Α Λυκείου 65 α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Δίνεται η παράσταση: i) Για 7, να δείξετε ότι: 4,7, για τις οποίες ισχύει 6 ii) Να βρείτε τις τιμές του 66 Δίνεται η εξίσωση , Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: α) έχει ρίζες άνισες β) έχει ρίζες ίσες γ) είναι αδύνατη 67 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 0 έχει ρίζες άνισες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ 68 Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η ανίσωση 0 αληθεύει για κάθε 69 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε γ)αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: 70 Δίνεται η εξίσωση: ( ) 0 (), με παράμετρο λ R α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές β) Να λύσετε την ανίσωση: S P 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της () 7 Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 0 d, 7 α) Να λύσετε την ανίσωση: 4 0 β) Αν, δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 6 9 είναι επίσης λύση της ανίσωσης 7 Δίνονται οι ανισώσεις: και α) Να βρείτε τις λύσεις τους 8 0 β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για,4 γ) Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση 74 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου 5 6 για τις διάφορες τιμές του β) Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 () με παράμετρο λ 4,,, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες άνισες i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε 5

18 Άλγεβρα Α Λυκείου ii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της () είναι ομόσημοι αριθμοί 75 Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A,όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της S P εξίσωσης () αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό λ 76 Δίνεται η εξίσωση 4, με παράμετρο α) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή 0, 0 β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, i) να υπολογίσετε τα S και P 4 4 είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση 77 Δίνεται το τριώνυμο: 8 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού 8889 β) Αν k, είναι η τιμή της παράστασης: 8 μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; 4444 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Αν ισχύει 4 4, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης: 8 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 78 α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού K 5 6 και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας 6, 6, να βρείτε το πρόσημο της παράστασης 5 6 γ) Αν Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: γ) Δίνεται το διπλανό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α και α + όπου ο αριθμός α ικανοποιεί τη σχέση Αν για το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου ισχύει 6, τότε: i) Να δείξετε ότι: ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου 80 α) Δίνεται το τριώνυμο, Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου β) Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α, β διαφορετικούς από το 0 με για τους οποίους ισχύει 0 Να αποδείξετε ότι ισχύει 6

19 Αριθμητική πρόοδος 8 α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων,,, ν β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό 45 8 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (α ν ) με όρους 0, 4 4 α) Να αποδείξετε ότι και, όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και ο πρώτος όρος της β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος με 4, ν N* και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 98 8 Σε ένα γυμναστήριο με 0 σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσματα και κάθε σειρά έχει 0 καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της α) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της ν-οστής σειράς β) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; γ) Πόσα καθίσματα έχει το γυμναστήριο; 84 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν ) για την οποία ισχύει ότι: 9και α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 6 β) Να βρείτε τον 0 γ) Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου 85 Δίνεται η εξίσωση: 4 0, () με παράμετρο β R α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: και β) Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί,,, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας 86 Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) με διαφορά 4, ισχύει: 6 40 α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α της προόδου β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 87 Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 0 κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του Α Η πρώτη κυψέλη απέχει μέτρο από την αποθήκη Α, η δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε το ν ο όρο αυτής της προόδου Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της; β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 0η κυψέλη; γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το μέλι, από μία κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την η κυψέλη; ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις 0 κυψέλες; 88 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (α ν ) με διαφορά ω α) Να αποδείξετε ότι β) Αν και, να αποδείξετε ότι γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 0; 8

20 δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι μικρότεροι του 60; 89 Σε αριθμητική πρόοδο είναι και, κ ακέραιος με α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθμός περιττός β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι, τότε: i) Να βρείτε τον αριθμό κ και να αποδείξετε ότι 7 ii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 07 είναι όρος της προόδου 90 Οι αριθμοί : 5,, 4, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού β) Αν και ο αριθμός 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε: i) Τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου ii) Τον πρώτο όρο της προόδου iii) Το άθροισμα S Δίνεται αριθμητική πρόοδος (α ν ) με 0 και 0 6 α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός είναι όρος της προόδου γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι και y της παραπάνω προόδου (α ν ), τέτοιοι ώστε να ισχύει: y Γεωμετρική πρόοδος 9 Δίνεται η εξίσωση: 5 0 (), με παράμετρο β >0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: και β) Αν, είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί,,, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας 9 Οι αριθμοί, και 7 4, κ N είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου (α ν ) α) Να αποδείξετε ότι 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου β) i) Να εκφράσετε το ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου ως συνάρτηση του α 4 ii) Να αποδείξετε ότι Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους m, με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm μεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό (i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο β ν αυτής της προόδου (ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση cm 9

21 95 Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (α ν ) με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: 4, 5 6 και 0 α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και το λόγο λ της προόδου β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (β ν ), με αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με λόγο τον 00 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 0 αντίστροφο του λόγου της (α ν ) γ) Αν S 0 και S 0 είναι τα αθροίσματα των 0 πρώτων όρων των προόδων (α ν ) και (β ν ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: S 0 S Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν βακτήρια Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 00, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες Συμβολίζουμε με βν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (v 5) i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (βν) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της ii) Να εκφράσετε το πλήθος βν των βακτηρίων συναρτήσει του ν iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; 97 Δίνονται οι αριθμοί,, 8 με 0 α) Να βρείτε την τιμή του ώστε οι αριθμοί,, 8, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου Ποια είναι η διαφορά ω αυτής της προόδου; β) Να βρείτε τώρα την τιμή του ώστε οι αριθμοί,, 8, με τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου Ποιος είναι ο λόγος λ αυτής της προόδου; γ) Αν (α ν ) είναι η αριθμητική πρόοδος, 5, 8,, και (β ν ) είναι η γεωμετρική πρόοδος, 4, 8, 6, τότε: i) Να βρείτε το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της (α ν ) ii) Να βρείτε την τιμή του ν ώστε, για το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της (α ν ) να ισχύει: S 4 7 Η Έννοια της Συνάρτησης 98 Ποιες από τις παρακάτω αντιστοιχίσεις είναι συναρτήσεις και ποιες δεν είναι; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού και ποιο το σύνολο τιμών σε κάθε περίπτωση; Α Β Α Β Α Β Α Β α β γ Σχήμα α β γ Σχήμα Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f 5 β) g 4 δ) t ε) α β γ Σχήμα 7 8 γ) h α β γ Σχήμα

22 8 α) f 4 β) g δ) t ε) 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f β) δ) t ε) g 4 γ) γ) h 0 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f β) δ) t ε) 0 Δίνεται η συνάρτηση f, με f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Α β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο γ) h g 5 5 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε A ισχύει : 04 Δίνεται η συνάρτηση f f h 4 στ) 5 9 στ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της γ) Να αποδείξετε ότι: Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 5, 4 4, α) f β) f, 4, 06 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση f πεδίο ορισμού το 4, 0 07 Δίνεται η συνάρτηση : f (), 0 α) Να δείξετε ότι f f 08 Δίνεται η συνάρτηση f 8 4 έχει f 0 β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του,ώστε, ρητός Να βρείτε τα 0, ά f, f 0,4, f 0,, f, f, f 5

23 09 Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: A f f f 5 β) Να λύσετε την εξίσωση f () 0 Δίνεται η συνάρτηση f 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, f 0, f, f 6 β) Να υπολογίσετε τις τιμές γ) Να αποδείξετε ότι f 4f 8 f f 4 δ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 Δίνεται η συνάρτηση f, 0 4, 0 f f,f,f,f 0 α) Να υπολογίσετε τις τιμές, β) Να αποδείξετε ότι: f f f f 0 5 f Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την εξίσωση f f Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι f f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι f f 4 Δίνεται η συνάρτηση f f f 4 γ) Να αποδείξετε ότι 5 Δίνεται η συνάρτηση g α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ β) Για, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g g g 4 ii) να δείξετε ότι: όταν,,, η οποία έχει πεδίο ορισμού το, 6 Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει ότι και η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό είναι μικρότερη του α) Να αποδειχθεί ότι β) Να αποδειχθεί ότι γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση των πραγματικών αριθμών f () 4 4( ) έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο

24 Γραφική παράσταση Συνάρτησης 7 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ, ώστε τα σημεία,4 και, α) Συμμετρικά ως προς τον άξονα β) Συμμετρικά ως προς τον άξονα y y γ) Συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων 8 Δίνονται τα σημεία, και 7, 4, να είναι: Να βρεθεί σημείο Γ του άξονα, ώστε το τρίγωνο ΓΑΒ να είναι: α) ισοσκελές με κορυφή το Γ β) ορθογώνιο στο Γ 9 Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες α) f 6 β) f 8 γ) f 4 δ) f ε) f στ) f 0 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 6 α) f και g β) f και Δίνονται οι συναρτήσεις: f και g λ 0 α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C f και σημείο αυτό; γ) Αν λ και, είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των η παράμετρος λ ώστε να ισχύει: g, και λ παράμετρος με C g έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το Δίνονται οι συναρτήσεις f 4 και C f και g, με C g, να βρεθεί α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της β)το σύνολο τιμών της γ) Τις τιμές f0, f, f δ) Να λύσετε την εξίσωση f 0 ε) Να λύσετε την εξίσωση f 4 στ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 ζ) Να λύσετε την ανίσωση f η) Να λύσετε την ανίσωση f O y y 4

25 4 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g f g α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να λύσετε την ανίσωση f g 5 Δίνεται η συνάρτηση g, με g διέρχεται από το σημείο, 4, α) να δείξετε ότι 6 β) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης γ) για 6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης -4 f f g y Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g O y f 4 α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας ii) Να λύσετε την εξίσωση f () 6 Δίνεται η συνάρτηση: 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με α R α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (, ) για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε σημείο με τετμημένη, τότε: i) Να βρείτε την τιμή του α ii) Για την τιμή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας 8 Δίνονται οι συναρτήσεις: f 4 και α) Αν ισχύει f g, να βρείτε την τιμή του α β) Για, i) να λύσετε την εξίσωση: f g ii) να λύσετε την ανίσωση: f g f g f g Δίνεται η συνάρτηση f () α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f f β) Να αποδείξετε ότι για κάθε A ισχύει: g 5,με και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση: 4

26 γ) Για A, να λύσετε την εξίσωση: f 4f Δίνονται οι συναρτήσεις f 4 και g, με α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: και της συνάρτησης g Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: f α) τις τιμές του για τις οποίες ισχύει β) τις τιμές f, f 0, f γ) τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g δ) τις τιμές του, για τις οποίες η παράσταση f () έχει νόημα πραγματικού αριθμού Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C f και αντίστοιχα, με f και g, C g των συναρτήσεων f και g α) i) Να εκτιμήσετε τα σημεία τομής των C f και ii) Να εκτιμήσετε τις τιμές του, για τις οποίες η C g C είναι κάτω από τη C β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούμενο ερώτημα γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση f g f A f Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει f f για κάθε Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων 5

27 Η συνάρτηση f α β 4 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία:, 4,, 5,, α) και β) και γ) και, 5 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση, f,, 6 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f 7 Η πολυγωνική γραμμή ABΓΔ του διπλανού σχήματος είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Να βρείτε την f 8 Για δεδομένο λ R, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με f, α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(0,) β) Για, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο σημείο B(, 0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα και σε άλλο σημείο δ) Για, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα 9 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y γ) Έστω M(, y ) σημείο της C f Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y 40 Στο επόμενο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ= και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος α) Να αποδείξετε ότι E 6 9 0,, 9 β) Να αποδείξετε ότι E, για κάθε 0, γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 6

28 Πιθανότητες 4 Ένας μαθητής εξετάζεται προφορικά σε 4 ερωτήσεις που δίνονται διαδοχικά Η εξέταση διακόπτεται όταν ο μαθητής απαντήσει λάθος στην πρώτη ερώτηση ή σε δυο διαδοχικές οπότε και απορρίπτεται α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής απορρίφθηκε Β: ο μαθητής απάντησε σωστά στη δεύτερη ερώτηση Γ: ο μαθητής απάντησε λάθος στην τελευταία ερώτηση και απορρίφθηκε 4 Να βρείτε τον δειγματικός χώρος των παρακάτω πειραμάτων τύχης όταν: α) Ρίχνουμε ένα νόμισμα 4 φορές β) Ρίχνουμε ένα νόμισμα και ένα ζάρι 4 Μια οικογένεια έχει 4 παιδιά από τα οποία τα δύο τελευταία είναι του ίδιου φύλλου Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: K: το πρώτο παιδί είναι κορίτσι και η οικογένεια έχει μόνο ένα αγόρι Λ: η οικογένεια έχει ένα μόνο παιδί διαφορετικού φύλλου από το πρώτο παιδί 44 Δίνεται το σύνολο Ω={,,,4,5,6} και τα υποσύνολά του Α={,,4,5} και Β={,4,6} α) Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα Α και Β Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α και Β β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β 45 Δίνεται η εξίσωση 0 όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: η εξίσωση είναι αδύνατη στο Β: η εξίσωση έχει ρίζα το 46 Δίνεται η εξίσωση 0 όπου τα α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει ρίζα το 47 Σε μια συνεστίαση τα 4 των παρευρισκομένων αντρών και τα 5 των γυναικών είναι παντρεμένοι 6 Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, να βρείτε την πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι: Α: ανύπαντρο Β: ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα 48 Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής Αν τα βιβλία Μαθηματικών είναι 5 περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχες πιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει: 4 49 Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7, PB 0,5 και PA B 0,4 Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Λ: δεν πραγματοποιείται το Α Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β 50 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε να ισχύει: P(A) = /5, P(B) = / και P(AB) = 7/0 Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: 7

29 α) Να μην πραγματοποιηθεί το Α β) Να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β δ) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β ε) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β 5 Μια ομάδα έχει πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα 40%, το κύπελλο 5% ενώ και τα δύο 8% Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Να κερδίσει ένα τουλάχιστον τίτλο β) Να κερδίσει μόνο το πρωτάθλημα γ) Να κερδίσει μόνο το κύπελλο δ) Να κερδίσει μόνο τον ένα από τους δύο τίτλους 5 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 0% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 5% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα: Α:«ομαθητήςνασυμμετέχειστηθεατρικήομάδα»και Β:«ομαθητήςνασυμμετέχειστηνομάδαποδοσφαίρου», α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Β ii) Α Β iii) Β-Α iv) Α β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα 5 Το70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 0% έχει και αυτοκίνητο και μηχανάκι Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ: ο κάτοικος να έχει μηχανάκι α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Μ ii) Μ-Α iii) Μ β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i) Να μην έχει μηχανάκι ii) Να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο PA 4 54 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω Αν, PA B PB A, να βρείτε τη πιθανότητα PA B 55 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA 0,7, PA B B A 0, και 6 P B 0,4 και Να βρείτε τη πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β 56 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με A B PB, να βρείτε τις πιθανότητες: 4 P A B P B α) β) A γ) PB A Αν PA P A B A PA και P B A 6 57 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με και Να βρείτε τις πιθανότητες: α) PA A B β) 58 Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 0 ισοπίθανα απλά P A 5P A 0, να ενδεχόμενα Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει: βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α 8

30 59 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι PA B PAPB Να αποδείξετε ότι: P A B PAPB 60 Σε μια ομάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι 6 Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α) Να συμμετέχει σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; β) Να συμμετέχει μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς; γ) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; 6 Από τους 80 μαθητές ενός λυκείου,0 μαθητές συμμετέχουν στη θεατρική ομάδα,0μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 0 μαθητές συμμετέχουν και στις δύο ομάδες Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα Β: ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Β ii) Β-Α iii) Α β) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε: i) Να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα ii) Να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου 6 Μια τάξη έχει αγόρια και 5 κορίτσια Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών έχουν 5 ποδήλατο Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο 64 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8 Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9 α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών; ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες; β) Αν 4 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; 65 Οι δράστες μιας κλοπής διέφυγαν μ ένα αυτοκίνητο και μετά από την κατάθεση διαφόρων μαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθμός της πινακίδας του αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7 α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθμών της πινακίδας του αυτοκινήτου β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το 7 Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι 6 ή 8 Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9 66 Μια ημέρα, στο τμήμα Α ενός Λυκείου, το 4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα Η καθηγήτρια των 9

31 μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα Β: ο μαθητής να έχει διαβάσει Γεωμετρία α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Vehn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: (i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα (ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα 0

32 67 Δίνεται το τριώνυμο f Γενικές Ασκήσεις α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου f για τις διάφορες τιμές του β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου: f,999 f, 00 γ) Αν, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού: 68 Θεωρούμε το τριώνυμο f 4, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Αν και είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δυο πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει f f Να αιτιολογήσετε, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου: την απάντησή σας 69 Δίνεται το τριώνυμο f 6, με λ R α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες γ) Αν, τότε: (i) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες (ii) Αν, με είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και κ, μ είναι δύο αριθμοί με 0 και f f Να αιτιολογήσετε την, να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου απάντησή σας 70 Δίνεται το τριώνυμο: f() ( ), R {0} α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R-{0} β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = + συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = των ριζών γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας δ) Αν 0< λ και,, με <, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f (0)f f, όπου κ, μ είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε <κ < < μ f, 7 Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε β) Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με, τότε : i) να αποδείξετε ότι f,f,f ii) να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς 7 Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε

33 β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση 7 Δίνεται η συνάρτηση f, f () να έχει πεδίο ορισμού το R α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y γ) Έστω M(, y ) σημείο της C f Αν για την τετμημένη του σημείου Μ ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y 74 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι f, β) Να λύσετε την εξίσωση f 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει: f 0 δ) να λύσετε την εξίσωση f f 8 0 f α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το β) Αν, τότε: 9f Δίνεται η συνάρτηση i) Να λύσετε την ανίσωση f f 0 iii) Να λύσετε την εξίσωση γ) Αν ii) Να αποδείξετε ότι f 0 γεωμετρική πρόοδος με και 6 5,να βρείτε: 65 i) το λόγο λ της προόδου ii) Αν υπάρχει τιμή της συνάρτησης που να είναι ίση με τον α 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 76 Δίνεται η συνάρτηση f β) Να λύσετε την εξίσωση f f γ) Να λύσετε την ανίσωση 0 f δ) Να αποδείξετε ότι: i) f ii) f f 8 77 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να λύσετε την εξίσωση: f f f 5 β) Να λύσετε την εξίσωση: f γ) Να λύσετε την ανίσωση f 4f δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα χ χ f f ε) Να αποδείξετε ότι 4 f f f f 78 Δίνεται η συνάρτηση f ()

34 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ β) Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε δ) Για f 0 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 4 να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες αληθεύει η σχέση 79 Δίνεται η συνάρτηση: f f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της f (5) β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή f (8) f (7) γ) Να λύσετε την ανίσωση: 06 (f ()) f () 0 0 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 80 Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: P(A) P(A), ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: 6 0 α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) β) Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, να υπολογίσετε: 6 i) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β iii) την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 4 8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f,, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = 6 β) Να υπολογίσετε την τιμή f γ) Να λύσετε την εξίσωση: f f δ) Να λύσετε την ανίσωση: f f 0 8 Η εξίσωση - λ + λ = Ο, όπου λ, έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, α) Να αποδείξετε ότι λ < 0 ή λ > β) Για λ = - 4 : i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες, της εξίσωσης είναι ετερόσημες ii) Αν είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση 0 iii) Αν είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να δείξετε ότι 8 Α) Δίνεται η εξίσωση όπου (ΟΕΦΕ 00) (ΟΕΦΕ 0) α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση ως προς την οποία και να προσδιορίσετε β) Αν η λύση της παραπάνω εξίσωσης για κάθε τιμή του είναι: να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, για τις οποίες η λύση αυτή, απέχει από τον αριθμό απόσταση που δεν ξεπερνά το y 4, y 4, Β) Δίνονται οι ευθείες ε : και ε :