Α ΚΑΙ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΚΑΙ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Με την επιφύλαξη να ελεχθούν τα θέματα ως προς την συμβατότητα τους στην νέα ύλη Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Θέματα εξετάσεων Α Λυκείου Άλγεβρα...4 Γεωμετρία...39 Θέματα εξετάσεων Β Λυκείου Άλγεβρα...68 Γεωμετρία...90 Μαθηματικά Προσανατολισμού Μαθηματικός Περιηγητής

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων του Γενικού Λυκείου ( ) αποτελεί συνέχεια παρόμοιας προσπάθειας που έγινε κατά τα προηγούμενα δύο σχολικά έτη. Τα θέματα προέρχονται από Λύκεια του Νομού Δωδεκανήσου στα οποία διατηρείται πλήρης ανωνυμία.τα θέματα επιλέχθηκαν αφενός με βάση το τεχνικό κριτήριο της δυνατότητας επεξεργασίας και αφετέρου το κριτήριο της λιγότερης παρέμβασης. Όμως φέτος τα θέματα που παραθέτουμε έχουν υποστεί, στο μέτρο του δυνατού, αξιολόγηση ως προς: Α. Το υφιστάμενο νομικό πλαίσιο επιλογής και διάρθρωσης των θεμάτων, Β. Το περιεχόμενο τους καθώς και την επιστημονική τους ορθότητα, Γ. Την διαβαθμισμένη δυσκολία τους, Δ. Την αισθητική τους καθώς και την ηλεκτρονική τους σελιδοπόιηση, Ε. Την φιλολογική τους επιμέλεια. Έτσι, πολλά από τα θέματα που ακολουθούν, έχουν υποστεί κάποιας μορφής «παρέμβαση», χωρίς ωστόσο να αλλοιωθεί ο χαρακτήρας και η δομή τους. Παραδίδουμε λοιπόν στους αγαπητούς μαθητές μας και στους αξιόμαχους συναδέλφους μας μαθηματικούς, αλλά και σε όποιον ενδιαφέρεται για την μαθηματική εκπαίδευση, το υλικό που ακολουθεί και ελπίζουμε να τους βοηθήσει. Με την επιφύλαξη να ελεχθούν τα θέματα ως προς την συμβατότητα τους στην νέα ύλη Μάρτιος 017 Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου Μαθηματικός Περιηγητής 3

4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηματικός Περιηγητής 4

5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στη κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή: ( και ). β) Για κάθε πραγματικό αριθμό x, ισχύει: x x. γ) Η εξίσωση x 0, με 0 και 0 είναι αδύνατη. δ) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς,, ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 ή 0. ε) Έστω το τριώνυμο x x με 0 και διακρίνουσα 0. Τότε 1 x x x x x x όπου x 1,x οι ρίζες του τριωνύμου. Μονάδες 10 Α. Αν η εξίσωση x x 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες τις x 1,x τότε να αποδείξετε ότι P x1x. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Β1. Να λύσετε την εξίσωση x x 0 και στη συνέχεια να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x x. Μονάδες 9 Β. Να λύσετε την ανίσωση x x 0. Μαθηματικός Περιηγητής 5

6 Β3. Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ Γ Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Μονάδες 8 Μονάδες 8 Δίνεται η εξίσωση x x 1 0, (1) με παράμετρο. Γ1. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες : α) Η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης (1) είναι ίσο με. Μονάδες 7 Μονάδες 5 Γ. Έστω ότι 3. Αν στην περίπτωση αυτή, οι ρίζες της εξίσωσης (1), είναι οι x 1,x τότε: α) Να λύσετε την ανίσωση : x x x x x β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A 18 x x x x ισούται με 016. Μονάδες 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι παραστάσεις : και x x 1 x 4x 4 x 1 x όπου 1 x. Δ1. Να δείξετε ότι 5 και. Μονάδες 10 Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό 0 ισχύει : 5. Μονάδες 8 Δ3. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού, ώστε η συνάρτηση f x x x να έχει πεδίο ορισμού το. Μαθηματικός Περιηγητής 6

7 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε, ισχύει. β. Για κάθε, 0 και ν φυσικός με v ισχύει. γ. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς,. ισχύει δ. Για τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ισχύει PA PA 014. ε. Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 και διαφορά ω δίνεται από το τύπο 1 1 (Μονάδες x5=10). Β. Δίνεται ότι η εξίσωση x x 0 με 0 έχει πραγματικές ρίζες x1, x. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα των ριζών x1 x τότε να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 15) S. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι παραστάσεις: και, όπου,. Α. Να δείξετε ότι:, για κάθε τιμή των,. (Μονάδες 1) Β. Για ποιες τιμές των, ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13) Μαθηματικός Περιηγητής 7

8 ΘΕΜΑ 3 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει: 1 5 και Α. Να αποδείξετε ότι η διαφορά της αριθμητικής προόδου είναι 3. (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε τον 10 ο όρο της αριθμητικής προόδου. (Μονάδες 7) Γ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων της προόδου. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 ο Οι πλευρές x 1, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: Α. Να βρείτε: 1 x 4 x 16 0, 0,4. i. την περίμετρο του ορθογωνίου συναρτήσει του. (Μονάδες 6) ii. το εμβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) Β. Να αποδείξετε ότι 16 (Μονάδες 7), για κάθε 0,4. Γ. Για ποια τιμή του η περίμετρος του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 16; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 8

9 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν γ > 0, τότε α > β. β. Αν θ > 0 τότε: x x. γ. Για κάθε a ισχύει. δ. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς και 0 ισχύει: (Μονάδες x4=8). ε. Να αντιστοιχίσετε κάθε γραμμή της στήλης Α με την αντίστοιχη της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν αληθείς σχέσεις ή προτάσεις. στηλη Α Στήλη β 1. x x α. α = 0. x x β. α > 0 3. Αν β>0 η ανίσωση x x αληθεύει για κάθε γ. α < 0 δ. α 0 (Μονάδες ) Β. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει ότι: (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 9

10 ΘΕΜΑ ο x x 16x Δίνεται η εξίσωση: x x 4, x Α. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x ορίζεται η εξίσωση. (Μονάδες 10) Β. Να λύσετε την εξίσωση. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 3 ο 15 5x Δίνεται η συνάρτηση x 5x 6 f ( x) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 5) x 9 Β. Να απλοποιήσετε τον τύπο f ( x ) της συνάρτησης. (Μονάδες 5) Γ. Να λύσετε την ανίσωση f ( x) 0. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνoνται οι παραστάσεις: A x x Α. Να λύσετε την ανίσωση A 1. (Μονάδες 5) 4 4 και Β. Να λύσετε την εξίσωση B 8. (Μονάδες 5) A Γ. Να λύσετε την εξίσωση 1 B. (Μονάδες 5) Δ. Να λύσετε την εξίσωση A x. (Μονάδες 10) B x. Μαθηματικός Περιηγητής 10

11 ΘΕΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: β. Για κάθε, ισχύει. PA B P( A) P( B) P( A B) γ. Το άθροισμα των δύο ριζών x 1,x εξισώσεων δευτέρου βαθμού δίνεται από την σχέση S. δ. Το άθροισμα των πρώτων ν-όρων αριθμητικής προόδου (α ν ) με διαφορά ω είναι : S ( 1) 1 ε. Οι ρίζες της εξίσωσης f ( x) 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της f και του άξονα y y. (Μονάδες 5x=10) Β. Αν A B, όπου A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε ότι P( A) P( B). (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 11

12 ΘΕΜΑ Ο Δίνονται πραγματικοί αριθμοί,, με 0 και 0. Να αποδείξετε ότι: 4 Α. 4 (Μονάδες 1) 4 4 Β. ( a ) ( ) 16 a (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η εξίσωση x x 5 0, με 0 Α. Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) Β. Να υπολογίσετε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών συναρτήση του. (Μονάδες 6) Γ. Αν x1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης : Γ1. Να λύσετε την ανίσωση x1 x (Μονάδες 6) Γ. Να βρείτε το, ώστε x1 x (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται το τριώνυμο f ( x) x x ( ), Α. Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε (Μονάδες 10) Β. Για ποια τιμή του το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) 1 Γ. Αν και x1, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με x1 x, τότε : Μαθηματικός Περιηγητής 1

13 x1 x Γ1. να αποδείξετε ότι x x 1 (Μονάδες 4) Γ. να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: x1 x f ( x), f ( ), f ( x 1) (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 13

14 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει α 0 =1 για κάθε a 0. β. Ισχύει a. γ. Ισχύει a 0 για κάθε α πραγματικό αριθμό. δ. Ισχύει όπου α, β μη αρνητικοί αριθμοί. ε. Αν Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης Τιμή Διακρίνουσας ax x 0, 0 να γίνει η σωστή αντιστοίχιση Πλήθος Λύσεων Εξίσωσης Α. Μία διπλή λύση Β. Καμία λύση Γ. Δύο άνισες λύσεις (Μονάδες 5x=10) Β. Εστω Ω ένας δειγματικός χώρος, με απλά ενδεχόμενα ισοπίθανα. Αν τα Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του Ω, να αποδείξετε ότι: P( A B) P( A) P( A B) (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ Ο Α. Να λυθούν οι εξισώσεις α. x 9 β. x 4 7 γ. x 13 1 (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 14

15 Β. Αν x1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 8x 0 τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες αυτές να υπολογιστούν οι παραστάσεις α. x1 x (Μονάδες 10) β. x1 x ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η αριθμητική πρόοδος 3, 7, 11, Α. Να βρείτε τον πρώτο όρο α 1 και την διαφορά ω της αριθμητικής προόδου (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε τον εικοστό τέταρτο όρο α 4 της αριθμητικής προόδου (Μονάδες 8) Γ. Να υπολογίσετε το άθροισμα των πρώτων τριάντα όρων της αριθμητικής προόδου (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση f x x x ( ) 3 Α. Να υπολογιστούν οι τιμές της συνάρτησης f ( 1), f (0), f () (Μονάδες 9) Β. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 (Μονάδες 9) Γ. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει f ( x) 0 (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 15

16 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Το τριώνυμο με,,, είναι πάντα θετικό, όταν η διακρίνουσα x x του Δ, είναι μικρότερη του μηδενός. β. Ισχύει ότι x x, όπου θ θετικός αριθμός. γ. Αν a 0 τότε η εξίσωση x 0 έχει ακριβώς μια λύση. δ. Αν τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε ισχύει. ε. Για τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ισχύει (Μονάδες 5x=10) P(A) P A 014. (ΕΚΤΟΣ) Β. Να αποδείξετε ότι ισχύει για κάθε a,. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η εξίσωση ( 1)x Α. Αν η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα να βρείτε το λ. (Mονάδες 1) Β. Για λ=0 να βρείτε την μικρότερη ακέραια λύση της ανίσωσης d( x, 4) (Mονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση y x 0 Α. Να βρείτε τα a και, ώστε η ευθεία να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία ˆ 45 και να τέμνει τον άξονα y y στο σημείο B 0, 1. (Mονάδες 14) Μαθηματικός Περιηγητής 16

17 Β. Για =1 να βρείτε τα R εξίσωση y x 1 (Mονάδες 11) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων, ώστε η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη στην ευθεία με ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x 6, x R Α. Να λύσετε την εξίσωση f ( x) 0 (Mονάδες 6) Β. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της f. (Mονάδες 6) Γ. Να βρείτε τα x R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να βρίσκεται πάνω από την ευθεία με εξίσωση ψ=-6 και κάτω από τον άξονα χ χ. (Mονάδες 7) Δ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Mονάδες 6). g( x) 1 f ( x) Μαθηματικός Περιηγητής 17

18 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση 011x είναι αδύνατη. β. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει a >α γ. Αν α, β 0 και ν θετικός ακέραιος, ισχύει ότι δ ε. Αν θ>0, τότε x x (Μονάδες x5=10) Β. Αν x 1, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ριζών της δίνεται από τον τύπο: (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ Ο Α. Δίνεται η εξίσωση (Μονάδες 10) x S x1 x. x 3 0. Αν έχει ρίζα τον αριθμό 1, να δείξετε ότι Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση που προκύπτει για. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Να λύσετε την ανίσωση x 1 7x. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 18

19 Β. Αν ο x είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (Α), να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση: (Μονάδες10) x 3 x 4 x ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Να λυθεί η εξίσωση (Μονάδες 10) x 5 81x 0. Β. Αν α η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (Α) να δείξετε ότι 1 1 a 1 a 1 = a. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 19

20 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε, 0 ισχύει : β. Αν θεωρήσουμε δύο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε το μήκος (ΑΒ) είναι: ( AB) d( a, ) γ. Αν η εξίσωση ax οι ρίζες είναι θετικές x 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και ισχύουν: S 0 και P 0, τότε δ. Για τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ισχύει PA PA 1. ε. Να αντιστοιχίσετε τις πιθανότητες της στήλης Α με τους κατάλληλους τύπους της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες. Στήλη A Στήλη B 1. PA B α) 1 PA. PA B β) PA PA B 3. PA γ) PA PB PA B δ) PA PB (Μονάδες x5=10) Μαθηματικός Περιηγητής 0

21 Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 0 με 0 έχει ακριβώς μία λύση, την x (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι ανισώσεις x 1 5 (1) και x x 1 0 () Α. Να λύσετε την ανίσωση (1) (Μονάδες 10) Β. Να λύσετε την ανίσωση () (Μονάδες 10) Γ. Κατόπιν να βρείτε τις κοινές λύσεις των (1) και () και να τις γράψετε σε μορφή συνόλων. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 4 x με μ 0. Α. Να βρείτε την τιμή του μ, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(,0) (Μονάδες 5) Β. Για μ=0: Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f (Μονάδες 7) Β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο B0, f (0) και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y= x + 1 (Μονάδες 8) 1 Β3. Να λύσετε την εξίσωση 1 f ( x) x (Μονάδες 5), αν x ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση x x 3 0, η οποία έχει δυο άνισες πραγματικές λύσεις. Α. Να αποδείξετε ότι, 01, (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 1

22 Β. Για λ = 4 Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Β1. Να λυθεί η εξίσωση (Μονάδες 6) x x 3 0 Β. Αν x 1 η θετική ρίζα και x η αρνητική ρίζα της, τότε i. Να λυθεί η ανίσωση x 013 x (Μονάδες 6) ii. Να δείξετε ότι 3 x1 x1 (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής

23 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει ότι a β. Για κάθε x ισχύει ότι x 6x 9 x 3 γ. Αν, τότε 0. δ. Τα σύνολα A x / x 4 και Β = {-,} είναι ίσα. 3 ε. Οι ευθείες y x και 6 (Μονάδες x5=10) y 6 x 1 είναι παράλληλες Β. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: (Μονάδες 15) PA B PA PA B ΘΕΜΑ 0 Α. Αν οι αριθμοί 4 x, x, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό x. (Μονάδες 9) Β. Αν οι αριθμοί 4 x, x, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό x. (Μονάδες 9) Γ. Να βρεθεί ο αριθμός x, ώστε οι αριθμοί 4 x, x, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 3

24 ΘΕΜΑ 3 0 Δίνονται οι παραστάσεις A και Α. Να αποδείξετε ότι A και B 6. (Μονάδες 8) Β. Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 6) x A A A A 8 7 B Γ. Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς A και B. (Μονάδες ) Δ. Αν x 4 και 1 y α βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της παράστασης K Ax By. (Μονάδες 4) Ε. Αν f ( x) x 8x 1 να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τη μορφή x διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 0 Δίνονται η συνάρτηση f x x x 1, x. Α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα x x. (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y x 3. (Μονάδες 10) Γ. Έστω M x, y σημείο της C f. Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει x 1 3, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y x 3. (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 4

25 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B PA PB(ΕΚΤΟΣ) β. Η εξίσωση 0, όπου ax x 0 με 0 έχει δύο πραγματικές διαφορετικές ρίζες αν 4. γ. Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό του ίδιου πάντοτε μη μηδενικού αριθμού. δ. Αν Aa, σημείο του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το συμμετρικό του ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Ba, ε. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 x και με P το γινόμενο x1 x των ριζών x, x της εξίσωσης 1 (Mονάδες x5=10) ax x 0 με 0, τότε ισχύει: S και P Β. Να αποδείξετε ότι για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η ισότητα: (Mονάδες 15). Μαθηματικός Περιηγητής 5

26 ΘΕΜΑ ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Στο παραπάνω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Α. Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 6) Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x y - 4 (Μονάδες 6) Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες. (Μονάδες 6) Δ. Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 6

27 ΘΕΜΑ 3 ο (ΕΚΤΟΣ) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνεται PA 0,5, PB 0,4 και PA B 0,15 Α. PA B. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: (Μονάδες 6) Β. PA (Μονάδες 6) Γ. PA B (Μονάδες 6) Δ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα A και B. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( τέτοια, ώστε x y 10. Aˆ 90 0 ) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη x, y Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο: (Μονάδες 9) Β. Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 8) 1 ( x) x 10 x, x 0,10 5 ( x) για κάθε x 0,10 Γ. Για ποια τιμή του x (0, 10) το εμβαδόν E(x) γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 5 ; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 7

28 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν x1, x ρίζες του τριωνύμου β. Ισχύει, για κάθε. 0, με 0, τότε: x x ax x ( x x1 ) x x γ. Δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω, αν είναι ξένα μεταξύ τους τότε είναι αντίθετα. δ. Για κάθε ενδεχόμενο Α, ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει PA 1. ε. Αν 0 και μ, ν Ν* ισχύει (Μονάδες x5=10) Β. Αν x1, x ρίζες της εξίσωσης ax x 0, με 0, να αποδείξετε ότι : (Μονάδες 15) x x 1 ΘΕΜΑ ο Α. Να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 9) 1 x 4 Β. Να λύσετε την ανίσωση: x 5 3 (Μονάδες 9) Γ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τιςγράψετε με τη μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 8

29 ΘΕΜΑ 3 ο Αν x Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων 1 x 0 και ( 1 ) Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για κάθε. (Μονάδες 9) Β. Αν x 1 και x είναι οι ρίζες της (1), να βρείτε τον αριθμό, ώστε: (Μονάδες 9) x x x x Γ. Για 3 να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες x 1, x. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος ( a ) με λόγο για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: 3 4, 5 16 και 0 Α. Να βρείτε τον πρώτο όρο 1 και το λόγο της προόδου. (Μονάδες 8) Β. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( ) λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( a ) (Μονάδες 9) 1, με αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με a Γ. Αν S 10 και S 10 είναι τα αθροίσματα των 10 πρώτων όρων των προόδων αντίστοιχα, να 1 αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση S 10 S 9 10 (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 9

30 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει ότι: a β. Ισχύει: γ. Ισχύει: δ. Ισχύει ότι: ε. Αν σε μία δευτεροβάθμια εξίσωση αρνητική, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο. (Μονάδες 10) ax x 0, 0 η διακρίνουσα Δ είναι Β. Θεωρούμε την εξίσωση: x x 0 ( 0) και τη διακρίνουσά της 4. Να αποδείξετε ότι αν 0, τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες τις x1, (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα μήκη x και y ισχύει: 4 x 7 και y 3, τότε: Α. Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. (Μονάδες 10) Β. Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 30

31 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να λυθεί η ανίσωση: (Μονάδες 10) Β. Να λυθεί η ανίσωση: x x x 5 x (Μονάδες 10) Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Μια μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια τροχιά, μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) κατά την κίνησή της, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση: h t t t ( ) ,05 Α. Να βρείτε τις τιμές h (0), h (1), h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες 6) Β. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8) Γ. Να αποδείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t μπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: h( t) 5[1,1 ( t 1) ] (Μονάδες 5) Δ. Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγμή t 1 (σε sec) που το ύψος h της μπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,65 m (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 31

32 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ο ν-οστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 και διαφορά είναι 1 1 β. Αν 0, τότε v v a -α. γ. Αν 0, τότε x x ή x. δ. Το κενό σύνολο που δεν πραγματοποιείται σε καμία εκτέλεση ενός πειράματος τύχης λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. ε. Αν με S συμβολίσουμε το άθροισμα x1 x και με P το γινόμενο x1 x των ριζών x 1, x της εξίσωσης (Μονάδες x5= 10) ax x 0, 0, τότε β γ S και P α α Β. Αν, πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε την ισότητα (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύουν: 4 και 4 3 Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμίας από τις παραστάσεις: Α. (Μονάδες 1) Β. (Μονάδες 13) Μαθηματικός Περιηγητής 3

33 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση 5 3, Α. Να βρείτε τα f 0, (Μονάδες 8) f x x x f. Β. Να λύσετε την εξίσωση f x 8 (Μονάδες 8) Γ. Να λύσετε την ανίσωση x f x (Μονάδες 9) 3 0 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμτρο 34cm και διαγώνιο 13cm i. Να δείξετε ότι το εμαβαδόν του ορθογωνίου είναι (Μονάδες 5) E 60cm ii. Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) iii. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) Β. Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν διαγώνιο 8cm (Μονάδες 10) 40cm και Μαθηματικός Περιηγητής 33

34 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα και ισχύει ( ) 1 ( ). β. Αν 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x. γ. Η ανίσωση x x 0 (,, ) με 0 και διακρίνουσα 0 αληθεύει για κάθε x. δ. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει ε. Ως συντελεστή διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. (Μονάδες x5=10) Β. Να αποδείξετε ότι ισχύει για κάθε,. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται αριθμητική πρόοδος a γιατην οποία ισχύει ότι: 1 19 και Α. Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι 6 (Μονάδες 9) Β. Να βρείτε τον 0 (Μονάδες 9) Γ. Να βρείτε τοάθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 34

35 ΘΕΜΑ 3 ο (ΕΚΤΟΣ) Αν για τα ενδεχόμενα και ενός δειγματικού χώρου έχουμε και Α. Να δείξετε ότι και (Μονάδες 9) Β. Να βρείτε την (Μονάδες 8) 3 τότε: 4 Γ. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο το. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση: x 5x 1 0, με παράμετρο Α. Να αποδείξετε ότι, για κάθε, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) Β. Αν x1, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i. Να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει:` (Μονάδες 9) x1 x x1 x ii. Για 1, να βρείτε την τιμή της παράστασης: (Μονάδες 9) x x 3x 4 3x x x Μαθηματικός Περιηγητής 35

36 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 15 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν ο β είναι ο αριθμητικός μέσος των α, γ τότε ισχύει β. Η εξίσωση x 0 είναι αδύνατη, όταν 0 και 0.. γ. Το συμμετρικό ενός σημείου M a, ως προς τον άξονα y y είναι το σημείο M a,. δ. Το τριώνυμο x x, με 0 και 0, είναι ομόσημο του για κάθε x. ε. Οι ευθείες με εξισώσεις y a1 x 1 και y = α x + β με y ax είναι πάντα παράλληλες. (Μονάδες x5 = 10) Β. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει η ισότητα. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: 3 6, B 3, A Α. Να δείξετε ότι A B 3 (Μονάδες 13) Β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 και 6 6 (Μονάδες 1) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μαθηματικός Περιηγητής 36

37 ΘΕΜΑ 3 ο (ΕΚΤΟΣ) Για τα ενδεχόμενα A, B του ίδιου δειγματικού χώρου Ω είναι γνωστό ότι: Να υπολογίσετε: A. Την P(A B). (Μονάδες 7) 0,65, PB 0,4 και PB A 0,5 P A B. Την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα A, B. (Μονάδες 9) Γ. Την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα A, B. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται το τριώνυμο: 1 x, 0 x Α. Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0. (Μονάδες 8) Β. Αν x1, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S x1 x συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P x1 x των ριζών. (Μονάδες 5) Γ. Αν 0 τοπαραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) Δ. Αν 0 1 και x1, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνετε τους x1 x αριθμούς (Μονάδες 6) και 1. Μαθηματικός Περιηγητής 37

38 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 16 ΘΕΜΑ Α Α1. Για κάθε, να αποδείξετε την ιδιότητα των απολύτων τιμών: Πότε ισχύει η ισότητα; Μονάδες 10 Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας τη λέξη Σωστό ή Λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν δύο αριθμοί του άξονα, που παριστάνονται με τα σημεία αντίστοιχα, τότε ισχύει:. β. Για κάθε ισχύει:. γ. Η εξίσωση με και άρτιο φυσικό αριθμό, έχει μία ακριβώς λύση την. δ. Η ανίσωση:, αν και, είναι αδύνατη. ε. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, έχει κορυφή το σημείο, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση: Μαθηματικός Περιηγητής 38

39 Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Β1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μονάδες 5 Β. Να βρεθούν οι τιμές της συνάρτησης Μονάδες 6 Β3. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) Μονάδες 6 β) Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις : και Γ1. Να βρείτε τους αριθμούς αν γνωρίζετε ότι το σημείο είναι κοινό σημείο των δύο γραφικών παραστάσεων Μονάδες 6 Γ. Για, να βρείτε το άλλο κοινό σημείο Β των γραφικών παραστάσεων Μονάδες 5 Γ3. Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τις οποίες η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από την γραφική παράσταση Μονάδες 8 Γ4. Να επιβεβαιώσετε την απάντηση του ερωτήματος Γ3 γεωμετρικά, χαράζοντας δηλαδή τις γραφικές παραστάσεις, με την βοήθεια των κοινών σημείων. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση: παράμετρο Μαθηματικός Περιηγητής. 39

40 Δ1. Να βρείτε την διακρίνουσα Δ της παραπάνω εξίσωσης και να κάνετε τον πίνακα του προσήμου της, για τις διάφορες τιμές του Μονάδες 7 Δ. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; Μονάδες 4 Δ3. Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα, των ριζών της εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του λ, ορίζεται η παράσταση:. Μονάδες 7 Δ4. Για ποιες τιμές του λ, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: είναι το σύνολο R των πραγματικών αριθμών., Μονάδες 7 Μαθηματικός Περιηγητής 40

41 ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μαθηματικός Περιηγητής 41

42 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία αν για τη διάμεσο ΑΜ ισχύει. β) Σε κάθε ρόμβο οι διαγώνιες τέμνονται κάθετα. γ) Δύο ευθείες 1, είναι παράλληλες, αν τέμνονται από μια τρίτη ευθεία και σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, παραπληρωματικές. δ) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι παραπληρωματικές. ε) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με τη διαφορά των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του. Μονάδες 10 Α. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ Β Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΑΔ. Έστω Μ, Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι : Β1. Το τετράπλευρο ΑΜΝΔ είναι παραλληλόγραμμο. Β. Η ΔΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΔΓ. Β3. Η γωνία ΓΜΔ είναι ορθή. Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μαθηματικός Περιηγητής 4

43 ΘΕΜΑ Γ Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και Μ μέσο της πλευράς ΑΒ. Η ευθεία (ε) είναι κάθετη στη ΓΜ στο Μ και τέμνει την πλευρά ΑΔ στο Ε και την προέκταση της ΓΒ στο Ζ. Γ1. Να αποδειχθεί ότι ΜΕ = ΜΖ. Γ. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Μονάδες 8 Μονάδες 8 Γ3. Αν Θ είναι σημείο της ΕΓ τέτοιο, ώστε τότε να αποδειχθεί ότι η ΖΘ είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με Τα τμήματα ΑΗ, ΒΕ είναι διάμεσοι των τριγώνων ΑΔΜ και ΜΒΓ, ενώ το σημείο Ο είναι το μέσο της ΑΒ. Να αποδειχθεί ότι: Δ1. Τα τρίγωνα ΑΗΒ και ΑΕΒ είναι ορθογώνια. Δ. Το τρίγωνο ΟΗΕ είναι ισόπλευρο. Δ3.. Μονάδες 9 Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μαθηματικός Περιηγητής 43

44 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Κάθε τετράπλευρο που έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες είναι παραλληλόγραμμο. β. Δύο ισόπλευρα τρίγωνα με ίσες περιμέτρους είναι πάντοτε ίσα. γ. Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. δ. Η απόσταση του βαρύκεντρου ενός τριγώνου από κάθε κορυφή του ισούται με το 1 3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. ε. Κάθε τετράπλευρο με ίσες διαγώνιες είναι ορθογώνιο. (Μονάδες x5= 10) Β. Να αποδείξετε ότι: Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. (Μονάδες 15). ΘΕΜΑ ο Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ν και Κ των ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ = ΚΓ. Α. Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΓΚ είναι ίσα (Μονάδες 8) ii. το τετράπλευρο ΝΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) Β. Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΝΔ και ΔΚ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 44

45 ΘΕΜΑ 3 ο Στο παραπάνω σχήμα στο ισοσκελές τρίγωνο φέρνουμε τις διαμέσους, και που τέμνονται στο σημείο.να αποδείξετε ότι: Α. (Μονάδες 10) Β. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές (Μονάδες 10) Γ. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Μαθηματικός Περιηγητής 45

46 Στο παραπάνω σχήμα δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα 90 και όπου Α και Δ εκατέρωθεν της ΒΓ και το μέσο της.να αποδείξετε ότι: Α. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) Β. (Μονάδες 9) Γ. (Μονάδες 7) 90 Μαθηματικός Περιηγητής 46

47 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντί του πλευρές παράλληλες. β. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. γ. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. δ. Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. ε. Αν δυο τρίγωνα έχουν ίσες τις γωνίες τους μια προς μια είναι ίσα (Μονάδες 5x=10) Β. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με ορθές. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 47

48 ΘΕΜΑ 3o Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε, Ζ, και Η των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: ΑΒ Α. ΔΕ. (Μονάδες 8) ΑΒ Β. ΖΗ. (Μονάδες 8) Γ. το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 48

49 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ δεν είναι απαραίτητα ίσα όταν α=α,β=β και =. β. Δύο χορδές δύο ίσων κύκλων είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. γ. Αν ένας ρόμβος έχει ίσες διαγωνίους τότε είναι τετράγωνο. δ. Η διάμεσος τραπεζίου είναι ίση με την ημιδιαφορά των βάσεων. ε. Το βαρύκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων των πλευρών του τριγώνου. (Μονάδες 5x=10) Β. Να δείξετε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ στο οποίο η διαγώνιος ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΑΔ. Αν η γωνία (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο ˆ και η γωνία ˆ 30 0, να υπολογίσετε τη γωνία ˆ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Αν Ε, Η, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι : Μαθηματικός Περιηγητής 49

50 A. EZ// ΒΓ Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων (Μονάδες 8) B. Z (Μονάδες 8) Γ. το ΕΖΗΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται κύκλος Ο, και ΑΓ μια διάμετρός του. Θεωρούμε τις χορδές ΑΔ=ΒΓ. Έστω Κ και Λ τα μέσα των χορδών ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : Α. Οι χορδές ΑΒ και ΔΓ είναι παράλληλες. (Μονάδες 6) Β. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6) Γ. Η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου. (Μονάδες 7) Δ. Το τετράπλευρο ΟΛΓΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 50

51 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Δύο παραπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 180 ο. β. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. γ. Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία γωνία ορθή. δ. Οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών και μίας τέμνουσας είναι παραπληρωματικές. ε. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. (Μονάδες 5x=10) B. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ Ο Μαθηματικός Περιηγητής 51

52 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Â=40 o και ˆ 70 0, όπως στο παραπάνω σχήμα. Τα σημεία Δ και Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ με ΔΕ=9 και ΕΓ=16. Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρείτε ποιες είναι οι ίσες πλευρές του. (Μονάδες 8) Β. Να αποδείξετε ότι ΒΓ=18. (Μονάδες 8) Γ. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 3 0 Στο επόμενο σχήμα οι κύκλοι με κέντρα τα σημεία Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β. Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΚΛΒ είναι ίσα. (Μονάδες 10) Β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΒ και ΑΛΒ είναι ισοσκελή. (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 5

53 Γ. Αν Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ, να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 O Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ, όπως στο παραπάνω σχήμα. Αν Ε το σημείο τομής των προεκτάσεων των ΒΑ και ΓΔ και Ζ το σημείο τομής των προεκτάσεων των ΔΑ και ΓΒ να αποδείξετε ότι: Α. Η ΓΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΓΔ. (Μονάδες 7) Β. ΓΖ = ΓΕ (Μονάδες 9) Γ. ΕΖ // ΒΔ (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 53

54 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. β. Οι κύκλοι, και,r R, όπου δ η διάκεντρός τους. βρίσκεται ο ένας στο εξωτερικό του άλλου, αν και μόνο αν γ. Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με την υποτείνουσα. δ. Οι διαγώνιοι του παραλληλόγραμμου είναι ίσοι. ε. Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. (Μονάδες 5x= 10) Β. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ίσο με ορθές. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 54

55 ΘΕΜΑ ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΔΓ) με ΑΒ<ΔΓ και τα ύψη του ΑΗ, ΒΕ, όπως στο επόμενο σχήμα. Αν η γωνία ˆ 60 0, και 3,τότε: Α. Να αποδείξετε ότι. Μαθηματικός Περιηγητής 55

56 (Μονάδες 8) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Β. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) Γ. Να υπολογίσετε την διάμεσο του τραπεζίου KΖ. (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 56

57 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι παραπληρωματικές. β. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι πάντα ίσες. γ. Η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με το ημιάθροισμα των βάσεων. δ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα. ε. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες είναι ίσα. (Μονάδες 5x=10) Β. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 57

58 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία ˆ ίση με 10 ο και σημείο Ε μέσο του ΑΒ και ΔΕ διχοτόμος της γωνίας Δ. Να δείξτε ότι : Α. Η γωνία ˆ είναι ίση με 60 ο (Μονάδες 6) Β. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές (Μονάδες 6) Γ. ΔΓ=ΑΔ (Μονάδες 6) Δ. Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΕΚ είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΓ να δείξτε ότι (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 58

59 Μαθηματικός Περιηγητής 59

60 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Κάθε διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι διχοτόμος και ύψος. (Μονάδες ) β. Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. (Μονάδες ) γ. Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή. (Μονάδες ) δ. Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές, τότε οι διαγώνιοι του είναι ίσες. (Μονάδες ) ε. Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της. (Μονάδες ) Β. Να αποδείξετε ότι: Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. (Μονάδες 15) Μαθηματικός Περιηγητής 60

61 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται τοτραπέζιο με ˆ ˆ 90 και ˆ 10. Αν, το είναι το ύψος του τραπεζίου και τραπεζίου τότε: Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9) Β. Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 8) 5. είναι η διάμεσος του Μαθηματικός Περιηγητής 61

62 Γ. Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 8) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων 9. 4 Μαθηματικός Περιηγητής 6

63 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες μεταξύ τους. β. Η κοινή χορδή δύο τυχαίων τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της διακέντρου των δύο κύκλων. γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. δ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. ε. Κάθε τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μονάδες x5= 10) Β. Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ τους. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90 0 ). Εστω Δ σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε, η διχοτόμος ΔΕ της γωνίας ˆ να είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Αν ˆ 60 0, I. να υπολογίςετε τη γωνία ˆ. (Μονάδες 8) ΙΙ. Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 63

64 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ. Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ, το ύψος ΑΚ και τη διχοτόμο ΑΔ. A. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) B. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ΜΑΓ και ΚΑΒ είναι ίσες. (Μονάδες 8) Γ. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΜΑΚ. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μέσο της πλευράς ΔΑ. Προεκτείνουμε το τμήμα ΔΑ (προς την πλευρά του Α) κατά τμήμα. Φέρουμε τα τμήματα ΓΜ και ΒΝ και θεωρούμε τα μέσα τους Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) Το τετράπλευρο ΑΔΚΛ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΜΚΛ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 64

65 Μαθηματικός Περιηγητής 65

66 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα. β. Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. γ. Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μικρότερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. δ. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες παραπληρωματικές. ε. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. (Μονάδες 5x=10) 0 30, τότε η απέναντι πλευρά του είναι Β. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή και Μ το μέσο της ΒΓ. Φέρουμε ημιευθεία Αx παράλληλη στη ΒΓ (στο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΜ με το σημείο Γ). Να αποδείξετε ότι: α) ˆ ˆ (Μονάδες 1) β) η ΑΓ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆx. (Μονάδες 13) Μαθηματικός Περιηγητής 66

67 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), όπως στο παραπάνω σχήμα, και οι διάμεσοι ΒΔ, ΓΕ, που τέμνονται στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι: Α. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα. (Μονάδες 9) Β. Οι γωνίες ˆ και ˆ είναι ίσες. (Μονάδες 7) Γ. Τα τρίγωνα ΜΕΒ και ΜΔΓ είναι ίσα. (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 67

68 Μαθηματικός Περιηγητής 68

69 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 ΘΕΜΑ 1o Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου περνά από τις κορυφές του. β. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή γ. Το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των φορέων των υψών του. δ. Σε ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοι είναι πάντα ίσες. ε. Οι διαγώνιοι κάθε παραλληλογράμμου είναι και διχοτόμοι των γωνιών του. (Μονάδες x5 = 10) Β. Να αποδείξετε ότι αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30, τότε η απέναντι κάθετη πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ o Μαθηματικός Περιηγητής 69

70 ΘΕΜΑ 3o Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ,όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, εγγεγραμμένο σε κύκλο O, και ΟΜ, ΟΝ τα αποστήματα των χορδών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΜ = ΟΝ,. χ' Ε Α Ο Δ Ν χ Δίνεται επίσης ότι 0 A 100 και 0 ABΓ 9. Μια ευθεία x x διέρχεται από το Δ έτσι ώστε 0 x 80 και φέρνουμε ΒΕ // ΓΔ. Β 9 0 Μ Γ A. Να υπολογίσετε τις γωνίες,. (Μονάδες 8) B. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΒΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8) Γ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΔΕ είναι ρόμβος. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4o Μαθηματικός Περιηγητής 70

71 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηματικός Περιηγητής 71

72 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x τον άξονα x x. β) Η συνάρτηση f x x είναι περιοδική με περίοδο π. γ) Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. δ) Αν f x 0 1 τότε η συνάρτηση ορισμού της. f x με 1 βρίσκεται όλη κάτω από log x είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ε) Ένα γραμμικό σύστημα x έχει λύση μόνο στην περίπτωση που ισχύει D 0 όπου D η ορίζουσα του συστήματος. A. Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο Px έχει παράγοντα το το είναι ρίζα του ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση Px, δηλαδή αν και μόνο αν f x x, x. P 0. x αν και μόνο αν Μονάδες 10 Μονάδες 15 Β1. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f. Να γράψετε ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. Β. Να βρείτε τις τιμές του x 0, για τις οποίες ισχύει f x 1. Β3. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Μονάδες 6 Μονάδες 10 Μονάδες 9 Μαθηματικός Περιηγητής 7

73 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα πολυώνυμα : 3 P x 4x x 1 x 3 Q x x 3 x 5x Fx Px Qx 13,. Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Γ1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Px έχει παράγοντα το πολυώνυμο κάθε πραγματικό αριθμό. x 1 για Γ. Να βρείτε το ώστε το πολυώνυμο Qx όταν διαιρεθεί με το πολυώνυμο Μονάδες 8 x να δίνει υπόλοιπο 4. Για και 6 : Μονάδες 6 3 Γ3. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο F έχει τύπο Fx 6x 6x 6x 18 και στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης F δεν είναι «πάνω» από τον άξονα x x. Μονάδες(4+7) ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι συναρτήσεις : f,g : x e f x ln x x e 1 με x Δ1. Να αποδείξετε ότι f x ln e 1. Δ. Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x. Δ3. Να λύσετε την εξίσωση 1 f g x e 1. και 1 g x e e e e x x Μονάδες 8 Μονάδες 7 Μονάδες 10 Μαθηματικός Περιηγητής 73

74 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότ ι :Αν ένα πολυώνυμο P( x ) έχει παράγοντα το x τότε το ρ είναι ρίζα του P( x ). Β). Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) log x Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. (Μονάδες 07) i) H f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα. (0, ) Σ Λ ii) H f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii) H f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Σ Λ (Μονάδες 06) Γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν 3 x τότε 5 4 x για x, 5. β. (180 ). γ. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. δ. Η εκθετική συνά ρτηση f ( x) x a είναι γνησίως αύξουσα για κάθε α>0. Μαθηματικός Περιηγητής 74

75 ε. Η εκθετική συνάρτηση 1 f ( x) e x παίρνει για κάθε x θετικές τιμές. στ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης υ ενός πολυωνύμου P( x ) με το x είναι το P( ). (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση : 1 f ( x) 1 x 1 i. Να βρείτε τα f (3), f ( ) (Μονάδες 06) 1 ii. Να λύσετε την εξίσωση: f ( x) (Μονάδες 09) 4 iii. Να λύσετε την α νίσωση f ( x) 16 (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 3 Ο 3 Δίνεται το πολυώνυμο P( x) x 7x ax το οποίο έχει παράγοντα x-1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το x+1είναι -18. i. Να αποδείξετε ότι α=7 και β= -. (Μονάδες 08) ii. Για α=7 και β=- να λύσετε την εξίσωση : P(x)=0 (Μονάδες 09) 3 iii. Να λύσετε την εξίσωση P( x) x 7 x 7 x 0 Μαθηματικός Περιηγητής 75

76 (Μονάδες 08) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνονται οι συναρτήσεις x x x f ( x) ln( e e 3) και g( x) ln 3 ln( e 1) i. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f g. (Μονάδες 07) ii. Να λύσετε την εξίσωση : f ( x) g( x). (Μονάδες 08) iii. Να λύσετε την α νίσωση : f ( x) g( x). (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 76

77 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a x a x... a x 0, με ακέραιους συντελεστές. v v Αν ο ακέραιος 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε να δειχθεί ότι ο είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0. (Μονάδες 9 ) Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης του διπλανού πίνακα με τις λύσεις της που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα. Στήλη 1 η Στήλη η ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΕΙΣ α) ημx=ημθ 1) x, β) συνx=συνθ x ) x γ) εφx=εφθ 3) x x (Μονάδες 6) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. β. Η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο. γ. Ένα πολυώνυμο δ. Η συνάρτηση P x έχει παράγοντα το x αν και μόνο αν P 0. f x a x με 1 a είναι γνησίως φθίνουσα. ε. Αν a 0 με a 1, τότε για οποιαδήποτε 1, 0 ισχύει: Μαθηματικός Περιηγητής 77

78 (Μονάδες 5x=10) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων log log log a 1 a 1 a ΘΕΜΑ ο 3 Αν x και 5 x, τότε: Α. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad. (Μονάδες 8) Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: (Μονάδες 4) 10 x 1 x K. 5 x Γ. Να λύσετε την εξίσωση : (. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 6, όπου a, 3 P x x ax x Α. Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του Px και (Μονάδες 10) Β. Αν 0 και 7, να λύσετε την ανίσωση Px 0. (Μονάδες 15) P3 1, να αποδείξετε ότι 0 και 7. ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f x ln3x 5. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x x (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x. (Μονάδες 1) Μαθηματικός Περιηγητής 78

79 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω πολυώνυμο 1 P x x 1x 1x 0 με 0, 1,, R και x R. Πότε λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός είναι ρίζα του (Μονάδες 5) Px ; Β. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου τιμή του πολυώνυμου για x. Είναι δηλαδή P. (Μονάδες 10) P x με το x είναι iσο με την Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η συνάρτηση f x x T. με, 0 έχει μέγιστο, ελάχιστο και περίοδο β. Αν, τότε ισχύει η ισοδυναμία: x x,. γ. Αν 0 1 f x τότε η συνάρτηση δ. Αν 0 x τότε x 0. ε. Σε οποιοδήποτε πολυώνυμο Px η αριθμητική τιμή πολυωνύμου (Μονάδες x5=10) x είναι γνησίως φθίνουσα στο. P 0 είναι ο σταθερός όρος του ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f x 3 x με 0 που έχει περίοδο T 4 Α. Να βρεθεί ο αριθμός καθώς και η ελάχιστη τιμή της f x (Μονάδες 10) Β. Να λυθεί η εξίσωση (Μονάδες 15) f x 3 Μαθηματικός Περιηγητής 79

80 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 P x x x kx με k Α. Αν το πολυώνυμο Px έχει ρίζα τον να βρεθεί ο k (Μονάδες 6) Β. Αν k 1 Β1. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης Px: x 1 και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. (Μονάδες 10) Β. Να λυθεί η εξίσωση Px 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Η γραφική παράσταση της συνάρτησης M 3, 4 Α. Να βρείτε την τιμή του (Μονάδες 9) Β. Να λύσετε την ανίσωση f x 0 f x 1 4 x 8 διέρχεται από το σημείο (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 7) x x 5 e e f 5 0 Μαθηματικός Περιηγητής 80

81 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το πολυώνυμο x είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x, δηλαδή είναι P. (Μονάδες 10) Β. Αν, με 0, 0 και 1, να ορίσετε το log. (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει ln e 1 β. Αν x τότε x ή x,. γ. Η συνάρτηση f x x, x, έχει περίοδο T. δ. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. ε. Η συνάρτηση, (Μονάδες 5x=10) 1 f x x με x είναι γνησίως αύξουσα. ΘΕΜΑ ο Δίνεται το πολυώνυμο, x και,. 3 P x x x x, x Α. Αν το Px έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης x 1 είναι, να δείξετε ότι 3 και 3. (Μονάδες 13) Β. Αν κ = 3 και λ = 3 να λύσετε την ανίσωση Px 0. (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 3 ο Px με το 3 Δίνεται η γωνία x, με x, για την οποία ισχύει 15 x 4 x 1 0. Μαθηματικός Περιηγητής 81

82 3 Α. Να αποδείξετε ότι x. 5 (Μονάδες 7) Β. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 15 x 17 x x 4 x (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 ο x x Α. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( x) ln 4. (Μονάδες 8) x 1 f ( x) ln x 16. Μαθηματικός Περιηγητής 8

83 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x. Είναι δηλαδή P (Μονάδες 10) Β. Να συμπληρώσετε, τα κενά στις επόμενες ισότητες, ώστε να είναι αληθείς : α. 1 log... (, 1, 0 και 1) x1 x β. a... ( x 1, x ) γ. x x... (Μονάδες 3x3=9) P x με το x είναι Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση 4 x x x δεν έχει ακέραιες ρίζες. β. Η περίοδος της συνάρτησης f x x είναι 3π. γ. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται άρτια, όταν για κάθε x A ισχύει : x A (Μονάδες 3x=6) και f x f x ΘΕΜΑ Ο Να λύσετε τις εξισώσεις : Α. x 1 0 (Μονάδες 1) Β. x x x 1 x (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 P x x x x 1 όπου a, πραγματικοί αριθμοί. Α. Να βρείτε τις τιμές των a,, ώστε το Px να έχει παράγοντα το x 1 και το Μαθηματικός Περιηγητής 83

84 υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x 1να είναι ίσο με το 6 (Μονάδες 1) Β. Αν και να λύσετε την ανίσωση Px 0. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Δίνεται η συνάρτηση f x logx 6 logx 1 Α1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x (Μονάδες 5) Α. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 10) Β. Να λύσετε την ανίσωση : x x log 6 log 1 3log (Μονάδες 10) x x x x Μαθηματικός Περιηγητής 84

85 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ΘΕΜΑ 1o Α. Αν 0 με 1,τότε για οποιαδήποτε 1, 0, να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 1) log log log 1 1 Β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για 0, 1 και 0 ισχύει log β. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει γ. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. δ. Η συνάρτηση (Μονάδες x4=8) f x a x με 0 a 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο. ΘΕΜΑ o Δίνεται τo πολυώνυμο P x x ax x 3 6, όπου x πραγματικός αριθμός. Α. Αν η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου Px για x 3 είναι ίση με 30 και το x 1είναι παράγοντας του (Μονάδες 13) Px, να αποδείξετε ότι a 1 και 7. Β. Κατόπιν αφού αντικαταστήσετε τα a, που βρήκατε στο ερώτημα (Α), να λύσετε την ανίσωση Px 0 (Μονάδες 1) Μαθηματικός Περιηγητής 85

86 ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f x a ln e x Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f (Μονάδες 8), όπου a πραγματικός αριθμός. Β. Να βρείτε το a ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A ln 3, 1 (Μονάδες 9) Γ. Για a 1, να λύσετε την εξίσωση f x 0 (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4o 4 3 Δίνεται το πολυώνυμο 0, P x x x x, όπου Α. Αν το Px έχει ρίζα το 1, να βρείτε το. (Μονάδες 1) Β. Αν, να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 13) 1 P x x 3, για x 3 Μαθηματικός Περιηγητής 86

87 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Α. Να αποδείξετε ότι αν 0 με a 1, τότε για οποιοδήποτε 0 και ισχύει: (Μονάδες 10) log log Β. Έστω x μία μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο του x ; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 0 α. Για κάθε γωνία ισχύει ότι 90 β. Η συνάρτηση f x x είναι περιοδική με περίοδο π γ. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 1. x1 x δ. Αν 0 a 1 ισχύει πάντα η ισοδυναμία a a x x 1 x ε. Αν 0 τότε για κάθε x ισχύει η ισοδυναμία ln xe (Μονάδες x5= 10) ΘΕΜΑ ο Δίνεται το πολυώνυμο Α. Να αποδείξετε ότι a. (Μονάδες 6) 3 P x x ax 5x 3a Β. Να λύσετε τη εξίσωση Px 0 (Μονάδες 9) P x Γ. Να λυθεί η ανίσωση 6 (Μονάδες 10) x 1, το οποίο έχει ρίζα το 1. Μαθηματικός Περιηγητής 87

88 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η παράσταση: a (1) και η εξίσωση: 1 x a x () Α. Αν 3 με 5 Α1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνω και σφω (Μονάδες 6) Α. Να υπολογισετε την τιμή της παράστασης α. (Μονάδες 7) Β. Αν α= -4, να λύσετε την εξίσωση () (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις 1 f x ln x x και x x g x log9 3 Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 10) Β. Nα λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 7) Γ. Nα λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 8) f x ln x 3ln g x g 1 log Μαθηματικός Περιηγητής 88

89 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 Α. Να διατυπώσετε τον ορισμό του λογαρίθμου του 0 ως προς βάση το. (Μονάδες 7) Β. Να αποδείξετε ότι : Αν ένα πολυώνυμο (Μονάδες 10) P x έχει παράγοντα το x τότε το είναι ρίζα του Px. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει log a( 1 ) loga 1 loga ( 0 1 και 1, 0 ) β. Ισχύει (log ) log ( 0 1 και 0 ) a a γ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Pxμε το χ-ρ είναι δ. Η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. (Μονάδες x4= 8) P. ΘΕΜΑ ο Δίνεται το πολυώνυμο P x x x 3 ( ) 3 Α. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το x 1. (Mονάδες 7) Β. Να λύσετε την εξίσωση P( x) 0. (Mονάδες 9) Γ. Να λύσετε την ανίσωση P( x) 0. (Mονάδες 9) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το σύστημα: x 5y 5 x y 5 Μαθηματικός Περιηγητής 89

90 Α. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D, D (Mονάδες 6) Β. Να λύσετε το σύστημα. (Mονάδες 14) Γ. Αν o, o x y A x y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να αποδείξετε ότι το Α βρίσκεται στην ευθεία y (Mονάδες 5) x. ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις x x x f ( x) ln( e e 1) και g( x) ln( e 1) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. (Mονάδες 7) Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g. (Mονάδες 3) Γ. Να λύσετε την εξίσωση f ( x) ln g x (Mονάδες 7). Δ. Να λύσετε την ανίσωση f ( x) ln g x (Mονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 90

91 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Στον παρακάτω πίνακα η πρώτη γραμμή περιέχει κάποιες γνωστές συναρτήσεις και η δεύτερη γραμμή τις γραφικές τους παραστάσεις σχεδιασμένες με τη βοήθεια λογισμικού. Να αντιστοιχίσετε (στο τετράδιό σας) τις συναρτήσεις της 1 ης γραμμής με τις αντίστοιχες γραφικές τους παραστάσεις από τη η γραμμή. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. ημx Β. συνx Γ. εφx Δ. e x Ε. e -x II. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ I. III. IV. V. (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων έχει πάντα μοναδική λύση. β. Η συνάρτηση x είναι περιοδική συνάρτηση. γ. Οι λύσεις της εξίσωσης x, όπου R, είναι x, με Z. δ. Ρίζα ενός πολυωνύμου P( x ) ονομάζεται κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου του. Μαθηματικός Περιηγητής 91

92 c t ε. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής εκφράζεται από τη σχέση Q( t) Q0 e. (Μονάδες 5x=10) ΘΕΜΑ ο 7 Δίνεται ότι 51. Με τη βοήθεια αυτού να βρείτε στο σύνολο των πραγματικών 9 αριθμών όλες τις λύσεις της εξίσωσης 9 x 7. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 P( x) x 19x 30. A. Να υπολογίσετε την τιμή P (0). (Μονάδες 5) B. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρίζα του πολυωνύμου P( x ). (Μονάδες 5) Γ. Να λύσετε την εξίσωση P( x) 0. (Μονάδες 10) Δ. Τι πρόσημο έχει το πολυώνυμο P( x ) στο διάστημα ( 5, ) ; (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Η τροχιά ενός αστεροειδούς στο διάστημα (δείτε το επόμενο σχήμα) προσεγγίζεται από τη σχέση x xy y 5x 4y 3. Ένα ραδιοτηλεσκόπιο, αναζητώντας αστεροειδείς, εκπέμπει σήματα πάνω στην ευθεία y x, όπου είναι ένας πραγματικός αριθμός. Μαθηματικός Περιηγητής 9

93 Α. Αν η θέση του ραδιοτηλεσκοπίου είναι ( 1, 0), να αποδείξετε ότι 1. (Μονάδες 7) Β. Για 1, να βρείτε τις θέσεις ( x, y ) του αστεροειδούς στις οποίες θα γίνεται αντιληπτός από το ραδιοτηλεσκόπιο. (Μονάδες 18) Μαθηματικός Περιηγητής 93

94 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 Α. Aν 0 1 και 1, 0, να αποδείξετε ότι ισχύει: (Μονάδες 15) log log log a 1 a 1 a Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν σ' ένα γραμμικό σύστημα η ορίζουσα του συστήματος D ισούται με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. β. Για κάθε γωνία ισχύει 1. γ. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο. δ. Το πηλίκο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου πολυωνύμου για x. P x με το x είναι ίσο με την τιμή του ε. Αν 0 1, τότε για κάθε x ισχύει log (Μονάδες 5x=10) x a a x ΘΕΜΑ o Δίνεται το σύστημα: x 5 y x 1 y A. Να φέρετε το παραπάνω σύστημα στη μορφή: ax y x y (Μονάδες 13) Β. Να λύσετε το παραπάνω συστημα. (Μονάδες 1) Μαθηματικός Περιηγητής 94

95 ΘΕΜΑ 3o Δίνεται το πολυώνυμο P x x x x 3 5 A. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός x είναι ρίζα του πολυωνύμου Px. (Μονάδες 7) B. Να λύσετε την εξίσωση Px 0. (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 9) 3 x 5 x x 0 ΘΕΜΑ 4o A. Να δείξετε ότι: (Μονάδες 10) B. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 15) 3 log log x log x log Μαθηματικός Περιηγητής 95

96 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 ΘΕΜΑ 1 ο Α.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x 1,x Δ με x1 x ισχύει f (x 1) f (x ). β. Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον x x. γ. Αν 0 με 1, τότε ισχύει log 1. δ. Η εξίσωση συνx = α, με α > 1 έχει άπειρες λύσεις στο R. ε. Η συνάρτηση (Μονάδες x5 = 10) x f (x) με 0 και 1, έχει σύνολο τιμών το (0, ). Β. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x). (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = αημ(βx) με α, β 0, η οποία έχει ελάχιστο το - 4 και περίοδο Τ = π. A. Να αποδείξετε ότι a 4 και. (Μονάδες 10) B. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε το πολυώνυμο: f(x) Μαθηματικός Περιηγητής 96

97 4 3 P(x) ( 1)x ( 1)x x (4 1)x 6, με, R. Δίνεται επίσης ότι το πολυώνυμο P(x) είναι 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x 1 είναι - 4: A. Να υπολογίσετε τα a,. (Μονάδες 10) B. Για a 1 και 3, να λύσετε την ανίσωση P(x) 0. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις x x f (x) log(5 4 5 ) και x x1 g(x) Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g. (Μονάδες 8) B. Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 10) f (x) 10 g(x). Γ. Να αποδείξετε ότι f ( 1) f(0) log g(1) log13 3. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 97

98 ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Μαθηματικός Περιηγητής 98

99 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α)αν β α +γ, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο. β)το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου επί το ύψος του. γ) Αν ΑΒ,ΓΔ χορδές κύκλου που τέμνονται στο σημείο Ρ τότε ισχύει: ΡΑ ΡΒ=ΡΓ ΡΔ. δ)ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις γωνίες του ίσες. ε)σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας Rισχύει η σχέση: λ ν +4α ν =4R. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) Α.Να αποδείξετε ότι: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. (15 ΜΟΝΑΔΕΣ) ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α=16, β=13 και γ=11. Να υπολογίσετε: Β1. Το μήκος της διαμέσου μ α. (15 ΜΟΝΑΔΕΣ) Β.Την προβολή της διαμέσου μ α στην πλευρά ΒΓ. (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( =90 ) μεβ=1 και α=13.αν ΑΔ το ύψος του να υπολογίσετε: Μαθηματικός Περιηγητής 99

100 Γ1.Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (8 ΜΟΝΑΔΕΣ) Γ.Το ευθύγραμμο τμήμα ΔΒ Γ3.Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ (8 ΜΟΝΑΔΕΣ) (9 ΜΟΝΑΔΕΣ) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, πλευράς α=6. Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε να είναι ΑΔ=ΒΕ=ΓΖ= α, όπως στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε: Δ1.Το εμβαδόν των τριγώνων ΑΔΖ, ΒΔΕ και ΓΖΕ. Δ.Το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ. (15 ΜΟΝΑΔΕΣ) (10 ΜΟΝΑΔΕΣ) Μαθηματικός Περιηγητής 100

101 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι: Aν δυο χορδές ΑΒ,ΓΔ ενός κύκλου τέμνονται σε σημείο Ρ εσωτερικό του κύκλου, τότε ισχύει : (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με Ε = β) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει η σχέση β >γ +α, τότε η γωνία είναι οξεία. γ) Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ τότε ισχύει : ( ) ( ) δ) Το εμβαδόν Ε κάθε τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο : 1 ε) Η γωνία φ ν ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία ω ν είναι παραπληρωματικές. (Μονάδες 5x=10) Μαθηματικός Περιηγητής 101

102 ΘΕΜΑ ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α=7, β=6 και γ=3. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 1) β) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς γ πάνω στη πλευρά β. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 ο Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,R). H διάμεσος AM του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ν. α) Να αποδείξετε ότι : MB AM MN (Μονάδες 1) β) Να αποδειχτεί ότι : (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται κύκλος (Ο,R) και σημείο Ρ στο εξωτερικό του. Φέρνουμε την τέμνουσα ΡΑΒ, έτσι ώστε ΡΑ=ΑΒ και το εφαπτόμενο τμήμα ΡΚ=R. α) Να δείξετε ότι: AB 3 και να προσδιορίσετε την γωνία Α Β. (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 10

103 β) Να βρείτε την απόσταση ΟΡ συναρτήσει του R. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ και το λόγο των εμβαδών. (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 103

104 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Δηλαδή να αποδείξετε ότι: ΑΒ = ΒΓ ΒΔ ή ΑΓ = ΒΓ ΓΔ. (Μονάδες 10) Β. Στην στήλη Α βρίσκονται οι πλευρές ενός τριγώνου και στην στήλη Β αναγράφεται το είδος του τριγώνου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στ ηλης Α με ένα μόνο μστοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν αληθείς προτάσεις. (Μονάδες 9) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. α = 6, β= 3, γ = 4 1. Οξυγώνιο Β. α = 6, β = 8, γ = 1. Αμβλυγώνιο Γ. α = 5, β = 1, γ = Ορθογώνιο Δ. α = 4, β = 5, γ = 6 Ε. α = 4, β = 5, γ = 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου και η κεντρική του γωνία είναι παραπληρωματικές. β. Ο τύπος 4 α ν = 4 R λ ν συνδέει την πλευρά λ ν, το απόστημα α ν και την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου κανονικού ν γώνου. γ. Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες του τις γωνίες ίσες είναι κανονικό. (Μονάδες x3= 6) ΘΕΜΑ Ο Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με την γωνία Α ορθή. Αν ΑΓ = 0 και ΒΓ = 5, να υπολογίσετε: Α. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (Μονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 104

105 Β. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΓ και ΔΒ (Μονάδες 10) Γ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 3 ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 15, β = 14 και γ = 13. Να βρείτε : Α. Το μήκος της διαμέσου μ α. (Μονάδες 15) Β. Την προβολή της διαμέσου μ α στην πλευρά ΒΓ. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ότι γ = 4, β = 6 και η γωνία Α. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 8) Β. Το ύψος υ β του τριγώνου. (Μονάδες 7) Γ. Την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ρ (Μονάδες 5) Δ. Την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου R. (Μονάδες 5) ˆ Να υπολογίσετε: Μαθηματικός Περιηγητής 105

106 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, 90 και ΑΔ το ύψος προς την υποτείνουσα ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 10). Β. Να διατυπώσετε τον ορισμό του κανονικού πολυγώνου. (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α ενός τριγώνου. 1 β) Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση: ( ). γ) Το μήκος του ημικυκλίου ακτίνας R είναι R., τότε ισχύει: δ) Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. ε) Σε κάθε κανονικό πολύγωνο ισχύει 180. (Μονάδες x5=10) ΘΕΜΑ ο Δίνεται τρίγωνο με πλευρές a 14, 10, 6. Α. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 7) Β. Να υπολογίσετε τη διάμεσο a του τριγώνου. (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 106

107 Γ. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς β πάνω στην πλευρά γ. (Μονάδες 6) Δ. Να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R, και δύο διαδοχικές χορδές του ΑΒ και ΒΓ τέτοιες ώστε AB και B. Α. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου AB. (Μονάδες 8) Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( B ) του κυκλικού τομέα με κέντρο Ο και το αντίστοιχο τόξο (Μονάδες 8) Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν (ΟΑΒΓ) του τετραπλεύρου ΟΑΒΓ. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΒΓ και ημιευθεία Βx τέτοια, ώστε η γωνία x να είναι 30 ο. Έστω ότι η Βx τέμνει τον κύκλο στο σημείο Α. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο Γ, η οποία τέμνει τη Βx στο σημείο Ρ. (Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα). Α Ρ x Β 30 0 Ο Γ Μαθηματικός Περιηγητής 107

108 Α. Να αποδείξετε ότι: ΑΓ = R. (Μονάδες 8) Δ. Να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 8) ( ) 4 ( ). Δ3. Να αποδείξετε ότι: ΡΓ R 3 3 (Μονάδες 9) Μαθηματικός Περιηγητής 108

109 ΘΕΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε τετράγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R έχει πλευρά R 4 R και απόστημα a4. (Μονάδες 10) Β. Σε τρίγωνο ΑΒΓ να διατυπώσετε το 1 ο θεώρημα διαμέσων για τη διάμεσο μ β, να σχεδιάστε το σχετικό σχήμα και να γραψετε τον σχετικό τύπο. (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν ΑΒ, ΓΔ χορδές κύκλου που τέμνονται στο σημείο Ρ τότε ισχύει : ΡΑ. ΡΔ = ΡΒ. ΡΓ β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο Ε = α. β ημ Α γ. Η πλευρά λ 3 ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) δίνεται από τον τύπο λ 3 = R δ. Αν Δ Ρ (Ο,R) = 0 τότε το Ρ είναι σημείο του κύκλου (Ο,R). ε. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις γωνίες του ίσες. (Μονάδες x5=10) ΘΕΜΑ Ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές: a 5 x, 4 x, 3x Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου E ως συνάρτηση του x. (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 109

110 Γ. Αν E 4cm τότε : Γ1. Να βρείτε το x (Μονάδες 5) Γ. Να υπολογίσετε το ύψος προς τη υποτείνουσα. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, πλευράς α. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε, Ζ τέτοια ώστε ΑΒ=ΒΕ=ΓΖ= α. Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α : Α. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΖ. (Μονάδες 9) Β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ. (Μονάδες 9) Γ. Το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τρίγωνο ΑΒΓ. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 4 Ο Στον κύκλο (O,R) προεκτείνουμε την διάμετρο ΔΓ κατά τμήμα ΓΒ=R. Η ΒΑ είναι εφαπτομένη του κύκλου στο Α. Α. Να αποδείξετε ότι ΑΒ =R και (Μονάδες 8) Β. Να αποδείξετε ότι ΑΔ=R. (Μονάδες 7) ˆ Γ. Να υπολογίσετε το Εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που ορίζουν η χορδή ΑΔ και το τόξο ΑΕΔ. (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 110

111 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. (Μονάδες 13) Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που αφορά στα κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο ακτίνας R. Κανονικά πολύγωνα Ισόπλευρο τρίγωνο Κανονικό εξάγωνο Τετράγωνο Πλευρά Απόστημα (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών α = 8, β = 6, γ = 5. Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. (Μονάδες 6) Β. Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ στην ΑΓ. (Μονάδες 10) Γ. Να υπολογίσετε τη διάμεσο. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΒΓ = 7, ΑΓ = 6, ΑΒ = 5. Α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι 6 6 (Μονάδες 6) Β. Να βρείτε το ύψος. (Μονάδες 6) Γ. Να βρείτε τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου. Μαθηματικός Περιηγητής 111

112 (Μονάδες 7) Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων Δ. Αν προεκτείνουμε την πλευρά ΓΑ προς το μέρος του Α κατά ευθύγραμμο τμήμα 1, να βρείτε το λόγο των εμβαδών 3 (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε κύκλο (Κ,ρ) και δύο κάθετες ακτίνες ΚΑ, ΚΒ αυτού, όπως στο παραπάνω σχήμα. Επίσης θεωρούμε κύκλο (Α, ρ) ο οποίος τέμνει το τόξο ΑΒ στο σημείο Γ. Α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 6) Β. Να βρείτε τα μήκη των τόξων ΒΓ, ΚΓ. (Μονάδες 6) Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΚΓΜ. (Μονάδες 7) Δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΚΒΓ. (Μονάδες 6) Μαθηματικός Περιηγητής 11

113 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 1 A. Να δείξετε ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο E a, όπου a η μια πλευρά του τριγώνου και το αντίστοιχο ύψος του στην πλευρά a (Μονάδες 11) Β. Να γράψετε στη κόλλα των απαντήσεων τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε, αν και μόνο αν, Α. 1L Β. 1L Γ. 1L. Από τους παρακάτω τύπους εκείνος που εκφράζει το εμβαδό Ε του τριγώνου ΑΒΓ είναι ο 1 Α. 1 Β. 3. Η γωνία φ ν ενός κανονικού ν-γωνου δίνεται από τον τύπο: Α. 1 Γ Β. 180 Γ. 4. Η πλευρά λ 3 ισοπλεύρου τριγώνου, εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) είναι: Α. 3 R Β. 3 R Γ. 3 R 3 (Μονάδες x4=8) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. β. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση γ. Η διάμεσος κάθε τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. (Μονάδες x3= 6) 0 Μαθηματικός Περιηγητής 113

114 ΘΕΜΑ ο Στο επόμενο κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ δίνεται ότι: ΑΒ=9, ΒΓ=1, ΓΔ=13, ΔΑ=14 και η διαγώνιος ΑΓ=15. Α. Να εξετάσετε το είδος των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΓ ως προς τις γωνίες τους. (Μονάδες 10) Β. Να υπολογίσετε τη προβολή ΑΚ της πλευράς ΑΒ στην διαγώνιο ΑΓ. (Μονάδες 7) Γ. Να υπολογίσετε τη προβολή ΓΛ της πλευρά ΓΔ στην ΑΓ καθώς και το ΚΛ. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 ο Στο επόμενο σχήμα δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ=5, ΓΔ=13 και (ΑΒΓΔ)=54. Ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ έχει κέντρο το Μ και τέμνει τη ΓΔ στο Ε. Μαθηματικός Περιηγητής 114

115 Α. Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. (Μονάδες 10) Β. Να υπολογίσετε την ΔΜ. (Μονάδες 8) Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΔΜΒ. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 4 ο Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται το κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο, R) και ο κυκλικός τομέας με κέντρο το Α και αντίστοιχο τόξο ΒΖ. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R : Α. Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ και το εμβαδό του εξαγώνου. (Μονάδες 10) Β. Την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου μέρους του παραπάνω σχήματος (Μονάδες 8) Γ. Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου μέρους του παραπάνω σχήματος. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 115

116 ΘΕΜΑ 1 ο Θέματα προαγωγικών εξετάσεων Γενικών Λυκείων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους του που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο με το γινόμενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα. (Μονάδες 15) B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η σχέση β. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: γ. Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά.. δ. Το εμβαδόν E ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο, αν και μόνο ˆ 1L. ε. Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια. (Μονάδες 5x=10) 1 ΘΕΜΑ ο Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με 4 cm, 5cm και ˆ 60. Α. Να αποδείξετε ότι 1 cm. (Μονάδες 10) β. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου. (Μονάδες 9) γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 3 ο Οι πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκη 9 cm, =7cm και =1cm. Α. Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου. (Μονάδες 10) Μαθηματικός Περιηγητής 116

117 Β. Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πάνω στην. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 4 ο Σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε διαδοχικά τα τόξα Να υπολογίσετε ως συνάρτηση του R : Α. Τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. (Μονάδες 9) Β. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. (Μονάδες 10) Γ. Τα μήκη των τόξων AB, B και. (Μονάδες 6) AB 60 o, B 90 και 0 10 Μαθηματικός Περιηγητής 117

118 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Με δεδομένο ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς δίνεται από τον τύπο, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις και, δίνεται από τον τύπο. (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση. β. Η δύναμη ενός σημείου ως προς έναν κύκλο μεγαλώνει καθώς το σημείο πλησιάζει το κέντρο του κύκλου. γ. Δύο ισοδύναμα σχήματα είναι κατ ανάγκην ίσα μεταξύ τους. δ. Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων ισούται με το λόγο ομοιότητάς τους. ε. Σε ένα κανονικό πολύγωνο η κεντρική γωνία του και η γωνία του είναι παραπληρωματικές. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ ο Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 90) φέρνουμε το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Αν ισχύει 6 και 8, να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ και ΑΜ, καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΜ. Μαθηματικός Περιηγητής 118

119 (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 ο Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο Ζ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ και το σημείο Η είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν το Μ είναι ένα τυχαίο σημείο του τμήματος ΗΖ και το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι 0, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΒΓ. Δ H Γ M A Z B (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Σε ένα κυκλικό ρολόι τοίχου ο λεπτοδείκτης ακουμπάει στην περιφέρεια του ρολογιού, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Αν η διάμετρος του ρολογιού είναι 30 εκατοστά, να βρείτε πόσο εμβαδόν «σαρώνει» ο λεπτοδείκτης σε χρόνο 0 λεπτών. Μαθηματικός Περιηγητής 119

120 (Μονάδες 5) Μαθηματικός Περιηγητής 10