Μηχανική Μάθηση Εργασία 2

Σχετικά έγγραφα
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής. Παρασκευάς Τσανταρλιώτης Α.Μ. 318

Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. είναι η πραγματική απόκριση του j δεδομένου (εκπαίδευσης ή ελέγχου) και y ˆ j

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου , 2 ο Εξάμηνο

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου Ακ. Έτους , 2 ο Εξάμηνο

Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου Ακ. Έτους , 2 ο Εξάμηνο

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου Ακ. Έτους , 2 ο Εξάμηνο

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής, Ωρολόγιο Πρόγραμμα Εαρινού Εξαμήνου , 2 ο Εξάμηνο

ΔΕΟ 13 - Ποσοτικές Μέθοδοι: Επιχειρησιακά Μαθηματικά. Κεφάλαιο 1: Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Ενδεικτική πολυ-εργασία 1 - εφαρμογή στην υπολογιστική όραση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Περιγραφή της Μεθόδου ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ. Κατηγοριοποίηση. Αριστείδης Γ. Βραχάτης, Dipl-Ing, M.Sc, PhD

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΑΤΡΙΚΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Χατζηλιάδη Παναγιώτα Ευανθία

Αλεξάνδρειο ΣΕΙ Θεσσαλονίκης 1. Σμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων 2. Σμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Περιγραφή των Δεδομένων

Προγραµµατιστικές Τεχνικές

Φύλλο εργασίας 3 ο Δομή επιλογής Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης Η/Υ.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

max & min Μεθοδολογία - 1 Τα βήματα που συνήθως ακολουθούμε στις τεχνικές εύρεσης max & min είναι τα εξής:

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ. Μάθημα 2 ο : Βασικές έννοιες. Γεώργιος Πετάσης. Ακαδημαϊκό Έτος:

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ ΔΙΚΤΥA LVQ και SOM. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

max & min Μεθοδολογία Τα βήματα που ακολουθούμε σε όλες τις τεχνικές εύρεσης max & min είναι τα εξής 2:

DIP_05 Τμηματοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Data Mining - Classification

Η άσκηση μπορεί να γίνει με συνεργασία το πολύ δυο φοιτητών, οι οποίοι θα λάβουν τον ίδιο βαθμό στην εργασία.

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

ΔΙΚΤΥO RBF. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Δίκτυα Υπολογιστών Εργαστήρια

Περιεχόµενα του µαθήµατος 1. στον προγραµµατισµό 2. Λογικά διαγράµµατα 3. Τα βασικά της FORTRAN 4. Μεταβλητές & παράµετροι 5. οµές επανάληψης 6. οµές

Αναγνώριση Προτύπων Εργασία 1η Classification

Εργαστήριο 1. Βαθμός ΑΜ Εργ1.2 Σχόλια Εργ1.3 Σχόλια (20)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μηχανική Μάθηση

Αποτυπώσεις Μνημείων και Αρχαιολογικών Χώρων

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Συστήματα Αρχείων. Διδάσκoντες: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης Δρ. Α. Γαλάνη

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΕΓΓΡΑΦΗ ΣΤΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΗΛΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΑΣΚΗΣΗ 5 Ανάπτυξη Προγράμματος Συμπίεσης/Αποσυμπίεσης Αρχείων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Ακαδημαϊκό έτος Α εξάμηνο (χειμερινό)

Στατιστική και Θεωρητική Πληροφορική σε πολλές Διαστάσεις

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

MBR Ελάχιστο Περιβάλλον Ορθογώνιο (Minimum Bounding Rectangle) Το µικρότερο ορθογώνιο που περιβάλλει πλήρως το αντικείµενο 7 Παραδείγµατα MBR 8 6.

ΕΙΣΑΧΘΕΝΤΕΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΑΚ. ΕΤΟΥΣ

Λυμένες ασκήσεις με δομές επανάληψης και επιλογής. Εισαγωγή στην επιστήμη των Η/Υ της Β ΓενικούΛυκείου

1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec

Ανάλυση κατά Συστάδες. Cluster analysis

3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

5. Απλή Ταξινόμηση. ομές εδομένων. Χρήστος ουλκερίδης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Τεχνικός Εφαρμογών Πληροφορικής

Σημειώσεις του εργαστηριακού μαθήματος Πληροφορική ΙΙ. Εισαγωγή στην γλώσσα προγραμματισμού

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

DIP_05 Τµηµατοποίηση εικόνας. ΤΕΙ Κρήτης

Μέθοδοι Μηχανικής Μάθησης στην επεξεργασία Τηλεπισκοπικών Δεδομένων. Δρ. Ε. Χάρου

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΑΝΑ ΜΑΘΗΜΑ

Διαδικασιακός Προγραμματισμός

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

Μεθοδολογία Προγραμματισμού

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Κάτια Κερμανίδου

ΘΕΜΑ 1: Αλγόριθμος Ford-Fulkerson

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ασκήσεις Επανάληψης. Επανάληψη Εαρινό Εξάμηνο 2019 Σελίδα 1

Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΦΡΟΝΤΙΔΑΣ ΠΑΙΔΙΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΦΡΟΝΤΙΔΑΣ ΠΑΙΔΙΩΝ ΜΕ ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ

Ταξινόμηση. 1. Ταξινόμηση με Εισαγωγή 2. Ταξινόμηση με Επιλογή. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Ευφυής Προγραμματισμός

Ποσοτικές Μέθοδοι Ανάλυσης στις Κοινωνικές Επιστήμες

Απεικόνιση Υφής. Μέρος Α Υφή σε Πολύγωνα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ Η/Υ

Το επίπεδο των εισερχομένων φοιτητών στο Πανεπιστήμιο Κύπρου. Σταύρος Θεοδωράκης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Κύπρου

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Πίνακες. Ι.Ε.Κ ΓΛΥΦΑΔΑΣ Τεχνικός Τεχνολογίας Internet Αλγοριθμική Ι (Ε) Σχολ. Ετος A Εξάμηνο

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΟΡΑΣΗ. 2η ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Μαθήματα 1 ου εξαμήνου

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΗΤΡΩΑ Ε/16... και παλαιότερα ΟΠΩΣ ΙΣΧΥΟΥΝ ΓΙΑ ΤΟ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

Παραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

στκ στκ μπροστά 100 μπροστά 100 δεξιά 90 δεξιά 90 μπροστά 100 μπροστά 100 αριστερά 90 αριστερά 90 μπροστά 100 μπροστά 100 δεξιά 90 δεξιά 80

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εξόρυξη γνώμης πολιτών από ελεύθερο κείμενο

ΘΕΜΑ 1ο Α. Στον προγραµµατισµό χρησιµοποιούνται δοµές δεδοµένων. 1. Τι είναι δυναµική δοµή δεδοµένων;

Transcript:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ακαδ. Έτος 2014-15 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Εαρινό Εξάμηνο Παρασκευάς Τσανταρλιώτης Α.Μ. 318 Μηχανική Μάθηση Εργασία 2 Ο κώδικας για τις παρακάτω ασκήσεις είναι διαθέσιμος στο http://cs.uoi.gr/~ptsantar/courses/ml/project2/ Άσκηση 1 a. 2 rings dataset k-means: ο αλγόριθμος δεν δουλεύει καλά στο συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων καθώς προσπαθεί να ανιχνεύσει σφαιρικές ομάδες γύρω από κέντρα. Για το λόγο αυτό ο αλγόριθμος χωρίζει το σύνολο δεδομένων σε δύο ομάδες και ανάλογα τη μετρική απόστασης οι ομάδες μπορεί μπορεί να περιέχουν στοιχεία και από τους 2 δακτυλίους ή μόνο από τον εξωτερικό, όπως φαίνεται στην εικόνα 1. Εικόνα 1. Ο αλγόριθμος k-means για τους 2 δακτυλιόυς. Ε-Μ: επίσης και αυτός ο αλγόριθμος δεν δουλεύει καλά στο συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων. Αυτό οφείλεται στο ότι το σύνολο δεδομένων δεν δημιουργήθηκε από κανονικές κατανομές. Θα εντοπίσει δύο ομάδες, μία μικρή πάνω στον εξωτερικό δακτύλιο και άλλη μία με τα υπόλοιπα σημεία, όπως φαίνεται στην εικόνα 2.

Εικόνα 2. Ο αλγόριθμος EM για τους 2 δακτυλίους. Spectral clustering: ο αλγόριθμος αυτός δουλεύει πολύ καλά στο συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων για συγκεκριμένες τιμές του sigma. Όπως φαίνεται στην εικόνα 3, για sigma = {0.05, 0.1} χωρίζει το σύνολο δεδομένων στις σωστές ομάδες, ενώ για μεγαλύτερο sigma = {1, 2} τότε ο διαχωρισμός δεν γίνεται σωστά και μοιάζει περισσότερο με τα αποτελέσματα του k-means. Εικόνα 3. O aλγόριθμος spectral clustering για τους 2 δακτυλίους.

b. 10 gaussians dataset k-means: ο αλγόριθμος καταφέρνει να διαχωρίσει πολύ καλά τις ομάδες, τρέχοντας τον αλγόριθμο αρκετές φορές και δίνοντας ως είσοδο τα κέντρα της προηγούμενης εκτέλεσης. Στην εικόνα 4 βλέπουμε τα αποτελέσματα για τις μετρικές απόστασης sqeuclidean και cityblock. Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα μοιάζουν αρκετά μεταξύ τους και ο διαχωρισμός είναι αρκετά καλός. Εικόνα 4. Ο αλγόριθμος k-means για 10 gaussians. Ε-Μ: ο αλγόριθμος αυτός περιμένουμε να αποδώσει πολύ καλά, καθώς τα δεδομένα του συνόλου δεδομένων δημιουργήθηκαν με βάση 10 gaussian κατανομές. Όπως και πριν, επειδή η μία επανάληψη δεν είναι αρκετή. Επομένως, έχουμε διαδοχικές επαναλήψεις ώστε να πάρουμε το καλύτερο αποτέλεσμα. Ωστόσο, οι επαναλήψεις που χρειάζονται είναι αρκετά λιγότερες από αυτές που χρειάστηκε ο k-means. Τα αποτελέσματα φαίνονται στην εικόνα 5. Εικόνα 5. O αλγόριθμος Ε-Μ για 10 gaussians.

spectral clustering: ο αλγόριθμος αποδίδει καλά στο συγκεκριμένο σύνολο δεδομένων για συγκεκριμένες τιμές της παραμέτρου sigma. Όπως φαίνεται στην εικόνα 6, για μικρό sigma ο αλγόριθμος δεν αποδίδει καλά. Αντίθετα, για μεγαλύτερες τιμές ο αλγόριθμος αποδίδει καλύτερα (παρόμοια με τον k-means). Εικόνα 6. Ο αλγόριθμος spectral clustering για 10 gaussians. O αλγόριθμος spectral clustering δεν δίνει πάντα την ίδια λύση, και αυτό οφείλεται στην συμπεριφορά του rbf πυρήνα. Επίσης, παρατηρήσαμε ότι για μικρό sigma τα αποτελέσματα είναι σχεδόν όμοια και καθώς το sigma αυξάνεται παρατηρούμε αποκλίσεις. Αυτό οφείλεται στο ότι για μεγαλύτερο sigma ο αλγόριθμος προσπαθεί να βάλει περισσότερα σημεία σε κάθε ομάδα.

Άσκηση 2 o Κ-ΝΝ: O κατηγοριοποιητής K-Nearest Neighbors έδωσε πολύ καλά αποτελέσματα και για τους 2 τύπους αποστάσεων και για διάφορους αριθμούς γειτόνων. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα 1. #γειτόνων \ τύπος απόστασης Euclidean Hamming 1 97.9967% 85.8097% 3 97.8854% 87.4235% 7 97.6628% 87.9243% 11 97.8854% 87.98% 21 97.0506% 86.8114% Πίνακας 1. Αποτελέσματα Κ-ΝΝ κατηγοριοποιητή. o SVM: Από την άλλη, ο κατηγοριοποιητής SVM δεν έδωσε καλά αποτελέσματα σε όλες τις περιπτώσεις. Για γραμμικό πυρήνα έδωσε πολύ καλά αποτελέσματα, περίπου στο 96,5%. Στην περίπτωση του rbf πυρήνα, τα αποτελέσματα επιραεάζονται πολύ από το εύρος πυρήνα. Μεταβάλοντας την μεταβλητή αυτή οι επιδόσεις του κατηγοριοποιητή μεταβάλονται δραστικά. Εύρος πυρήνα: 0.00001 0.0001 0.001 0.005 0.1 0.5 1 Επιδόσεις 96.828 97.2176 98.3306 95.4368 10.9627 10.1836 10.1836 Πίνακας 2. Επιδόσεις του SVM κατηγοριοποιητή με rbf kernel για διάφορες τιμές εύρους πυρήνα. Όπως βλέπουμε και στον πίνακα 2, για μικρές τιμές εύρους ο κατηγοριοποιητής μας δίνει πολύ καλά αποτελέσματα, ενώ για μεγαλύτερες το ποσοστά πέφτουν πολύ χαμηλά. Αυτό συμβαίνει επειδή για μεγαλύτερο εύρος πυρήνα, ο κατηγοριοποιητής αναθέτει περισσότερα περισσότερες παρατηρήσεις σε μια κατηγορία (στην περίπτωση όπου εύρος ίσο με 1, όλες οι παρατηρήσεις σε μία κατηγορία).