Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί
|
|
- Κάλλιστος Δασκαλόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα των περιορισμών είναι το εξής: Η εξίσωση είναι μία ισότητα που περιέχει μία μεταβλητή, για παράδειγμα: 2x + 1 = 5 (1). Στην εξίσωση, έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε στη θέση του x οποιονδήποτε αριθμό. Αν στη θέση του x αντικαταστήσουμε το 5 τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: = = 5 11 = 5 (δεν ισχύει) Αν στη θέση του x αντικαταστήσουμε το 2 τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: = = 5 5 = 5 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 2 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης ενώ ο αριθμός 5 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο με εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο σε παρονομαστή ή κάτω από ρίζα, όπως οι εξισώσεις Έτσι, στην εξίσωση 6 x 2 6 x 2 = 1 και 2x + 1 = 5. = 1 μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x αριθμούς όπως το 5 ή το 8, όμως δεν έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε τον αριθμό 2. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 5, τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: = 1 6 = 1 2 = 1 (δεν ισχύει) 3 Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 5 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 8, τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: = = 1 1 = 1 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 8 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν όμως αντικαταστήσουμε στη θέση του x τον αριθμό 2, τότε δημιουργείται πρόβλημα γιατί στην ισότητα που προκύπτει υπάρχει μηδέν στον παρονομαστή οπότε το κλάσμα δεν έχει νόημα, συνεπώς και η εξίσωση δεν έχει νόημα: = 1 6 = 1 (δεν έχει νόημα) 0 γιατί στους πραγματικούς αριθμούς η διαίρεση 6:0 δεν είναι δυνατόν να βγάλει αποτέλεσμα έναν πραγματικό αριθμό α, αφού τότε θα έπρεπε να ισχύει α 0 = 6, πράγμα που είναι αδύνατον μιας και δεν υπάρχει κανένας αριθμός που να πολλαπλασιαστεί με το μηδέν και να δώσει αποτέλεσμα οτιδήποτε άλλο εκτός από μηδέν. Παρομοίως, στην εξίσωση 2x + 1 = 5 μπορούμε να αντικαταστήσουμε στη θέση του x αριθμούς όπως το 10 ή το 12, όμως δεν έχουμε το δικαίωμα να αντικαταστήσουμε
2 αριθμούς όπως το 2 ή το 3. Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 10 τότε θα προκύψει μία ισότητα που δεν ισχύει: = = 5 21 = 5 (δεν ισχύει) Αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 12 τότε θα προκύψει μία ισότητα που ισχύει: = = 5 25 = 5 5 = 5 (ισχύει) Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός 12 είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης ενώ ο αριθμός 10 δεν είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης. Αν όμως αντικαταστήσουμε στη θέση του x το 2 τότε δημιουργείται πρόβλημα γιατί στην ισότητα που προκύπτει υπάρχει μία παράσταση (η 3) που δεν έχει νόημα: 2 ( 2) + 1 = = 5 3 = 5 (δεν έχει νόημα) γιατί στους πραγματικούς αριθμούς δεν είναι δυνατόν να υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού εφόσον δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να υψωθεί στο τετράγωνο και να μας δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι υπάρχουν εξισώσεις στις οποίες έχουμε δικαίωμα να βάλουμε στη θέση του x οποιονδήποτε αριθμό (ασχέτως αν επαληθεύει ή όχι την εξίσωση) αλλά υπάρχουν και εξισώσεις στις οποίες δεν έχουμε δικαίωμα να βάλουμε στη θέση του x όλους τους αριθμούς γιατί υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους δεν έχει νόημα η εξίσωση. Οι περιπτώσεις αυτές είναι οι κλασματικές εξισώσεις (όπου δεν είναι δυνατόν ο παρονομαστής να είναι μηδέν) και οι άρρητες εξισώσεις (όπου δεν είναι δυνατόν η υπόριζη ποσότητα να είναι αρνητική). Σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει, πριν ξεκινήσουμε να λύνουμε την εξίσωση, να βάλουμε κατάλληλους περιορισμούς ώστε να εντοπίσουμε τους αριθμούς που επιτρέπεται να βάλουμε στη θέση του x, δηλαδή τους αριθμούς για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση. Έτσι, αν η εξίσωση έχει παρονομαστή, πρέπει να βάλουμε περιορισμό ο παρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός. Αν η εξίσωση έχει ρίζα, πρέπει να βάλουμε περιορισμό η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Λύνοντας τους περιορισμούς βρίσκουμε τους αριθμούς για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση. Το σύνολο αυτών των αριθμών για τους οποίους έχει νόημα η εξίσωση και τους οποίους επιτρέπεται να αντικαταστήσουμε στη θέση του x, λέγεται σύνολο αναφοράς της εξίσωσης. Είναι φανερό ότι, αν μία εξίσωση έχει πολλούς παρονομαστές ή πολλές ρίζες ή και τα δύο, τότε πρέπει να βάλουμε πολλούς περιορισμούς (έναν περιορισμό για κάθε παρονομαστή και έναν περιορισμό για κάθε ρίζα) και στο τέλος να βρούμε την τομή τους (δηλαδή τις κοινές τους λύσεις) αφού θέλουμε να ικανοποιούνται ταυτόχρονα όλοι οι περιορισμοί προκειμένου να έχει νόημα η εξίσωση. Έτσι, στην εξίσωση 2x + 1 = 5 πρέπει να βάλουμε περιορισμό: 2x x 1 2 οπότε, οι τιμές για τις οποίες έχει νόημα η εξίσωση, είναι όλοι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το 1 ή το 1. Άρα το σύνολο αναφοράς της εξίσωσης είναι το 2 2, + ) και στο x επιτρέπεται να βάλουμε μόνον αυτές τις τιμές. Αν λύσουμε την [ 1 2 εξίσωση και βρούμε κάποια λύση (ρίζα) που δεν περιέχεται σε αυτό το διάστημα, είμαστε υποχρεωμένοι να μην τη δεχτούμε ως λύση της εξίσωσης αφού για αυτό τον
3 αριθμό η εξίσωση δεν έχει νόημα. Αφού, λοιπόν, λύσουμε την εξίσωση, πρέπει να εντοπίσουμε ποιες λύσεις (ρίζες) περιέχονται στο σύνολο αναφοράς και ποιες όχι. Αυτές που περιέχονται θα τις χαρακτηρίσουμε «δεκτές» και για αυτές που δεν περιέχονται θα πρέπει να αναφέρουμε ότι «απορρίπτονται». Οι μεθοδολογίες για την επίλυση εξισώσεων που προτείνονται παρακάτω δεν είναι απαράβατοι κανόνες. Μία εξίσωση θα μπορούσε να λυθεί και με άλλους τρόπους, όπως επίσης, υπάρχουν εξισώσεις για τις οποίες, οι μεθοδολογίες αυτές δεν είναι επαρκείς. Ωστόσο, είναι επαρκείς για έναν μεγάλο αριθμό ασκήσεων που άπτονται της σχολικής ύλης και σκοπός τους είναι η απόκτηση αυτοματισμού ως υποδομή για την αντιμετώπιση επόμενων, πιο σύνθετων προβλημάτων που τις προαπαιτούν.
4 Επίλυση ΡΗΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (με παρονομαστές) Για να λύσουμε μία ρητή (κλασματική) εξίσωση, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Απαλοιφή παρονομαστών Για να διώξουμε τους παρονομαστές πρέπει να κάνουμε τα παρακάτω τρία βήματα: α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (για τους τρόπους που έχουμε στη διάθεσή μας για να κάνουμε παραγοντοποίηση, δες το αρχείο για την παραγοντοποίηση). β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς: κάθε παράγοντας του ΕΚΠ πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. γ) Πολλαπλασιάζουμε με το ΕΚΠ όλους τους όρους της εξίσωσης και απλοποιούμε. Μετά την απλοποίηση δεν θα υπάρχουν πια παρονομαστές. 2. Απαλοιφή παρενθέσεων Όταν έχουν απλοποιηθεί οι παρονομαστές, πρέπει να καθαρογράψουμε την εξίσωση προσέχοντας να βάλουμε τους αριθμητές μέσα σε παρένθεση. Στη συνέχεια βγάζουμε τις παρενθέσεις με τους κανόνες της απαλοιφής παρενθέσεων (δες το αντίστοιχο αρχείο για την απαλοιφή παρενθέσεων). 3. Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους Αν η εξίσωση είναι πρώτου βαθμού, σε αυτό το βήμα χωρίζω τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους. 3. Φέρνω όλους τους όρους στο 1 ο μέλος Αν η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού και πάνω, φέρνω όλους τους όρους στο 1ο μέλος ώστε στο 2ο μέλος μένει το Αναγωγή όμοιων όρων Στη συνέχεια κάνουμε τις πράξεις προσθέτοντας τους όμοιους όρους (τα όμοια μονώνυμα, δηλαδή τους αριθμούς με τους αριθμούς, τα x με τα x, τα x 2 με τα x 2, τα x 3 με τα x 3 και ούτω καθεξής). 5. Βρίσκω τη λύση Αν είναι 1ου βαθμού λύνω ως προς x διαιρώντας και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου. Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν τότε: αν βγει 0x = 0 είναι ταυτότητα, αν βγει 0x = α είναι αδύνατη. 5. Βρίσκω τη λύση Αν η εξίσωση είναι 2ου βαθμού λύνω με διακρίνουσα: Δ = β 2 4αγ β ± Δ x = 2α Αν Δ>0 έχει 2 λύσεις άνισες. Αν Δ=0 έχει 1 διπλή λύση. Αν Δ<0 είναι αδύνατη. 5. Βρίσκω τη λύση Αν η εξίσωση είναι 3ου βαθμού, παραγοντοποιώ με σχήμα Horner ή με άλλον τρόπο (κοινός παράγοντας, ομαδοποίηση, ταυτότητες).
5 6. Δεκτές απορρίπτονται Τέλος, εξετάζω αν οι ρίζες (οι οποίες σε μία κλασματική εξίσωση είναι συγκεκριμένοι αριθμοί) είναι δεκτές ή απορρίπτονται με βάση τους περιορισμούς (οι οποίοι σε μία κλασματική εξίσωση είναι επίσης αριθμοί). Παράδειγμα Λύνουμε την παρακάτω εξίσωση ακολουθώντας τα βήματα της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε: 1) Απαλοιφή παρονομαστών 1 3x 2 x x2 + 3x + 2 = 2 x x + x 2 α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές: 1 3x 2 x x2 + 3x = x x(1 + x) β) Βρίσκουμε το ΕΚΠ και βάζουμε περιορισμούς: ΕΚΠ = x(x + 1) Περιορισμοί: α) x 0 και β) x x 1 γ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ και απλοποιούμε x(x + 1) 1 3x2 x x(x + 1) x2 + 3x + 2 x (τα πράσινα απλοποιούνται) 2) Απαλοιφή παρενθέσεων: 2 = x(x + 1) x(1 + x) x(1 3x 2 ) + (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 2 (προσέξτε ότι, αφού απλοποιηθούν οι παρονομαστές, οι αριθμητές του πρώτου και του δεύτερου κλάσματος πρέπει να μπουν μέσα σε παρένθεση) x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x + 2 = 2 3) Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος: x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x = 0 4) Πράξεις (αναγωγή όμοιων όρων) 5) Λύσεις 2x 3 + 4x 2 + 6x = 0 (Η εξίσωση είναι 3 ου βαθμού, αλλά δεν έχει σταθερό όρο (για να δοκιμάσουμε με σχήμα Horner), οπότε βγάζουμε το x κοινό παράγοντα)
6 x( 2x 2 + 4x + 6) = 0 x = 0 ή 2x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 2x + 3 = 0 Δ = ( 1) 3=16 x = 2 ± 16 2( 1) x = 1 ή x = 3 6) Δεκτές απορρίπτονται Επειδή στο βήμα 1β βάλαμε τους περιορισμούς α) x 0 και β) x 1, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τρεις λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή αν απορρίπτονται: Η λύση x = 0 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού (α). Η λύση x = 1 απορρίπτεται λόγω του περιορισμού (β). Η λύση x = 3 είναι δεκτή εφόσον δεν προσκρούει σε κάποιον περιορισμό.
7 Επίλυση ΡΗΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ (με παρονομαστές) Όταν έχουμε να λύσουμε μία ρητή (κλασματική) ανίσωση, συνήθως δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Για να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ (Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο). Στις περισσότερες περιπτώσεις δεν γνωρίζουμε αν το ΕΚΠ είναι θετικό ή αρνητικό. Όμως, για να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ, πρέπει να γνωρίζουμε αν το ΕΚΠ είναι θετικό ή αρνητικό, γιατί αν είναι θετικό θα πρέπει η φορά της ανισότητας να παραμείνει ενώ αν είναι αρνητικό θα πρέπει να αλλάξει. Εάν, λοιπόν, δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του ΕΚΠ τότε δεν μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης με το ΕΚΠ και συνεπώς δεν μπορούμε να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. Αντί για αυτό, μπορούμε να κάνουμε το εξής: 1. Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος 2. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές (για τους τρόπους που έχουμε στη διάθεσή μας για να κάνουμε παραγοντοποίηση, δες το αρχείο για την παραγοντοποίηση). β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς: κάθε παράγοντας του ΕΚΠ πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός. γ) Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και τα κάνουμε ένα κλάσμα. 3. Πίνακας προσήμου Στη συνέχεια πρέπει να κάνουμε πίνακα προσήμου για να βρούμε τη λύση της ανίσωσης. Ο παρονομαστής είναι ήδη παραγοντοποιημένος. Πρέπει να τακτοποιήσουμε τον αριθμητή. Αν ο αριθμητής είναι 1 ου ή 2 ου βαθμού, κάνουμε απλώς τις πράξεις (αναγωγή όμοιων όρων). Αν ο αριθμητής είναι 3 ου βαθμού και πάνω, πρέπει ή να τον παραγοντοποιήσουμε κατευθείαν ή να κάνουμε πρώτα τις πράξεις και μετά να τον παραγοντοποιήσουμε, ανάλογα τι είναι πιο βολικό. Αφού κάνουμε τον πίνακα προσήμου, στον οποίο φροντίζουμε να έχουμε περάσει τους περιορισμούς, επιλέγουμε τα διαστήματα στα οποία το κλάσμα είναι θετικό ή τα διαστήματα στα οποία το κλάσμα είναι αρνητικό, ανάλογα με τη φορά της ανισότητας. Παράδειγμα Λύνουμε την παρακάτω ανίσωση ακολουθώντας τα βήματα της μεθοδολογίας που παρουσιάστηκε: 1 3x 2 x x2 + 3x x x + x 2 1. Φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος 1 3x 2 x x2 + 3x + 2 x 2. Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα 2 x + x 2 0
8 α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές 1 3x 2 x x2 + 3x x x(1 + x) 0 β) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών και βάζουμε περιορισμούς ΕΚΠ = x(x + 1) Περιορισμοί: α) x 0 και β) x x 1 γ) Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και τα κάνουμε ένα κλάσμα. 3. Πίνακας προσήμου x(1 3x 2 ) x(x + 1) + (x + 1)(x2 + 3x + 2) 2 x(x + 1) x(1 + x) 0 x(1 3x 2 ) + (x + 1)(x 2 + 3x + 2) 2 x(x + 1) x 3x 3 + x 3 + 3x 2 + 2x + x 2 + 3x x(x + 1) 2x 3 + 4x 2 + 6x x(x + 1) 2x( x 2 + 2x + 3) x(x + 1) 2( x 2 + 2x + 3) (x + 1) Μετά την απλοποίηση το κλάσμα έχει δύο παράγοντες που θα βάλουμε στον πίνακα προσήμου, το x 2 + 2x + 3 στον αριθμητή και το x + 1 στον παρονομαστή (το 2 είναι θετικός αριθμός και δεν επηρεάζει το πρόσημο, οπότε δεν χρειάζεται να το συμπεριλάβουμε στον πίνακα προσήμου. Θα πρέπει να βρούμε και τις ρίζες του κάθε παράγοντα για να τις βάλουμε στον πίνακα προσήμου: x 2 + 2x + 3 = 0 Δ = ( 1) 3=16 2 ± 16 x = 2( 1) x = 1 ή x = 3 x + 1 = 0 x = 1 Επίσης, δεν πρέπει να ξεχάσουμε να συμπεριλάβουμε στον πίνακα προσήμου και τους περιορισμούς x 0 και x 1. Στους περιορισμούς βάζουμε διπλή γραμμή στον πίνακα προσήμου. x x 2 + 2x x P(x) + + +
9 Επειδή η ανίσωση ζητά το κλάσμα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, θα διαλέξουμε τα διαστήματα στα οποία το P(x) είναι θετικό. Επίσης επειδή έχουμε μεγαλύτερο ή ίσο ( ), τα διαστήματα θα είναι κλειστά, εκτός από τα άκρα 1 και 0, στα οποία τα διαστήματα πρέπει να είναι ανοικτά λόγω των περιορισμών. Συνοψίζοντας, η λύση της ανίσωσης είναι: x (, 1) ( 1,0) (0,3]
10 Επίλυση ΑΡΡΗΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ (με ρίζες) Για να λύσουμε μία εξίσωση με ρίζες κάνουμε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιορισμοί Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην εξίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η εξίσωση. 2. Απομονώνουμε μία ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της εξίσωσης. Αν η εξίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο Για να λυθεί η εξίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο. Για να υψώσουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, ώστε να ισχύει το αντίστροφο. Στο ένα μέλος της εξίσωσης έχουμε ήδη απομονώσει μία ρίζα, που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι και αυτή μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, τότε μπορούμε να υψώσουμε τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι αρνητική, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού μία παράσταση που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός δεν μπορεί να είναι ίση με μία παράσταση μικρότερη του μηδενός. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 έως 3, όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες. Στη συνέχεια λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει αφού έχουν εξαφανιστεί όλες οι ρίζες. 4. Δεκτές-απορρίπτονται Εξετάζουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή απορρίπτονται με βάση τους περιορισμούς. Παράδειγμα: 1. Περιορισμοί 2. Απομονώνουμε τη ρίζα 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο 2 x = x Περιορισμός: x x 5 (α) 2 x + 5 = x + 2 Το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορεί να είναι και μικρότερο του μηδενός. Θα πρέπει κανονικά να εξετάσουμε κάθε περίπτωση χωριστά:
11 1 η περίπτωση Αν x x 2 (β) τότε και τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, οπότε, αν υψώσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης στο τετράγωνο θα ισχύει το αντίστροφο. 2 x + 5 = x + 2 (2 x + 5) 2 = (x + 2) 2 4(x + 5) = x 2 + 4x + 4 Αν υπάρχουν ακόμη ρίζες στην εξίσωση, επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. 4x + 20 = x 2 + 4x = x 2 + 4x + 4 4x 20 0 = x 2 16 x = 4 ή x = 4 2 η περίπτωση Αν x + 2 < 0 x < 2 τότε το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι αρνητικός αριθμός ενώ το πρώτο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει για καμία τιμή του x οπότε η εξίσωση 2 x + 5 = x + 2 είναι αδύνατη. Η 2 η περίπτωση, λοιπόν, θα είναι πάντα αδύνατη, οπότε δεν χρειάζεται να την εξετάζουμε στις εξισώσεις με ρίζες. 4. Δεκτές - απορρίπτονται Πρέπει να δούμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές ή αν απορρίπτονται σύμφωνα με τους περιορισμούς. Έχουμε βάλει έναν περιορισμό (α) για όλη την εξίσωση: x 5 και έναν περιορισμό (β) για τη συγκεκριμένη 1 η περίπτωση: x 2 Οι περιορισμοί αυτοί συναληθεύουν για x 2 οπότε: Η λύση x = 4 είναι δεκτή Η λύση x = 4 απορρίπτεται
12 Επίλυση ΑΡΡΗΤΗΣ ΑΝΙΣΩΣΗΣ (με ρίζες) Για να λύσουμε μία ανίσωση με ρίζες κάνουμε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιορισμοί Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην ανίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η ανίσωση. 2. Απομονώνουμε μία ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της ανίσωσης. Αν η ανίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο Για να λυθεί η ανίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο. Για να υψώσουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο πρέπει και τα δύο μέλη να είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, ώστε να ισχύει το αντίστροφο. Στο ένα μέλος της ανίσωσης έχουμε ήδη απομονώσει μία ρίζα, που είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι και αυτή μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, τότε μπορούμε να υψώσουμε τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο. Αν η παράσταση που υπάρχει στο δεύτερο μέλος είναι αρνητική, τότε η ανίσωση είναι αδύνατη ή ισχύει για κάθε x που ικανοποιεί τους περιορισμούς που βάλαμε προηγουμένως. Τι από τα δύο είναι εξαρτάται από τη φορά της ανισότητας. Είμαστε υποχρεωμένοι να εξετάσουμε ξεχωριστά και τις δύο περιπτώσεις και να βρούμε τις λύσεις κάθε περίπτωσης. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1 έως 3, όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες. Στη συνέχεια λύνουμε την πολυωνυμική ανίσωση που προκύπτει αφού έχουν εξαφανιστεί όλες οι ρίζες. 4. Συναλήθευση Για κάθε μία από τις περιπτώσεις που έχουμε χωρίσει παραπάνω και έχουμε βρει τη λύση της, πρέπει να βρούμε που συναληθεύει η λύση που βρήκαμε με τους γενικούς περιορισμούς της ανίσωσης και με τους περιορισμούς της συγκεκριμένης περίπτωσης. Οι λύσεις όλων των περιπτώσεων είναι λύσεις της αρχικής ανίσωσης, οπότε για να βρούμε την τελική λύση της ανίσωσης κάνουμε ένωση των λύσεων που βρήκαμε σε όλες τις περιπτώσεις. Παράδειγμα: 1. Περιορισμοί 2 x > x Βάζουμε περιορισμούς για τις ρίζες. Για κάθε ρίζα που υπάρχει στην ανίσωση πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός, για να έχει νόημα η ανίσωση. Περιορισμός: x x 5 (α)
13 2. Απομονώνουμε τη ρίζα Απομονώνουμε τη ρίζα στο ένα μέλος της ανίσωσης. Αν η ανίσωση έχει πολλές ρίζες, απομονώνουμε μια από αυτές στο ένα μέλος. 3. Υψώνουμε στο τετράγωνο 2 x + 5 > x + 2 Για να λυθεί η ανίσωση πρέπει να φύγει η ρίζα. Για να φύγει η ρίζα πρέπει να υψώσουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Δεν μπορούμε όμως να υψώσουμε τα δύο μέλη μιας ανίσωσης στο τετράγωνο. Επειδή το πρώτο μέλος της ανίσωσης είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο μόνον αν και το δεύτερο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός και τότε θα ισχύει και το αντίστροφο. Το x + 2 στο δεύτερο μέλος της ανίσωσης μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, μπορεί να είναι και μικρότερο του μηδενός. Εξετάζουμε ξεχωριστά κάθε περίπτωση: 1 η περίπτωση Αν x x 2 (β) τότε και τα δύο μέλη της ανίσωσης είναι μεγαλύτερα ή ίσα του μηδενός, οπότε, μπορούμε να υψώσουμε και τα δύο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο και θα ισχύει και το αντίστροφο: 2 x + 5 > x + 2 (2 x + 5) 2 > (x + 2) 2 4(x + 5) > x 2 + 4x + 4 Αν υπάρχουν ακόμη ρίζες στην ανίσωση, επαναλαμβάνουμε τα βήματα 2 και 3 όσες φορές χρειαστεί μέχρι να εξαφανιστούν όλες οι ρίζες και στη συνέχεια λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει. 4x + 20 > x 2 + 4x > x 2 + 4x + 4 4x 20 0 > x 2 16 x 2 16 < 0 Προσοχή, αν η ανίσωση είναι δευτέρου βαθμού και πάνω, ο ασφαλέστερος και συχνά μοναδικός τρόπος για να λυθεί είναι ο πίνακας προσήμου: x x x ( 4, 4) 2 η περίπτωση Αν x + 2 < 0 x < 2 (γ) τότε το x + 2 στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης είναι αρνητικός αριθμός. Δεδομένου ότι το πρώτο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, η ανίσωση 2 x + 5 > x + 2 επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x, με την προϋπόθεση, όμως, ότι καλύπτονται οι περιορισμοί που βάλαμε: (α) x 5, για όλη την ανίσωση και (γ) x < 2, για τη συγκεκριμένη 2 η περίπτωση. 4. Συναλήθευση λύσης & περιορισμών Στον άξονα βρίσκουμε ότι οι δύο περιορισμοί συναληθεύουν στο διάστημα [ 5, 2), οπότε, η λύση της ανίσωσης 2 x + 5 > x + 2 για τη 2 η περίπτωση, είναι το διάστημα στο οποίο συναληθεύουν οι δύο περιορισμοί, αφού η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε x (ταυτοανισότητα): x [ 5, 2)
14 4. Συναλήθευση λύσης & περιορισμών Επειδή η λύση της ανίσωσης είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, δεν είναι δυνατόν να αποφανθούμε αν είναι δεκτή η απορρίπτεται, όπως κάνουμε με τις λύσεις της εξίσωσης. Εδώ πρέπει να βρούμε που συναληθεύουν η λύση και οι περιορισμοί. Έχουμε βάλει έναν περιορισμό (α) για όλη την ανίσωση: x 5 και έναν περιορισμό (β) για τη συγκεκριμένη 1 η περίπτωση: x 2 Στον άξονα βρίσκουμε ότι η λύση και οι περιορισμοί συναληθεύουν στο διάστημα [2, 4), οπότε η λύση της ανίσωσης 2 x + 5 > x + 2 για την 1 η περίπτωση είναι: x [2, 4) Όταν μία ανίσωση χωρίζεται σε περιπτώσεις, η τελική λύση της ανίσωσης είναι η ένωση των λύσεων της κάθε περίπτωσης, αφού και η λύση της 1 ης περίπτωσης είναι λύση της ανίσωσης αλλά και η λύση της 2 ης περίπτωσης είναι επίσης λύση της ανίσωσης. Συνοψίζοντας, λοιπόν, τις δύο περιπτώσεις, η τελική λύση της ανίσωσης είναι: x [2, 4) [ 5, 2) = [ 5, 4)
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Η Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a
Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις
1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y
9.""Πώς"θα"λύσω"μια"κλασματική"ανίσωση;
3ο βήμα. (Δίνω την λύση της ανίσωσης από την τελευταία γραμμή της αριστερής στήλης του πίνακα (στήλη «Γινόμενο»)). Από τον πίνακα προκύπτει ότι x (,1) (2,3). 9.""Πώς"θα"λύσω"μια"κλασματική"ανίσωση; Πρώτο
Εξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος
1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση
3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;
3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)
2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος
Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις 1/2/2015 Απαντήσεις
ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις //05 Απαντήσεις.Α) Σχολικό βιβλίο : σελίδα 90.Β) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ.Γ) α) ii β) iii γ) ii δ) v ΘΕΜΑ ο.α) α) β) 3 3 3 : : : 8 4 4
Α) Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x 1
αν είναι θ < 0, τότε έχουμε πάλι ότι x!. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση x 3 4 έχουμε x 3 4 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1 x (, 1] [7,+ ). Παράδειγμα. Για την ανίσωση x +1 3 έχουμε x +1 3 η x +1 3 x η x 1 η x (,
Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()
3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις
24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ
5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό
Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε
Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι
αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x
O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής
Παράδειγμα 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Μιγαδικοί αριθμοί Σελ 10 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 104 Ασκήσεις με παραστάσεις της μορφής συγκεκριμένοι μιγαδικοί z 1 z με z 1,z i Εξετάζουμε μήπως οι μιγαδικοί συνδέονται με σχέση της μορφής z i 1 z ii Αντικάθιστούμε
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr
1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου 2016 ΒΑΘΜΟΥ w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους είναι
2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:
Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης 1 Τι πρέπει να γνωρίζω για τα πεδία ορισμού; Χωρίς πολλές φιλοσοφίες: όταν μιλάμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης,
ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ
ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ o A. Ρητή της μορφής (0/0), με παραγοντοποίηση εμφανίζουμε το (χ-χ ο ) σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και στη συνέχεια κάνουμε αντικατάσταση σε ό,τι έμεινε!
Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.
όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν
Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,
Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο