Θεωρητικός Υπολογισμός της συμμετέχουσας Μάζας Σιδηροδρομικής Γραμμής στην κίνηση των Μη Ανηρτημένων Μαζών και σύγκριση με μετρήσεις

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 45 Θεωρητικός Υπολογισμός της συμμετέχουσας Μάζας Σιδηροδρομικής Γραμμής στην κίνηση των Μη Ανηρτημένων Μαζών και σύγκριση με μετρήσεις ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ Πολιτικός Μηχανικός διπλ. ΕΜΠ, Δρ ΑΠΘ διπλ. Στατιστικής Σχολής ΑΒΣΠ Περίληψη Στο άρθρο αυτό γίνεται θεωρητικός υπολογισμός της μάζας γραμμής, η οποία συμμετέχει στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών των σιδηροδρομικών οχημάτων, δηλαδή των μαζών που ευρίσκονται «κάτω» από την πρωτεύουσα ανάρτηση. Η σιδηροδρομική γραμμή προσομοιώνεται με «παλλόμενη χορδή» και επιλύεται θεωρητικά. Βάσει του προτύπου αυτού, της «παλλόμενης χορδής», υπολογίζεται το μήκος της γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση και στη συνέχεια συγκρίνεται το αποτέλεσμα του θεωρητικού υπολογισμού με τα αποτελέσματα μετρήσεων που έγιναν κατά τη διάρκεια ερευνών σε άλλα σιδηροδρομικά δίκτυα. Με το θεωρητικό αυτόν υπολογισμό της μάζας της σιδηροδρομικής γραμμής καθορίζεται ένα στοιχείο σημαντικό, το οποίο υπεισέρχεται στην επίλυση του προβλήματος του προσδιορισμού των δράσεων, οι οποίες επενεργούν στην επιδομή, στη θέση ενός στρωτήρα, κατά τη διέλευση ενός άξονα σιδηροδρομικού οχήματος. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η κίνηση των σιδηροδρομικών οχημάτων επί της γραμμής είναι ένα τυχαίο δυναμικό φαινόμενο. Όταν εξετάζουμε αυτά τα τυχαία δυναμικά φαινόμενα, βλέπουμε ότι η γραμμή λειτουργεί με ποιοτικά ανάλογο τρόπο προς την ανάρτηση του οχήματος που τρέχει πάνω της. Διακρίνεται με ευχέρεια το γεγονός ότι η δυναμική φόρτιση της γραμμής εξαρτάται αφ ενός από τα μηχανικά χαρακτηριστικά (ακαμψίες, αποσβέσεις) του συστήματος «όχημα-γραμμή», αφ ετέρου από τη διέγερση που προκαλεί η κίνηση του οχήματος επί της γραμμής. Η απόκριση της γραμμής στην παραπάνω διέγερση έχει ως αποτέλεσμα την προσαύξηση των φορτίων που εξασκούνται στην επιδομή (για περισσότερες λεπτομέρειες [15]). Η δυναμική αυτή φόρτιση (προσαύξηση των φορτίων) οφείλεται στην κίνηση και την επίδραση των μη ανηρτημένων μαζών των οχημάτων, οι οποίες διεγείρονται από τα σφάλματα της γεωμετρίας της γραμμής και σε μικρότερο βαθμό στην επίδραση των ανηρτημένων μαζών. Τα σύγχρονα σιδηροδρομικά οχήματα διαθέτουν πρωτεύουσα και δευτερεύουσα ανάρτηση (σχήμα 1). Μη ανηρτημένες μάζες ενός οχήματος είναι εκείνες οι μάζες που βρίσκονται «κάτω» από την πρωτεύουσα ανάρτηση και δρουν κρουστικά χωρίς απόσβεση απ ευθείας επί της γραμμής, ήτοι είναι οι άξονες με τους τροχούς τους καθώς και όποιοι Υποβλήθηκε: 8.11.001 Έγινε δεκτή: 7.1.001 άλλοι μηχανισμοί στηρίζονται στους άξονες χωρίς παρεμβολή ανάρτησης. Στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών των οχημάτων συμμετέχει και ένα τμήμα της μάζας της σιδηροδρομικής γραμμής, το οποίο διεγείρεται από την κίνηση. Για να υπολογισθεί η φόρτιση που αναλαμβάνει η γραμμή στη θέση ενός στρωτήρα, όταν διέρχεται ένας μεμονωμένος άξονας οχήματος, πρέπει να υπολογισθεί η μάζα γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση. Στις χαμηλές συχνότητες, η «αντίδραση του στρωτήρα» είναι ένα ποσοστό του φορτίου του τροχού, επειδή αυτό το φορτίο (με τη δυναμική προσαύξησή του) κατανέμεται, λόγω ελαστικής έδρασης της γραμμής, και στους παρακείμενους στρωτήρες. Στις υψηλές συχνότητες (στην πράξη αφορά σε όλες τις περιπτώσεις όπου η φόρτιση έχει συχνότητα που ξεπερνά την ιδιοσυχνότητα της γραμμής, που είναι της τάξης 50(70Hz), η διανομή του δυναμικού φορτίου του τροχού στους στρωτήρες μέσω της κάμψης της σιδηροτροχιάς είναι πολύ μειωμένη και το πιο σημαντικό μέρος της κρούσης αναλαμβάνεται από το στρωτήρα. Στο όριο, η δύναμη παραλαμβάνεται εξ ολοκλήρου από ένα στρωτήρα, με μόνη απόσβεση αυτή που κάνει το ελαστικό υπόθεμα. Ειδικότερα χαρακτηρίζονται ως: 1. Φορτία χαμηλής συχνότητας: το στατικό φορτίο του τροχού η προσαύξηση η οφειλόμενη στην ανεπάρκεια της υπερύψωσης στις καμπύλες η δυναμική προσαύξηση η οφειλόμενη στις Ανηρτημένες Μάζες (Α.Μ.) του οχήματος. Φορτία υψηλής συχνότητας (50 ( 400Hz): τα φορτία των Μη Ανηρτημένων Μαζών (Μ.Α.Μ.) του οχήματος τα φορτία της μάζας γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση Στο παρόν άρθρο προσομοιώνεται η σιδηροδρομική γραμμή με μια παλλόμενη χορδή, επιλύεται θεωρητικά η κίνησή της και υπολογίζεται το μήκος που συμμετέχει στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών και την επηρεάζει. Το αποτέλεσμα του θεωρητικού υπολογισμού συγκρίνεται με αποτελέσματα μετρήσεων που έχουν γίνει διεθνώς.

46 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ knm y mm µµ y 0 µµ µ E kn/mm µ J mm 4 Q kn R kn µ A = R /Q Q a kn µ mm M.A.M µ µ µ m MAM t kn µµ.. µµ h kn/mm µ µ µµ (R MAM ) kn µ.. V km/h µ.. µ µ µ (R AM ) kn.. m t µµ µµ... µ n mm µ µ e kx coskx sinkx g mm/sec g mm/sec m µµ µ µ U t/cm µµ µ, µµ µ µµ µ 1 cm) [U=/] mm -1 µµ K U 4 4EJ µ µ kn/mm k x 1, x µµ µµ µ µ µ µµ µ µµ µ µ µ µ mm/sec µ sec sec -1 x mm (z,t) µµ µ µ mm 1, µ µµ

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 47 u mm µ ( ) 3. ΠΡΟΤΥΠΑ (ΜΟΝΤΕΛΑ) ΟΧΗΜΑΤΟΣ - ΓΡΑΜΜΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΟΡΤΙΣΗΣ Το μοντέλο υπολογισμού της φόρτισης της εσχάρας της γραμμής, συνεπώς και του στρωτήρα δίδεται από τον ακόλουθο μαθηματικό τύπο [15], [16]: R A Q A Qa R AM R MAM (3.1) Μαθηματικοί τύποι υπολογισμού του φορτίου αυτής της λογικής αλλά με μικρότερη τιμή του ν υπάρχουν στα [3], [11], [1]. Το μοντέλο «οχήματος γραμμής» φαίνεται στο σχήμα 1 που ακολουθεί. Από τo παρακάτω μοντέλο προκύπτει ότι καθοριστικό ρόλο για τη φόρτιση της εσχάρας της γραμμής παίζουν οι μη ανηρτημένες μάζες (Μ.Α.Μ.) [8],[9]. Οι Μη Ανηρτημένες Μάζες των σιδηροδρομικών οχημάτων είναι οι μάζες εκείνες που βρίσκονται κάτω από την πρωτεύουσα ανάρτηση του οχήματος (δηλαδή οι άξονες, οι τροχοί και πιθανά κάποια τμήματα ηλεκτροκινητήρων που δεν αναρτώνται από τα πλαίσια των φορείων) [1], [10], [1]. Όμως στις μη ανηρτημένες μάζες ανήκει και ένα τμήμα της εσχάρας της γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών των οχημάτων [1]. Στο παρόν άρθρο γίνεται θεωρητικός υπολογισμός της μάζας της γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση και συγκρίνεται το αποτέλεσμα με πειραματικά στοιχεία από τη διεθνή βιβλιογραφία. Η εξίσωση της κίνησης της εσχάρας της γραμμής είναι [15], [17], [14]: d y mmam mγρ Γ dt d n mmam dt dy h dt y mam mmam g (3.) Η μάζα της γραμμής, που συμμετέχει στην κίνηση, mγρ, θα πρέπει να υπολογισθεί θεωρητικά. Για το λόγο αυτό θα θεωρηθεί η γραμμή ως «παλλόμενη χορδή». 4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ mγρ ΠΟΥ ΣΥΜΜΕΤΕΧΕΙ ΣΤΙΣ Μ.Α.Μ. Η μάζα της γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση (ιδέ σχήματα & 3): ' m 0 m dx m dx ΓΡ (4.1) είναι η μάζα που ευρίσκεται μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών της πρώτης παραγώγου y (που είναι η ταχύτητα μετατόπισης κατά την κατακόρυφο), αφού στα σημεία μηδενισμού η «δοκός» γραμμή ακινητεί. Ουσιαστικά πρέπει να βρεθεί το μήκος κύματος λ. Από το κεφάλαιο II του [16]: Qτρ K y U e -Kx Q K όπου: ymax y0 U του φορτίου) η e Kx K [coskx sinkx] y [coskx sinkx] 4 U 4EJ (4.a) max η (4.) (στη θέση εφαρμογής και Σχήμα 1: Μοντέλο οχήματος-γραμμής ως συνόλου ελατηρίων και αποσβεστήρων [6] Figure 1: Model of vehicle-track as a combination of springs and dampers [6] Τα σημεία μηδενισμού του η ευρίσκονται για: 3 Kx 4 Για μία περίοδο (π) έχουμε δύο τιμές: Αρα [17]:

48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Κατά τη διάδοση ενός κύματος, το μήκος κύματος στη διατύπωση σε συντεταγμένες χώρου αντιστοιχεί στην περίοδο Τ στη μαθηματική διατύπωση σε όρους συχνοτήτων. Ένα μήκος κύματος «διατρέχεται» σε χρόνο Τ. Η γενική έκφραση ενός ημιτονοειδούς κύματος είναι [13]: όπου [18] ο γωνιακός κυματικός αριθμός, φ η γωνία φάσης και ο κυ- η γωνιακή συχνότητα T 1 ματικός αριθμός. k και Ο γενικός αυτός τύπος περιγράφει ένα κύμα που ταξιδεύει σε μια χορδή ή σε μια επιμήκη κατασκευή (π.χ. γραμμή) που «μοιάζει» στη συμπεριφορά της με χορδή. Αν στρέψουμε την προσοχή μας σε ένα συγκεκριμένο σημείο, επί παραδείγματι x k, τότε: Είναι προφανές ότι το μήκος κύματος λ και η περίοδος Τ είναι αλληλοεξαρτώμενα μεγέθη. Για μία ημιτονοειδή κύμανση η τιμή T αντιστοιχεί σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς. Το ίδιο ισχύει και για το μήκος κύματος. Η ταχύτητα μετάδοσης του κύματος: Αν θέσουμε αντίστοιχος του: z x t, τότε y ym cos z τύπος Ο γωνιακός κυματικός αριθμός k έχει ως μονάδες rad/m. Πρόκειται για το μέγεθος που χαρακτηρίζει τις ταλαντώσεις στο χώρο, όπως με ανάλογο τρόπο η γωνιακή συχνότητα ω χαρακτηρίζει τις ταλαντώσεις στο χρόνο. Μπορούμε να δείξουμε τη χρήση αυτών των μεγεθών γράφοντας το ίδιο στάσιμο κύμα με διαφορετικές ισοδύναμες μορφές: Παραγωγίζουμε δύο φορές ως προς το χρόνο για να βρούμε την επιτάχυνση: t A(z) cos(t ) Παραγωγίζουμε δύο φορές την (4.8) ως προς Ζ: d A(z) cos(t ) z dz (4.10) (4.9) Όταν για απλοποίηση δεχθούμε ότι οι ταλαντώσεις είναι γραμμικές, δηλαδή γίνονται μόνο κατά μήκος του διαμήκους άξονα x, τότε για ένα στοιχειώδες τμήμα μιας παλλόμενης χορδής μήκους Δz και κέντρου z, η μάζα του ΔΜ (δες σχήμα 3): όπου m η γραμμική πυκνότητα μάζας (μάζα ανά μονάδα μήκους) και οι ποσότητες ΔΖ, Δx εκφράζουν το στοιχειώδες τμήμα σε δύο διαφορετικούς άξονες (εξαρτώνται από την επιλογή των αξόνων). Η χορδή καταπονείται στα άκρα της από δύο δυνάμεις T1sin1 και T sin που κατευθύνονται προς τα πάνω (δες σχήμα 3). Η ολική προς τα πάνω δύναμη ισούται με: Για να βρούμε τη διαφορική εξίσωση της κίνησης, προσεγγίζουμε το θέμα μέσω των μικρών ταλαντώσεων ή του σπειροειδούς ελατηρίου. Θεωρούμε ότι η τάση της χορδής στην κατάσταση ισορροπίας, που τη συμβολίζουμε με Τ 0, είναι ομοιόμορφη. Στην προσέγγιση σπειροειδούς ελατηρίου η τάση Τ είναι μεγαλύτερη από την Τ 0 κατά 1/cosθ, επειδή το στοιχειώδες τμήμα έχει επιμηκυνθεί κατά 1/cosθ. Άρα Τcosθ = Τ 0. Στην προσέγγιση ταλαντώσεων μικρού εύρους αμελούμε την επιμήκυνση του στοιχειώδους τμήματος και θεωρούμε cosθ 1, άρα Τcosθ Τ 0. Η (4.1) δίδει: Aν θεωρήσουμε τη συνάρτηση : Επιπλέον ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για ένα στάσιμο κύμα της μορφής:

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 49 Τότε: m z (z, t) F t T0 z (z, t) z (4.18) δηλαδή: Αντικαθιστώντας τις (4.9) και (4.10) στην 4.19 έχουμε : Σχήμα : Ημιτονοειδής ταλάντωση με αρχικές συνθήκες u(0)=0 και u (0)= u Figure : Οscillation of sine type with conditions u(0)=0 and u (0)=0 και διατηρώντας το t σταθερό, αν αναπτύξουμε σε σειρά Τaylor περί το σημείο z=z : Όπου έχει απαλειφθεί ο κοινός παράγων cos(ωt+φ). Η γενική έκφραση μιας ταλάντωσης στο χώρο, όπως αναφέρεται στα προηγούμενα, είναι: Αν παραγωγίσουμε δύο φορές: Αφού z - z1 = Δz πολύ μικρό, αν λάβουμε το όριο (για Δz πολύ μικρό), μπορούμε να αμελήσουμε τους τετραγωνικούς όρους και τους όρους μεγαλύτερης δύναμης: Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (4.) και (4.0) έχουμε την ακόλουθη σχέση : Αντικαθιστώντας τις (4.14) και (4.16) στην (4.13), η ολική δύναμη που ασκείται στο τμήμα της χορδής είναι: Δηλαδή: Αν εφαρμόσουμε το Νόμο του Νεύτωνα: Δύναμη = Μάζα x Επιτάχυνση, και έχουμε υπόψη μας ότι: Από το σχήμα, στο οποίο έχουν επιλεγεί κατάλληλα οι αρχικές συνθήκες και περιγράφεται η ταλάντωση από τον τύπο: και η ταχύτητα από τον

50 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 Άρα (από την (4.3) σε συνδυασμό με την (4.8)): Η εξίσωση αυτή αφορά στην τέμνουσα δεξιά ή αριστερά αντίστοιχα. Η συνολική δύναμη στην οποία ανταποκρίνεται η μάζα γραμμής είναι διπλάσια. Άρα (δες την (4.3) σε συνδυασμό με την (4.5)): 5. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Σχήμα 3: παλλόμενη χορδή δρώσες δυνάμεις [18] Figure 3: oscillating string active forces [18] διαπιστώνεται ότι μηδενίζεται η ταχύτητα στα σημεία και, δηλαδή -T/4 έως +Τ/4. Αν από τη χρονική έκφραση περάσουμε στη χωρική, τότε θα πρέπει να λάβουμε ένα συνολικό μήκος λ/π, άρα για να βρούμε τη μάζα της γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση (δες την (4.3)): / mdx 0 m (4.5) EJ Q Αλλά : 4 (4.6) U U y0 Αλλιώς μπορεί να προκύψει το ίδιο από την εξίσωση 4.18 θέτοντας: Δx=Δz, ψ=y: και από την (4.) Έγιναν πειραματικές μετρήσεις από τους Βρετανικούς Σιδηροδρόμους (BR) σε περίπτωση σφαλμάτων της επιφάνειας κύλισης της σιδηροτροχιάς που προκαλούν κρουστική καταπόνηση της γραμμής για ταχύτητες 160 km/h [7]. Τα θεωρητικά αποτελέσματα και τα πειραματικά της μεταβολής των δυναμικών φορτίων ανά άξονα σχεδόν συμπίπτουν (ιδέ [7] σχήμα 14). Σύμφωνα με το [7] η ισοδύναμη χαρακτηριστική μάζα γραμμής, που συμμετέχει στην κίνηση του συστήματος, δίδεται από τον τύπο: για τον υπολογισμό της κρουστικής δύναμης Ρ και η «λειτουργούσα» μάζα γραμμής για τον υπολογισμό της κρουστικής δύναμης Ρ1: m e =0,4m (5.) Οι δυνάμεις Ρ1 και Ρ είναι δύο χαρακτηριστικές δυνάμεις που δρουν επί της γραμμής σε περίπτωση φθορών της επιφάνειας κύλισης σιδηροτροχιάς (μη υπογομωμένοι επαρκώς αρμοί, αποφλοίωση επιφάνειας σιδηροτροχιάς κ.λπ.), οι οποίες επιφέρουν κρουστική φόρτιση (ιδέ και []). Η δύναμη Ρ1 δρα για μερικά millisec, ενώ η κυριαρχούσα σε χρονική διάρκεια δύναμη είναι η Ρ. Συνεπώς οι τύποι (5.1) χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της μάζας γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών. Στο [10] αναφέρεται ότι η μάζα γραμμής, που συμμετέχει στην κίνηση, δίδεται από τον τύπο: και m=m σιδ/χιας +m στρωτ /l

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 51 Από τον τύπο (4.4) σε συνδυασμό με τον (4.6) προκύπτει για την ταχύτητα διάδοσης του κύματος της ταλάντωσης στη γραμμή: όπου έχει ληφθεί υπόψη η σχέση: Από τον (5.4) προκύπτει ο τύπος: n T U m Στο σχήμα 4 φαίνεται η σύγκριση των δύο τύπων για σιδηροτροχιά UIC 60 και διάφορες τιμές του ρ. Η καμπύλη (1) είναι η προκύπτουσα από τους τύπους (5.6) της θεωρητικής ανάλυσης του παρόντος άρθρου και (5.8) [10] που δίδουν το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα. Η καμπύλη () προκύπτει από την έρευνα των Βρετανικών Σιδηροδρόμων [7]. Οι υπολογισμοί έγιναν για UIC60 σιδηροτροχιά και για διάφορες τιμές του συντελεστή ρ της γραμμής. Η μάζα γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση των Μ.Α.Μ. προκύπτει, αν πολλαπλασιασθεί ο προκύπτων συντελεστής επί το άθροισμα της μάζας της σιδηροτροχιάς και της μάζας του ημιστρωτήρα διηρημένης διά της απόστασης των στρωτήρων. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Σημειώνεται ότι η προηγούμενη ανάλυση (με εξαίρεση των 5.4 και 5.5) αμελεί τα φαινόμενα διάδοσης των ταλαντώσεων, δηλαδή δεχόμαστε ότι η «ελαστική γραμμή» της σιδηροδρομικής γραμμής υπό στατική φόρτιση μετακινείται κατά μήκος χωρίς μεταβολή της «μορφής» μετατόπισης του τροχού [], [4], [5]. Αυτό ισχύει, όσο η ταχύτητα «διάδοσης» της «ελαστικής γραμμής» της σιδηροδρομικής γραμμής είναι πολύ μεγαλύτερη από την ταχύτητα κυκλοφορίας του τροχού. Για το TGV με επιδομή βαρέος τύπου (σιδηροτροχιά UIC60, στρωτήρες σκυροδέματος, μεγάλο πάχος σκύρου), η ιδιοσυχνότητα της γραμμής κυμαίνεται περί τα 40 Hz και η ταχύτητα διάδοσης της ταλάντωσης κυμαίνεται περί τα 00 m/sec και η μάζα, που συμμετέχει στην κίνηση, φθάνει τα 870 kg/m σιδηροτροχιάς [1], [4], [5]. Υπάρχει μια κρίσιμη ταχύτητα (400 km/h), την οποία, όταν πλησιάσει η ταχύτητα κυκλοφορίας, η «φαινομένη» ακαμψία της γραμμής τείνει στο μηδέν και μπορεί να παρουσιασθούν πολύ σημαντικές παραμορφώσεις [5], []. Οι τύποι, που πρέπει να συγκρίνουμε, είναι (4.30, 5.1, 5.3): Η μάζα γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση των μη ανηρτημένων μαζών, για ταχύτητες κυκλοφορίας που δεν πλησιάζουν τις ταχύτητες διάδοσης των ταλαντώσεων στη γραμμή, με ικανοποιητική προσέγγιση δίδονται από τη θεωρητική προσέγγιση που επιχειρείται εδώ. Για UIC60 και ολόσωμους στρωτήρες Β70, m=60+150/0,60=310 kg/m και για διάφορες τιμές του ρ προκύπτουν οι τιμές του πίνακα 1. Πίνακας 1:Μάζα γραμμής ανά m μήκους σιδ/χιάς που συμμετέχει στην κίνηση Table 1: Mass of track per m of rail participating in the movement µ [kn/mm] µ µµ [kg/m] µ µ BR µ µµ [kg/m] µ 1 [kg/m] 0 435,6 580,0 144,4 30 393,6 54,8 131, 50 346,4 461,9 115,5 80 308,0 410,7 10,7 100 91,3 388,4 97,1 10 78,3 371,1 9,8 Αν συνυπολογισθεί και το βάρος του τροχού που κυμαίνεται από 0,65 t (σύγχρονης τεχνολογίας συρμοί μεγάλων ταχυτήτων) έως,54 t (παλαιάς τεχνολογίας ελκτικές μονάδες του ελληνικού δικτύου), η διαφορά λόγω μάζας γραμμής στο σύνολο των μη ανηρτημένων μαζών κυμαίνεται από 3,% έως 9,08%.

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Σχήμα 4: Υπολογισμός μάζας γραμμής για Ε=10.000 Ν/mm, J=3,055x107 mm4. Κατακόρυφος άξονας: συνολική μάζα γραμμής που συμμετέχει στην κίνηση [kg]. Οριζόντιος άξονας: τιμή του συνολικού ρ [kn/mm] της γραμμής. Καμπύλη 1 - θεωρητικός υπολογισμός παρόντος άρθρου (5.6) και (5.8) του [10]. Καμπύλη - μετρήσεις BR [7]. Figure 4: Calculation of the mass of the track for E=10,000 N/mm, J=3.055x107 mm4. Vertical axis: total mass of track participating in the movement [kg]. Horizontal axis: value of ρ total [kn/mm] of the track. Curve 1 - theoretical calculation according to the present article (5.6) and (5.8) of the [10]. Curve : - measurements of the BR [7]. 1. Alias J. : La voie ferrée, Eyrolles 1984, σελ.79-80. Alias J. : Le rail, Eyrolles 1987, σελ 35-37 3. Erieau Jean, L Evolution des Attaches de Rails et DES Traverses en beton Francaises, R.G.C.F. 1980 4. Fortin J. P., La deformée dynamique de la voie ferrée», R.G.C.F., 0/198, σελ 100 5. Sauvage G., Fortin J. P., «La traînée de roulement des vehicules de chemins de fer», R.G.C.F., 07-08/198, σελ 383-390. 6. Hay W.: Railroad Engeneering, John Wiley & Sons 198 7. Jenkins H. - Stephenson J. -. Clayton G - Morland G. - Lyon D., «Incidences des parametres caracteristiques de la voie et des vehicules sur les efforts dynamiques verticaux qui se developpent entre rail et roue»- Rail International 10/1974, 68-70, σε έκδοση των SNCF/Direction de l Equipement/VR10, στα Γαλλικά. 8. Montagne S., Comportement de la Voie dans son ensemble sous l action d Efforts connus, R. 1.00-87 - 10, S.N.C.F. - Direction de l Equipement, 1987. 9. Müller - Boruttau F. H., Ebersbach D., Breitsamter N., Dynamische Fahrbahnmodelle für HGV - Strecken und Folgerungen fur Komponenten, Eisenbahntechnische Rundschau, (47) Heft 11/ November 1998 10. Prud homme A., Sollicitations statiques et dynamiques de la voie, S.N.C.F. - Direction des Installations Fixes, 3/1966, σελ 3-34. 11. Prud homme A., Erieau J., «Les nouvelles traverses en beton de la SNCF», RGCF - /1976, 10-117. 1. Prud homme Α, La Voie, R.G.C.F., 1970 13. Resnick R., Halliday D., Physics, John Wiley & sons Inc., 1966,σελ. 469 14. S.N.C.F. - Direction de l Equipement, Mecanique de la voie, 1981. 15. Γιαννακός Κ., Βλασοπούλου Ι., «Φόρτιση Στρωτήρων από Σκυρόδεμα και Εφαρμογή για Διμερείς Στρωτήρες», Τεχνικά Χρονικά, Επιστημονική Εκδοση Τ.Ε.Ε., τόμος 14, /1994 16. Γιαννακός Κωνσταντίνος, «Διαχείριση Σιδηροδρομικής Υποδομής», Εργασία που υποβλήθηκε στο πλαίσιο του Μεταπτυχιακού μαθήματος «Μελέτη και Διαχείριση Οδικών έργων και Συγκοινωνιακής Υποδομής», για απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Τομέας Συγκοινωνιών και Οργάνωσης, Θεσσαλονίκη, 1999. 17. Γιαννακός Κωνσταντίνος, «Σιδηροδρομική Γραμμή - Σύνδεσμοι, Θεωρητικός Υπολογισμός, Παραμετρική Επίλυση - ο Ρόλος τους στη γραμμή», Εργασία που έγινε στο πλαίσιο της εκπόνησης της διδακτορικής διατριβής, για να χρησιμοποιηθούν στοιχεία της στη διατριβή - Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Τομέας Συγκοινωνιών και Οργάνωσης, Θεσσαλονίκη, 1999. 18. «Μαθήματα Φυσικής του Πανεπιστημίου του Berkeley - Τόμος 3Α - Κυματική», Εργαστήρια Φυσικής ΕΜΠ, 1976, σελ. 6-65 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Σ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΣ Πολιτικός Μηχανικός διπλ. Ε.Μ.Π., Δρ Α.Π.Θ. - διπλ. Στατιστικής Σχολής Α.Β.Σ.Π. - Κατσαντώνη 89-186.45 Πειραιάς - τηλ & fax 461053 - email: amaspyr@otenet.gr

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 53 Extended summary Theoretical Calculation of the Mass of the Railway Track participating in the movement of the Unsprung Masses and comparison with measurements. KONSTANTINOS S. GIANNAKOS Civil Engineer dipl. NTUA, PhD AUT Dipl of Statistic School EUP Abstract This article presents a theoretical calculation of the mass of the track which participates in the movement of the Unsprung Masses of railway vehicles, that is, the masses that lie "under" the primary suspension. A vibrating string is considered as track model and is solved theoretically. Based on this model of the "vibrating string", the length of the track that participates in the movement is calculated and afterwards the result of the theoretical calculation is compared to the results of the measurements that took place during the research in other railway networks. With this theoretical calculation of the mass of the railway track, an important element is defined, which interferes with the solution of the problem of the determination of the actions that charge the superstructure at the place of the sleeper, during the passage of an axle of a railway vehicle. the vehicles also participates part of the mass of the railway track excited by the movement. In order to calculate the load on the track in the position of a sleeper, when an isolated axle of the vehicle passes, it is necessary that the mass of the railway track that participates in the movement be calculated. In this article a vibrating string is considered as track model. Its movement is analyzed theoretically and the length, that participates in the movement of the Unsprung Masses and influences it, is calculated. The result of the theoretical calculation is compared with the results of the measurements that have been made internationally. 1. INTRODUCTION The movement of railway vehicles on the track is a random dynamic phenomenon. When we examine those random dynamic phenomena we observe that the track operates in a way equivalent to the suspension of the passing vehicle. It is easily detected that the dynamic load of the track depends on the mechanical characteristics (stiffness, damping) of the system "vehicle-track" and the excitation that is caused by the movement of the vehicle on the track. The response of the track at the excitation has as result the increment of the loads that act on the superstructure (for further details [15]). This dynamic loading (increment of the static loads) is due to the movement and impact of the unsprung masses of the vehicle, which are excited by the geometry of the rail surface, and in a smaller degree to the influence of the unsprung masses. Modern railway vehicles are equipped with primary and secondary suspension (figure 1). Unsprung Masses of a vehicle are the masses that lie "under" the primary suspension and act without damping directly on the track, that is, the axles with their wheels and all the other mechanisms that are supported by the axles without the existence of any suspension. In the movement of the Unsprung Masses of. SYMBOLS knm Bending Moment y mm Deflection of the track y 0 Deflection of the track at the position of the wheel load EJ kn/mm Bending stiffness *mm4 Q kn Wheel load R kn Total reaction of a sleeper load of the sleeper A coefficient = R /Q Q a kn Load due to cant deficiency mm Sleeper spacing M.A.M Abbreviation for the Non- Suspended Masses of a vehicle m MAM t kn Mathematical symbol for the Non-Suspended Masses h kn/mm Dynamic stiffness of the track Sybmitted: Nov. 8. 001 Accepted: Dec. 7. 001

54 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 (R MAM ) kn Standard deviation of the part of the dynamic load due to Non-Suspended Masses V km/h Speed.. Abbreviation for the Suspended Masses of a vehicle (R AM ) kn Standard deviation of the part of the dynamic load due to Suspended Masses m t Mass of the track participating in the movement of the Non- Suspended Masses n mm Ordinate of the error of the running surface of the rail Coefficient e kx coskx sinkx g mm/sec Gravity acceleration m Track mass per unit length U t/cm Modulus of elasticity of track support or track stiffness modulus, that is, the distributed load along the track required to depress the track by 1 cm [U=/] mm -1 Coefficient which is derived by the calculation of the track as beam on elastic foundation U K 4 4EJ wavelength kn/mm Stiffness of the track Coefficient of damping of the track k Angular wave number x 1, x Points of zero deflection along the track Circular frequency Phase angle Wave number mm/sec Speed of propagation of a wave Sec Period sec -1 Frequency x mm Distance along the track from (z,t) Mm Amplitude the position of the wheel-load Function of a stationary wave 1, Forces acting at the ends of an oscillating string u mm Displacement or Deflection in an oscillation 3. VEHICLE-TRACK AND CHARGE CALCULATION MODELS. The calculation model of the total load acting on the track, and consequently on the sleeper, is given by the mathematical equation (3.1) [15], [16]. Mathematical equations for the calculation of the charge resembling (3.1) but with a smaller value of í are in [3], [11], [1]. The vehicle-track model is presented in figure 1. It is clear from this model that the role of the Unsprung Masses in the charge acting on the track is dominant [8], [9]. However a part of the superstructure on the track participating in the movement of the Unsprung Masses of the vehicle [1] belongs to the Unsprung Masses. The equation of the movement of the track is given by [3.]. The mass of the track that participates in the movement must be calculated theoretically. For this reason the track will be considered as a "vibrating string". 4. THEORETICAL CALCULATION OF mãñ THAT PARTICIPATES IN THE UNSPRUNG MASSES. The mass of the track that participates in the movement (figure &3) is given in (4.5). It is the mass that lies between two consecutive zero values of the first derivative y' (which is the speed of displacement in the vertical direction) since at the point of zero the "beam" track stands still. So it is essential for the wavelength to be calculated by (4.3). During the propagation of a wave, the wavelength expressed in "space" coordinates corresponds to the period T in the formulation in the frequency domain. A time interval T is needed for a vibration to run through a wavelength. The speed of propagation of the wave is given in (4.6). Equation (4.7) gives two different mathematical expressions of a stationary wave as does equation (4.8). If, for simplification, we accept that the oscillations are linear, that is, they are propagated only in the direction of the

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 3 001, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 55 axle, x, then for an elementary part of a vibrating string of length Äz with its center z, the mass of ÄM (figure 3) is given by (4.11). At the edges of the string two forces T1sinÈ1 and TsinÈ act moving up (figure 3). From (4.1), we derive (4.13). If we consider equation (4.14), and maintaining t stable, we can develop a Taylor series around the point z = z, according to (4.15). Since z - z1 = Äz is very small, if we take the limit (for Äz very small) we can ignore the square terms and the terms of greater exponent, so we derive (4.16). By replacing (4.14) and (4.16) in (4.13) the total force acting on the part of the string is given by (4.17) If we apply Newton's Law: Force = Mass * Acceleration we derive (4.19). By replacing (4.9) and (4.10) in (4.19) we have (4.0). The general expression of an oscillation in space coordinates, as mentioned before, is (4.1) from which after two derivations we arrive at (4.). Comparing equations (4.) and (4.0) we have (4.3) and (4.4). In a vibration the displacement and velocity are given from the equations for u and u' and we observe that the velocity takes zero values at the points -ð/ù and +ð/ù, that is, -T/4 up to T/4. If from the temporal domain we pass to the frequency domain then we must take a total length ë/ð. So, in order to find the mass of the track that participates in the movement (see (4.3)) we derive (4.5) which combined with (4.3) leads to (4.9) This equation gives the shear force at the left or at the right of the position of the wheel load. The total force to which the mass of the track responds is double. So (see (4.3) combined with (4.5)) we derive (4.30). 5. EXPERIMENTAL RESULTS COMPARISON WITH THE THEORY Experimental measurements were executed by British Railways (BR) for the case of errors on the running surface of the rail that cause impact stress of the track for the speed of 160km/h [7]. The theoretical and experimental results of the variation of the dynamic loads per axle almost coincide. (See [7] figure 14). According to [7] the rail mass per unit length that participates in the movement of the system (for the calculation of the impact force P) is given in equation (5.1) and the effective track mass for the calculation of the impact force P1 in (5.) The forces P1 and P are two characteristic forces that act on the track in case of a damaged rail surface (insufficiently tamped joints, "burned" running surface of rail etc) which cause impact loading (see also []). The force P1 acts for a few milliseconds while the dominating force in duration is P. Consequently equations (5.1) are used for the calculation of the mass of the track that participates in the movement of the Unsprung Masses. In [10] it is mentioned that the mass of the track participating in the movement is given by equation (5.3). From equation (4.4) in combination with (4.6) we derive equation (5.4), which refers to the velocity of propagation of the vibration along the track, from which we come to (5.5). We must note that the previous analysis (with the exception of 5.4 and 5.5) ignores the phenomenon of propagation of the vibration, that is, we accept that the "elastic line" of the railway track under static charge is moving along the track without change in the "form" of the wheel's displacement [], [4], [5]. This is valid while the speed of propagation of the "elastic line" of the railway track is much greater than the speed of the wheel. For the TGV with heavy type superstructure (railway track UIC 60, concrete sleepers, ballast of great thickness) the natural frequency of the track fluctuates at 40Hz, the velocity of propagation of the oscillation is 00 m/sec and the mass participating in the movement reaches up to 870kg/m of railway track [1], [4], [5]. There is a critical speed (>400km/h) which when approached by the speed of the wheel has the result that the "phenomenal" stiffness of the track tends to zero and very significant displacements may occur [5], []. The equations that we have to compare are (5.6), (5.7), (5.8). In figure 4 we can see the comparison of the two equations for rail UIC 60 and different values of ñ. Curve (1) derives from the equations (5.6), of the theoretical solution of the present article, and (5.8) [10] that give exactly the same result. Curve () derives from the research of British Railways [7]. In the calculations rail UIC 60 was used as well as different values of ñ of the track. The mass of track participating in the movement of Unsprung Masses can be calculated if the derived factor is multiplied by the sum of the mass of the rail plus the mass of a half sleeper divided by the sleeper spacing. 6.CONCLUSIONS The mass of the track participating in the movement of the Unsprung Masses for circulation speeds not approaching the speeds of propagation of the oscillations on the track is satisfactorily approached by the theoretical analysis that is undertaken here. For UIC 60 and monoblock sleepers B70, m = 60 + 150 / 0.60 = 310kg/m and for different values of ñ we reach the values of the Table 1. If we also calculate the weight of the wheel that fluctuates from 0.65t (modern technology train sets of high speeds) to.54t (old technology locomotives and vehicles of the Greek network) the difference caused by the mass of the track in the total value of the Unsprung Masses lies between 3.% and 9.08%. The results are presented in Table 1 and in figure 4. KONSTANTINOS S. GIANNAKOS Civil Engineer dipl National Technical University of Athens, Dr. Aristotle University of Thessaloniki dipl of School of Statistics, University of Piraeus- 89 Katsantoni str. - Piraeus 185.46 - Greece - tel & fax 0030-10461053 - email : amaspyr@otenet.gr