5. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για την ανάλυση πλαισιακών κατασκευών

Transcript

1 5. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για την ανάλυση πλαισιακών κατασκευών Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος

2 Σύγχρονες μέθοδοι ανάλυσης κατασκευών μέθοδος των δυνάμεων ή ευκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι δυνάμεις και ροπές μέθοδος των μετακινήσεων ή δυσκαμψίας oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι μετακινήσεις 2

3 Ανάλυση δοκών και πλαισίων με τη μέθοδο δυσκαμψίας Μητρώα δυσκαμψίας δοκών 2x2 στροφικό μητρώο δυσκαμψίας καμπτόμενης δοκού 4x4 μητρώο δυσκαμψίας δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων 6x6 μητρώο δυσκαμψίας δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων Μετασχηματισμοί μητρώων δυσκαμψίας δοκών Άμεση μέθοδος δυσκαμψίας σε δοκούς και πλαίσια Μη επικόμβια φορτία Γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας Επίλυση δράσεων καταναγκασμών με τη μέθοδο δυσκαμψίας Προγραμματισμός άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας για πλαίσια 3

4 Μέθοδος των μετακινήσεων ή δυσκαμψίας βασίζεται στα μητρώα δυσκαμψίας των επιμέρους μελών της κατασκευής βάσει των οποίων σχηματίζεται το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας Κ της κατασκευής oι άγνωστοι στις σχηματιζόμενες εξισώσεις είναι οι μετακινήσεις των ελεύθερων κόμβων της κατασκευής επιλύνοντας το σύστημα των εξισώσεων το οποίο σχηματίζεται, υπολογίζονται οι μετακινήσεις των βαθμών ελευθερίας των κόμβων της κατασκευής ακολούθως, χρησιμοποιώντας τα επιμέρους μητρώα δυσκαμψίας του κάθε μέλους, υπολογίζονται τα εντατικά μεγέθη στα άκρα του κάθε μέλους χρήσιμη για επιλύσεις γενικών προβλημάτων με Η/Υ εύκολη αυτοματοποίηση και προγραμματισμός της μεθόδου 4

5 Βάσεις μεθόδου δυσκαμψίας εξισώσεις ισορροπίας καταστατικό νόμο του υλικού συνθήκες συμβιβαστότητας των παραμορφώσεων κοινός τρόπος ανάλυσης ισοστατικών και υπερστατικών φορέων 5

6 Γενική περιγραφή μεθόδου καθορισμός σχέσεων εντατικών μεγεθών και των αντίστοιχων μετακινήσεων των μελών ενός φορέα, βάσει των μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους μελών της κατασκευής κατάλληλοι μετασχηματισμοί από τοπικό σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων εφαρμογή εξισώσεων ισορροπίας στους κόμβους σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής εφαρμογή συνοριακών συνθηκών επίλυση σχηματιζόμενου συστήματος εξισώσεων υπολογισμός μετακινήσεων ελεύθερων κόμβων κατασκευής υπολογισμός αντιδράσεων στις στηρίξεις υπολογισμός εντατικών μεγεθών στα άκρα του κάθε μέλους 6

7 Μητρώα δυσκαμψίας δοκών Στροφικό μητρώο ευκαμψίας (2x2) καμπτόμενης δοκού 7

8 Στροφικό μητρώο ευκαμψίας (2x2) καμπτόμενης δοκού 8

9 9

10 Στροφικό μητρώο δυσκαμψίας (2x2) καμπτόμενης δοκού 10

11 Μητρώο δυσκαμψίας δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων Χρησιμοποιώντας το στροφικό μητρώο δυσκαμψίας δοκού 11

12 Εύρεση 1 ης στήλης 12

13 Εύρεση 2 ης στήλης 13

14 Εύρεση 3 ης στήλης 14

15 Εύρεση 4 ης στήλης 15

16 16

17 Συμπερίληψη αξονικών δυνάμεων 17

18 6x6 μητρώο δυσκαμψίας δοκού στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων 18

19 Συναρτήσεις μορφών καμπτικής παραμόρφωσης δοκών 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 Μετασχηματισμοί μητρώων δυσκαμψίας δοκών 30

31 - Μετασχηματισμοί εντατικών μεγεθών: 31

32 - Μετασχηματισμοί μετακινήσεων: 32

33 33

34 Μητρώο δυσκαμψίας καμπτόμενης δοκού (αμελώντας τις αξονικές παραμορφώσεις) 34

35 35

36 36

37 Μητρώο δυσκαμψίας καμπτόμενης δοκού (συμπεριλαμβάνοντας τις αξονικές παραμορφώσεις) 37

38 Σχηματισμός μητρώου δυσκαμψίας κατασκευής 38

39 39

40 Επιβολή συνοριακών συνθηκών και επίλυση μετακινήσεις κόμβων αντιδράσεις στηρίξεων εντατικά μεγέθη 40

41 Παράδειγμα-1 41

42 42

43 43

44 44

45 45

46 46

47 47

48 Εφαρμογή συνοριακών συνθηκών 48

49 49

50 50

51 K sf

52 52

53 Επίλυση με το GTStrudl TYPE PLANE FRAME UNITS M N CENTIGRADE JOINT COORDINATES STATUS SUPPORT JOINTS 1 3 MEMBER INCIDENCES MATERIAL CONCRETE CONSTANTS E 30E9 ALL MEMBER PROPERTIES 1 3 AX 0.16 IZ AX 0.18 IZ LOAD 1 'NODAL LOADS' JOINT LOADS 2 FORCE X 50E3 2 MOMENT Z -300E3 4 FORCE X 50E3 4 MOMENT Z 700E3 STIFFNESS ANALYSIS OUTPUT DECIMAL 5 LIST FORCES LIST REACTIONS LIST SUM REACTIONS UNITS MM LIST DISPLACEMENTS 53

54 LOADING - 1 NODAL LOADS MEMBER FORCES MEMBER JOINT / FORCE // MOMENT / AXIAL SHEAR Y SHEAR Z TORSIONAL BENDING Y BENDING Z ACTIVE UNITS MM N RAD DEGC SEC RESULTANT JOINT DISPLACEMENTS FREE JOINTS JOINT / / DISPLACEMENT // ROTATION X DISP. Y DISP. Z DISP. X ROT. Y ROT. Z ROT. 2 GLOBAL GLOBAL

55 Μη επικόμβια φορτία - Χρήση ισοδύναμων επικόμβιων φορτίων - χρησιμοποιώντας αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού 55

56 56

57 Αντικαταστούμε όλα τα μη επικόμβια φορτία με στατικά ισοδύναμα επικόμβια φορτία, τα οποία υπολογίζονται θεωρώντας ότι τα άκρα του μέλους είναι πακτωμένα και επιλύνοντας τη δοκό για τα συγκεκριμένα εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία. Εφαρμόζοντας τις αντιδράσεις που υπολογίστηκαν στις πακτώσεις αλλά με αντίθετο πρόσημο στους κόμβους του μέλους, ο φορέας μπορεί να επιλυθεί με όλα τα εξωτερικά επιβαλλόμενα επικόμβια φορτία συμπεριλαμβάνοντας και τα ισοδύναμα επικόμβια φορτία λόγω εξωτερικά επιβαλλόμενων μη επικόμβιων φορτίων. (μετακινήσεις) 57

58 Αντιδράσεις στις στηρίξεις: Εντατικά μεγέθη μελών: Με δεδομένες τις μετακινήσεις των κόμβων στα άκρα ενός μέλους μπορούν να υπολογιστούν τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη στα άκρα του μέλους χρησιμοποιώντας το μητρώο δυσκαμψίας του μέλους. Τα τελικά εντατικά μεγέθη ενός μέλους με μη επικόμβια φορτία θα προκύψουν αφού αθροιστούν στα εντατικά μεγέθη που θα υπολογισθούν από τις μετακινήσεις και τα εντατικά μεγέθη της αμφίπακτης δοκού την οποία νοητά επιβάλλαμε, ώστε να αναιρεθεί η θεώρηση που κάναμε για να μπορέσουμε να ορίσουμε ισοδύναμα επικόμβια φορτία. 58

59 = + = + 59

60 Παράδειγμα-2: 60

61 61

62 62

63 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 Μητρώα δυσκαμψίας δοκών με ελευθερίες στα άκρα 68

69 69

70 70

71 71

72 72

73 Γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας 73

74 Παράδειγμα-3 Η συνεισφορά των αξονικών παραμορφώσεων, συχνά στη πράξη, μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα και να παραληφθεί. Αυτό όμως δεν σημαίνει κατ ουδένα λόγο ότι τα μέλη μίας κατασκευής δεν έχουν μηδενικές δυνάμεις, αλλά απλά ότι οι αξονικές παραμορφώσεις σχετικά με τα άλλα είδη παραμόρφωσης, για συνηθισμένα δομικά στοιχεία και φορτίσεις είναι σημαντικά μικρότερες των καμπτικών παραμορφώσεων, οι οποίες συνήθως είναι οι πιο σημαντικές. 74

75 75

76 Εύρεση 1 ης στήλης μητρώου δυσκαμψίας 1 m 1 m R 2 R 1 R 3 6 EIc 2 H 12EI H c 3 6 EIc 2 H 12EI H c 3 (α) (β) 76

77 Εύρεση 2 ης στήλης μητρώου δυσκαμψίας 4EI b L 2EI b L 1 rad 4EI c H 6 EI H c 2 6 EI L b 2 6 EI L b 2 (α) (β) 77

78 Εύρεση 3 ης στήλης μητρώου δυσκαμψίας 1 rad 2EI b L 4EI b L 6 EI L b 2 6 EI L b 2 4EI c H 6 EI H c 2 (α) (β) 78

79 Μητρώο δυσκαμψίας πλαισίου 79

80 Γραφική επίλυση με τη μέθοδο δυσκαμψίας 80

81 Εντατικά μεγέθη αριστερού υποστυλώματος 81

82 Εντατικά μεγέθη δεξιού υποστυλώματος 82

83 Εντατικά μεγέθη δοκού 83

84 Παράδειγμα-4 84

85 85

86 86

87 87

88 Εντατικά μεγέθη αριστερού υποστυλώματος 4 88

89 Εντατικά μεγέθη δεξιού υποστυλώματος 89

90 Εντατικά μεγέθη δοκού 90

91 Διαγράμματα εντατικών μεγεθών δοκού = + Έχοντας υπολογίσει και τα εντατικά μεγέθη, τέμνουσες και ροπές, στα άκρα των μελών και λαμβάνοντας υπόψη τα επικόμβια φορτία μπορούμε από ισορροπία των κόμβων να προσδιοριστούν οι αξονικές δυνάμεις στα μέλη, των οποίων τις παραμορφώσεις θεωρήσαμε αμελητέες και παραλείψαμε στην επίλυση του φορέα με τη μέθοδο δυσκαμψίας. Έτσι οι αξονικές δυνάμεις των υποστυλωμάτων προκύπτουν να είναι θλιπτικές, 5.53 ΚΝ στο αριστερό και ΚΝ στο δεξιό υποστύλωμα. 91

92 Επίλυση με το GTStrudl TYPE PLANE FRAME UNITS M NEWTONS CENTIGRADE JOINT COORDINATES STATUS SUPPORT JOINTS 1 3 MEMBER INCIDENCES CONSTANTS E 30E9 ALL G 13E9 ALL MEMBER PROPERTIES 1 3 AX 1000 AY 1000 IZ AX 1000 AY 1000 IZ LOAD 1 'Epiballomena fortia' JOINT LOADS 2 FORCE X 50E3 4 FORCE Y 50E3 MEMBER LOADS 2 FORCE Y UNIFORM w -20E3 STIFFNESS ANALYSIS OUTPUT DECIMAL 7 LIST FORCES LIST REACTIONS LIST SUM REACTIONS UNITS MM LIST DISPLACEMENTS 92

93 PROBLEM - Frame 3 TITLE - Frame under uniformly distributed load ACTIVE UNITS M N RAD DEGC SEC LOADING - 1 Epiballomena fortia MEMBER FORCES MEMBER JOINT / FORCE // MOMENT / AXIAL SHEAR Y SHEAR Z TORSIONAL BENDING Y BENDING Z

94 PROBLEM - Frame 3 TITLE - Frame under uniformly distributed load ACTIVE UNITS M N RAD DEGC SEC LOADING - 1 Epiballomena fortia RESULTANT JOINT LOADS SUPPORTS JOINT / FORCE // MOMENT / X FORCE Y FORCE Z FORCE X MOMENT Y MOMENT Z MOMENT 1 GLOBAL GLOBAL SUM OF REACTIONS ABOUT COORDINATE X Y Z / FORCE // MOMENT / LOADING X FORCE Y FORCE Z FORCE X MOMENT Y MOMENT Z MOMENT E E E

95 PROBLEM - Frame 3 TITLE - Frame under uniformly distributed load ACTIVE UNITS MM N RAD DEGC SEC LOADING - 1 Epiballomena fortia ACTIVE UNITS MM N RAD DEGC SEC RESULTANT JOINT DISPLACEMENTS SUPPORTS JOINT / DISPLACEMENT // ROTATION / X DISP. Y DISP. Z DISP. X ROT. Y ROT. Z ROT. 1 GLOBAL GLOBAL RESULTANT JOINT DISPLACEMENTS FREE JOINTS JOINT / DISPLACEMENT // ROTATION / X DISP. Y DISP. Z DISP. X ROT. Y ROT. Z ROT. 2 GLOBAL GLOBAL

96 Χωρικές δοκοί και πλαίσια 96

97 97

98 98

99 Προγραμματισμός άμεσης μεθόδου δυσκαμψίας Καθορισμός δεδομένων για ανάλυση επίπεδων πλαισίων: 99

100 Αυτόματη διαδικασία ανάλυσης πλαισίων: 100

101 Αυτόματη διαδικασία ανάλυσης πλαισίων (συν.): 101

102 Αυτόματη διαδικασία ανάλυσης πλαισίων (συν.): 102