ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΑΣΤΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Ο.Σ. ΣΕ ΔΙΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΑΣΤΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ Ο.Σ. ΣΕ ΔΙΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ Πολιτικού Μηχανικού ΠΑΤΡΑ 2016

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή ειδίκευσης εκπονήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του Επίκουρου Καθηγητή κ. Μανόλη Σφακιανάκη. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να τον ευχαριστήσω θερμά για την ευκαιρία που μου έδωσε να συνεργαστώ μαζί του, την ουσιαστική βοήθειά του και την επιστημονική καθοδήγηση που μου παρείχε. Παράλληλα, ευχαριστώ πολύ την οικογένειά μου και τους φίλους μου για την υποστήριξη που μου παρείχαν όλο αυτό το διάστημα. Αλέξανδρος Πετρόπουλος i

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Οι δείκτες πλαστιμότητας χρησιμοποιούνται στην αποτίμηση της φέρουσας ικανότητας των κατασκευών, αλλά και των μελών αν αναφέρονται σε επίπεδο μέλους ή διατομής μέλους. Έτσι κατ επέκταση λαμβάνονται υπόψη στον προσδιορισμό του δείκτη συμπεριφοράς q μιας κατασκευής. Ο συσχετισμός αυτός γίνεται στον ΚΑΝ.ΕΠΕ. μέσω του δείκτη πλαστιμότητας μετακινήσεων ο οποίος υπό προϋποθέσεις μεταφράζεται σε δείκτη πλαστιμότητας γωνιών στροφής μελών. Το ίδιο ισχύει και για τον τελευταίο, όπου υπό προϋποθέσεις συσχετίζεται με τον δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων. Ο υπολογισμός του δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων είναι εφικτός μέσω του Κανονισμού, με βάση την ανάλυση της διατομής σε μονοαξονική κάμψη. Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι ο προσδιορισμός των σχέσεων υπολογισμού του δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων για ορθογωνικές διατομές οπλισμένου σκυροδέματος με διαφορετική κατανομή οπλισμών, οι οποίες καταπονούνται από διαξονική κάμψη σε συνδυασμό με ορθή δύναμη. Αρχικά στο Κεφάλαιο 1 δίνεται ο ορισμός των εννοιών που χρησιμοποιούνται κατά την διερεύνηση, καθώς και το υπόβαθρο πάνω στο οποίο ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. καθορίζει τον τρόπο υπολογισμού του δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων. Επίσης γίνεται μία αρχική παρουσίαση του μοντέλου που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή για την ανάλυση των διατομών. Στο Κεφάλαιο 2 αναλύεται διεξοδικά η μέθοδος στην οποία βασίζεται το πρόγραμμα ΒΙΑΧ κατά την ανάλυση διατομών οπλισμένου σκυροδέματος υπό διαξονική κάμψη με ορθή δύναμη. Περιγράφεται η έννοια της οριακής επιφάνειας αστοχίας μιας διατομής και ο τρόπος ορισμού της. Επίσης αναλύεται το γραφικό μοντέλο ινών που χρησιμοποιείται και ο τρόπος κατασκευής των διαγραμμάτων ροπών-καμπυλοτήτων Μ-φ από το πρόγραμμα. Τέλος καθορίζεται ο διαδικασία και ο λόγος για τον οποίο τα διαγράμματα Μ-φ προσεγγίστηκαν διγραμμικά κατά στις αναλύσεις. Στο Κεφάλαιο 3 αρχικά παρουσιάζονται οι ορθογωνικές διατομές με τις οποίες κατασκευάστηκαν διαγράμματα Μ-φ και κατ επέκταση τα νομογραφήματα ανηγμένου αξονικού φορτίου-δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων ν-, με σκοπό της εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την επίδραση της γεωμετρίας της διατομής στη σχέση ν-. Στη συνέχεια γίνεται η αναλυτική παρουσίαση όλων των τύπων υπολογισμού του δείκτη ii

πλαστιμότητας, όπως αυτοί προσδιορίστηκαν για διαφορετικό συνολικό μηχανικό ποσοστό οπλισμού, διαφορετική κατανομή οπλισμού στις πλευρές της διατομής και για διαφορετική γωνία του ουδέτερου άξονα αυτής σε συνδυασμό με την μεταβολή του ανηγμένου αξονικού φορτίου. Τέλος στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από το σύνολο της παρούσας διατριβής, καθώς και η μελλοντική χρήση της τόσο για τον υπολογισμό τον δεικτών πλαστιμότητας καμπυλότητας μ φ στον ΚΑΝ.ΕΠΕ. όσο και για την περαιτέρω γενίκευση των σχέσεων υπολογισμού. iii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... i ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ii 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2. ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ... 5 2.1 ΔΙΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ ΜΟΝΤΕΛΟ ΙΝΩΝ... 5 2.1.1 Oριακή επιφάνεια ή επιφάνεια αστοχίας... 5 2.1.2 Γεωμετρικός προσδιορισμός της επιφάνειας αστοχίας... 6 2.1.3 Γενική διαδικασία υπολογισμού επιφάνειας αστοχίας... 8 2.1.4 Γραφικό μοντέλο ινών... 10 2.1.5 Παραδοχές και νόμοι τάσεων-παραμορφώσεων υλικών... 12 2.1.6 Αναλυτική περιγραφή του υπολογισμού ορθών εντάσεων και καμπυλοτήτων... 15 2.2 ΔΙΓΡΑΜΜΙΚΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Μ-φ... 19 3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΑΣΤΙΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΩΝ... 22 3.1 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ... 22 3.1.1 Μηχανικές ιδιότητες υλικών διατομών... 22 3.1.2 Χαρακτηριστικά των διατομών... 23 3.2 ΕΠΙΡΡΟΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΗ ΣΧΕΣΗ ν-μ φ... 24 3.2.1 1 η Περίπτωση κατανομής οπλισμού... 25 3.2.2 2 η Περίπτωση κατανομής οπλισμού... 27 3.2.3 3 η Περίπτωση κατανομής οπλισμού... 29 3.2.4 4 η Περίπτωση κατανομής οπλισμού... 31 3.2.5 Συμπεράσματα... 33 3.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΕΙΚΤΗ ΠΛΑΣΤΙΜΟΤΗΤΑΣ μ φ... 33 3.3.1 Τύποι υπολογισμού για διατομή με d 1 /h = b 1 /b = 25... 35 3.3.1.1 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0... 35 3.3.1.2 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0.50... 47 3.3.1.3 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.00... 59 3.3.1.4 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.50... 71 3.3.1.5 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 2.00... 83 3.3.2 Τύποι υπολογισμού για διατομή με d 1 /h = b 1 /b = 5... 89 3.3.2.1 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0... 89 3.3.2.2 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0.50... 101 iv

3.3.2.3 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.00... 113 3.3.2.4 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.50... 125 3.3.2.5 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 2.00... 137 3.3.3 Τύποι υπολογισμού για διατομή με d 1 /h = b 1 /b = 75... 149 3.3.3.1 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0... 149 3.3.3.2 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 0.50... 161 3.3.3.3 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.00... 173 3.3.3.4 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 1.50... 185 3.3.3.5 Περίπτωση διατομής με ποσοστό οπλισμών ω tot = 2.00... 197 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 209 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 211 v

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1. Γωνίες στροφής χορδής στα άκρα μελών...2 Σχήμα 1.2. Παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα για σκυρόδεμα υπό θλίψη κατά...4 Σχήμα 2.1. Επιφάνεια αστοχίας στον τρισδιάστατο χώρο...6 Σχήμα 2.2. Θέσεις ουδέτερου άξονα μιάς διατομής...7 Σχήμα 2.3. Δευτερογενείς ροπές σε μη συμμετρική διατομή...8 Σχήμα 2.4. Ανάλυση διατομής τυχαίου σχήματος...9 Σχήμα 2.5. Διακριτοποιήση διατομής σε ίνες-pixels...11 Σχήμα 2.6. Νόμος τάσεων παραμορφώσεων σκυροδέματος...13 Σχήμα 2.7. Νόμος τάσεων παραμορφώσεων χάλυβα οπλισμού.... 13 Σχήμα 2.8. Διγραμμική προσέγγιση διαγραμμάτων Μ-φ (Κάππος και Παναγόπουλος)...20 Σχήμα 2.9. Ορισμός γεωμετρικών μεγεθών σε ορθογωνική διατομή κατα ΒΙΑΧ...21 Σχήμα 3.1. Κατανομή διαμήκους οπλισμού στις διατομές.... 24 Σχήμα 3.2. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 0 ο...25 Σχήμα 3.3. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 30 ο...26 Σχήμα 3.4. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 60 ο...26 Σχήμα 3.5. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 90 ο...27 Σχήμα 3.6. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 0 ο...27 Σχήμα 3.7. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 30 ο...28 Σχήμα 3.8. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 60 ο...28 Σχήμα 3.9. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 90 ο...29 Σχήμα 3.10. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 0 ο...29 Σχήμα 3.11. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 30 ο...30 Σχήμα 3.12. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 60 ο...30 Σχήμα 3.13. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 90 ο...31 Σχήμα 3.14. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 0 ο...31 Σχήμα 3.15. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 30 ο...32 Σχήμα 3.16. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 60 ο...32 Σχήμα 3.17. Νομογράφημα ν-μ φ για γωνία Ο.Α. θ = 90 ο...33 Σχήμα 3.18. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...36 Σχήμα 3.19. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...36 Σχήμα 3.20. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...37 Σχήμα 3.21. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...37 Σχήμα 3.22. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...39 vi

Σχήμα 3.23. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...39 Σχήμα 3.24. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...40 Σχήμα 3.25. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...40 Σχήμα 3.26. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...42 Σχήμα 3.27. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...42 Σχήμα 3.28. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...43 Σχήμα 3.29. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...43 Σχήμα 3.30. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...45 Σχήμα 3.31. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...45 Σχήμα 3.32. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...46 Σχήμα 3.33. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0...46 Σχήμα 3.34. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...48 Σχήμα 3.35. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...48 Σχήμα 3.36. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...49 Σχήμα 3.37. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...49 Σχήμα 3.38. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...51 Σχήμα 3.39. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...51 Σχήμα 3.40. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...52 Σχήμα 3.41. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...52 Σχήμα 3.42. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...54 Σχήμα 3.43. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...54 Σχήμα 3.44. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...55 Σχήμα 3.45. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...55 Σχήμα 3.46. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...57 Σχήμα 3.47. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...57 Σχήμα 3.48. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...58 Σχήμα 3.49. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 0.50...58 Σχήμα 3.50. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...60 Σχήμα 3.51. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...60 Σχήμα 3.52. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...61 Σχήμα 3.53. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...61 Σχήμα 3.54. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...63 Σχήμα 3.55. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...63 Σχήμα 3.56. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...64 Σχήμα 3.57. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...64 vii

Σχήμα 3.58. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...66 Σχήμα 3.59. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...66 Σχήμα 3.60. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...67 Σχήμα 3.61. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...67 Σχήμα 3.62. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...69 Σχήμα 3.63. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...69 Σχήμα 3.64. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...70 Σχήμα 3.65. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.00...70 Σχήμα 3.66. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...72 Σχήμα 3.67. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...72 Σχήμα 3.68. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...73 Σχήμα 3.69. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...73 Σχήμα 3.70. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...75 Σχήμα 3.71. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...75 Σχήμα 3.72. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...76 Σχήμα 3.73. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...76 Σχήμα 3.74. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...78 Σχήμα 3.75. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...78 Σχήμα 3.76. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...79 Σχήμα 3.77. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...79 Σχήμα 3.78. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...81 Σχήμα 3.79. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...81 Σχήμα 3.80. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...82 Σχήμα 3.81. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 1.50...82 Σχήμα 3.82. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...84 Σχήμα 3.83. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...84 Σχήμα 3.84. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...85 Σχήμα 3.85. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...85 Σχήμα 3.86. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...87 Σχήμα 3.87. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...87 Σχήμα 3.88. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...88 Σχήμα 3.89. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 25, ω tot = 2.00...88 Σχήμα 3.90. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...90 Σχήμα 3.91. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...90 Σχήμα 3.92. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...91 viii

Σχήμα 3.93. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...91 Σχήμα 3.94. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...93 Σχήμα 3.95. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...93 Σχήμα 3.96. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...94 Σχήμα 3.97. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b1/b = 5, ω tot = 0...94 Σχήμα 3.98. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...96 Σχήμα 3.99. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...96 Σχήμα 3.100. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...97 Σχήμα 3.101. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...97 Σχήμα 3.102. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...99 Σχήμα 3.103. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...99 Σχήμα 3.104. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...100 Σχήμα 3.105. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0...100 Σχήμα 3.106. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...102 Σχήμα 3.107. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...102 Σχήμα 3.108. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...103 Σχήμα 3.109. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...103 Σχήμα 3.110. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...105 Σχήμα 3.111. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...105 Σχήμα 3.112. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...106 Σχήμα 3.113. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...106 Σχήμα 3.114. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...108 Σχήμα 3.115. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...108 Σχήμα 3.116. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...109 Σχήμα 3.117. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...109 Σχήμα 3.118. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...111 Σχήμα 3.119. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...111 Σχήμα 3.120. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...112 Σχήμα 3.121. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 0.50...112 Σχήμα 3.122. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...114 Σχήμα 3.123. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...114 Σχήμα 3.124. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...115 Σχήμα 3.125. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...115 Σχήμα 3.126. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...117 Σχήμα 3.127. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...117 ix

Σχήμα 3.128. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...118 Σχήμα 3.129. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...118 Σχήμα 3.130. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...120 Σχήμα 3.131. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...120 Σχήμα 3.132. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...121 Σχήμα 3.133. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...121 Σχήμα 3.134. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...123 Σχήμα 3.135. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...123 Σχήμα 3.136. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...124 Σχήμα 3.137. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.00...124 Σχήμα 3.138. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...126 Σχήμα 3.139. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...126 Σχήμα 3.140. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...127 Σχήμα 3.141. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...127 Σχήμα 3.142. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...129 Σχήμα 3.143. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...129 Σχήμα 3.144. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...130 Σχήμα 3.145. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...130 Σχήμα 3.146. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...132 Σχήμα 3.147. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...132 Σχήμα 3.148. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...133 Σχήμα 3.149. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...133 Σχήμα 3.150. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...135 Σχήμα 3.151. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...135 Σχήμα 3.152. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...136 Σχήμα 3.153. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 1.50...136 Σχήμα 3.154. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...138 Σχήμα 3.155. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...138 Σχήμα 3.156. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...139 Σχήμα 3.157. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...139 Σχήμα 3.158. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...141 Σχήμα 3.159. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...141 Σχήμα 3.160. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...142 Σχήμα 3.161. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...142 Σχήμα 3.162. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...144 x

Σχήμα 3.163. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...144 Σχήμα 3.164. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...145 Σχήμα 3.165. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...145 Σχήμα 3.166. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...147 Σχήμα 3.167. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...147 Σχήμα 3.168. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...148 Σχήμα 3.169. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 5, ω tot = 2.00...148 Σχήμα 3.170. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...150 Σχήμα 3.171. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...150 Σχήμα 3.172. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...151 Σχήμα 3.173. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...151 Σχήμα 3.174. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...153 Σχήμα 3.175. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...153 Σχήμα 3.176. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...154 Σχήμα 3.177. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...154 Σχήμα 3.178. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...156 Σχήμα 3.179. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...156 Σχήμα 3.180. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...157 Σχήμα 3.181. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...157 Σχήμα 3.182. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...159 Σχήμα 3.183. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...159 Σχήμα 3.184. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...160 Σχήμα 3.185. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0...160 Σχήμα 3.186. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...162 Σχήμα 3.187. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...162 Σχήμα 3.188. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...163 Σχήμα 3.189. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...163 Σχήμα 3.190. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...165 Σχήμα 3.191. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...165 Σχήμα 3.192. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...166 Σχήμα 3.193. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...166 Σχήμα 3.194. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...168 Σχήμα 3.195. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...168 Σχήμα 3.194. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...169 Σχήμα 3.195. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...169 xi

Σχήμα 3.196. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...171 Σχήμα 3.197. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...171 Σχήμα 3.198. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...172 Σχήμα 3.199. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 0.50...172 Σχήμα 3.200. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...174 Σχήμα 3.201. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...174 Σχήμα 3.202. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...175 Σχήμα 3.203. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...175 Σχήμα 3.204. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...177 Σχήμα 3.205. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...177 Σχήμα 3.206. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...178 Σχήμα 3.207. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...178 Σχήμα 3.208. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...180 Σχήμα 3.209. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...180 Σχήμα 3.210. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...181 Σχήμα 3.211. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...181 Σχήμα 3.212. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...183 Σχήμα 3.213. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...183 Σχήμα 3.214. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...184 Σχήμα 3.215. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.00...184 Σχήμα 3.216. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...186 Σχήμα 3.217. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...186 Σχήμα 3.218. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...187 Σχήμα 3.219. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...187 Σχήμα 3.220. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...189 Σχήμα 3.221. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...189 Σχήμα 3.222. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...190 Σχήμα 3.223. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...190 Σχήμα 3.224. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...192 Σχήμα 3.225. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...192 Σχήμα 3.226. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...193 Σχήμα 3.227. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...193 Σχήμα 3.228. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...195 Σχήμα 3.229. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...195 Σχήμα 3.230. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...196 xii

Σχήμα 3.231. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 1.50...196 Σχήμα 3.232. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...198 Σχήμα 3.233. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...198 Σχήμα 3.234. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...199 Σχήμα 3.235. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...199 Σχήμα 3.236. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...201 Σχήμα 3.237. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...201 Σχήμα 3.238. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...202 Σχήμα 3.239. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...202 Σχήμα 3.240. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...204 Σχήμα 3.241. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...204 Σχήμα 3.242. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...205 Σχήμα 3.243. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...205 Σχήμα 3.244. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 0 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...207 Σχήμα 3.245. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 30 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...207 Σχήμα 3.246. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 60 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...208 Σχήμα 3.247. Νομογράφημα ν-μ φ για Γ.Ο.Α. θ = 90 ο, d 1 /h = b 1 /b = 75, ω tot = 2.00...208 xiii

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1. Γεωμετρία ορθογωνικών διατομών...23 Πίνακας 3.2. Κατανομή οπλισμών... 24 xiv

1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η φιλοσοφία των Αντισεισμικών Κανονισμών που χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό και τον ανασχεδιασμό (ΚΑΝ.ΕΠΕ.) νέων και υφιστάμενων κατασκευών αντίστοιχα, βασίζεται στο να επιτρέπουν να αναπτυχθούν κατά τον σεισμό σχεδιασμού σημαντικές ανελαστικές παραμορφώσεις, αρκεί αυτές να μην θέτουν σε κίνδυνο την ακεραιότητα των μελών και του συνόλου του δομικού συστήματος. Αυτό γίνεται για δύο λόγους, πρώτον ενδεχόμενη ανάλυση της κατασκευής για απαίτηση ελαστικής απόκρισης, παρόλο που είναι τεχνικά δυνατή, είναι εξαιρετικά αντιοικονομική για το δομικό σύστημα και για την θεμελίωσή του και δυσμενές για τη λειτουργία της κατασκευής κατά τον σεισμό και την προστασία των αντικειμένων και των χρηστών που φιλοξενεί, καθώς λόγω της ελαστικότητας οι επιταχύνσεις που δημιουργούνται θα είναι υψηλές. Και δεύτερον ειδικά στην φάση του σχεδιασμού, δεν είναι απαραίτητο να σχεδιαστεί το δομικό σύστημα για να παραμείνει ελαστικό υπό τον σεισμό σχεδιασμού, καθότι ο σεισμός είναι μια δυναμική δράση που αντιπροσωπεύει για το δόμημα την απαίτηση να ανταπεξέλθει όχι σ ένα σύστημα επιβεβλημένων δυνάμεων, αλλά σε μια ποσότητα ενέργειας ταλάντωσης που εισάγεται σε αυτό από το έδαφος καθώς και σε κάποιες επιβεβλημένες παραμορφώσεις (Φαρδής 2005). Έτσι τα μέλη, στον αντισεισμικό σχεδιασμό, διαστασιολογούνται με βάση την οριακή κατάσταση αστοχίας, ώστε να αντέξουν τις εσωτερικές δυνάμεις, που υπολογίζονται από γραμμική ελαστική ανάλυση για οριζόντιες εξωτερικές δυνάμεις. Αυτές οι οριζόντιες δυνάμεις προκύπτουν από το φάσμα επιταχύνσεων σχεδιασμού με χρήση του συντελεστή συμπεριφοράς q της κατασκευής. Αντίστοιχα ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. επιτρέπει την χρήση του συντελεστή συμπεριφοράς q τόσο στην ανάλυση όσο και στον ανασχεδιασμό των υφιστάμενων κατασκευών. Τόσο ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. όσο και ΕΚ8-1 συσχετίζουν τον συντελεστή συμπεριφοράς q με τον δείκτη πλαστιμότητας μετακινήσεων. Συγκεκριμένα ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. ορίζει ότι η τιμή του δείκτη q, διαμορφώνεται από την τιμή του παράγοντα μέσω της εξ. 1.1. (1.1) όπου ο παράγων υπεραντοχής και ο παράγων πλαστιμότητας.

2 Έτσι η τιμή του παράγοντα συνδέεται με την τιμή του δείκτη πλαστιμότητας συνολικής οριζόντιας μετάθεσης της κατασκευής,, αναφερόμενου στην κορυφή του κτιρίου ή στο σημείο εφαρμογής της συνισταμένης ολικής οριζόντιας σεισμικής δύναμης, ως εξής: αν (1.2α) αν (1.2β) Ο δείκτης πλαστιμότητας ορίζεται ως ο λόγος της συνολικής οριζόντιας μετακίνησης δ του δομικού συστήματος προς την αντίστοιχη μετακίνηση στη διαρροή του συστήματος. Επιπλέον θεωρώντας ως δ την παραμόρφωση αστοχίας, όπου κατά τον ΚΑΝ.ΕΠΕ. ορίζεται ως η τιμή που αντιστοιχεί σε απόκριση F μειωμένη κατά 20% έναντι της μέγιστης, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαθέσιμη (μέγιστη) τιμή του δείκτη πλαστιμότητας παραμορφώσεων. Λόγω αυτής της σημασίας του δείκτη πλαστιμότητας συνολικών μετακινήσεων τόσο στην ανάλυση όσο και στη γνώση των χαρακτηριστικών συμπεριφοράς της κατασκευής ο εν λόγω δείκτης καθίσταται σημαντικός. Με την ίδια λογική οι ανελαστικές παραμορφώσεις των μελών (γωνίες στροφής χορδής στα άκρα, θ Σχ.1.1) εκφράζονται ανηγμένες στην αντίστοιχη τιμή παραμόρφωσης στη διαρροή και πλέον αναφερόμαστε σε δείκτη πλαστιμότητας παραμορφώσεων μελών. (1.3) Σχήμα 1.1. Γωνίες στροφής χορδής στα άκρα μελών

3 Κατ επέκταση σε επίπεδο διατομής μέλους μπορούμε να υπολογίσουμε μέσω των καμπυλοτήτων των διατομών καμπτόμενων μελών, το δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων ως εξής: (1.4) Η σπουδαιότητα του δείκτη πλαστιμότητας παραμορφώσεων έγκειται στο ότι για γνωστή κατανομή της ανελαστικότητας στο δομικό σύστημα η τιμή του μπορεί να υπολογιστεί μέσω του δείκτη πλαστιμότητας μετακινήσεων και κατ επέκταση από το συντελεστή συμπεριφοράς q. Κατ επέκταση η σημασία του δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων οφείλεται κυρίως στο ότι, υπό ορισμένες εξιδανικευμένες υποθέσεις, η απαιτούμενη τιμή του στην ακραία διατομή του μήκους διάτμησης μπορεί να συνδεθεί με την τιμή του δείκτη (Φαρδής 2005). Έτσι ο ΚΑΝ.ΕΠΕ. ορίζει ότι η απαιτούμενη πλαστιμότητα του «κρίσιμου» ορόφου (δηλαδή, ο πλέον καταπονούμενος όροφος του δομήματος) σε όρους γωνιών στροφής χορδής, μπορεί να «μεταφραστεί» σε όρους καμπυλοτήτων των κρίσιμων περιοχών των πρωτευόντων φερόντων στοιχείων του ορόφου, δηλαδή αυτών με την μεγαλύτερη συμβολή στην ανάληψη των σεισμικών δράσεων, με την προϋπόθεση ότι η συμπεριφορά τους είναι πλάστιμη υπό Μ/Ν και όχι ψαθυρή υπό V, δηλαδή θα αναπτύξουν οιονεί πλαστικές και όχι θραυστικές αρθρώσεις στα άκρα τους. Έτσι μέσω του ενιαίου δείκτη q μπορεί να γίνει ο προσδιορισμός, σε όρους καμπυλοτήτων, των απαιτούμενων δεικτών πλαστιμότητας των κύριων δομικών στοιχείων του κτιρίου, αλλά και το αντίστροφο υπό προϋποθέσεις. Κατά τον ΚΑΝ.ΕΠΕ. οι παραπάνω δείκτες είναι εφικτό να υπολογιστούν με την χρήση τύπων που παρέχονται από τον Κανονισμό. Οι τύποι αυτοί και συγκεκριμένα για τον υπολογισμό της καμπυλότητας διαρροής μπορούν να υπολογιστούν με βάση την υπόθεση επιπεδότητας των διατομών και με γραμμικό νόμο τάσεων-παραμορφώσεων σ-ε για τον χάλυβα και το σκυρόδεμα σε θλίψη. Επιπλέον οι τύποι αυτοί αναφέρονται μόνο στην περίπτωση μοναξονικής κάμψης. Στην πράξη όμως οι κατασκευές και κατά επέκταση τα δομικά μέλη δέχονται ένα συνδυασμό δράσεων με αποτέλεσμα η διαξονική κάμψη να είναι ο κανόνας. Για τους λόγους αυτούς η παρούσα διατριβή διερευνά τον τρόπο έκφρασης των δεικτών με βάση το παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα τάσης παραμόρφωσης του

4 σκυροδέματος (Σχ.1.2) σε συνδυασμό με την περίπτωση διαξονικής κάμψης με ορθή δύναμη. Συγκεκριμένα διερευνά τη μαθηματική έκφραση του δείκτη πλαστιμότητας καμπυλοτήτων με βάση τα όσα αναφέραμε προηγουμένως πάνω σε ορθογωνικές διατομές με διαφορετική κατανομή οπλισμού με σκοπό την εξαγωγή γενικών τύπων υπολογισμού. Σχήμα 1.2. Παραβολικό-ορθογωνικό διάγραμμα για σκυρόδεμα υπό θλίψη κατά ΕΚ2. Η ανάλυση των διατομών έγινε με τη χρήση του λογισμού ΒΙΑΧ που βασίζεται στην μέθοδο του γραφικού μοντέλου ινών το οποίο αποτελεί παραλλαγή του κλασικού μοντέλου ινών. Με βάση αυτή τη μέθοδο η διατομή χωρίζεται σε ταινίες ινών (pixels της οθόνης του υπολογιστή) και γνωρίζοντας την παραμόρφωση είναι εφικτό να προσδιοριστεί η τάση και κατ επέκταση η αξονική δύναμη και η καμπτική ροπή. Η μέθοδος αυτή όπως και το πρόγραμμα ΒΙΑΧ έχουν αναπτυχθεί από τον κ. Μ. Σφακιανάκη και το θεωρητικό υπόβαθρο του μοντέλου περιγράφεται στο επόμενο κεφάλαιο. Το πρόγραμμα ΒΙΑΧ χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή των διαγραμμάτων καμτπικής ροπής καμπυλοτήτων (Μ φ) για κάθε περίπτωση διατομής και στη συνέχεια με την χρήση αυτών έγινε ο υπολογισμός των δεικτών καμπυλοτήτων με βάση την εξ. 1.4 όπου ως καμπυλότητα φ χρησιμοποιήθηκε η καμπυλότητα αστοχίας.

5 2. ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ 2.1 ΔΙΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ ΜΟΝΤΕΛΟ ΙΝΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου στην οποία βασίζεται το πρόγραμμα ΒΙΑΧ, όπου όπως έχουμε αναφέρει μπορεί να κατασκευάσει τα διαγράμματα Μ-φ και κατ επέκταση την συνολική επιφάνεια αστοχίας μίας διατομής οπλισμένου σκυροδέματος σε κάμψη (Σφακιανάκης 2002, 2012). 2.1.1 Oριακή επιφάνεια ή επιφάνεια αστοχίας Η κορυφή της καμπύλης του διαγράμματος καμπτικών ροπών-καμπυλοτήτων Μ-φ, αντιστοιχεί στη στιγμή της αστοχίας μίας διατομής οπλισμένου σκυροδέματος σε κάμψη, για συγκεκριμένη τιμή θλιπτικού ή εφελκυστικού αξονικού φορτίου. Επομένως στον τρισδιάστατο χώρο, ο οποίος ορίζεται από το αξονικό φορτίο και τις δύο συνιστώσες τις ροπής κάμψης, οι προκύπτουσες ροπές αστοχίας μίας διατομής για διάφορες τιμές του αξονικού φορτίου δημιουργούν μια κλειστή επιφάνεια, η οποία ονομάζεται οριακή επιφάνεια ή επιφάνεια αστοχίας της διατομής. Αντίστοιχα η εσωτερική επιφάνεια, η οποία έχει σχεδόν παρόμοιο σχήμα με την επιφάνεια αστοχίας, ονομάζεται συμβατική επιφάνεια αστοχίας και προκύπτει από σημεία χαμηλότερα της κορυφής της καμπύλης των διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων. Αυτά τα σημεία ορίζονται με βάση τους κώδικες σχεδιασμού και συνδέονται με τις μέγιστες επιτρεπόμενες τιμές παραμόρφωσης της ακραίας θλιπτικής και εφελκυστικής ίνας μιας διατομής. Συνήθως αυτές οι παραμορφώσεις αντιστοιχούν στις συμβατικές παραμορφώσεις αστοχίας του σκυροδέματος και του χάλυβα. Με βάση την συμβατική επιφάνεια αστοχίας έχουν δημιουργηθεί τα διαγράμματα αλληλεπίδρασης Μ-Ν που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Αυτά έχουν προκύψει με τη χρήση μαθηματικών αλγορίθμων για τις συνήθεις ορθογωνικές και κυκλικές διατομές, ενώ για περιπτώσεις σύνθετων διατομών η κατασκευή τους προέκυψε μέσω απλοποιητικών παραδοχών. Η λεπτομερής περιγραφή της επιφάνειας αστοχίας μίας διατομής είναι σημαντική για τη μή γραμμική ανάλυση, καθώς οι πλαστικές παραμορφώσεις ενός στοιχείου αποτελούν συνάρτηση της ιστορίας φόρτισης και της απόστασης του διανύσματος του φορτίου από την επιφάνεια του στοιχείου. Τα περισσότερα μοντέλα που χρησιμοποιούνται

6 στη μή γραμμική ανάλυση στοιχείων οπλισμένου σκυροδέματος υπό την επιρροή ορθής έντασης, δηλαδή διαξονική κάμψη με αξονικό φορτίο, θεωρούν το σχήμα της οριακής επιφάνειας γνωστό και ότι καθίσταται δυνατό να περιγραφεί από κλειστής μορφής μαθηματικές σχέσεις (π.χ. ελλειψοειδές). Όμως έχει αποδειχθεί ότι το σχήμα και το μέγεθος αυτών των επιφανειών εξαρτάται αποκλειστικά από τη γεωμετρία της διατομής, την ποσότητα του διαμήκους οπλισμού και από τον τρόπο που αυτός έχει τοποθετηθεί σε αυτή. 2.1.2 Γεωμετρικός προσδιορισμός της επιφάνειας αστοχίας Όπως έχει αναφερθεί στην προηγούμενη παράγραφο ως επιφάνεια αστοχίας μιάς τυχαίας διατομής στον τριασδιάστατο χώρο, που ορίζεται από την ορθή δύναμη Ν και τις δύο συνιστώσες της καμπτικής ροπής και, νοείται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (Ν,, ) τα οποία αντιστοιχούν στην μέγιστη αντοχή της διατομής. Μια τυπική μορφή της επιφάνειας αστοχίας απεικονίζεται στο Σχ. 2.1. Σε αυτό εμφανίζονται οι μεσημβρινοί της επιφάνειας αστοχίας που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένη γωνία του ουδέτερου άξονα μιας διατομής σε σχέση με τον άξονα της συνιστώσας της καμπτικής ροπής. Σχήμα 2.1. Επιφάνεια αστοχίας στον τρισδιάστατο χώρο.

7 Οι γωνίες και δύο μεσημβρινών σημείων τα οποία ανήκουν σε διαφορετικούς ισημερινούς, δηλαδή απέχουν μεταξύ τους κατά ΔΝ, δεν είναι ίσες με, αλλά έχουν μια μικρή απόκλιση από αυτή την τιμή και έτσι οι μεσημβρινοί δεν είναι πάντα επίπεδοι. Επομένως ισχύει ότι: (2.1) Το γεγονός αυτό οφείλεται στις δευτερογενείς ροπές που μπορεί να προκύψουν κατά τον άξονα ξ-ξ, ο οποίος είναι κάθετος στο ουδέτερο άξονα n-n και περνά από την αρχή των αξόνων του Καρτεσιανού Συστήματος Y-Z, Σχ. 2.2. Σχήμα 2.2. Θέσεις ουδέτερου άξονα μιάς διατομής. Αυτές οι δευτερογενείς ροπές συνήθως οφείλονται σε ασυμμετρία της διατομής ως προς τον ουδέτερο ή τους κεντροβαρικούς άξονες και σε τυχόν ανομοιόμορφη κατανομή των διαμήκων οπλισμών ως προς τους άξονες αυτούς. Έτσι δημιουργούνται διαφοροποιήσεις μεταξύ των τάσεων του σκυροδέματος και του χάλυβα οπλισμού. Όπως είναι κατανοητό στις περιπτώσεις όπου οι διατομές είναι κυκλικές και ο διαμήκης οπλισμός είναι ομοιόμορφα κατανεμημένος στην περίμετρο της διατομής, η επιφάνεια

8 αστοχίας είναι αξονοσυμμετρική και όλοι οι μεσημβρινοί είναι όμοιοι. Αντίστοιχα σε πολυγωνική διατομή με γωνία συμμετρίας και ομοιόμορφα κατανεμημένο διαμήκη οπλισμό είναι όμοιοι οι μεσημβρινοί που βρίσκονται σε γωνία μεταξύ τους. Το Σχ. 2.3 δείχνει μία περίπτωση της επίδρασης της ασυμμετρίας σε μια U διατομή. Σχήμα 2.3. Δευτερογενείς ροπές σε μη συμμετρική διατομή. Στην περίπτωση του Σχ. 2.3 επιβάλλεται μονοαξονική καμπυλότητα για γωνία ουδέτερου άξονα, παρόλα αυτά εκτός της αναμενόμενης ροπής δημιουργούνται και δευτερογενείς ροπές, λόγω του γεγονότος ότι η συνισταμένη δύναμη των εσωτερικών δυνάμεων του υλικού είναι πιθανό να μην βρίσκεται πάνω στον άξονα Ζ. Το πρόσημο της δευτερογενούς ροπής εξαρτάται από το μέγεθος της θλιβόμενης ζώνης. Έτσι ενώ ο άξονας Υ αποτελεί άξονα συμμετρίας της διατομής εντούτοις δημιουργούνται δευτερογενείς ροπές κατά τον άξονα Ζ. Λόγω αυτών των ροπών η συνισταμένη των διανυσμάτων των ροπών Μ περιστρέφεται ελάχιστα καθιστώντας την μη παράλληλη στον ουδέτερο άξονα n-n και κατ επέκταση επηρεάζοντας την επιπεδότητα των μεσημβρινών κατά την εξ. 2.1. 2.1.3 Γενική διαδικασία υπολογισμού επιφάνειας αστοχίας Η περιγραφή της διαδικασίας αναφέρεται στη γενική περίπτωση διατομής τυχαίου σχήματος με μανδύα οπλισμένου σκυροδέματος Σχ. 2.4. Η αρχική διατομή είναι οπλισμένη με διαμήκεις ράβδους, περιέχει διατομή διπλού Τ από δομικό χάλυβα και έχει

9 ένα ή περισσότερα ανοίγματα. Επιπλέον θεωρείται ότι τα δύο είδη σκυροδέματος (της αρχικής διατομής και του εξωτερικού μανδύα), όπως επίσης και τα τρία είδη οπλισμού (ράβδοι οπλισμού αρχικής διατομής και μανδύα και δομικός χάλυβας) έχουν διαφορετικές αντοχές. Σχήμα 2.4. Ανάλυση διατομής τυχαίου σχήματος. Η διατομή του σκυροδέματος με το άνοιγμα, περιγράφεται από τις συντεταγμένες των κορυφών του με βάση το σύστημα συντεταγμένων -, όπου το σημείο GC είναι το γεωμετρικό κέντρο της διατομής. Παράλληλα όλα τα υπόλοιπα στοιχεία της διατομής περιγράφονται με βάση το ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Στο σχήμα οι ιδιότητες της διατομής που σχετίζονται με τον χάλυβα συμβολίζονται με S, ενώ αυτές που συνδέονται με το σκυρόδεμα με C. Έτσι οι συμβολισμοί τα C2, C1, S2 και S1 αναφέρονται στην πλέον εξωτερική ίνα του σκυροδέματος και του χάλυβα αντίστοιχα της συνολικής διατομής, ως προς τον ουδέτερο άξονα, τα οποία βρίσκονται σε εφελκυσμό 1 και θλίψη 2. Αν η διατομή δεν έχει μανδύα τότε τα σημεία C2, C1, S2 και S1 αντιστοιχούν στην αρχική διατομή, ενώ στην περίπτωση μανδύα αντικαθίστανται από τα C2J, C1J, S2J και S1J. Η επιφάνεια αστοχίας είναι δυνατό να κατασκευαστεί ισημερινό προς ισημερινό για μονοτονική φόρτιση, αν θεωρήσουμε ότι ο χώρος των συνισταμένων τάσεων είναι ανεξάρτητος της διαδικασίας φόρτισης. Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής: για συγκεκριμένες τιμές της αξονικής δύναμης Ν, της γωνίας και της θέσης του ουδέτερου άξονα επιβάλλονται περί αυτόν προσαυξήσεις Δφ της καμπυλότητας της διατομής. Η καμπυλότητα αυτή αυξάνεται με βάση την παραμόρφωση της πλέον θλιβόμενης ίνας της διατομής. Στη συνέχεια για το συγκεκριμένο προσανατολισμό, γωνία

10, ο ουδέτερος άξονας μετατίθεται παράλληλα στην διεύθυνσή του κατά προκαθορισμένα βήματα μέχρι το σημείο όπου οι εσωτερικές δυνάμεις έρθουν σε ισορροπία με τις εξωτερικές. Σε αυτήν την θέση υπολογίζεται η κύρια ροπή όπως επίσης και η πιθανή δευτερογενής ροπή. Ο υπολογισμός των ροπών και γίνεται με μετασχηματισμό μεταξύ του συστήματος συντεταγμένων Υ Ζ, που είναι παράλληλο και κάθετο στο ουδέτερο άξονα, και του -. Τέλος η παραπάνω διαδικασία ακολουθείται για όλες τις πιθανές θέσεις του ουδέτερου άξονα, ξεκινώντας από την θέση κάτω από την κατώτερη ίνα της διατομής (όλη η διατομή σε εφελκυσμό), μέχρι την θέση πάνω από την υψηλότερη ίνα της διατομής (όλη η διατομή σε θλίψη), χωρίς να παραλείπονται φυσικά και οι ενδιάμεσες θέσεις. Επομένως για να υπολογιστεί ολόκληρη η επιφάνεια αστοχίας της διατομής η προηγούμενη διαδικασία γίνεται για όλες της τιμές της αξονικής δύναμης Ν, όπως επίσης και για όλες τις γωνίες. Έτσι κατασκευάζονται όλα τα διαγράμματα ροπών - καμπυλοτήτων της διατομής και από αυτά εξάγονται οι μέγιστες τιμές των κορυφών τους που αντιστοιχούν στην μέγιστη ροπή. Τα ζεύγη αξονικών δυνάμεων και μέγιστων ροπών είναι αυτά που συνθέτουν την επιφάνεια αστοχίας. 2.1.4 Γραφικό μοντέλο ινών Το λογισμικό ΒΙΑΧ που χρησιμοποιείται στην παρούσα διατριβή, όπως έχει αναφερθεί, βασίζεται στην θεωρία των μοντέλων ινών. Η κύρια ιδέα των μοντέλων ινών είναι η διακριτοποίηση μίας διατομής σε ικανό αριθμό πεπερασμένων στοιχείων-ινών, ανάλογα με την ακρίβεια που θέλουμε να πετύχουμε. Η διαδικασία αυτή όμως δημιουργεί μεγάλο όγκο δεδομένων, ιδιαίτερα σε διατομές τυχαίας γεωμετρίας, όπως επίσης το γεγονός ότι έχει υψηλές απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ. Για τους λόγους αυτούς επιλέχθηκε το λογισμικό ΒΙΑΧ το οποίο χρησιμοποιεί τα γραφικά απεικόνισης του υπολογιστή με σκοπό να γίνει η διακριτοποίηση με βάση τα pixel της του υπολογιστή. Το Σχ2.5 απεικονίζει την διακριτοποιήση διατομής με βάση τα pixel. Πιο συγκεκριμένα αρχικά δημιουργείται ένα γραφικό παράθυρο με προκαθορισμένη ανάλυση. Στην παρούσα διατριβή για λόγους ικανοποιητικής ακρίβειας έχει επιλεχθεί η τιμή της ανάλυσης να είναι 500x500 pixels.

11 Σχήμα 2.5. Διακριτοποιήση διατομής σε ίνες-pixels. Για κάθε γωνία του ουδέτερου άξονα όλα τα σημεία της διατομής μετασχηματίζονται από το σύστημα συντεταγμένων - στο Υ-Ζ, στο οποίο ο άξονας Υ είναι παράλληλος στον ουδέτερο άξονα, μέσω της σχέσης μετασχηματισμού: (2.2) Το σύστημα συντεταγμένων Υ-Ζ είναι συνδεδεμένο με το γραφικό παράθυρο, όπου η αρχή του βρίσκεται στο κέντρο του παραθύρου και η κλίμακα σχεδιασμού της διατομής προκύπτει από τη σχέση μεταξύ του μήκους των αξόνων Υ-Ζ και της επιλεγμένης ανάλυσης. Τα pixel θεωρούνται ότι έχουν ισοδύναμες διαστάσεις. Στη συνέχεια σχεδιάζεται η διατομή στην προκαθορισμένη κλίμακα με διαφορετικά χρώματα για κάθε υλικό. Έτσι τη θέση των ινών έχουν τώρα τα χρωματιστά pixels. Η σάρωση των ινών γίνεται με μία διαδικασία οπτικής αναγνώρισης κρατώντας πάντα τον ουδέτερο άξονα και το άξονα Υ οριζόντιους και παράλληλους με την οριζόντια διάσταση της οθόνης και περιστρέφοντας την διατομή περί άξονα κάθετο σε αυτή κατά γωνίες. Στη συνέχεια σαρώνονται οριζόντιες ταινίες από pixels όπου με βάση την παραμόρφωση ε υπολογίζεται η τάση τους σ. Έτσι η συνολική εσωτερική δύναμη σε κάθε υλικό προκύπτει από την τάση επί το εμβαδό κάθε ταινίας και τη θέση της λαμβάνοντας υπόψη ροπές επιφάνειας γύρω από τον άξονα Ζ. Τελικά, για κάθε ταινία η συντεταγμένη y της συνισταμένης δύναμης κάθε υλικού, η κοινή συντεταγμένη z και ο αριθμός των pixels ανά υλικό, αποθηκεύονται σε διαφορετικούς μονοδιάστατους πίνακες:, (2.3)

12, (2.4), (2.5) όπου, πλήθος υλικών και r = πλήθος ταινιών. Κατ επέκταση αυτοί οι πίνακες έπειτα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των ροπών στους άξονες Υ και Ζ. Έτσι το πρόβλημα ολόκληρης της διατομής μειώνεται σε πρόβλημα συγκεντρωμένων σημείων σε συγκεκριμένες περιοχές και με καθορισμένη τάση, παραμόρφωση και εμβαδό. Για να εξαλειφθούν τα πιθανά αριθμητικά σφάλματα γεωμετρίας για κάθε υλικό, λόγω του ότι τα pixels είναι τετραγωνικού σχήματος, οπότε κυκλικά σχήματα δεν θα προσεγγίζονται σωστά, το ΒΙΑΧ επαναϋπολογίζει τις ισοδύναμες με τις dy, dz διαστάσεις των pixel. Αυτό καθίσταται εφικτό από το γεγονός ότι η ακριβής τιμή της επιφάνειας κάθε υλικού και ο αριθμός των pixel που απαρτίζουν την επιφάνεια είναι γνωστά. (2.6) Η παραπάνω διαδικασία ακολουθείται από το ΒΙΑΧ μια φορά για κάθε γωνία του ουδέτερου άξονα. 2.1.5 Παραδοχές και νόμοι τάσεων-παραμορφώσεων υλικών Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι παραδοχές πάνω στις οποίες βασίζεται η μέθοδος που χρησιμοποιεί το ΒΙΑΧ. Έτσι οι παραδοχές αυτές διακρίνονται στις εξής πέντε: 1. Το θεώρημα Bernoulli-Euler, όπου με βάση αυτό ισχύει ότι οι επίπεδες διατομές παραμένουν επίπεδες και μετά την παραμόρφωση. Ακολουθείται δηλαδή η γραμμική μορφή όπως παρουσιάζεται στο Σχ. 2.4. 2. Η σχέση θλιπτικής τάσης παραμόρφωσης που χρησιμοποιείται για το σκυρόδεμα είναι αυτή του Σχ. 2.6. Το ανοδικό τμήμα της καμπύλης μέχρι την μέγιστη αντοχή

13 παριστάνεται με μία παραβολή και το καθοδικό τμήμα μέχρι την οριακή παραμόρφωση παριστάνεται με μία ευθεία γραμμή με κλίση. Σχήμα 2.6. Νόμος τάσεων παραμορφώσεων σκυροδέματος. 3. Για το χάλυβα οπλισμού γίνεται χρήση του κλασικού ελαστοπλαστικού διαγράμματος (Σχ. 2.7-i), όπου θεωρείται ότι συμπεριφέρεται ελαστικά μέχρι την παραμόρφωση διαρροής και τελείως πλαστικά για μεγαλύτερες παραμορφώσεις, μέχρι την τιμή. Σχήμα 2.7. Νόμος τάσεων παραμορφώσεων χάλυβα οπλισμού. 4. Η επιφάνεια αστοχίας αντιστοιχεί σε παραμορφώσεις της πλέον ακραίας θλιπτικής ίνας της διατομής, η οποία με τη σειρά της αντιστοιχεί στην κορυφή των διαγραμμάτων ροπών καμπυλοτήτων Μ φ. Ενώ αν γίνει χρήση κανονισμών η

14 επιφάνεια αστοχίας αντιστοιχεί σε προκαθορισμένες παραμορφώσεις και της πιο θλιπτικής και της πιο εφελκυστικής ίνας αντίστοιχα. 5. Οι παραμορφώσεις και οι τάσεις λαμβάνονται υπόψη με τα πρόσημά τους, δηλαδή θετικό για εφελκυσμό και αρνητικό για θλίψη. Ειδικότερα η σχέση τάσης παραμόρφωσης σ ε του σκυροδέματος είναι αυτή που προτείνεται από τον Τάσσιο. Το παραβολικό και γραμμικό τμήμα του νόμου δίνονται από τις σχέσεις:, (2.7α), (2.7β) όπου (2.7γ) (2.7δ) Μέσω του συντελεστή λαμβάνεται υπόψη η αύξηση της αντοχής του σκυροδέματος, λόγω της περίσφιγξης. Ο συντελεστής αυτός είναι συνάρτηση του μηχανικού ογκομετρικού ποσοστού του εγκάρσιου οπλισμού και του συντελεστή αποδοτικότητας της περίσφιγξης α. Συγκεκριμένα: (2.7ε) (2.7στ) όπου είναι η τάση διαρροής του εγκάρσιου οπλισμού, s η καθαρή απόσταση μεταξύ των συνδετήρων, το εμβαδό του πυρήνα του σκυροδέματος που περικλείεται από τους συνδετήρες, είναι το εμβαδό της διατομής ενός συνδετήρα, είναι

15 χαρακτηριστική αντοχή του σκυροδέματος και είναι το συνολικό άθροισμα των μηκών σκελών συνδετήρων της διατομής. Για το διαμήκη οπλισμό της διατομής η ποσότητα που είναι τοποθετημένη σε αυτή εκφράζεται μέσω του μηχανικού ποσοστού (2.8) όπου το γεωμετρικό ποσοστό οπλισμού, η τάση διαρροής του διαμήκους οπλισμού, το συνολικό εμβαδό του διαμήκους οπλισμού και το εμβαδό της διατομής. Αντίστοιχα η σχέση τάσης παραμόρφωσης σ ε για τον χάλυβα οπλισμού δίνεται από τις σχέσεις:, (2.9α), (2.9β) 2.1.6 Αναλυτική περιγραφή του υπολογισμού ορθών εντάσεων και καμπυλοτήτων Στο σημείο αυτό είναι αναγκαίο να παρουσιαστεί για λόγους πληρότητας η μεθοδολογία πάνω στην οποία πραγματοποιούνται οι υπολογισμοί με το ΒΙΑΧ. Με βάση τα όσα έχουν αναφερθεί στην παράγραφο 2.1.3, μόλις επέλθει η ισορροπία των εσωτερικών εντάσεων με τις εξωτερικές υπολογίζονται οι συνιστώσες τις καμπτικής ροπής. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται με βάση την παραμόρφωση της εξωτερικής θλιβόμενης ίνας. Έτσι, για συγκεκριμένη τιμή της αξονικής δύναμης Ν, μπορούν να υπολογιστούν όλες οι τιμές των καμπτικών ροπών και όλες να αντιστοιχούν σε μία τιμή της παραμόρφωσης. Μετά τον προσδιορισμό του ύψους της θλιβόμενης ζώνης και τις αντίστοιχης τιμής της παραμόρφωσης, είναι εφικτός ο υπολογισμός της καμπυλότητας ως: (2.10)