Eνας µεταλλικός αγωγός διαρρέεται µε ηλεκτρικό ρεύµα, του οποίου η ένταση µεταβάλλεται χρονικά, σύµφωνα µε το διάγ ραµµα του σχήµατος (1). Nα βρεθεί η µέση ένταση του ηλεκτρικού ρεύ µατος για το χρονικό διάστηµα 3T. ΛYΣH: Tο ηλεκτρικό φορτίο Q που θα περάσει µέσα από µια διατοµή του µεταλ λικού αγωγού σε χρόνο 3T, εκφράζεται µε το εµβαδόν του σκιασµένου τραπεζίου, δηλαδή ισχύει η σχέση: Σχήµα 1 Q = (3T + T)I 0 = 5TI 0 (1) H µέση ένταση I του ρεύµατος για το χρονικό διάστηµα από 0 εως 3T είναι: I = Q 3T (1) I = 5TI 0 6T = 5I 0 6 Στο άτοµο του υδρογόνου θεωρούµε ότι, το µοναδικό του ηλεκτρόνιο εκτελεί ισοταχή κυκλική κίνηση γύρω από τον πυρήνα του ατόµου, µε γωνιακή ταχύτητα ω. Eάν η ακτίνα της τροχιάς του ηλεκ τρονίου είναι R και η κινητική του ενέργεια K, να βρεθεί η ένταση του µικροσκοπικού κυκλικού ρεύµατος που δηµιουργεί το ηλεκτρόνιο.
ΛYΣH: H κίνηση του ηλεκτρονίου περί τον πυρήνα του ατόµου του υδρογόνου δηµιουργεί ένα µικροσκοπικό κυκλικό ρεύµα, που η συµβατική του φορά είναι αντίθετη της φοράς κίνησης του ηλεκτρονίου. (σχ ). Eάν T είναι η περίοδος της οµαλής κυκλικής κίνησης του ηλεκτρονίου, τότε στον χρόνο T από κάθε σηµείο της τροχιάς του θα περάσει συµβατικό φορτίο ίσο µε την απόλυτη τιµή του φορτί ου q e του ηλεκτρονίου, οπότε η ένταση I του ρεύµατος που δηµιουργεί το ηλεκτ ρόνιο θα είναι: I = q e T = q e /" = q e " (1) Σχήµα Eξάλλου σε κάθε σηµείο της τροχιάς του ηλεκτρονίου η δύναµη Coulomb F C που δέχεται από τον πυρήνα του υδρογόνου αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το ηλεκτρόνιο, δηλαδή ισχύει η σχέση: F C = m e v R 1 q e 4" 0 R = m e v R m e v = q e 4" 0 R () όπου m e η µάζα του ηλεκτρονίου. Όµως η κινητική ενέργεια K του ηλεκτρονίου δίνεται από την σχέση: K = m e v () K = q e 8" 0 R q e = 8" 0 RK q e = 8" 0 RK = " 0 RK (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: I = "# 0 RK " = # 0 RK " Στις άκρες µεταλλικού αγωγού διατοµής S, εφαρµόζε ται ηλεκτρική τάση V, οπότε ο αγωγός διαρρέεται µε ρεύµα έντασης I.
Eάν η ανά µονάδα µήκους αντίσταση του αγωγού είναι R * και ο αριθµός των ελευθέρων ηλεκτρονίων του ανά µονάδα όγκου z *, να βρεθεί ο χρό νος που απαιτείται για να διανύσει κάθε ηλεκτρονίο το µήκος του αγω γού. Δίνεται το ηλεκτρικό φορτίο q e του ηλεκτρονίου. ΛYΣH: Έστω v η ταχύτητα ολίσθησης των ελεύθερων ηλεκτρονίων του αγωγού, όταν αυτός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύµα έντασης I. Tότε η πυκνότητα ρεύ µατος J θα είναι σταθερή σε όλα τα σηµεία του αγωγού και οµόρροπη της v, το δε µέτρο της θα είναι: J = z * q e v (1) Σχήµα 3 Eξάλλου, εάν t είναι ο χρόνος που χρειάζεται ένα ελεύθερο ηλεκτρονιο για να δια νύσει το µήκος L του αγωγού, τότε θα ισχύει v=l/t, οπότε η σχέση (1) γράφεται: J = z * q e L t I S = z * q e L t t = z *S q e L I () Eφαρµόζοντας πάνω στον µεταλλικό αγωγό τον νόµο του Ohm έχουµε: V = RI V = R * LI L = V/R * I (3) όπου R η ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε την σχέση: t = z * S q e V R * II = z * S q e V R * I Δύο συσκευές θέρµανσης Σ 1 και Σ µε στοιχεία κανο νικής λειτουργίας (V 1 =110V, P 1 =110W) και (V =110V, P =55W) αντι στοίχως, συνδέονται κατά σειρά και το σύστηµα τροφοδοτείται στις άκ ρες του µε συνεχή τάση V=0 V.
i) Nα δείξετε ότι οι δύο συσκευές δεν λειτουργούν κανονικά και να καθοριστεί ο τρόπος λειτουργίας κάθε συσκευής. ii) Nα βρεθεί η κατάλληλη ηλεκτρική αντίσταση που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα προς µια από τις δύο συσκευές, ώστε και οι δύο να λειτουρ γούν κανονικά. ΛYΣH: i) Eάν I 1, I είναι οι εντάσεις των ρευµάτων κανονικής λειτουργίας των συσκευών θέρµανσης Σ 1 και Σ αντιστοίχως, θα ισχύουν οι σχέσεις: I 1 = P 1 V 1 = 110W 110V = 1A και I = P V = 55W 110V = 0, 5A Παρατηρούµε ότι I 1 >I, που σηµαίνει ότι είναι αδύνατο και οι δύο συσκευές να λειτουργούν κανονικά, αφού διαρρέονται από ρεύµα της ίδιας έντασης Ι. Για να καθορίσουµε τον τρόπο λειτουργίας κάθε συσκευής υπολογίζουµε την ένταση I, εφαρµόζοντας πάνω στο σύστηµα των Σ 1 και Σ τον νόµο του Ohm, οπότε θα έχου µε: V I = (1) R 1 + R Σχήµα 4.α Σχήµα 4.β όπου R 1, R οι ηλεκτρικές αντιστάσεις των Σ 1 και Σ αντιστοίχως. Όµως για τις αν τιστάσεις αυτές ισχύουν οι σχέσεις: R 1 = V 1 I 1 = 110V 1A = 110 και R = V I = 110V 0,5A = 0 οπότε η (1) δίνει: I = 0V 330 = 0,66A Παρατηρούµε ότι ισχύει I <I<I 1, που σηµαίνει ότι η Σ υπερλειτουργεί και η Σ 1 υπολειτουργεί. ii) Για να εξασφαλίσουµε κανονική λειτουργία και των δύο συσκευών πρέπει η Σ 1 να διαρρέεται από ρεύµα έντασης I 1 και η Σ από ρεύµα έντασης I. Aυτό µπορούµε να το πετύχουµε συνδέοντας παράλληλα προς την Σ µια κατάλληλη αντίσταση
(σχ. 4.β), της οποίας η τιµή R x πρέπει να είναι τέτοια ώστε, όταν αυτή έχει στις άκρες της τάση V =110 V να διαρρέεται από ρεύµα έντασης I x =I 1 -I =0,5 A. Tότε θα έχουµε: R x = V I x = 110V 0,5A = 0 Δύο µεταλλικά σύρµατα έχουν στους 0 0 C ηλεκτρικές αντιστάσεις R 1,0 και R,0. Όταν τα δύο σύρµατα συνδεθούν σε σειρά, το σύστηµα που προκύπτει παρουσιάζει ολική αντίσταση ανεξάρτητη της θερµοκρασίας του. Nα υπολογιστεί ο λόγος των θερµικών συντελεστών αντίστασης των δύο µεταλλικών συρµάτων. ΛYΣH: Eάν R 1,θ R,θ είναι οι ηλεκτρικές αντισάσεις των δύο µεταλλικών συρµά των στους θ 0 C, θα ισχύουν οι σχέσεις: R 1, = R 1,0 (1 + " 1 )# " R, = R,0 (1 + " ) $ # (1) όπου α 1, α οι θερµικοί συντελεστές αντίστασης των δύο συρµάτων. Όµως σύµφω να µε το πρόβληµα το σύστηµα των δύο συρµάτων παρουσιάζει ολική ηλεκτρική αντίσταση ανεξάρτητη της θερµοκρασίας του, δηλαδή ισχύει η σχέση: R 1, + R, = R 1,0 + R,0 (1) R 1,0 (1+ 1 ") + R,0 (1 + ") = R 1,0 + R, 0 R 1, 0 + R 1,0 1 " + R,0 + R, 0 " = R 1, 0 + R,0 R 1, 0 1 " + R,0 " = 0 R 1,0 1 = - R,0 1 / = -R,0 /R 1,0 () Aπό την () παρατηρούµε ότι, ο λόγος α 1 /α είναι αρνητικός αφού οι αντιστάσεις R 1,0 και R,0 είναι θετικές. Aυτό σηµαίνει ότι, το ένα από τα δύο σύρµατα παρουσιά ζει αρνητικό συντελεστή αντίστασης, δηλαδή αποτελείται από ηµιαγωγό µέταλλο. Δίνεται η παρακάτω συνδεσµολογία ηλεκτρικών αντι στάσεων (σχ. 5.α), που τροφοδοτείται στα σηµεία A και B µε ηλεκτρική τάση V. Nα υπολογιστούν σε συνάρτηση µε τα V και R οι εντάσεις των ρευµάτων, που διαρρέουν τα σύρµατα βραχυκύκλωσης. ΛYΣH: Eπειδή το σύρµα βραχυκύκλωσης AE παρουσιάζει αµελητέα ηλεκτρική αντίσταση, η πτώση τάσεως πάνω σ αυτό είναι περίπου µηδέν, οπότε οι άκρες A και E του σύρµατος έχουν το ίδιο δυναµικό, δηλαδή τα σηµεία A και E ηλεκτρι
κώς ταυτίζονται. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο ταυτίζεται το σηµείο Γ µε το H και το Δ µε το Z. Έτσι η συνδεσµολογία των αντιστάσεων µετασχηµατίζεται διαδοχικά στις συνδεσµολογίες των σχηµάτων (5.β) και (5.γ). Eάν R ολ είναι η ολική ηλεκ τρική αντίσταση της συνδεσµολογίας θεωρούµενης µε άκρες τα σηµεία A και B, τότε θα έχουµε: R " = R/ + R = 3R/ (1) Άρα η ένταση I του ρεύµατος στην αντίσταση R, που βρίσκεται ανάµεσα στα σηµεί α H και B είναι: (1) I = V/R " I = V/3R () Eξάλλου η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία A και Γ είναι: Σχήµα 5.α Σχήµα 5.β Σχήµα 5.γ V A, = RI = RI () V A, = V $ # & R " 3R% = V 3 (3) Άρα για τις εντάσεις I 1 και I θα ισχύουν οι σχέσεις: και I 1 = V A, R/ + R/ = V A, R (3) I 1 = V 3R (4)
I = V A R (3 ) I = V 3R (5) Eφαρµόζοντας στον κόµβο A της αρχικής συνδεσµολογίας τον πρώτο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε: () I = I + I x I x = I - I (5) I x = V 3R - V 3R = V 3R όπου I x η ένταση ρεύµατος στο σύρµα AE. Eφαρµόζοντας τον ίδιο κανόνα στον κόµβο Γ έχουµε: I = I (4) 1 + I (5) I = V 6R + V 3R = V R (6) όπου I ψ η ένταση του ρεύµατος στο σύρµα ΓH. Όµοια για τον κόµβο Δ έχουµε: I 1 / + I z = I 1 / I z = 0 (7) όπου I z η ένταση του ρεύµατος στο σύρµα βραχυκύκλωσης ΔZ. Δίνεται η παρακάτω συνδεσµολογία αντιστάσεων, που τροφοδοτείται στα σηµεία A και B µε ηλεκτρική τάση V. Nα υπολο γιστεί σε συνάρτηση µε τα µεγέθη R και V η ένταση του ρεύµατος, που διαρρέει την συνδεσµολογία. ΛYΣH: H αρχική συνδεσµολογία (σχ. 6) είναι ισοδύναµη προς την συνδεσµολο γία του σχήµατος (7), όπου R A,N η ισοδύναµη αντίσταση των τριών αντιστάσεων R που υπάρχουν µεταξύ των κόµβων A και N και R B,N η ισοδύναµη αντίσταση των Σχήµα 6 Σχήµα 7 τριών επίσης αντιστάσεων R που βρίσκονται µεταξύ των κόµβων B και N. Όµως
για τις αντιστάσεις R A,N και R B,N ισχύουν οι σχέσεις: R A,N = R B,N = RR R + R = R 3 RR R + R = R 3 " $ $ # $ $ % R A,N = R B, N = R 3 (1) H συνδεσµολογία του σχήµατος (7) είναι µια γέφυρα Wheatstone, για την οποία ισχύει: R AN R = R BN R = R /3 () Aυτό σηµαίνει ότι η συνδεσµολογία βρίσκεται σε ισορροπία όταν τροφοδοτείται στις άκρες της A και B µε ηλεκτρική τάση V, δηλαδή η ηλεκτρική αντίσταση R 0 δεν διαρρέεται από ρεύµα, οπότε µπορεί να παραλειφθεί. Έτσι η ισοδύναµη αντί σταση R ολ της συνδεσµολογίας είναι: R " = (R + R )R (1) AN BN R AN + R BN + R R " = (R/3 + R/3)R R/3 + R/3 + R R " = 4R R/3 4R/3 + R = 8R 4R + 6R = 4R 5 (3) H ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει την R ολ αποτελεί την ζητούµενη ένταση ρεύ µατος της συνδεσµολογίας, υπολογίζεται δε από την σχέση: I = V/R " (3) I = 5V/4R Xάλκινο σύρµα, µήκους L και θερµοκρασίας θ 0, είναι θερµικά µονωµένο µε το περιβάλλον του µε λεπτό θερµοµονωτικό στρώ µα. Eάν το σύρµα τροφοδοτείται µε ηλεκτρική τάση V, να βρεθεί µετά πόσο χρόνο από την έναρξη της τροφοδοσίας του θ αρχίσει να τήκεται. Δίνεται η θερµοκρασία τήξεως θ τ του χαλκού, η ειδική του αντίσταση ρ, η πυκνότητά του d και η ειδική του θερµότητα C. ΛYΣH: Eπειδή το χάλκινο σύρµα είναι θερµικά µονωµένο µε το περιβάλλον του, δεν εκπέµπει θερµότητα joule προς αυτό, µε αποτέλεσµα η ηλεκτρική ενέργεια που απορροφά µέσω του ρεύµατος, να µετατρέπεται σε αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας, οπότε η θερµοκρασία του αυξάνεται. Eάν t είναι ο χρόνος που µεσολα βεί από την έναρξη της τροφοδοσίας του σύρµατος, µέχρις ότου η θερµοκρασία του
γίνει ίση µε την θερµοκρασία τήξεως του χαλκού, τότε στον χρόνο αυτόν το σύρµα απορρόφησε ηλεκτρική ενέργεια W, που δίνεται από την σχέση: W = VIt = V t/r (1) Όµως η ηλεκτρική αντίσταση R του σύρµατος είναι ίση µε ρl/s, όπου S το εµβα δον διατοµής του σύρµατος, οπότε η (1) γράφεται: W = V St/L () Eξάλλου, εάν ΔU είναι η αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του σύρµατος στον χρόνο t, θα ισχύει: U = mc(" # - " 0 ) = dlsc(" # - " 0 ) (3) όπου m η µάζα του σύρµατος. Όµως ισχύει W=ΔU, η οποία λόγω των (1) και (3) γράφεται: V St/L = dlsc(" # - " 0 ) V t = dl C(" # - " 0 ) t = dl C(" # - " 0 )/V Διαθέτουµε δύο τύπους ηλεκτρικών λαµπτήρων, οι οποίοι έχουν την ίδια τάση κανονικής λειτουργίας V 0 και αντίστοιχες ισ χείς κανονικής λειτουργίας P 0 και P 0 /5. Συνδέουµε n 1 λαµπτήρες του τύπου (V 0, P 0 ) παράλληλα µεταξύ τους και n λαµπτήρες του τύπου (V 0, P 0 /5) επίσης παράλληλα µεταξύ τους, τις δε προκύπτουσες οµάδες λαµ πτήρων συνδέουµε σε σειρά και τροφοδοτούµε το σύστηµα µε ηλεκτρική τάση V 0. Ποιες οι ελάχιστες τιµές των n 1 και n, ώστε όλοι οι λαµπτή ρες να λειτουργούν κανονικά; ΛYΣH: Eάν R ολ,1, R ολ, είναι οι ηλεκτρικές αντιστάσεις της πρώτης αντιστοίχως της δεύτερης οµάδας λαµπτήρων, θα ισχύουν οι σχέσεις: 1/R ",1 = n 1 /R 1 1/R ", = n /R # " $ # R = R /n ",1 1 1# " R ",1 = R 1 /n 1 $ # (1) όπου R 1, R οι ηλεκτρικές αντιστάσεις κάθε λαµπτήρα της πρώτης και της δεύτε ρης οµάδας αντιστοίχως. Eπειδή θέλουµε όλοι οι λαµπτήρες να λειτουργούν κανο νικά, πρέπει η τάση στις άκρες κάθε οµάδας λαµπτήρων να είναι V 0, δηλαδή η τάση τροφοδοσίας V 0 του συστήµατος, πρέπει να ισοµοιρασθεί στις δύο οµάδες. Όµως οι δύο οµάδες συνδέονται κατά σειρά, οπότε θα διαρρέονται από ρεύµα της ίδιας έντασης I και θα ισχύει:
I = V 0 = V (1) 0 R R ",1 = R ", 1 = R R ",1 R ", n 1 n n 1 n = R 1 R () Eξάλλου οι αντιστάσεις R 1 και R θα υπολογισθούν από τα στοιχεία κανονικής λει τουργίας των δύο τύπων λαµπτήρων, δηλαδή από τις σχέσεις: R 1 = V 0 /P 0 " R = 5V 0 /P 0 # (:) R 1 = R 5 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: n 1 n = 5 (4) Eπειδή το κλάσµα /5 είναι ανάγωγο οι ακέραιοι αριθµοί n 1 και n είναι πρώτοι µεταξύ τους, οπότε οι ελάχιστες τιµές τους είναι: n 1,min = και n,min = 5 Kατά την τροφοδοσία µεταλλικού αγωγού µε σταθερή ηλεκτρική τάση διαπιστώθηκε ότι, αµέσως µετά την εφαρµογή της τά σεως στις άκρες του η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος στον αγωγό ήταν I 0 και τελικά σταθεροποιήθηκε στην τιµή I *, µε I * <I 0. Nα εξηγηθεί το παραπάνω φαινόµενο και να βρεθεί η αύξηση της θερµοκρασίας του αγωγού. Eπίσης να παρασταθεί γραφικά µε ελεύθερη εκτίµηση, σε συ νάρτηση µε τον χρόνο, η ηλεκτρική ισχύς του αγωγού. Δίνεται ότι η ηλεκτρική αντίσταση R του αγωγού µεταβάλλεται µε την θερµοκρασία του θ, σύµφωνα µε την σχέση: R = R 0 [1 + (" - " 0 )] όπου R 0 η ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού στην αρχική του θερµοκρα σία θ 0 και α ο θερµικός συντελεστής αντίστασής του, µε α>0. ΛYΣH: Kατά την στιγµή t=0 που εφαρµόζεται στις άκρες του αγωγού η σταθερή ηλεκτρική τάση V, η ένταση I 0 του ρεύµατος που τον διαρρέει είναι: I 0 = V/R 0 R 0 = V/I 0 (1) Mε την πάροδο του χρόνου ο µεταλλικός αγωγός απορροφά, µέσω του ρεύµατος, ηλεκτρική ενέργεια ένα µέρος της οποίας αποβάλλεται µε την µορφή θερµότητας joule στο περιβάλλον του, λόγω διαφοράς θερµοκρασίας µε αυτό και το υπόλοιπο µετασχηµατίζεται σε αύξηση της εσωτερικής του ενέργειας, µε αποτέλεσµα να αυ ξάνεται η θερµοκρασία του, σε σχέση µε την σταθερή θερµοκρασία θ 0 του περιβάλ
λοντός του. Όµως κάποια στιγµή η θερµοκρασία του αγωγού θα λάβει τέτοια τιµή θ *, ώστε όλη η ηλεκτρική ενέργεια που θ απορροφά σε ορισµένο χρόνο θα αποβάλ λεται µε την µορφή θερµότητας joule προς το περιβάλλον του, οπότε θα πάψει ν αυξάνεται η θερµοκρασία του, αφού πλέον δεν θα κατακρατεί ο αγωγός ενέργεια. Έτσι η θερµοκρασία του αγωγού από κάποια στιγµή και µετά θα σταθεροποιηθεί στην τιµή θ *, οπότε και η ηλεκτρική του αντίσταση θα σταθεροποιηθεί σε µια τιµή R * >R 0, αφού α>0. H τελική εποµένως τιµή I * της έντασης του ρεύµατος, είναι: I = V/R R = V/I () µε I * <I 0, αφού R * >R 0. Όµως σύµφωνα µε το πρόβληµα ισχύει η σχέση: (1) R = R 0 [1 + (" - " 0 )] ( ) V / I * = V[1 + (" - " 0 )]/ I 0 I 0 /I = 1 + (" - " 0 ) (" - " 0 ) = I 0 / I - 1-0 = (I 0 - I )/ "I (3) Eξάλλου η ηλεκτρική ισχύς P του αγωγού δίνεται από την σχέση: P = V R = V R 0 [1 + (" - " 0 )] (4) Σχήµα 8 Aπό την (4) προκύπτει ότι, αφού η θερµοκρασία θ του αγώγου αυξάνεται, η ηλεκ τρική του ισχύς P θα µειώνεται µε τον χρόνο t, από µια αρχική τιµή P 0 =V /R 0 σε µια τελική τιµή P * =V /R *. Έτσι η γραφική παράσταση της συνάρτησης P=f(t), θεωρούµενη µε ελεύθερη εκτίµηση, είναι η καµπύλη γραµµή του σχήµατος (8). Mεταλλικό σύρµα βρίσκεται σε περιβάλλον σταθερής θερµοκρασίας θ 0. Όταν το σύρµα διαρρέεται µε ηλεκτρικό ρεύµα, έντα σης I, η θερµοκρασία ισορροπίας του είναι θ, µε θ>θ 0. Λαµβάνοντας υπ
όψη ότι, η ανά µονάδα χρόνου ακτινοβολούµενη θερµότητα joule από το σύρµα προς το περιβάλλον του είναι ανάλογη προς την εκάστοτε διαφο ρά θερµοκρασίας ανάµεσα στο σύρµα και το περιβάλλον του, να υπολο γιστεί η µέγιστη ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος που µπορεί να περά σει από το σύρµα. Δίνεται η θερµοκρασία τήξεως θ τ του σύρµατος και ο θερµικός συντελεστής αντίστασης α αυτού. ΛYΣH: Όταν το σύρµα διαρρέεται από ρεύµα σταθερής έντασης I και η θερµοκρα σία του έχει σταθεροποιηθεί σε µια τιµή θ>θ 0, τότε η ανά µονάδα χρόνου απορρο φούµενη από το σύρµα ηλεκτρική ενέργεια (ηλεκτρική ισχύς του σύρµατος) είναι ίση µε την ανά µονάδα χρόνου εκλυόµενη θερµότητα joule προς το περιβάλλον του (θερµική ισχύς του σύρµατος), δηλαδή ισχύει η σχέση: P ηλ = P θερµ I R = K( - 0 ) I R 0 (1 + ") = K(" - " 0 ) (1) όπου R 0 η ηλεκτρική αντίσταση του σύρµατος στους 0 0 C και K συντελεστής αναλο γίας χαρακτηριστικός του σύρµατος. Όταν η θερµοκρασία ισορροπίας του σύρµατος γίνει ίση µε τη θερµοκρασία τήξεως θ τ αυτού, τότε µέσα από το σύρµα διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα της µέγιστης δυνατής έντασης I max και στην περίπτωση αυτή η σχέση (1) γράφεται: I max R 0 (1 + " # ) = K(" # - " 0 ) () Διαιρώντας τις σχέσεις (1) και () κατά µέλη παίρνουµε: I R 0 (1 + ") R 0 (1 + " # ) = K(" - " ) 0 K(" # - " 0 ) I max I max = I (1 + ")(" # - " 0 ) (1 + " # )(" - " 0 ) I max = I (1 + ")(" # - " 0 ) (1 + " # )(" - " 0 ) Ένα κυλινδρικό σύρµα, µάζας m και ειδικής θερµό τητας C, παρουσιάζει ηλεκτρική αντίσταση ανεξάρτητη από την θερµοκ ρασία του. Tούτο τροφοδοτείται µε σταθερή τάση, οπότε η θερµοκρασία ισορροπίας του είναι θ *, όταν η θερµοκρασία του περιβάλλοντος είναι θ 0 µε θ 0 <θ *. Eάν η ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα διαφοράς θερµοκρα σίας µεταξύ σύρµατος και περιβάλλοντος, ακτινοβολούµενη θερµότητα joule είναι q *, να υπολογιστεί η ταχύτητα µε την οποία αυξάνει η θερ µοκρασία του σύρµατος, αµέσως µετά την εφαρµογή της ηλεκτρικής τά σεως στις άκρες του. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα πολύ µικρό χρονικό διάστηµα dt αµέσως µετά την εφαρ µογή της ηλεκτρικής τάσεως στις άκρες του µεταλλικού σύρµατος. Στην διάρκεια
αυτού του χρόνου η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ σύρµατος και περιβάλλοντος είναι σχεδόν µηδενική, γεγονός που σηµαίνει ότι, η στοιχειώδης ηλεκτρική ενέρ γεια dw ηλ που απορροφά το σύρµα στον χρόνο dt µετασχηµατίζεται εξ ολοκλήρου σε αύξηση du της εσωτερικής του ενέργειας, µε αποτέλεσµα η θερµοκρασία του να υφίσταται µια στοιχειώδη αύξηση dθ. Έτσι θα έχουµε: dw ηλ = du I Rdt = mcdθ d dt = I R mc d dt = V R R mc d dt = V RmC (1) όπου το πηλίκο dθ/dt αναφέρεται στην στιγµή της ενάρξης κυκλοφορίας ρεύµατος στο σύρµα και αποτελεί την ταχύτητα αύξησης της θερµοκρασίας του την στιγµή αυτή, R είναι η σταθερή ηλεκτρική αντίσταση του σύρµατος και V η ηλεκτρική τάση στις άκρες του. Eξάλλου, όταν η θερµοκρασία του σύρµατος σταθεροποιηθεί σε µια τιµή θ * <θ 0, τότε η ανά µονάδα χρόνου απορροφούµενη από το σύρµα ηλεκ τρική ενέργεια (ηλεκτρική ισχύς του σύρµατος) θα είναι ίση µε την ανά µονάδα χρόνου θερµότητα joule που ακτινοβολεί το σύρµα (θερµική ισχύς του σύρµατος), δηλαδή θα ισχύει η σχέση: P ηλ = P θ I R = P V /R = P () Όµως η θερµική ισχύς P θ είναι ανάλογη της διαφοράς θερµοκρασίας θ * -θ 0 µεταξύ του σύρµατος και του περιβάλλοντός του, δηλαδή ισχύει: P θ = q * (θ * - θ 0 ) () V /R = q ( - 0 ) (3) Tέλος συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) έχουµε: d dt = q ( - ) 0 mc Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (9.α), στην οποία το µεταλλικό σύρµα AB είναι οµογενές και σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του L=1 m, η δε ηλεκτρική του αντίσταση είναι R AB =100 Ω. Όταν ο διακόπτης Δ 1 είναι κλειστός και ο Δ ανοιχτός, τότε για να µη διέρχεται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο (G) πρέπει ο δροµέας του ποτενσιοµέτρου να απέχει από το A απόσταση L 1 =0,6 m, ενώ η απόσταση αυτή πρέπει να γίνει L =0,4 m, όταν ο διακόπτης Δ 1 είναι ανοιχτός και ο Δ κλειστός, ωστε πάλι να µη διέρχεται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο. Eάν οι γεννήτριες Γ και Γ 1 της συνδεσµολογίας
έχουν ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις E=3 V και E 1 =,5 V αντιστοίχως και επί πλέον είναι R 1 =00 Ω, να βρεθούν: i) η ηλεκτρεγερτική δύναµη της γεννήτριας Γ και ii) η εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας Γ. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε αρχικά την συνδεσµολογία, όταν ο διακόπτης Δ 1 είναι κλει στός και ο διακόπτης Δ ανοιχτός. (σχ. 9.α). Eάν M 1 είναι η θέση του δροµέα του ποτενσιοµέτρου, για την οποία δεν διέρχεται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο, τότε η γεννήτρια Γ η αντίσταση R 1 και το σύρµα AB του ποτενσιοµέτρου θα διαρ ρέονται µε κοινό ρεύµα, που η έντασή του I δίνεται από την σχέση: I = E R 1 + r + R AB (1) όπου r η εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας Γ και R AB η ηλεκτρική αντίσταση του σύρµατος AB. Eξάλλου, επειδή η γεννήτρια Γ 1 δεν διαρρέεται από ρεύµα η πολική της τάση είναι ίση µε την ηλεκτρεγερτική της δύναµη E 1, µεταφέρεται δε Σχήµα 9.α Σχήµα 9.β η τάση αυτή ανάµεσα στα σηµεία Z και M 1, αφού πάνω στο γαλβανόµετρο δεν συµ βαίνει πτώση τάσεως. Δηλαδή ισχύει η σχέση: (1) E 1 = V Z, M1 E 1 = I(R 1 + R AM1 ) E 1 = E(R 1 + R AM1 ) R 1 + r + R AB () όπου R AM 1 η ηλεκτρική αντίσταση του τµήµατος AM 1 του σύρµατος AB. Eξετάζου µε στην συνέχεια την συνδεσµολογία, όταν ο διακόπτης Δ 1 είναι ανοιχτός και ο Δ κλειστός (σχ. 9.β). Eάν M είναι η θέση του δροµέα για την οποία πάλι δεν διέρχε ται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο, τότε σκεπτόµενοι µε τον ιδιο τρόπο όπως και προηγουµένως, θα έχουµε την σχέση:
E = E(R 1 + R AM ) R 1 + r + R AB (3) όπου RAM η αντίσταση του τµήµατος AM του σύρµατος AB. Διαιρώντας τις σχέ σεις () και (3) κατά µέλη έχουµε: E 1 E = R 1 + R AM 1 R 1 + R AM E 1 = E (R 1 + R AM1 ) (4) R 1 + R AM Όµως για τις αντιστάσεις RAM 1 και R AM ισχύουν οι σχέσεις: R AM1 R AB = L 1 L R AM 1 = R AB L 1 L = 60 R AM R AB = L L R AM = R AB L L = 40 Έτσι η σχέση (4) δίνει: E =, 5V (00 + 60) (00 + 40) =,707 V ii) Για τον υπολογισµό της εσωτερικής αντίστασης r της γεννήτριας Γ χρησιµοποι ούµε την σχέση (), από την οποία έχουµε: R 1 + r + R AB = E(R 1 + R AM1 )/E 1 r = E(R 1 + R AM )/ E 1 - (R 1 + R AB ) r = 3V(00 + 60),5V - (00 + 100) = 10 Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχηµάτος (10), στην οποία το µεταλλικό σύρµα AB είναι οµογενές και σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του. Όταν ο διακόπτης Δ είναι σ επαφή µε το άκρο α, τότε για να γίνει µηδενική η ένδειξη του γαλβανοµέτρου (G) πρέπει η απόσταση του δροµέα M από το άκρο A να είναι L 1. Όταν όµως ο διακόπτης Δ είναι σ επαφή µε το άκρο β, τότε για να γίνει πάλι µηδε νική η ένδειξη του γαλβανοµέτρου πρέπει η απόσταση του δροµέα M από το άκρο A να γίνει L. Nα δείξετε την σχέση:
R R 1 = L - L 1 L 1 ΛYΣH: Eξετάζουµε αρχικά την ηλεκτρική συνδεσµολογία, όταν ο διακόπτης Δ είναι σ επαφή µε το άκρο α. Eάν M 1 είναι η θέση του δροµέα του ποτενσιοµέτρου για την οποία δεν διέρχεται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο (G), τότε επειδή η πτώση τάσεως πάνω στο γαλβανόµετρο είναι µηδέν, η διαφορά δυναµικού στις άκρες της αντίστασης R 1 είναι ίση µε την διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων A και M 1, δηλαδή θα ισχύει: I R 1 = IRAM 1 I'R 1 = IρL 1 /S (1) όπου I, I οι εντάσεις των ρευµάτων στις γεννήτριες Γ και Γ αντιστοίχως, ρ η ειδι κή αντίσταση και S το εµβαδόν διατοµής του σύρµατος AB του ποτενσιοµέτρου. Όµως για τις εντάσεις I, I ισχύουν οι σχέσεις: I = E R AB + r και I'= E R 1 + R + r ' () όπου r, r οι εσωτερικές αντιστάσεις των γεννητριών Γ και Γ αντιστοίχως E, E οι ηλεκτρεγερτικές τους δυνάµεις και R AB η ηλεκτρική αντίσταση του σύρµατος AB. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε την σχέση: ER 1 R 1 + R + r' = E R AB + r # " "L 1 S $ & (3) % Σχήµα 10 Eξετάζουµε στην συνέχεια την ηλεκτρική συνδεσµολογία, όταν ο διακόπτης Δ είναι σ επαφή µε το άκρο β. Eάν M είναι η νέα θέση του δροµέα του ποτενσιο µέτρου, για την οποία πάλι δεν διέρχεται ρεύµα µέσα από το γαλβανόµετρο, τότε
σκεπτόµενοι µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και προηγούµενα, θα έχουµε την σχέση: E(R 1 + R ) R 1 + R + r' = E R AB + r # " "L S Διαιρώντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά µέλη έχουµε: $ & (4) % R + R 1 R 1 = L L 1 R R 1 + 1 = L L 1 R R 1 = L L 1-1 R R 1 = L - L 1 L 1 Δίνεται η ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (11), στην οποία το µεταλλικό σύρµα AB είναι οµογενές και σταθερής διατοµής σε όλο το µήκος του. Όταν η µεταβλητή αντίσταση R x λάβει την τιµή R 1 =70 Ω, τότε η ένδειξη του γαλβανοµέτρου (G) γίνεται µηδέν η δε απόσταση του δροµέα M του ποτενσιοµέτρου AB από το άκρο του A είναι L 1. Όταν όµως η R x λάβει την τιµή R =100 Ω η απόσταση αυτή πρέ πει να γίνει L, ώστε πάλι η ένδειξη του γαλβανοµέτρου να γίνει µηδέν. Eάν η εσωτερική αντίσταση της γεννήτριας Γ είναι r =1 Ω, να βρεθεί ο λόγος L 1 /L. Δίνεται ακόµα R=10 Ω. ΛYΣH: Eξετάζουµε την ηλεκτρική συνδεσµολογία, όταν η µεταβλητή αντίσταση R x έχει τέτοια τιµή και ο δροµέας M του ποτενσιοµέτρου τέτοια θέση, ώστε µέσα από το γαλβανόµετρο (G) να µη διέρχεται ρεύµα. Tότε η πτώση τάσεως πάνω στην Σχήµα 11 R x θα είναι ίση µε την πτώση τάσεως πάνω στην αντίσταση R AM του τµήµατος AM
Του σύρµατος AB του ποτενσιοµέτρου, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: I R x = IR AM I R x = Iρ(AM)/S (1) όπου ρ η ειδική αντίσταση και S το εµβαδόν διατοµής του σύρµατος AB. Όµως για τις εντάσεις I και I των ρευµάτων που διαρρέουν τις γεννήτριες Γ και Γ αντιστοί χως, ισχύουν οι σχέσεις: I = E/(R AB + r) " I'= E /(R x + R + r') # () όπου E, E οι ηλεκτρεγερτικές δυνάµεις των γεννητριών Γ και Γ αντιστοίχως, r, r οι εσωτερικές τους αντιστάσεις και R AB η ηλεκτρική αντίσταση του σύρµατος AB. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε την σχέση: E R x R + R x + r' = E R AB + r "(AM) S (3) Eφαρµοζόµενη η σχέση (3) για R x =R 1, AM=L 1 και R x =R, AM=L, δίνει: E R 1 R + R 1 + r' = E R AB + r "L 1 S E R R + R + r' = E R AB + r "L S " $ $ # $ $ % $ (:) L 1 = R (R + R + r ) 1 L R (R + R 1 + r ) (4) Aντικαθιστώντας στην σχέση (4) τα γνωστά µεγέθη έχουµε: L 1 = 70(111) L 100(81) = 0,959 Διαθέτουµε µεγάλο αριθµό όµοιων ηλεκτρικών γεν νητριών, που καθεµιά παρουσιάζει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και εσωτε ρική αντίσταση r. Xρησιµοποιώντας τις γεννήτριες αυτές δηµιουργούµε ένα σύστηµα που περιλαµβάνει παράλληλους κλάδους µε άκρα τα σηµεία A και B, κάθε δε κλάδος αποτελείται από τον ίδιο αριθµό γεννητ ριών, οι οποίες συνδέονται κατά σειρά. Έστω ότι τα σηµεία A και B απο τελούν τον θετικό και τον αρνητικό πόλο αντιστοίχως της δηµιουργού µενης ηλεκτρικής γεννήτριας. Nα βρείτε τον ελάχιστο αριθµό ηλεκτρι κών γεννητριών που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε, ώστε αν συνδεθούν τα σηµεία A και B µε ηλεκτρική αντίσταση R, να προκύψει σ αυτήν ρεύµα ορισµένης έντασης I.
ΛYΣH: Έστω ότι κάθε κλάδος του συστήµατος αποτελείται από x γεννήτριες το δε όλο σύστηµα αποτελείται από ψ κλάδους. Tότε κάθε κλάδος συµπεριφέρεται ως ηλεκτρική γεννήτρια µε ηλεκτρεγερτική δύναµη xe και εσωτερική αντίσταση xr, θα διαρρέεται δε, για λόγους συµµετρίας, από ρεύµα έντασης I/ψ, όπου I η ένταση του ρεύµατος στην αντίσταση R. Eξάλλου η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα ση µεία A και B θα είναι: V A - V B = xe - Ixr/ " V A - V B = IR # xe - Ixr = IR xe = I(R + xr/) (1) Σχήµα 1 Όµως, εάν N είναι ο συνολικός αριθµός ηλεκτρικών γεννητριών του συστήµατος, θα ισχύει: N = xψ ψ = N/x οπότε η (1) γράφεται: xe = I(R + x r/n) xe = IR + rix /N xen = IRN + x ri rix - ENx + NIR = 0 () H σχέση () αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς x και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει: E N - 4rI NR 0 E N 4rI NR EN 4rI R N 4rI R/E (3) Aπό την (3) προκύπτει ότι η µικρότερη τιµή του N είναι: N min = 4rI R/E πρέπει δε η τιµή αυτή να είναι ακέραιος και θετικός αριθµός.
Hλεκτρική γεννήτρια εσωτερικής αντίστασης r, τρο φοδοτεί δια µέσου γραµµής µεταφοράς συνολικής αντίστασης R, ηλεκτρι κό κινητήρα. Eάν η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει τον κινήτηρα είναι I και η τάση στα άκρα του V κ, να βρεθεί η απόδοση του κινητήρα καθώς και η απόδοση του όλου κυκλώµατος. Δίνεται η εσωτερική αντίσ ταση r κ του κινητήρα. ΛYΣH: i) O συντελεστής απόδοσης α κ του ηλεκτροκινητήρα εξ ορισµού είναι ίσος µε το πηλίκο της µηχανικής ενέργειας W µηχ που αποδίδει σε ορισµένο χρόνο t προς την αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια W ηλ που απορροφά µέσω του ηλεκτρικού ρεύµατος, δηλαδή ισχύει η σχέση: α κ = W µηχ /W ηλ (1) Όµως η µηχανική ενέργεια του κινητήρα είναι ίση µε την ηλεκτρική ενέργεια W ηλ που απορροφά µείον την ενέργεια απωλειών του W απωλ, λόγω φαινοµένου joule στην εσωτερική του αντίσταση r κ. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: " = W #$ - W %&$ W #$ = 1 - W %&$ W #$ () Όµως για τις ενέργειες W ηλ και W απωλ ισχύουν οι σχέσεις W απωλ =I r κ t και W ηλ = V κ It, οπότε η () γράφεται " = 1 - I r " t V " It = 1 - Ir V (3) Σχήµα 13 ii) O συντελεστής απόδοσης α ολ ολόκληρου του κυκλώµατος εξ ορισµού είναι ίσος µε το πηλίκο της µηχανικής ενέργειας W µηχ που αποδίδει ο κινητήρας σε ορισµένο χρόνο t προς την αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια W γεν που παράγει η ηλεκτρική γεννήτρια του κυκλώµατος, δηλαδή ισχύει: "# = W µ$% W &'( = W $# - W )*# W &'( = V +It - I r + t EIt = V - Ir E (4)
όπου E η ηλεκτρεγερτική δύναµη της γεννήτριας. Eξάλλου η πολική τάση V γεν της γεννήτριας είναι ίση µε το άθροισµα της τάσεως V κ του κινητήρα και της πτώ σεως τάσεως IR πάνω στα σύρµατα της γραµµής µεταφοράς, δηλαδή ισχύει: V γεν = V κ + IR (5) Όµως η πολική τάση της γεννήτριας δίνεται και από την σχέση: V γεν = E - Ir (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε: V κ + IR = E - Ir E = V κ + I(R + r) (7) Aπό (4) και (7) έχουµε: "# = V $ + Ir $ V $ + I(R + r) Tα άκρα M και N ευθύγραµµης µεταλλικής ράβδου, µήκους L και εµβαδού διατοµής S, βρίσκονται σε σταθερές θερµοκρα σίες θ 0 και 0 0 C αντιστοίχως. Για την ράβδο δεχόµαστε ότι είναι θερµικά µονωµένη κατά την παράπλευρη επιφάνειά της και ότι η θερµοκρασία κατά µήκος αυτής µειώνεται γραµµικά µε την απόσταση x από το άκρο της M. Eάν ρ 0 είναι η ειδική αντίσταση του υλικού της ράβδου στους 0 0 C και α ο θερµικός συντελεστής αντίστασής του, να βρεθεί η ηλεκτρι κή αντίσταση της ράβδου. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της µεταλλικής ράβδου, µήκους dx που βρίσκεται σε απόσταση x από το άκρο της M (σχ. 14). H στοιχειώδης ηλεκτρική αντίσταση dr που παρουσιάζει το τµήµα αυτό είναι: dr = "dx S = 0(1 + #")dx S (1) όπου θ η θερµοκρασία του στοιχειώδους τµήµατος της ράβδου. Όµως από την γρα φική παράσταση της συνάρτησης θ=f(x), η οποία παρέχει την κατανοµή της θερ µοκρασίας θ κατά µήκος της ράβδου προκύπτουν οι σχέσεις: "" = # 0 /L "" = #/(L - x) # " $ # 0 L = L - x = 0 (L - x) /L () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε:
dr = ' 0 S 1 + "# L - x$ * # & 0 () " L % +, dr dx = 0 S # " " - #$ 0x L dr dx dx = 0 S # " 1 + "# 0 - "# 0x L $ & % $ & µε 0 x L και λ = 1 + αθ 0 (3) % Σχήµα 14 H σχέση (3) δηλώνει ότι, η ανά µονάδα µήκους αντίσταση dr/dx της µεταλλικής ράβδου µειώνεται γραµµικά µε την απόσταση x από το άκρο της M. Θεωρώντας την γραφική παράσταση της σχέσεως (3) (σχ. 14) παρατηρούµε ότι, το εµβαδόν του στοιχειώδους σκιασµένου ορθογωνίου, που έχει βάση dx και ύψος dr/dx εκφράζει την ηλεκτρική αντίσταση dr του στοιχειώδους τµήµατος dx, οπότε η συνολική αντίσταση R της µεταλλικής ράβδου θα είναι ίση µε το εµβαδόν του τραπεζίου OABL, δηλαδή θα ισχύει: R = µ"(oabl) = 1 #$ 0 S + $ $ 0 # & L " S % R = 0L S (" + 1) R = 0L( + "# 0 ) S ος Tρόπος: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα της µεταλλικής ράβδου µήκους dx, που βρίσκεται σε απόσταση x από το άκρο της και στο οποίο η θερµοκρασία είναι θ. H ηλεκτρική αντίσταση dr του τµήµατος αυτού είναι: dr = " dx S = 0 (1 + #")dx S (4) Όµως διαφορίζοντας την σχέση () παίρνουµε:
d = - 0 dx SL Ld dx = - (5) S 0 Συνδυάοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε: dr = - 0 L(1 + "#)d# S# 0 (6) Oλοκληρώνοντας την (6) µε όρια ολοκλήρωσης για την θερµοκρασία θ τα θ 0 και 0 παίρνουµε την σχέση: R = - L 0 0 (1 + #")d" = - L " 0 0 % 0 $ (d") + (#"d")' S" 0 " 0 S" 0 # " 0 " 0 & R = - L " 0 - " S" $ 0 0 # #" 0 % ' = & L " 0 S 1 + #" % 0 $ ' # & R = L 0 ( S + "# 0) Στο εσωτερικό ευθύγραµµου αγωγού σταθερής διατο µής, υπάρχει οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης E, υπό την επίδραση του οποίου τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού αποκτούν προσανατολισ µένη κίνηση και έτσι ο αγωγός διαρρέεται µε ρεύµα πυκνότητας J. Eάν λ είναι η µέση ελεύθερη διαδροµή µεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων κάθε ηλεκτρονίου µε τα µεταλλικά ιόντα του αγωγού, να δειχτεί η σχέ ση: J = q ez E m e v όπου m e, q e η µάζα και το φορτίο του ηλεκτρόνιου αντιστοίχως, v η µέ ση ταχύτητα των ελεύθερων ηλεκτρονίων λόγω της θερµκής τους κίνη σης και z * ο αριθµός των ελεύθερων ηλεκτρονίων του αγωγού στην µο νάδα όγκου. Yπόδειξη: Nα ληφθεί υπ όψη ότι, η µέση θερµική ταχύτητα v των ηλεκ τρονίων είναι πολύ µεγαλύτερη της οριακής ταχύτητας ολίσθησης αυτών, εξ αιτίας του ηλεκτρικού πεδίου. ΛYΣH: Έστω τ ο µέσος χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων του ηλεκτρονί ου µε ιόντα του µεταλλικού πλέγµατος του αγωγού. Eπειδή η µέση ταχύτητα v των ελεύθερων ηλεκτρονίων, λόγω της θερµικής τους κίνησης είναι πολύ µεγαλύ τερη της οριακής ταχύτητας ολίσθησης v ορ την οποία αποκτούν εξ αιτίας του ηλεκ τρικού πεδίου που έχει επιβληθεί στο εσωτερικό του αγωγού, θα ισχύει η σχέση:
λ = τ v τ = λ/ v (1) Mπορούµε ακόµη να υποθέσουµε ότι η ενέργεια που κερδίζει κάθε ηλεκτρόνιο µεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεών του, µέσω του έργου της ηλεκτρικής δύναµης, προσφέρεται ολόκληρη στο θετικό ιόν κατά την επικείµενη κρούση του µε αυτό. Aυτό σηµαίνει ότι, σε κάθε κρούση ηλεκτρονίου µηδενίζεται η ταχύτητά του που απέκτησε κατά την προηγούµενη ελεύθερη διαδροµή του, λόγω του ηλεκτρικού πεδίου. Έτσι η οριακή ταχύτητα ολίσθησης v ορ των ηλεκτρονίων είναι η µέση ταχύ τητά τους κατά το χρόνο τ, η οφειλόµενη στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση που τους επιβάλλει το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, οπότε θα έχουµε: v " = 0 + a# = E q # (1) e m e v " = q e #E m e v όπου a η επιτάχυνση των ηλεκτρονίων. Oµως το µέτρο της πυκνότητας ρεύµατος σε κάθε διατοµή του αγωγού δίνεται από την σχέση: () J = q e z v " () J = q ez E m e v Ένας οµογενής αγωγός είναι κατασκευασµένος από αγώγιµο υλικό, του οποίου η ειδική αντίσταση σε µία ορισµένη θερµοκ ρασία είναι ρ. O αγωγός αυτός έχει την µορφή µιας σφαίρας, η οποία έχει τµηθεί µε δύο παράλληλα επίπεδα που βρίσκονται σε απόσταση L µεταξύ τους, µε L<r, όπου r η ακτίνα της σφαίρας. Nα βρεθεί σε συνάρτηση µε τα µεγέθη ρ, L και r η ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού στην θεωρούµενη θερµοκρασία, όταν εφαρµόζεται στις παράλληλες επι φάνειές του µια διαφορά δυναµικού. Nα δεχθείτε ότι οι παράλληλες επι φάνειες του αγωγού αποτελούν ισοδυναµικές επιφάνειες µέσα στο ηλεκτρικό πεδίο ροής που σχηµατίζεται στο εσωτερικό του. ΛYΣH: Θεωρούµε ένα στοιχειώδες τµήµα του αγωγού που περιέχεται µεταξύ δύο επιπέδων, τα οποία είναι παράλληλα προς τις περατοτικές επίπεδες επιφάνειες του αγωγού καί απέχουν από το κέντρο του O αποστάσεις x καί x+dx. Tο τµήµα αυτό του αγωγού θα παρουσιάζει µια στοιχειώδη ηλεκτρική αντίσταση dr που δίνεται από την σχέση: dr = dx/s x (1) όπου S x το εµβαδόν των δύο κυκλικών βάσεων του στοιχειώδους τµήµατος. Όµως ισχύει S x = πψ =π(r -x ), οπότε η (1) γράφεται: dr = dx/"(r - x ) ()
H ολική αντίσταση R του αγωγού θα προκύψει εάν ολοκληρώσουµε την σχέση () µε όρια ολοκλήρωσης τα -L/ καί +L/, οπότε θα έχουµε: R = +L/ dx # = "(r - x ) " -L/ dx # r - x R = ) 1 " r ln # r + x &, + % (. * $ r - x '- +L/ -L/ +L/ -L/ Σχήµα 15 R = r" R = r" Παρατήρηση: ) # r + L/& # ln% ( - ln r - L/ &, + % (. * $ r - L/' $ r + L/' - # r + L& ln% ( $ r - L' = r" # r + L& ln% ( $ r - L' Eάν L 0 η σχέση (3) δίνει R 0, ενώ γιά L r δίνει R + Δίνεται το κύκλωµα του σχήµατος 16.α, το οποίο εκ τείνεται απεριόριστα δεξιά των ακροδεκτών του A και B. i) Nα βρεθεί η ολική αντίσταση του κυκλώµατος σε συνάρτηση µε την R. ii) Eάν I 1, I,... I n, είναι οι εντάσεις των ρευµάτων που διαρρέουν τα τµήµατα AA 1, A 1 A,...A n-1 A n, του κυκλώµατος, να δειχθεί η αναδροµική σχέση: I n - 4I n + 1 + I n + = 0 (α)
iii) Nα δειχθεί η σχέση: I n = I 1 ( - 3) n1 (β) ΛYΣH: i) Παρατηρούµε ότι, το εξεταζόµενο κύκλωµα προκύπτει µε επανάληψη του στοιχείου του σχήµατος (16) άπειρες φορές. Για να υπολογίσουµε την ολική αντίσταση R AB του κυκλώµατος αυτού, θεωρούµενου µε άκρες τα σηµεία A και B, προσθέτουµε αριστερά των άκρων A και B ένα ακόµη στοιχείο. Έτσι θα προκύψει ένα σύστηµα αντιστάσεων µε άκρες τα σηµεία A και B (σχ. 16.β) του οποίου η ολική αντίσταση R A B θα είναι ίση µε R AB, δηλαδή θα ισχύει: Σχήµα 16.α Σχήµα 16.β Σχήµα 16 R A'B' = R AB R + RR AB R + R AB = R AB R + RR AB + RR AB = RR AB + R AB R AB - RR AB - R = 0 (1) H σχέση (1) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς R AB και έχει δύο ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες, αφού το γινόµενό τους -R είναι αρνητικό. Aπό τις δύο αυτές ρίζες δεκτή είναι η θετική ρίζα: R AB = R + 4 R + 8R = R + R 3 = R(1 + 3) () ii) Για να αποδείξουµε την σχέση (α) θεωρούµε τον βρόχο (A n A n+1 B n+1 B n A n ) του κυκ λώµατος (σχ. 16.γ) και εφαρµόζουµε σ αυτόν τον δεύτερο κανόνα του kirchoff,
οπότε θα έχουµε την σχέση: I n + 1 R + I ψ R + I n + 1 R - I x R = 0 I n + 1 + I ψ - I x = 0 (3) όπου I x, I ψ οι εντάσεις των ρευµάτων στους κλάδους A n B n και A n+1 B n+1. Eφαρ µόζοντας στους κόµβους A n και A n+1 τον πρώτο κανόνα του kirchoff παίρνουµε: I n = I n + 1 + I x I n + 1 = I n+ + I # " $ # I = I - I x n n + 1 # " I = I n + 1 - I n+ $ # (4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) έχουµε: Σχήµα 16.γ I n + 1 + I n + 1 - I n + - I n + I n + 1 = 0 4I n + 1 - I n + - I n = 0 I n - 4I n + 1 + I n + = 0 (5) iii) Eπειδή το τµήµα του κυκλώµατος που βρίσκεται δεξιά των κόµβων A 1, B 1 πα ρουσιάζει ολική αντίσταση ίση µε R(1+ 3 ) το ισοδύναµο κύκλωµα της συνδεσµο λογίας είναι αυτό που φαίνεται στο σχήµα (16.δ), από το οποίο προκύπτει: Σχήµα 16.δ R(I 1 - I ) = R(1+ 3)I I 1 - I = I (1 + 3)
I 1 = I ( + 3) I = I 1 + 3 = I 1 ( - 3) 4-3 I = I 1 ( - 3) (6) Mε τον ίδιο τρόπο σκεπτόµενοι έχουµε τις σχέσεις: I 3 = I ( - 3) I 4 = I 3 ( - 3)... I n = I n 1 ( - 3) " $ $ # $ $ % (7) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις σχέσεις (6) και (7) παίρνουµε: I I 3...I n = I 1 I...I n " 1.( " 3) n " 1 I n = I 1 ( - 3) n 1 H ηλεκτρική συνδεσµολογία του σχήµατος (17.α) προ κύπτει µε επανάληψη του στοιχείου του σχήµατος (17.β). i) Eάν η συνδεσµολογία αποτελείται από n τέτοια στοιχεία, να δείξετε την αναδροµική σχέση: R n = R n 1 R R n 1 + R + R µε n =, 3,... (I) όπου R n η ολική αντίσταση της συνδεσµολογίας, θεωρούµενης µε άκρες τα σηµεία A και B και R n-1 η αντίστοιχη ολική της αντίσταση, όταν απο τελείται από n-1 στοιχεία. ii) Nα δείξετε ότι η σχέση (I) αποτελεί µια φθίνουσα ακολουθία και να βρείτε την οριακή της τιµή όταν n + ΛYΣH: i) Eάν η συνδεσµολογία αποτελείται από ένα µόνο στοιχείο, τότε η ολική της αντίσταση R 1 είναι: R 1 = R + R' (1) Eάν η συνδεσµολογία αποτελείται από n-1 στοιχεία συνολικής αντίστασης R n-1, τότε προσθέτοντας ένα ακόµη στοιχείο αριστερά των ακροδεκτών της θα λάβουµε την συνδεσµολογία του σχήµατος (17.γ), της οποίας η ολική αντίσταση R n είναι: R n = R n 1 R R n 1 + R + R µε n =, 3,... ()
ii) Για n= η σχέση (1) δίνει: R = R 1 R R 1 + R (1) + R R = (R + R ) R' R + R + R (3) Σχήµα 17.α Σχήµα 17.β Σχήµα 17.γ Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (3) έχουµε: R R 1 = (R + R )R' R + R + R - R - R R - R 1 = (R + R)R'- R(R + R') R + R' R - R 1 = RR- R' - RR'- R' R + R = -R Yποθέτουµε τώρα ότι ισχύει: R + R' < 0 R n - R n 1 < 0 (4) Όµως µε βάση την () έχουµε: R n +1 - R n = R n R' R n + R + R - R n R n +1 - R n = R nr + RR'- R n R n + R' (5) Eξάλλου η () δίνει:
R n R n 1 + R n R'= R n 1 R'+ RR n 1 + RR' R n 1 ( R n - R'- R) = RR'- R'R n R n 1 = - RR'+ R'R n - R n + R' + R (4) R'R n - RR' R + R'- R n > R n R'R n - RR'> RR n + R'R n - R n R'R + RR'- R n < 0 (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε την σχέση: R n+ 1 - R n < 0 R n + 1 < R n δηλαδή η ακολουθία, που εκφράζει η σχέση () είναι φθίνουσα. Yπάρχει εποµένως η οριακή της τιµή όταν n + και αποτελεί την ολική ηλεκτρική αντίσταση R της συνδεσµολογίας, όταν ο αριθµός των στοιχείων που την αποτελούν τείνει στο +. Έτσι µε βάση την σχέση () θα έχουµε: R = R R' R + R' + R R + R R'= R R'+ R R + RR' R - RR - RR'= 0 (7) H σχέση (7) αποτελεί εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς R και έχει ρίζες πραγµα τικές και ετερόσηµες, διότι το γινόµενο των ριζών της είναι αρνητικό και ίσο µε -RR. Eποµένως η R θα είναι η θετική ρίζα της (7), δηλαδή θα ισχύει: R = R + R + 4 RR' R = R + R(R + 4R' ) Δώδεκα όµοια σύρµατα συνδέονται µεταξύ τους, ώστε ν αποτελούν τις ακµές ενός κύβου. O κύβος τροφοδοτείται σε δύο κορυ φές µιας ακµής του, µε ηλεκτρική πηγή σταθερής τάσεως V. Eάν R είναι η αντίσταση κάθε σύρµατος, να υπολογιστεί η ένταση του ρεύµατος που περνά από την πηγή τροφοδοσίας του συρµάτινου κύβου. ΛYΣH: Tο διαγώνιο επίπεδο ABZK του κύβου περιέχει τα σηµεία τροφοδοσίας A και B του συστήµατος των δώδεκα αντιστάσεων και επι πλέον αποτελεί επίπεδο συµµετρίας του συστήµατος. Aυτό σηµαίνει ότι, τα σύρµατα που ανά δύο είναι συµµετρικά µεταξύ τους ως προς το επίπεδο συµµετρίας, διαρρέονται από ρεύµατα της ίδιας έντασης. Mε βάση αυτό το γεγονός και σε συνδυασµό µε τον πρώτο κανόνα του kirchoff στους κόµβους του κυκλώµατος, τα ρεύµατα στα δώδεκα
σύρµατα θα έχουν συµβατικές φορές και εντάσεις όπως φαίνεται στο σχήµα 18. Eφαρµόζοντας πάνω στο σύρµα AB τον νόµο του Ohm, παίρνουµε την σχέση: I - I 1 = V/R (1) Eφαρµόζοντας στον βρόχο (AΘHBA) τον δεύτερο κανόνα του kirchoff παίρνουµε: 0 = - I 1 R - I R - I 1 R + (I - I 1 )R 0 = I 1 + I + I 1 - I I = 4I 1 + I () Σχήµα 18 Eφαρµόζοντας τον ίδιο κανόνα στο βρόχο (ΘKZHΘ) παίρνουµε την σχέση: 0 = - (I 1 - I )R - (I 1 - I )R - (I 1 - I )R + I R 4(I 1 - I ) - I = 0 4I 1 = 5I I = 4I 1 /5 (3) Συνδυάζοντας τις () και (3) έχουµε: I = 4I 1 + 4I 1 5 I = 4I 1 5 I 1 = 5I 4 (4) Έτσι η σχέση (1) µε βάση την (4) γράφεται: I- 5I $ # & = V " 4% R 14I 4 = V R I = 1V 7R (5) ος Tρόπος: Παρατηρούµε ότι, τα σηµεία Θ και Δ είναι συµµετρικά µεταξύ τους ως προς το επίπεδο ABKZ, οπότε θα έχουν το ίδιο δυναµικό και έτσι µπορούµε να τα ταυτίσουµε. Για τον ίδιο ακριβώς λόγο µπορούµε να ταυτίσουµε τα σηµεία H και Γ. Έτσι η συνδεσµολογία των δώδεκα συρµάτων µπορεί να απλοποιηθεί και να
πάρει τις µορφές που φαίνονται στα σχήµατα 19. Για την αντίσταση R του τελευ ταίου σχήµατος έχουµε την σχέση: R'= R R/ R + R/ = R 5R/ = R 5 (6) Σχήµατα 19 Eξάλλου για την ολική αντίσταση R ολ των δώδεκα συρµάτων ισχύει η σχέση: 1 R " = 1 R'+R + 1 (6) 1 = R R " 1 R + R/5 + 1 R = 5 7R + 1 R 1 = 1 R " 7R R " = 7R 1 (7) Άρα η ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει την ηλεκτρική γεννήτρια είναι: I = V (7) R " I= V 7R/1 I= 1V 7R
Έξη όµοια σύρµατα συνδέονται µεταξύ τους, ώστε ν αποτελούν τις ακµές ενός κανονικού τετράεδρου. Tο τετράεδρο τροφοδο τείται σε µια κορυφή του και στο µέσον µιας ακµής της έδρας, που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή αυτή, µε γεννήτρια πολικής τάσεως V. Eάν R είναι η αντίσταση κάθε σύρµατος, να βρεθεί η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει την ηλεκτρική γεννήτρια. ΛYΣH: Tο επίπεδο MAB περιέχει τα σηµεία τροφοδοσίας M και A του συστήµα τος των έξη συρµάτων και επί πλέον αποτελεί επίπεδο συµµετρίας του συστήµα τος. Άρα τα σύρµατα, που ανα δύο είναι συµµετρικά µεταξύ τους ως προς το επίπε δο αυτό, διαρρέονται µε ρεύµατα της ίδιας έντασης. Tο γεγονός αυτό σε συνδυα σµό µε τον πρώτο κανόνα του kirchoff στους διάφορους κόµβους του τετραέδρου, µας επιτρέπει να ταξινοµήσουµε τις συµβατικές φορές και τις εντάσεις των ρευµάτων, όπως φαίνεται στο σχήµα (0). Eφαρµόζοντας στην συνέχεια τον νόµο του Ohm πάνω στο σύστηµα των συρµάτων AΔ και ΔM παίρνουµε: Σχήµα 0 V = I 1 R + I R V R = I 1 + I 4 (1) Eφαρµόζοντας εξάλλου τον δεύτερο κανόνα του kirchoff στον βρόχο (AΓBA) παίρ νουµε την σχέση: 0 = -I 1 R + (I/ - I 1 )R + (I - I 1 )R 0 = I 1 + I/ + I I 1 3I/ = 4I 1 I 1 = 3I/8 ()
Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: V R = 3I 8 + I 4 = 5I 8 I = 8V 5R (3) ος Tρόπος: Παρατηρούµε ότι τα σηµεία Γ και Δ του τετραέδρου είναι συµµετ ρικά µεταξύ τους ως προς το επίπεδο συµµετρίας AMB, που σηµαίνει ότι τα ση µεία αυτά έχουν το ίδιο δυναµικό και εποµένως µπορούµε να ταταυτίσουµε. Mε τον τρόπο αυτό η συνδεσµολογία των εξη συρµάτων απλοποιείται και παίρνει τις µορφές που φαίνονται στα επόµενα σχήµατα (1). H ισοδύναµη αντίσταση R AΓ µεταξύ των σηµείων A και Γ είναι: R A = (R/)(3R/) R/ + 3R/ = 3R /4 R = 3R 8 (4) H ολική ηλεκτρική αντίσταση R ολ της συνδεσµολογίας, θεωρούµενης µε άκρα τα σηµεία A και M είναι: R " = R A# + R 4 = 3R 8 + R 4 = 5R 8 (5) Σχήµατα 1 Άρα η ένταση I του ρεύµατος που διαρρέει την γεννήτρια είναι: I = V R " (5) I = 8V 5R P.M. fysikos