(ΘΕΜΑ 17ο)

Transcript

1 Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε τρεις αναρτήσεις στις οποίες µπορείτε να έχετε πρόσβαση, µέσω των επόµενων διευθύνσεων: (ΘΕΜΑ 7ο) (ΘΕΜΑ ο) (ΘΕΜΑ 7ο) Επειδή κατά την αντίληψή µου το θέµα σχετίζεται µε την κεντρική κί νηση, σκεύθηκα ότι µπορώ να εξετάσω τις πτυχές του εκµεταλευόµε νος την θεωρία των κεντρικών κινήσεων, εστιάζοντας όµως στον ενερ γειακό πυρήνα του προβλήµατος. Για να παρουσιάσω όσο πιο αναλυ τικά γίνεται το θέµα, το τεµάχισα σε τρείς ασκήσεις και µάλιστα η τρί τη άσκηση είναι µια παραλλαγή του γενικού προβλήµατος την λύση της οποίας έχω συναντήσει σε κάποιες ιστοσελίδες του διαδυκτί ου, αλλά προτιµώ την δική µου λύση. Δύο µικρά σφαιρίδια Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες και m συνδέον ται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, το οποίο διέρχεται από µια µικρή κυκλική οπή Ο, λείου οριζόντιου τραπεζιού. Το σφαιρίδιο Σ κρατείται πάνω στο τραπέζι σε απόσταση α από την οπή, ενώ το Σ κρέµεται µε το νήµα κατακόρυφο. Την χρονική στιγµή t= δίνουµε στο σφαιρίδιο Σ οριζόντια ταχύτητα, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ευθεία ΟΣ. i) Αφού αποδείξετε ότι η στροφορµή L του σφαιριδίου Σ περί το Ο είναι σταθερή, στην συνέχεια χρησιµοποιώντας για το σφαιρίδιο πολι κές συντεταγµένες (, φ) να δείξετε την σχέση:

2 + m & & dt L + + mg = E όπου Ε σταθερή ποσότητα, η επιτάχυνση της βαρύτητας και <<L. ii) Εάν η συνάρτηση: U ef ( ) = L + m g ονοµαστεί ενεργός δυναµική ενέργεια του συστήµατος των µαζών, m, να δείξετε ότι αυτή για ορισµένη τιµή της παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και ότι η είναι η απόσταση που αντιστοιχεί σε κυκ λική τροχιά της µάζας περί το Ο και σε ηρεµία της µάζας m. iii) Εάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης του συστήµατος εξασφαλίζουν για την µεταβλητή τον περιορισµό <<L, να δείξετε ότι η κυµαί νεται µεταξύ µιας ελάχιστης και µιας µέγιστης τιµής. Να βρείτε τις ακραίες αυτές τιµές στην περίπτωση που =m =m, v = g, α=l/ και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης U ef (). vi) Εάν οι αρχικές συνθήκες επιβάλλουν η µάζα να εκτελεί κυκλι κή τροχιά και η µάζα m να ηρεµεί, να δείξετε ότι µια µικρή κατακό ρυφη εκτροπή της µάζας m από την αρχική της θέση θα την αναγκά σει να εκτελεί αρµονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. Τι είδους κίνηση θα εκτελέσει η µάζα ; ΛΥΣΗ: i) To σφαιρίδιο Σ δέχεται το βάρος του, που εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου ορίζόντιου τραπεζιού και την τάση T του νή µατος, η οποία κατευθύνεται συνεχώς προς την οπή Ο, δηλαδή αποτελεί κεν τρική ελκτική δύναµη. Όλα τα παραπάνω εγγυώνται ότι η κίνηση του σφαι ριδίου Σ είναι επίπεδη και µάλιστα η τροχιά του βρίσκεται στο επίπεδο του τραπεζιού, αφού το διάνυσµα της αρχικής του ταχύτητας v ανήκει στο επίπε δο αυτό. Επί πλέον η στροφορµη L του σφαιριδίου περί το Ο, διατηρείται στα θερή διότι η συνισταµένη των ροπών περί το Ο των εξασκούµενων στο σφαιρί διο δυνάµεων είναι µηδέν. Εξάλλου κατά την κίνηση του συστήµατος η µη χανική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέ ση: K + U = K + U v v v ( ) = m v - m g L - + m v + m v + m g = m v + m v - m g( L - ) + m g + m g = v / + m g = E ()

3 όπου v, v οι ταχύτητες των σφαιριδίων Σ, Σ αντιστοίχως την χρονική στιγ µή που οι πολικές συντεταγµένες του Σ είναι (, θ), ενώ το Ε αποτελεί στα θερή ποσότητα µε φυσικές διαστάσεις ενέργειας. Όµως για το µέτρο της v ισχύει η σχέση: v = v + v = ' dt& + d ' dt& () Σχήµα όπου v, v η ακτινική και η αζιµουθιακή συνιστώσα αντιστοίχως της v, ενώ για το µέτρο της v ισχύει: v = v = & dt () Η () λόγω των () και () γράφεται: & dt + m d' & dt + m & dt + m g = E + m & & dt + m d' & dt Aκόµη για το µέτρο της στροφορµής L έχουµε την σχέση: L = v = d ' d dt& dt = oπότε η (4) γράφεται: + m g = E (4) L

4 + m & & dt + L + m g = E (5) ii) Εάν η συνάρτηση: U ef ( ) = L + m g (6) ονοµαστεί ενεργός δυναµική ενέργεια του συστήµατος, τότε η σχέση (5) παίρνει την µορφή: + m & & dt + U ef ( ) = E (7) Ας δεχθούµε τώρα ότι το σύστηµα βρίσκεται στην ιδιόµορφη κατάσταση, όπου η µάζα διαγράφει κυκλική τροχιά κέντρου Ο και η µάζα m ηρεµεί. Η κατά σταση αυτή χαρακτηρίζεται ως κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος και τότε η µεταβλητή έχει ορισµένη τιµή για την οποία η τάση T του νήµατος παίζει ρόλο κεντροµόλου δύναµης για την µάζα, δηλαδή ισχύει: T = m v m g = m v (8) Όµως L = v v = L m οπότε η (8) γράφεται: m g = m & L m = L (9) m g Θα δείξουµε ότι στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος ισχύουν οι σχέ σεις: d U & = και ef & > = = Παραγωγίζοντας την (6) ως προς παίρνουµε: & = - L = + m g & = - L (9) m = + m g & = - L m g + m = L g = Θεωρώντας την δεύτερη παράγωγο της (6) έχουµε:

5 d U ef & = > L 4 & = = L > 4 δηλαδή στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος η ενεργός του δυναµική ενέργεια παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Εξάλλου αν δεχθούµε ότι οι αρχικές συνθήκες του προβλήµατος εξασφαλίζουν ότι τα δύο σφαιρίδια δεν φθάνουν στην οπή (<<L), τότε η µεταβλητή θα παρουσιάζει µια µέγιστη και µια ελά χιστη τιµή που θα προκύψουν από το γεγονός ότι για τις αποστάσεις αυτές η ακτινική ταχύτητα της µάζας είναι µηδενική. Εάν λοιπόν R είναι η µέγιστη ή η ελάχιστη τιµή της τότε την αντίστοιχη χρονική στιγµή θα ισχύει: dt = (5) E - L R - m gr = E R - L - m gr = R - E L m g R + m g = R - v / + m g m g ' & R + m v m g = m R - v m g + ' & R + v m g = () H () είναι µια εξίσωση τρίτου βαθµού ως προς R και εύκολα αποδεικνύεται ότι έχει µια ρίζα ίση µε α. Από τις άλλες δύο ρίζες R, της () αποδεκτή θα είναι εκείνη που ικανοποιεί την σχέση <R, <L. Συγκρίνοντας µεταξύ τους τις ρίζες της () αποφαινόµαστε για τα όρια της µεταβλητής. Xάριν παραδεί γµατος ας δεχθούµε την περίπτωση που =m =m, v =gα και α=l/. Τότε η () παίρνει την µορφή: R - R + = () Eύκολα αποδεικνύεται ότι η () δέχεται ως ρίζα την R=α, ενώ για να βρούµε τις άλλες δύο ρίζες της R, R θέτουµε το πρώτο µέλος της υπό την µορφή: R - R + = ( R - )( R - R )( R - R ) και αφού εκτελέσουµε µερικές πράξεις βρίσκουµε ότι: R = ( + 5 ) και R = ( - 5 ) από τις οποίες δεκτή είναι η R. Άρα οι τιµές α, (+ 5)/ αποτελούν την µικρότερη αντιστοίχως την µεγαλύτερη τιµή της. Eξάλλου η τιµή της όταν το σύστηµα βρίσκεται στην κατάσταση ισορροπίας του είναι:

6 = m v = m g g = g δηλαδή θα έχουµε: Σχήµα < < (+ 5)/ H γραφική παράσταση της U ef () στην περίπτωση που επιλέξαµε, έχει την µορ φή του σχήµατος (). iii) Στην συνέχεια θα εξετάσουµε πως συµπεριφέρεται το σύστηµα όταν ευρι σκόµενο στην κατάσταση ισορροπίας του (= ) εκτραπεί πολύ λίγο από αυτήν, λογουχάρη µε µικρή κατακόρυφη µετατόπιση της µάζας m. Παραγωγίζοντας την (5) ως προς τον χρόνο t, παίρνουµε: ( + m ) d dt dt + dt = ( + m ) d dt dt + dt = d dt = - & + m dt () Eάν η συνάρτηση U ef αναπτυχθεί κατά Taylo σε µια περιοχή της τιµής ισορ ροπίας θα λάβουµε την σχέση: U ef ( ) = U ef ( ) + & - = ( ) + d U ef & - = ( ) +... U ef ( ) = U ef ( ) + + d U ef & - = ( ) +... () Eπειδή δεχθήκαµε ότι το σύστηµα εκτρέπεται πολύ λίγο από την κατάσταση ισορροπίας του, η µεταβλητή εγκλωβίζεται σε µια περιοχή του πολύ µικρού εύρους, µε αποτέλεσµα τους όρους που περιέχουν την διαφορά - σε δύναµη µεγαλύτερη του δύο να τους παραλείψουµε στην σχέση () και τότε αυτή παίρ νει την προσεγγιστική µορφή:

7 U ef ( ) U ef ( ) + d U ef ' - & = ( ) ( ) ( ) = - d U ef & (4) = Όµως παραγωγίζοντας δύο φορές την (6) ως προς, έχουµε: ( ) = - L + m g d U ef ( ) = L 4 d U ef & = = L 4 και η (4) γράφεται: ( ) = ( - ) L (5) 4 Συνδυάζοντας τις () και (5) παίρνουµε: d dt = - L + m & ( - ) d x 4 dt + L x ( + m ) = 4 d x dt + x = (6) όπου τέθηκε x=- και = L 4 ( ) + m Σχήµα Η (6) είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής:

8 x = Aµ (t + ) = + Aµ (t + ) (7) όπου Α, φ σταθερές που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες εκτροπής του συστήµατος. Η (7) εξασφαλίζει ότι η ακτινική κίνηση της µάζας είναι αρµο νική ταλάντωση κυκλικής συχνότητας ω, δηλαδή η µάζα αυτή εκτελεί περί την ευσταθή της κυκλική τροχιά ακτίνας κυµατοειδή κίνηση, στην διάρκεια της οποίας η απόστασή της από την οπή µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, µε κυκλική συχνότητα ω (σχ. ) Παρατήρηση: Εάν οι αρχικές συνθήκες κίνησης του συστήµατος των µαζών, m εξασφα λίζουν µεταβολή της απόστασης µεταξύ µιας ελάχιστης τιµής R min και µιας µέγιστης τιµής R max, τότε η µεν ακτινική κίνηση της µάζας θα είναι µη αρ µονική ταλάντωση µεταξύ των ακραίων θέσεων R min και R max, η δε κίνηση της µάζας m θα είναι κατακόρυφη µη αρµονική ταλάντωση µεταξύ των ακραίων θέσεων L-R mim και L-R max. Οι δύο αυτές ταλαντώσεις είναι περιοδικές της ίδιας περίοδο τ, που υπολογίζεται µέσω της σχέσεως (7), από την οποία λαµβάνουµε: & dt = E - U ef ( ) + m ( ) dt = E - U ef + m dt = + m E - U ef ( ) R max = m + m E - U ef R min ( ) R max = + m (8) E - U ef R min ( ) O υπολογισµός του ολοκληρώµατος στην σχέση (8) µπορεί να γίνει µε κατάλ ληλο µαθηµατικό πρόγραµµα που τρέχει σε ηλεκτρονικό υπολόγιστή P.M. fysikos Δύο µικρά σφαιρίδια Σ, Σ της ίδιας µάζας m συν δέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, το οποίο διέρχεται από µια µικρή οπή Ο, λείου οριζόντιου τραπεζιού. Το σφαιρίδιο Σ κρατείται πάνω στο τραπέζι σε απόσταση α από την οπή, το δε Σ κρέµεται κάτω από την οπή µε το νήµα κατακόρυφο. Την χρονική στιγµή t= το σφαιρίδιο Σ δέχεται ώθηση βραχείας διάρ κειας, µε αποτέλεσµα να αποκτά οριζόντια ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ευθεία ΟΣ. i) Nα εξετάσετε αν το σφαιριδίο Σ διαγράφει κυκλική τροχιά ακτί νας α, στην περίπτωση που το µέτρο της v είναι v = g, όπου g η

9 επιτάχυνση της βαρύτητας. Ποια είναι η µέγιστη κινητική ενέργεια του σφαιριδίου Σ ; ii) Να βρείτε την συνθήκη, ώστε για α=l/ το σφαιρίδιο Σ µόλις να προσεγγίζει την οπή. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι το σφαιρίδιο Σ διαγράφει πάνω στο τραπέζι κυκ λική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας α. Τότε το σφαιρίδιο Σ θα είναι ακίνητο και η τάση T του νήµατος επί του σφαιριδίου Σ θα έχει µέτρο ίσο µε mg. Όµως η τάση T αποτελεί για το Σ κεντροµόλο δύναµη και εποµένως πρέπει να ισχύει: T = v mg = mg g = g () Σχήµα 4 Όµως η () είναι άτοπη σχέση, που σηµαίνει ότι το Σ δεν διαγράφει κυκλική τροχιά ούτε το Σ είναι ακίνητο. ii) Σε κάθε θέση του συστήµατος η απόσταση του σφαιριδίου Σ από την οπή Ο µεταβάλλεται χρονικά ακολουθώντας τις επόµενες δύο διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες αποδείχτηκαν στην προηγούµενη άσκηση: και + m & & dt + L + m g = E () ( + m ) d dt = L - m g () όπου L η σταθερή στροφορµή του Σ περί το Ο και Ε σταθερή ποσότητα που δίνεται από την σχέση: E = m v + m g (4)

10 Όµως η ταχύτητα του σφαιριδίου Σ έχει το ίδιο µέτρο µε την ακτινική συνι στώσα της ταχύτητας του Σ, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο Σ αποκτά την µεγαλύτερη ταχύτητά του v max όταν ισχύει d /dt =, δηλαδή στην θέση = στην οποία, σύµφωνα µε την () ισχύει: L - m g = L m = mg = L m g = m v m g = g g = (5) Τότε η σχέση () δίνει: mv max + L (4),(5) m + mg = E mv max + m v m ( ) + mg = mv + mg v max + g ( ) + g = g + g v max = g - g - / - g / (6) H µέγιστη κινητική ενέργεια του σφαιριδίου Σ είναι: K max = mv max (6) K max = mg ( - / - ) - / (7) ii) Όταν το σφαιρίδιο Σ οριακά προσεγγίζει την οπή τότε /dt και L, οπότε στην περίπτωση αυτή η () δίνει: + L (4) L + m gl = E m v + mgl = mv ml + mg L v ( L/ ) + gl = v L + gl v - v 8 = gl - gl 4gL = v v = 4gL/ (8) H (8) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. P.M. fysikos

11 Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο τραπέζι που φέρει µικρή κυκλική οπή Ο. Το σφαιρίδιο είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµατος που διέρ χεται από την οπή. Την χρονική στιγµή t= δίνεται στο σφαιρίδιο κα τάλληλη ορίζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, ενώ ταυτόχρονα εφαρ µόζεται στο ελεύθερο άκρο του νήµατος κατακόρυφη δύναµη F. Εάν µε ειδικό µηχανισµό το µέτρο της F ρυθµίζεται, ώστε το άκρο του νήµατος να κατέρχεται µε σταθερή ταχύτητα, να δείξετε ότι το µέτρο αυτό µετα βάλλεται µε την απόσταση του σφαιριδίου από την οπή, σύµφωνα µε την σχέση: F =L /m όπου L η σταθερή στροφορµή του σφαιριδίου περί το Ο. ΛΥΣΗ: Το σφαιρίδιο εκτελεί πάνω στο τραπέζι καµπυλόγραµµη κίνηση, στην διάρκεια της οποίας η ακτινική συνιστώσα v της ταχύτητάς του v έχει µέτρο ίσο µε το µέτρο της σταθερής ταχύτητας V µε την οποία κατέρχεται το ελεύ θερο άκρο του νήµατος. Εξάλλου το µέτρο της αζιµουθιακής συνιστώσας v της ταχύτητας του σφαιριδίου µεταβάλλεται µε την απόστασή του από την οπή Ο, σύµφωνα µε την σχέση: d L = mv = m ' d dt& dt = L m () Σχήµα 5 Aν a είναι η ακτινική επιτάχυνση του σφαιριδίου, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε: ma = -T = -F () διότι το µέτρο της τάσεως T του νήµατος επί του σφαιριδίου είναι ίσο µε το µέτρο της F. Όµως για την ακτινική επιτάχυνση a ισχύει η σχέση:

12 a = d dt - d ' dt& = - d ' dt& () διότι /dt=-v=σταθερό, οπότε d /dt =. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: m d ' dt& () = F L F = m m & F = L m (4) Aπό την (4) παρατηρούµε ότι η δύναµη F ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου κύβου της απόστασης. Στο σχήµα (5) φαίνεται η τροχιά που διαγράφει το σφαι ρίδιο πάνω στο τραπέζι. P.M. fysikos