της µορφής:! F = -mk! r

Transcript

1 Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα θέσεως του σώµατος ως προς το Ο και k σταθε ρός συντελεστής αναλογίας. Κάποια στιγµή το σώµα συναντά ένα άλ λο ακίνητο σώµα µάζας m, µε το οποίο συγκρούεται µετωπικά. i) Εάν η κρούση είναι πλαστική, να βρεθεί η µορφή της τροχιάς που θα διαγράψει το συσσωµάτωµα µετά την κρούση. ii) Nα βρεθεί η µηχανική ενέργεια και η στροφορµή του συσσωµατώ µατος περί το ελκτικό κέντρο Ο. ΛΥΣΗ: i) Πριν την κρούση το σώµα κινείται επί κυκλικής τροχιάς υπό την επίδραση της δύναµης F, η οποία αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το σώµα, οπότε κάθε στιγµή ισχύει η σχέση: F mv mk mv v k (1) H (1) δηλώνει ότι το µέτρο της ταχύτητας v του σώµατος είναι σταθερό, δηλα δή η κίνησή του είναι οµαλή κυκλική. Εάν Α είναι η θέση κρούσεως του κινούµενου µε το ακίνητο σώµα και v, v A οι ταχύτητες του κινούµενου σώµα τος και του συσσωµατώµατος αντιστοίχως στην θέση αυτή, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει: m v + m v A v A v / () To συσσωµάτωµα θα κινείται στην συνέχεια υπό την επίδραση της κεντρικής δύναµης F -mk, οπότε η τροχία του θα είναι επίπεδη και µάλιστα θα ανή κει στο επίπεδο Οxy που καθορίζει η ταχύτητα v A και το διάνυσµα θέσως A του συσσωµατώµατος στο Α. Εφαρµόζοντας για το συσσωµάτωµα τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: F m a -mk m a -k x i + y j d x i + d y j dt dt d x/dt d y/dt -kx " -ky # d x/dt + kx " d y/dt + ky # (3) όπου x, y οι συντεταγµένες του συσσωµατώµατος την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε και i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy. Οι σχέσεις (3) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης της µάζας m στο σύστηµα Οxy. Οι εξισώσεις αυτές είναι οµογενείς γραµµικές δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές, που σηµαίνει ότι δέχονται λύσεις της µορφής:

2 x x µ "t + # y y µ "t + $ ' (' µε k (4) όπου x, y, φ, θ σταθερές ολοκλήρωσης που θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης της µάζας m. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t τις σχέ σεις (4) παίρνουµε τις συνιστώσες v x, v y (αλγεβρικές τιµές) της ταχύτητας v του συσσωµατώµατος, δηλαδή θα έχουµε τις σχέσεις: v x dx/dt x "#$ t + v x dy/dt y "#$ t + ') ( *) Οι σχέσεις (4) την χρονική στιγµή t αµέσως µετά την κρούση, δίνουν: (5) x "µ# y "µ$ ' x /"µ# $ ' (6) Σχήµα 7 Εξάλλου oι σχέσεις (5) για t δίνουν: x "#$ ' ( v A y "#$ ) " / ( ) # k/ y k$' * " / ( ) #/ y $' * (7) Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε: x, y / " # /, $ ' οπότε οι σχέσεις (4) παίρνουν την µορφή: x "µ #t + $ / ' y ( / )"µ #t + (' x/ "#$ t y/ µ t ') ( *)

3 x / "#$ t y /( / ) µ t ') ( *) (+ ) x + y ( / ) 1 (8) H (8) δηλώνει ότι η τροχιά του συσσωµατώµατος είναι έλλειψη µε κέντρο το Ο, µε µεγάλο ηµιάξονα µήκους α και µικρό ηµιάξονα µήκους α/. ii) Η δύναµη που δέχεται το συσσωµάτωµα ως κεντρική και χωροεξαρτώµενη είναι συντηρητική δύναµη, πράγµα που σηµαίνει ότι η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή κατά την κίνησή του επί της ελλειπτικής τροχιάς, δηλαδή είναι ίση µε την µηχανική του ενέργεια στην θέση Α, οπότε ισχύει: E µ" K A + U A mv A / + U A mv /4 + U A E µ" m# k/4 + U A (9) όπου U A η δυναµική ενέργεια της µάζας m στην θέση Α, η οφειλόµενη στην συντηρητική δύναµη F που δέχεται. Όµως για την δυµαµική ενέργεια U στην τυχαία θέση ισχύει η σχέση: F - du d du - mk - d du mkd (1) Mε ολοκλήρωση η (1) δίνει: U mk + C mk (11) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θεωρήθηκε συµβατικά ίση µε µηδέν. Με βάση την (11) η (9) γράφεται: E µ" m# k/4 + mk# 5m# k/4 (1) Επειδή η δύναµη F είναι κεντρική, η στροφορή L της µάζας m περί το Ο δια τηρείται σταθερή και ίση µε την στροφορµή της στην θέση Α, δηλαδή ισχύει: L L A m A [ ] ( v A ) m "v A #µ ($ / ) z L m k z (13) όπου z το κάθετο στο επίπεδο Οxy µοναδιαίο διάνυσµα, που µαζί µε τα µοναδι αία διανύσµατα i, j αποτελούν δεξιόστροφο σύστηµα. P.M. fysikos Η τροχιά ενός δορυφόρου της Γης είναι έλλειψη, της οποίας µια εστία συµπίπτει µε το κέντρο Ο της Γης ο δε µεγάλος ηµιάξονάς της έχει µήκος α.

4 i) Eάν e είναι η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς του δορυφό ρου και L το µέτρο της σταθερής στροφορµής του περί το κέντρο της Γης, να δείξετε την σχέση: L ( 1 - e )GMm όπου M, m η µάζα της Γης και του δορυφόρου αντιστοίχως και G η σταθερά της βαρύτητας. ii) Nα δείξετε ότι το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας του δορυφόρου ικανοποιεί κάθε στιγµή την σχέση: " v GM - 1 $ ' # όπου η αντίστοιχη απόσταση του δορυφόρου από το κέντρο της Γης. ΛΥΣΗ: i) Εαν v 1, v είναι οι ταχύτητες του δορυφόρου στο περίγειο Α 1 και στο απόγειο Α αντιστοίχως της ελλειπτικής τροχιάς του, λόγω της διατήρησης της µηχανικής του ενέργειας θα έχουµε την σχέση: mv 1 - GMm mv min - GMm v 1 - v GM min - GM (1) Σχήµα 8 Όµως το µέτρο της σταθερής στροφορµής του δορυφόρου περί το κέντρο της Γης ικανοποιεί τις σχέσεις: L mv 1 min mv οπότε η (1) παίρνει την µορφή: L m min - L GM m min - GM L 1 m # - " min 1 $ GM# 1 - " min 1 $ ()

5 Eξάλλου η εξίσωση της τροχίας του δορυφόρου σε πολικές συντεταγµένες έχει την µορφή: (3) 1 + e"#$ όπου σταθερή θετική ποσότητα χαρακτηριστική της ελλειπτικής τροχιάς και e η εκκεντρότητά της για την οποία ισχύει <e<(1. Η (3) εφαρµοζόµενη για το περίγειο Α 1 και το απόγειο Α δίνει: και min 1 + e"# 1 + e 1 + e"#$ 1 - e (4) (5) Η () λόγω των (4) και (5) γράφεται: L ( 1 + e) m - L ( 1 - e) m GM 1 + e e $ # " L m "# 1 + e - ( 1 - e) $ GM( 1 + e e) 4eL m egm L GMm (6) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (4) και (5) παίρνουµε: + min 1 - e e 1 + e e 1 - e 1 - e 1 - e ( 1 - e ) (7) Συνδυάζοντας την (6) µε την (7) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: L ( 1 - e )GMm (8) ii) Εαν v είναι η ταχύτητα του δορυφόρου στην τυχαία θέση Δ και η αντί στοιχη απόστασή του από το κέντρο Ο της Γης, τότε η διατήρηση της µηχανι κής ενέργειας του δορυφόρου επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: mv - GMm mv - GMm v - GM L - GM (6) m v - GM GMm - GM (5) m v - GM GM 1 - e - GM ( 1 - e )

6 v - GM GM ( 1 - e ) - ( 1 - e $ ) "# v (7) - GM - GM 1 - e v - GM - GM " v GM - 1 $ ' # P.M. fysikos Κατά την κίνηση της Γης περί τον Ηλιο δεχόµαστε ότι το κέντρο της Γης διαγράφει ελλειπτική τροχιά, της οποίας µια εστία συµπίπτει µε το κέντρο του Ήλιου τον οποίο θεωρούµε σφαιρι κό και οµογενές ουράνιο σώµα ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς ενός αποµεµακρυσµένου αστέρα. i) Να δείξετε ότι αν η Γη βρίσκεται στο περιήλιο ή στο αφήλιο, τότε η απόσταση R του κέντρου της από το κέντρο του Ήλιου ικανοποιεί την σχέση: ER + GMmR + L /m όπου E η σταθερή µηχανική ενέργεια της Γης, M, m η µάζα του Ήλι ου και της Γης αντιστοίχως, L το µέτρο της σταθερής τροχιακής στρο φορµής της Γης περί το κέντρο του Ήλιου και G η σταθερά της βαρύ τητας. ii) Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, η µηχανική ενέργεια Ε δίνεται από την σχέση: E -GMm/ όπου α το µήκος του µεγάλου ηµιάξονα της τροχιάς του κέντρου της Γης. iii) Να δείξετε ότι η εκκεντρότητα e της ελλειπτικής τροχιάς ικανο ποιεί την σχέση: e 1 + EL G M m 3 ΛΥΣΗ: i) Κατά την κίνηση της Γης περί τον Ήλιο η µηχανική της ενέργεια Ε διατηρείται σταθερή, υπολογίζεται δε κάθε χρονική στιγµή t από την σχέση: E mv / - GMm/ (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου της Γης και η απόστασή του από το κέντρο του Ήλιου την στιγµή t. Όµως αν v, v είναι η ακτινική και η αζιµουθιακή συνιστώσα αντιστοίχως της v, τότε η (1) γράφεται:

7 E m v ( + v ) - GMm m (" d * $ ' # dt ) * " + d $ ' # dt + -, - - GMm Εξάλλου το µέτρο της σταθερής στροφορµής L της Γης περί το κέντρο Ο του Ήλιου, δίνεται από την σχέση: () L mv m d dt L m d dt (3) Σχήµα 9 Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: E m ' d$ )# " dt ( ) + L *, m +, - GMm (4) Όταν όµως η Γη βρίσκεται στο περιήλιο ή στο απόγειο, τότε ισχύει (d/dt) R και η (4) παίρνει την µορφή: E m L m R - GMm R L mr - GMm R mr E L - GMm R ER + GMmR - L /m (5) ii) H (5) είναι εξίσωση δεύτερου βαθµού ως προς R και έχει δύο ρίζες θετικές, αν λάβουµε υπ όψη µας ότι Ε<. Η µεγαλύτερη ρίζα R max αντιστοιχεί στο αφή λιο και η µικρότερη R min στο περιήλιο, το δε γινόµενο τους είναι -L /me, οπό τε θα έχουµε: R max R min - L / me (6) Eξάλλου η εξίσωση της τροχίας του κέντρου της Γης σε πολικές συντεταγµένες (, φ) έχει την µορφή: 1 + e"#$ (7) όπου σταθερή θετική ποσότητα χαρακτηριστική της ελλειπτικής τροχιάς και e

8 η εκκεντρότητά της για την οποία ισχύει <e<(1. Η (7) εφαρµοζόµενη για το περιήλιο Π και το αφήλιο Α της Γης, δίνει: και R min R max 1 + e"# 1 + e 1 + e"#$ 1 - e και η (6) γράφεται: $ $ # # -L " 1 - e " 1 + e me 1 - e -L me (8) Όµως στο προηγούµενο θέµα αποδείκτηκε η σχέση L GMm, οπότε η (8) γρά φεται: 1 - e -GMm me 1 - e -GMm (9) E Aκόµα έχουµε: R max + R min ( 1 + e ) 1 - e e e 1 - e 1 - e 1 - e 1 - e (1) Συνδυάζοντας την (9) µε την (1) παίρνουµε: ( 1 - e ) -GMm 1 - e E E - GMm (11) iii) Οι ρίζες της (5) είναι: και R max - GMm E - 1 E R min - GMm E + 1 E ( GMm ) + 4EL m ( GMm ) + 4EL m - GMm E - GMm E - GMm E + GMm E 1 + EL G M m EL G M m 3 Σχηµατίζοντας την διαφορά των ριζών αυτών έχουµε: R max - R min - GMm E 1 + EL G M m 3 (11)

9 1 - e e GMm GMm/ 1 + EL G M m 3 - ( 1 - e) 1 + e 1 + e 1 - e 1 + EL - ( 1 - e) G M m e 1 + EL e EL e G M m 3 G M m 3 ( 1 - e )e 1 + EL 1 - e G M m e 1 + EL 3 G M m 3 P.M. fysikos Υλικό σώµα µάζας m, έλκεται από σταθερό κέντρο Ο µε δύναµη F, η οποία περιγράφεται από την σχέση: F -mk / 4 όπου το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς το Ο και k σταθερή θετική ποσότητα. Την χρονική στιγµή t το σώµα βρίσκεται σε απόσταση από το Ο και έχει ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο διάνυσµα θέσεώς του. i) Να εξηγήσετε αν το σώµα θα φθάσει ή όχι στο ελκτικό κέντρο Ο. ii) Εάν k> v να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του σώµατος σε πολι κές συντεταγµένες, µε πόλο το ελκτικό κέντρο. iii) Mε την παραπάνω προυπόθεση να δείξετε, ότι το σώµα τελικά θα φθάσει στο Ο και να βρείτε τον απαιτούµενο χρόνο για να συµβεί αυ τό. Δίνεται ότι: dx cosh x tanhx ΛΥΣΗ: i) Επειδή το υλικό σηµείο κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύνα µης, η κίνησή του είναι επίπεδη η δε στροφορµή του L περί το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη, διατηρείται σταθερή και προφανώς ίση µε την στροφορµή του κατά την χρονική στιγµή t. Με βάση τα παραπάνω µπορούµε να γράψουµε την σχέση: L mv (1)

10 Εάν U εν () είναι η ενεργός δυναµική ενέργεια του σώµατος και U() η δυναµική του ενέργεια η οφειλόµενη στην κέντρική δύναµη F, όταν αυτό βρίσκεται σε τυχαία θέση της τροχιάς του, θα ισχύει η σχέση: (1) U " () U() + L / m U " () U() + m v / m U " () U() + mv / () όπου η επιβατική ακτίνα του σώµατος ως προς το Ο. Όµως η U() θα προκύ ψει από την σχέση: F - du() d - mk 3 - du() d du() mk 3 d (3) H (3) µε ολοκλήρωση δίνει: U() - mk + C - mk (4) όπου η σταθερά ολοκλήρωσης C θεωρήθηκε µηδενική, αν συµβατικά δεχθούµε µηδενική την δυναµική ενέργεια σε άπειρη απόσταση από το ελκτικό κέντρο. Συνδυάζοντας την () µε την (4) παίρνουµε: U " () - mk + mv m v - k (5) Εξάλλου κατά την κίνηση του σώµατος η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή και ίση µε εκείνη που αντιστοιχεί την χρονική στιγµή t, δηλαδή θα έχουµε: E µ" mv - mk m # v - k ( (6) $ ' Aπό την (6) παρατηρούµε τα εξής: α. Αν v >k / β. Αν v <k / ή v >k τότε Ε µηχ >. ή v <k τότε Ε µηχ <. γ. v k / ή v k τότε Ε µηχ. Όµως σε κάθε θέση του σώµατος ισχύει η σχέση: m d $ # " dt E µ'( - U )* () d$ # " dt E µ'( - U )* () m (7) από την οποία προκύπτει ότι η κίνηση του σώµατος είναι δυνατή σε περιοχές του κεντρικού δυναµικού πεδίου για τις οποίες ισχύει Ε µηχ U εν (). Στο σχήµα (1) φαίνεται το διάγραµµα της U εν () και της Ε µηχ σε συνάρτηση µε την απόστα

11 ση στην περίπτωση v >k, από το οποίο παρατηρούµε ότι η προη γούµενη συνθήκη εκπληρώνεται για, που σηµαίνει ότι το σώµα δεν έχει την δυνατότητα να πλησιάσει προς το ελκτικό κέντρο, αλλά θα αποµακρύνεται από αυτό. Σχήµα 1 Στο σχήµα (11) φαίνονται τα αντίστοιχα διαγράµµατα της U εν () και της Ε µηχ στην περίπτωση v <k και διαπιστώνουµε ότι η συνθήκη Ε µηχ U εν () εκπλη ρώνεται για, που σηµαίνει ότι το σώµα έχει την δυνατότητα να πλησιάσει προς το ελκτικό κέντρο. Τέλος για v k θα ισχύει d/dt που σηµαίνει ότι η απόσταση του σώµατος από το Ο θα είναι κάθε στιγµή σταθερή, που σηµαίνει ότι το σώµα θα κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο και ακτίνας. Σχήµα 11 ii) Από την θεωρία της κίνησης σώµατος σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων είναι γνωστό ότι η µεταβλητή u1/ ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση: d u d + u - m L u F " 1 $ ' # u η οποία στην περίπτωση που εξετάζουµε µετασχηµατίζεται ως εξής: d u d + u m k u 3 m v u d u d + u k u v d u d + " 1 - k $ v ' # u d u d - " (8) µε ω 1-k / v >, διότι θέλουµε να εξετάσουµε τι συµβαίνει για v <k. H (8)

12 είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: u C 1 e " + C e -" (9) όπου οι σταθερές C 1, C θα καθορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Παραγωγίζοντας την (9) ως προς θ έχουµε: du/d "C 1 e " - "C e -" " ( C 1 e " - C e ) -" (1) Όµως ισχύει: και du d 1 $ # " L m d dt - d du dt - 1 d dt d dt du d L mv v m m d dt - 1 d dt οι οποίες συνδυαζόµενες δίνουν: du d - " 1 $ ' # v d dt " du $ ' # d t " 1 " d -$ ' $ ' # v # dt t Oι σχέσεις (9) και (1) την χρονική στιγµή t δίνουν: Σχήµα 1 Στο σχήµα (1) απεικονίζεται η τροχιά του υλικού σηµείου σε πολικές συντε ταγµένες. iii) Aπό την (11) προκύπτει ότι για θ +, δηλαδή ύστερα από άπειρες περισ τροφές γύρω από το ελκτικό κέντρο Ο, η απόσταση που σηµαίνει ότι το σώµα οριακά πλησιάζει το ελκτικό κέντρο. Ο χρόνος Τ * στον οποίο θα συµβεί αυτό υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: L m d dt (1) mv m d dt (11) dt d v cosh d v " $ # v d ' cosh

13 Oλοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: +" T * d v # T cosh * tanh v [ ] +" # sinh v $ cosh ( ' +" T * # e " - e -" v $ e " + e -" ( ' +) # e " - 1 v $ e " ( + 1' +) + lim e" - 1. v - "* +), e " + 1/ v P.M. fysikos Επί υλικού σηµείου ενεργεί η κεντρική δύναµη, F που περιγράφεται από την σχέση: F - C, > όπου C θετική σταθερή ποσότητα και το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του υλικού σηµείου, ως προς το σταθερό κέντρο Ο, από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη. Να δείξετε ότι η δύναµη εί ναι συντηρητική και να βρείτε την συνάρτηση δυναµικής ενέργειας από την οποία απορρέει η δύναµη. ΛΥΣΗ: Από την δοθείσα σχέση παίρνουµε: ( " F ) ) # " - C, # + $ (. - C " * ' - $ 3 ( ' ( " F ) ) -C # 1 $ 3 ( " + 1 ", + ( ) * ' 3. (1) - Όµως σύµφωνα µε τον ορισµό της κλίσεως µιας µονόµετρης συνάρτησης, θα έχουµε " 1 $ ' # 3 d " 1 $ d # 3 ' -3 () 4 Ακόµη ισχύει η σχέση: " i j k #/#x #/#y #/#z x y z (3) όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Συνδυ

14 άζοντας τις σχέσεις (1), () και (3) παίρνουµε: " *# -C, -3 + $ 4 ( " ' 3) / 3C. 4 " διότι ( ). Άρα η δύναµη F είναι συντηρητική. Eξάλλου, εάν U() είναι η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας που αντιστοιχεί στην δύναµη F, θα ισχύει: F - U() - C - du() d du() Cd U() - C + k όπου k σταθερά ολοκλήρωσης που εξαρτάται από την τιµή της συνάρτησης U() σε µια ορισµένη θέση αναφοράς. P.M. fysikos