ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.

Transcript

1 Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του Ο κάθετα επί την ΑΒ, κατά x, µε x <<α. i) Nα βρείτε την δυναµική ενέργεια του σφαιριδίου που απορρέει από τις ελαστικές δυνάµεις των ελατηρίων, σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνσή του x από την θέση ισορροπίας του. ii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µιά τυχαία θέση στην οποία η αποµάκ ρυνσή του από τη θέση ισορροπίας Ο είναι x. Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του που αναιρείται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου επιπέδου και τις δυνάµεις F, F από τα τεντωµένα ελατή ρια, οι οποίες έχουν ίδιο µέτρο και είναι ισοκεκλιµένες ως προς την ΣΟ. Η συνισταµένη F " των δύο αυτών δυνάµεων είναι αντίρροπη προς την απο µάκρυνση x, η δε αλγεβρική της τιµή είναι: F " = -F #$%& = -(L - ')#$%& () όπου L το µήκος κάθε ελατηρίου, φ η γωνία των διανυσµάτων F και F " ενώ θετική φορά επί της ΣΟ θεωρήθηκε η φορά της αποµάκρυνσης. Όµως ισχύει συνφ=x/l, οπότε η () γράφεται:

2 F " = -(L - #) x L = -x $ - # ' $ & ) F % L " = -x - ( & % # ' ) () x + # ( Εξάλλου µπορούµε να γράψουµε: x + = + x / ( ) = ( + / x / ) " / (3) Eάν η σύνάρτηση f(x) = (+x /α ) -/ αναπτυχθεί σε σειρά και ληφθεί υπ όψη ότι x /α <<, τότε µε καλή προσέγγιση θα ισχύει η σχέση: ( + x / ) " / # - x (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουµε: $ F " = -x& - + % x # ' ) = - ( # x3 (4) Eπειδή η δύναµη F " είναι συντηρητική, µπορούµε να αποδόσουµε στο σφαι ρίδιο δυναµική ενέργεια U που απορρέει από την F ", υπολογίζεται δε από τη σχέση: du = -F " (4) du = x3 du = x3 (5) Ολοκληρώνοντας την (5) έχουµε: U = 4 x4 + C Eάν κατά σύµβαση δεχθούµε ότι στη θέση x= η δυναµική ενέργεια του σφαιριδίου είναι µηδενική, τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: U = 4 x4 (6) ii) Eφάρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δέυτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: m d x dt = F " (4) m d x dt = - x3 d x dt + m x3 = (7) H (7) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως, η οποία δέχεται µη ηµιτονική λύση και το γεγονός αυτό εγγυάται ότι το σφαιρίδιο αποτελεί ένα µονοδιάστατο αλλά µη αρµονικό ταλαντωτή. Εξάλλου κατά

3 την κίνησή του σφαιριδίου η µηχανική του ενέργεια παραµένει σταθερή, δήλαδή ισχύει η σχέση: mv + x4 4 = x 4 4 v = ( ) (8) x 4 m - x 4 Aπό την (8) προκύπτουν τα εξής: α. Για x=±x η ταχύτητα του σφαιριδίου µηδενίζεται, που σηµαίναι ότι αυτό κινείται µεταξύ των ακραίων θέσεων +x και x, οι οποίες είναι συµµετ ρικές µεταξύ τους ως προς τη θέση ισορροπίας Ο. β. Για x= η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του σφαιριδίου παίρνει µέγιστη τιµή (x /a) /m, όταν το σφαιρίδιο κινείται κατά την θετική φορά και ελά χιστη τιµή -(x /a) /m, όταν το σφαιρίδιο κινείται κατά την αρνητική φορά. Τα παραπάνω επιτρέπουν να ισχυριστούµε ότι η κίνηση του σφαιρι δίου είναι περιοδική µε περίοδο Τ ίση προς το τετραπλάσιο του χρόνου κίνησής του από τη θέση x= στην θέση x=x, δηλαδή ισχύει: x T = 4 (dt) = 4 (/v) T = 4 m x x " (9) x 4 - x 4 Mαθηµατική παρατήρηση Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος που εµφανίζεται στο δεύτερο µέλος της (9) παρατηρούµε τα εξής: x I = = x 4 - x 4 x = x 4 - (x / x ) 4 x [ ] x - (x / x ) 4 Θέτοντας x/x =u έχουµε ότι =x και ότι τα όρια της νέας µεταβλητής u είναι και. Έτσι η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: I = x x = - u 4 x () - u 4 Το εµφανιζόµενο ορισµένο ολοκλήρωµα εκφράζεται µε την βοήθεια της συνά ρτησης ΒΗΤΑ, αν εκτελέσουµε τον µετασχήµατισµό t=u 4, οπότε θα έχουµε: = u -3 dt - u 4 4 = ( - t) / 4 t-3/4 ( - t) - / dt = - u 4 4 t(/4)- ( - t) ( / )- dt = B(/4,/)

4 όπου χρησιµοποιήθηκε η λεγόµενη συνάρτηση ΒΗΤΑ, η οποία γενικώς ορί ζεται µέσω της σχέσεως: B(a,b) = t a- ( - t) b- dt, µε a> και b> Eξάλλου η συνάρτηση ΒΗΤΑ συνδέται µε την συνάρτηση ΓΑΜΑ µε τη σχέ ση: B(a,b) = (a)(b) (a + b) όπου η συνάρτηση ΓΑΜΑ ορίζεται µέσω της σχέσεως: (a) = # t a- e -t dt, µε a> Mε βάση τα παραπάνω θα έχουµε: διότι = "(/4)"(/) - u 4 4"(/4 + /) ="(/4) # 4"(3/4) (/) = # t -/ e -t dt = $ () Ακόµη έχουµε: (/4) = # t -3/4 e -t dt και (3/4) = # t -/4 e -t dt Συνδυάζοντας τις σχέσεις (9), () και () παίρνουµε τελικώς τη σχέση: T = m " #(/4) x #(3/4) P.M. fysios Σφαιρίδιο µάζας m είναι στερεωµένο στην άκρη ιδανικού ελατηρί ου σταθεράς, του οποίου η άλλη άκρη Ο είναι ακλόνητη. Το σφαι ρίδιο κρατείται ακίνητο σε θέση όπου το ελατήριο είναι οριζόντιο και έχει το φυσικό του µήκος α και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύ θερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Όταν το σφαιρίδιο αφεθεί ελεύθερο θα κινηθεί πάνω σε κατακόρυ

5 φο επίπεδο στο οποίο συνεχώς περιέχεται ο άξονας του ελατηρίου. Εξετά ζουµε το σφαιρίδιο κάτα µια τυχαία στιγµή t που ο άξονας του ελατηρίου σχηµατίζει µε τον κατακόρυφο άξονα Οψ γωνία φ. To σφαιρίδιο δέχεται στην θέση αυτή το βάρος του w και την δύναµη F από το ελάτήριο, η οποιά αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και την κατακόρυφη συνιστώσα F. Εφαρµόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση του οριζόντιου άξονα Οx παίρνουµε: m d x dt = -F x m d x dt = -Fµ" m d x = -(r - )"µ# dt m d x dt = -(r - ) x r d x dt + " m - % $ # r ' x = & d x dt + # m - & % ( x = () $ x + " ' όπου r η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το Ο την χρονική στιγµή t και x, ψ oι αντίστοιχες συντεταγµένες του. Εξάλλου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νέυτωνα κατά τον κατακόρυφο άξονα Οψ δίνει: m d dt = mg - F m d dt = mg - F"#$% m d dt = mg - (r - ")#$%& m d dt = mg - (r - ") r d dt + # m - " & % ( = g d $ r' dt + # m - " & % ( = g () $ x + ' Oι σχέσεις () και () αποτελούν ένα σύστηµα δύο µη γραµµικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως που η λύση του δεν είναι εφικτή µε αναλυτικό τρόπο. Είναι όµως δυνατή η γραφική λύση του συστήµατος µέσω ηλεκτρο νικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί καταλληλο πρόγραµµα. Στα τρία σχήµα τα που ακολουθούν φαίνονται οι γραφικες παραστάσεις των συναρτήσεων

6 x=x(t), y=y(t) και y=y(x), όπως αυτές προέκυψαν από τη γραφική λύση του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων () και () µε την χρήση του προγ ράµµατος mathematia. Σχήµα α. x=x(t) Σχήµα β. y=y(t) Σχήµα γ. y=y(x) P.M. fysios