τία θα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα, αλλά οι τιµές τους θα είναι αυτές που ζητούνται στο πρόβληµα, Εάν E! E 1 E 2

Transcript

1 Δύο όµοιες λεπτές µεταλλικές πλάκες A και B απεριόριστης έκτασης είναι αντικρυστές και προσγειωµένες σε από σταση d µεταξύ τους. Eάν µεταξύ αυτών τοποθετηθεί ένα σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο Q, σε απόσταση από την µια πλάκα, να υπολο γιστούν τα επαγωγικά φορτία που θα αναπτυχθόυν στις δύο πλάκες. ΛΥΣΗ: Tα επαγώµενα φορτία Q και Q στις πλάκες Α και Β αντιστοίχως εξαρτώνται από το φορτίο Q και από τις αποστάσεις του και d- από τις πλάκες, ενώ είναι ανεξάρτητα από το άν το φορτίο Q ειναι σηµειακό ή γραµµι κό ή επιφανειακό. Αν λοιπόν παραδεχθούµε ότι το φορτίο Q είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένο επί µιας επίπεδης επιφάνειας που βρίσκεται ανάµεσα στις δύο πλάκες σε αποστάσεις και d-, τότε τα επαγόµενα στις πλάκες ηλεκτρικά φορ Σχήµα τία θα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα, αλλά οι τιµές τους θα είναι αυτές που ζητούνται στο πρόβληµα, Εάν E, E είναι τα ηλεκτρικά πεδία µε πηγές τα φορτία Q, Q, Q θα ισχύουν για τα µέτρα τους οι σχέσεις *: Q S $ Q S& (:) Q Q () όπου σ, σ οι επιφανειακές πυκνότητες των φορτίων Q και Q. Εξάλλου, εάν V είναι το δυναµικό σε απόσταση από την πλάκα Α, θα έχουµε τις σχέσεις: * Οι σχέσεις αυτές αποδεικνύονται µε εφαρµογή του νόµου του Gauss

2 V - 0 V - 0 d - V " V d - $ (:) d - () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε: Q Q d - Q + Q Q d Q Q d Q - Q d Άρα Q -Q - Q Q -Q + Q d -Q - $ & (4) " d P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () το µεσαίο ηλεκτρό διο είναι µια διάτρητη πλάκα η οποία απέχει από τις µεταλλικές πλάκες K και A αντίστοιχες αποστάσεις και. Ένα ηλεκτρόνιο αναχωρεί εκ της ηρεµίας από την πλάκα K και διερχόµενο από κα ποιο διάκενο της µεσαίας πλάκας φθάνει στην πλάκα A. Nα εκφρά σετε τα ρεύµατα που προκύπτουν στους κλάδους KM, GN και AΛ στην διάρκεια της πτήσης του ηλεκτρονίου, σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις. ΛYΣH: Tο ηλεκτρόνιο στην διάρκεια της πτήσης του από την πλάκα K στην πλάκα G επάγει πάνω σ αυτές θετικά ηλεκτρικά φορτία q και q αντιστοίχως για τα οποία ισχύει η σχέση: q + q - () όπου το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου. Tο ηλεκτρόνιο όταν βρίσκεται σε απόσταση από την πλάκα K έχει κινητική ενέργεια (V K V ), όπου V το δυναµικό του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση από την πλάκα K. Όµως η κι νητική αυτή ενέργεια προσφερθηκε στο ηλεκτρόνιο από την γεννήτρια του κυκλώµατος, η οποία άντλησε ηλεκτρόνια από την διάτρητη πλάκα, οπότε θα ισχύει η σχέση: (V K -V ) q () Eξάλλου για το ηλεκτρικό πεδίο E που υπάρχει µεταξύ των πλακών K και G ισχύει η σχέση:

3 V E " V O E V E E V - Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και έχουµε: - q q (4) Διαφορίζοντας την σχέση (4) έχουµε: dq d dq d v (5) όπου το ρεύµα στον κλάδο GN κατά την χρονική στιγµή t που το ηλεκτρόνιο απέχει από την πλάκα K απόσταση και v η αντίστοιχη ταχύτητα του ηλεκτρονίου. Eπειδή το ηλεκτρικό πεδίο µεταξύ των πλακών K και G είναι Σχήµα περίπου οµογενές, η κίνηση του ηλεκτρονίου είναι οµαλά επιταχυνόµενη, οπό τε θα ισχύει η σχέση: v at F " t E t t (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) έχουµε: V q t 0 e q e t µε 0 t t (7) όπου t ( / ) / Eξάλλου διαφορίζοντας την σχέση () παίρνουµε: dq + dq 0 dq - dq (7) I K -

4 I K -V q 0 e t µε 0 t t (8) όπου I K το αντίστοιχο ρεύµα στον κλάδο KM. Όταν το ηλεκτρόνιο κινείται µεταξύ των πλακών G και A η ταχύτητά του παραµένει σταθερή, µε µέτρο που υπολογίζεται από την σχέση: v 0 v 0 V q $ 0 e & " / ενώ θα επάγονται φορτία µόνο επί των πλακών G και A, που σηµαίνει I K 0. Eάν q και q 3 είναι τα επαγωγικά φορτία επί των πλακών G και A αντιστοίχως κατά την χρονική στιγµή που το ηλεκτρόνιο απέχει από την πλάκα G κατά y, θα ισχύει σύµφωνα µε την πρώτη άσκηση η σχέση: q 3 y dq 3 dy I A v 0 (9) Σχήµα 3 όπου I A το ρεύµα στον κλάδο AO την στιγµή που το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε απόσταση y από την πλάκα G. Όµως ισχύει ακόµη η σχέση: q + q 3 - dq + dq 3 0 (7) -I A - v 0 / (0) Oι σχέσεις (9) και (0) έχουν νόηµα για t t t + /v 0. Mε βάση τα όσα εκτέθη καν παραπάνω οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων I K I K (t), (t)

5 Σχήµα 4 και I A I A (t) έχουν την µορφή που φαίνεται στο σχήµα (4). P.M. fysikos