3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α ΑΒ = ΑΓ + ΓΒ = ΓΑ + ΟΑ = γ α + α = α + γ 1 1 ΕΔ =ΕΒ+ΒΔ= α ΒΑ= α ( γ + α) = 1 ( α γ) ΓΑ = ΟΑ ΟΓ = α γ = ΕΔ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν ΒΜ η διάμεσος του και Ν μέσο αυτής να γραφεί το ΑΝ σαν γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ και ΑΓ ΛΥΣΗ ΑΓ ΑΒ + ΑΒ + ΑΜ Είναι ΑΝ = = 1 1 = ΑΒ+ ΑΓ 4 4 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μου ζητούν να αποδείξω μια διανυσματική εξίσωση Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ και Δ ισχύει ΑΔ+ΒΓ=ΑΓ ΔΒ (1) ΛΥΣΗ α' τρόπος 1
Αναλύουμε κάθε διάνυσμα στη σχέση (1) χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς το Α που είναι ένα από τα σημεία της διανυσματικής σχέσης ΑΔ + ΑΓ ΑΒ = ΑΓ ( ΑΒ ΑΔ ) ΑΔ ΑΒ = ΑΒ + ΑΔ, που ισχύει ή αλλιώς β τρόπος Αναλύουμε κάθε διάνυσμα στη σχέση (1) χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς το τυχαίο σημείο Ο ΟΔ ΟΑ + ΟΓ ΟΒ = ΟΓ ΟΑ ( ΟΒ ΟΔ) ή αλλιως ΟΔ ΟΒ = ΟΒ + ΟΔ, που ισχύει γ τρόπος Κάνουμε πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων ΑΔ + ΒΓ = ΑΓ ΔΒ ΑΔ ΑΓ = ΒΓ ΔΒ ΓΔ= ΔΒ+ΒΓ ΓΔ= ΔΓ, που ισχύει Αν Α, Β, Γ, Δ είν αι τέσσερα σημεία του χώρο υ να δειχτεί ότι: ΑΓ + 5ΔΒ + 3ΑΔ = ΔΓ + 5ΑΒ ΛΥΣΗ Κάνοντας χρήση των διανυσματικών ακτίνων των διανυσμάτων με αρχή τυχαίο σημείο Ο το πρώτο μέλος γράφεται: ΑΓ + 5ΔΒ + 3ΑΔ = ΟΓ ΟΑ + 5 ΟΒ ΟΔ + 3 ΟΔ ΟΑ = ΟΓ ΟΑ + 5ΟΒ 5ΟΔ + 3ΟΔ 3ΟΑ = ( ΟΓ ΟΔ ) + ( 5ΟΒ 5ΟΑ) = ΟΓ ΟΔ + 5 ΟΒ ΟΑ = ΔΓ + 5ΑΒ = ΟΓ 5ΟΑ + 5ΟΒ ΟΔ 3 Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν, Ρ, Σ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα Αν Ο είναι τυχαίο σημείο να δειχτεί ότι: α) ΟΜ + ΟΡ = ΟΝ + ΟΣ β) ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ = 0 ΟΜ + ΟΝ + ΟΡ + ΟΣ = 0 Μια διανυσματική ισότητα αποδεικνύεται ως εξής: α τρόπος Αναλύουμε κάθε διάνυσμα στην ισότητα χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία της διανυσματικής σχέσης β τρόπος Αναλύουμε κάθε διάνυσμα στην ισότητα χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς ένα τυχαίο σημείο Ο γ τρόπος Κάνουμε πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ α) Σύμφωνα με την ιδιότητα της διαμέσου έχουμε: ΟΑ + ΟΒ ΟΓ + ΟΔ ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΟΜ + ΟΡ = + = ΟΒ + ΟΓ ΟΑ + ΟΔ ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ΟΝ + ΟΣ = + = Συνεπώς είναι ΟΜ + ΟΡ = ΟΝ + ΟΣ β) ΟΜ + ΟΝ + ΟΡ + ΟΣ = 0 ΟΜ + ΟΝ + ΟΡ + ΟΣ = 0 ( ΟΑ+ΟΒ ) + ( ΟΒ+ΟΓ ) + ( ΟΓ+ΟΔ ) + ( ΟΔ+ΟΑ ) = 0 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ = 0 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ = 0 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Αν Μ, Ν, Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα να δειχτεί ότι για τυχαίο σημείο Ο ισχύει η ισότητα: ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = ΟΜ + ΟΝ + ΟΛ ΛΥΣΗ Είναι ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ γιατί το Μ είναι μέσο του ΑΒ ΟΝ = ΟΒ + ΟΓ γιατί το Ν είναι μέσο του ΒΓ ΟΛ = ΟΓ + ΟΑ γιατί το Λ είναι μέσο του ΓΑ Με πρόσθεση κα τά μέλη έχουμε: ΟΜ + ΟΝ + ΟΛ = ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ Αρα ΟΜ + ΟΝ + ΟΛ = ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ 5 Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των διαγω νί ων ΑΓ κ αι ΒΔ ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, να αποδειχθεί ότι ΑΒ+ΓΔ= ΜΝ Μια διανυσματική ισότητα αποδεικνύεται και χρησιμοποιώντας την σχέση με την διάμεσο Δηλαδή το ισούται για παράδειγ-μα με αν θεωρήσουμε το Μ μέσο του τμήματος ΛΝ : ΛΥΣΗ Το διάνυσμα ΜΝ με την βοήθεια του σχήματος το γράφουμε με δύο διαφορετικούς τρόπους ΜΝ = ΜΑ + ΑΒ + ΒΝ ΜΝ = ΜΓ + ΓΔ + ΔΝ Οι σχέσεις αυτές με πρόσθεση δίνουν: ΑΒ+ΓΔ= ΜΝ ΜΝ = ( ΜΑ + ΜΓ ) + ( ΑΒ+ ΓΔ ) + ( ΒΝ + ΔΝ) 3
διότι: ΜΑ + ΜΓ = 0, αφού το Μ είναι μέσο της ΑΓ ΒΝ + ΔΝ = 0, αφού το Ν είναι μέσο της ΒΔ 6 Για ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ ονομάζουμε Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ Να αποδειχθεί ότι ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ = 4ΜΝ ΛΥΣΗ Το διάνυσμα Μ Ν με την βοήθεια του σχήματος το γράφουμε με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους ΜΝ = ΜΑ + ΑΒ + ΒΝ ΜΝ = ΜΓ + ΓΔ + ΔΝ ΜΝ = ΜΑ + ΑΔ + ΔΝ ΜΝ = ΜΓ + ΓΒ + ΒΝ Οι σχέσεις αυτές με πρόσθεση δίνουν: 4ΜΝ =ΑΒ+ΑΔ +ΓΒ+Γ Δ (Τα διανύσματα ΜΓ ΜΑ είναι αντίθετα όπως και τα ΔΝΒΝ 7 Στην πλευρά ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημε ίο Δ τέτοιο, ώστε ΒΔ = ΔΓ Να αποδειχθεί ότι ΑΒ+ ΑΓ= 3ΑΔ ΛΥΣΗ Είναι ΒΔ = ΔΓ, οπότε ΒΔ = ΔΓ αφού είναι ομόρροπα Έτσι ΒΔ = ΔΓ ΑΔ ΑΒ = ( ΑΓ ΑΔ) ΑΔ ΑΒ = ΑΓ ΑΔ 3ΑΔ = ΑΒ + ΑΓ 8 Αν ισχύει η ισότητα 3ΑΓ = ΒΓ να δειχτεί ότι ΛΥΣΗ Αν Ο είναι η αρχή των διανυσματικών ακτίνων έχουμε: 3ΑΓ = ΒΓ 3( ΟΓ ΟΑ ) = ( ΟΓ ΟΒ) 3ΟΓ 3ΟΑ= ΟΓ ΟΒ ΟΓ = 3ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ = ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΑ= ΟΑ ΟΒ ΑΓ= ΒΑ ΑΓ = ΒΑ Όταν έχουμε να αποδείξουμε μια σχέση της μορφής (όπου το δεύτερο μέλος έχει κ διανύσματα) τότε το διάνυσμα το γράφουμε ως άθροισμα διανυσμάτων με κ διαφορετικούς τρόπους και μετά προσθέτουμε κατά μέλη τις ισότητες που έχουμε κατασκευάσει 4
9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα ΑΜ =ΒΓ ΒΝ = ΑΓ Να αποδειχτεί ότι είναι ΓΜ = ΝΓ και ΛΥΣΗ Αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις ΑΜ = ΒΓ και ΑΜ ΑΓ = ΒΓ ΒΝ ΓΜ = ΝΓ ΒΝ=ΑΓ οπότε: 10 Έστω Κ, Λ δύο διαφορετικά σημεία και οι σχέσεις κ + λ + μ = 0, κκα + λκβ + μκγ = 0 και κλα + λλβ + μλγ = 0 Να αποδειχτεί ότι αν ισχύουν δύο από τις παραπάνω σχέσεις, τότε ισχύει και η τρίτη ΛΥΣΗ 1 Έστω ότι ισχύουν οι κ + λ + μ = 0 (1) και κκα + λκβ + μκγ = 0 () Θα δείξουμε ότι ισχύει και η κλα + λλβ + μλγ = 0 Πράγματι: κ ΚΛ + ΛΑ + λ ΚΛ + ΛΒ + μ ΚΛ + ΛΓ = () 0 () 1 κ + λ+ μ ΚΛ+ κλα+ λλβ+ μλγ= 0 κλα+ λλβ+ μλγ= 0 Ομοίως αν ισχύουν οι κ +λ +μ = 0 (1), κλα+ λλβ+ μλγ= 0 τότε ισχύει και η κκα + λκβ + μκγ = 0 Έστω ότι ισχύουν οι κκα + λκβ + μκγ = 0 (3) και κλα + λλβ + μλγ = 0 (4) Θα δείξουμε ότι ισχύει και η κ + λ + μ = 0 Πράγματι με αφαίρεση των (3), (4) κ( ΚΑ + ΑΛ ) + λ( ΚΒ + ΒΛ ) + μ( ΚΓ + ΓΛ ) = 0 ( κ+ λ+ μ) ΚΛ = 0 κ + λ + μ = 0, αφού τα Κ, Λ είναι δύο διαφορετικά σημεία 11 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ζ του χώρου, για τα οποία ισχύει ότι ΑΓ + ΔΕ = ΔΓ + ΒΕ Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν () Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια σχέση και η άσκηση μας δίνει κάποιες προυποθέσεις τότε ακολουθούμε τους εξής τρόπους: α τρόπος Αναλύουμε τα διανύσματα της προυπόθεσης ως προς ένα σημείο αναφοράς και κάνουμε πράξεις Το αποτέλεσμα που βρίσκουμε το χρησιμοποιούμε για την απόδειξη της ζητούμενης σχέσης β τρόπος Αν μας δίνουν δύο ή περισσότερες προυποθέσεις τότε τις προσθέτουμε ή τις αφαιρούμε κατά μέλη ΛΥΣΗ 5
Έστω λοιπόν Ο τυχαίο σημείο Τότε: ΑΓ+ΔΕ=ΔΓ+ΒΕ ( ΟΓ ΟΑ ) + ( ΟΕ ΟΔ ) = ( ΟΓ ΟΔ ) + ( ΟΕ ΟΒ) ΟΑ = ΟΒ ΑΟ + ΟΒ = 0 ΑΒ = 0 Άρα τα σημεία Α και Β ταυτίζονται 1 Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε ισχύουν οι ισότητες ΑΓ = ΒΔ και ΕΒ = ΔΑ, να αποδείξετε ότι το Δ είναι μέσο του ΓΕ ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι ΓΔ = ΔΕ Έχουμε: ΑΓ = ΒΔ ΑΒ = ΓΔ (1) και ΕΒ = ΔΑ ΑΒ = ΔΕ () Από τις (1) και () προκύπτει ότι ΓΔ = ΔΕ 13 Δίνονται τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν είναι συνευθειακά Αν ΟΑ+ΟΓ=ΟΒ+ΟΔ, όπου Ο τυχαίο σημείο του χώρου, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Όταν μας ζητούν να δείξουμε ότι δύο σημεία Α, Β ταυτίζονται πρέπει: 1 Να αποδείξουμε ότι ή Να αποδείξουμε ότι Όταν μας ζητούν να δείξουμε ότι ένα σημείο Μ είναι μέσο του ΑΒ τότε αρκεί να δείξουμε: ΛΥΣΗ Θα αποδείξουμε ότι ΑΒ = ΓΔ και ΑΒ // ΓΔ Αρκεί να αποδείξουμε λοιπόν ότι ΑΒ = ΔΓ Έχουμε: ΟΑ + ΟΓ = ΟΒ + ΟΔ ΟΑ ΟΒ = ΟΔ ΟΓ ΒΑ=ΓΔ ΑΒ=ΔΓ 14 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου αυτού τα παραλληλό γραμμ α ΑΒΔΕ, ΑΛΚΓ και ΒΓΝΜ Να αποδείξετε ότι ισχύει ΕΛ + ΚΝ + ΜΔ = 0 ΛΥΣΗ Είναι: ΕΛ = ΕΑ + ΑΛ ΚΝ = ΚΓ + ΓΝ ΜΔ = ΜΒ + ΒΔ 6
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις παίρνουμε: ΕΛ+ΚΝ+ΜΔ=ΕΑ+ΑΛ+ΚΓ+ΓΝ+ΜΒ+ΒΔ= = ( ΕΑ+ΒΔ ) + ( ΑΛ+ΚΓ ) + ( ΓΝ+ΜΒ ) = 0+ 0+ 0= 0 15 Έστω τε τράπλε υρο ΑΒΓΔ κ αι Μ το μέσο της ΑΔ Από το Μ φέρν ου με ΜΕ = ΑΒ και ΜΖ = ΔΓ Να αποδειχθούν: 1 ΓΕ + ΒΖ = 0 και Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ, ΕΖ διχοτομούνται ΛΥΣΗ 1 Από υπόθεση τα ΜΖΓΔ και ΑΜΕΒ είναι παραλληλόγραμμα Αφού Μ μέσο ΑΔ είναι ΑΜ = ΜΔ άρα ΒΕ=ΖΓ (1) Έτσι έχουμε: () 1 ΓΕ+ΒΖ=ΓΖ+ΖΜ+ΜΕ+ΒΕ+ΕΜ+ΜΖ=0 Από ΓΕ+ΒΖ= 0 ΓΕ=ΖΒ το ΒΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο οπότε οι διαγώνιοι του ΒΓ και ΕΖ διχοτομούνται 5 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να αποδείξουμε ότι ένα διάνυσμα είναι σταθερό δηλαδή δεν εξαρτάται από μεταβλητό σημείο Όταν θέλουμε να απόδείξουμε μια σχέση και μας δίνουν ένα γεωμετρικό σχήμα τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του σχήματος 1 Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα u= 5ΜΑ 8ΜΒ+ 3ΜΓ είναι σταθερό (ανεξάρτητο του Μ) ΛΥΣΗ Αναλύουμε τα διανύσματα ως προς το Α οπότε έχουμε: u = 5ΑΜ 8 ΑΒ ΑΜ + 3 ΑΓ ΑΜ = ( ) 7
= 5ΑΜ 8ΑΒ + 8ΑΜ + 3ΑΓ 3ΑΜ = 8ΑΒ + 3ΑΓ Επομένως το u είναι ανεξάρτητο του Μ Να απο δειχτεί ότι τα δ ιανύσμ ατα: f( Μ ) = 5ΜΑ 3ΜΒ 4ΜΓ + ΜΔ και g( Ν ) = 5ΝΔ 3ΝΑ ΝΒ είναι σταθερά, ανεξάρτητα των θέσεων των σημείων Μ και Ν 3f Κ + g Λ και να βρεθεί το άθροισμα ΛΥΣΗ Τα διανύσματα γράφονται: f ( Μ ) = 5ΜΑ 3ΜΒ 4ΜΓ+ ΜΔ = 5ΜΑ 3( ΜΑ+ΑΒ) 4( ΜΑ+ΑΓ ) + ( ΜΑ+ΑΔ) = ( 5ΜΑ 3ΜΑ 4ΜΑ+ ΜΑ) 3ΑΒ 4ΑΓ+ ΑΔ = 3ΑΒ 4ΑΓ+ ΑΔ σταθερό διάνυσμα g ( Ν ) = 5ΝΔ 3ΝΑ ΝΒ 5 ΝΑ + ΑΔ 3ΝΑ ΝΑ + ΑΒ = 5ΝΑ 3ΝΑ ΝΑ + 5ΑΔ ΑΒ = 5ΑΔ ΑΒ σταθερό = Είναι: 3f Κ + g Λ = 3f Μ + g Ν γιατί τα διανύσματα είναι σταθερά = 3( 3ΑΒ 4ΑΓ + ΑΔ ) + 5ΑΔ ΑΒ = 11ΑΔ 11ΑΒ 1ΑΓ = 11 ΑΔ ΑΒ 1ΑΓ= 11ΒΔ 1ΑΓ 3 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε να είναι ανεξάρτητο του σημείου Μ το διάνυσμα f Μ = 3 x ΜΑ+ 3x ΜΒ+ x ΜΓ ΛΥΣΗ Το διανυσματικό άθροισμα f ( Μ ) γράφεται: f Μ = 3 x ΜΑ+ 3x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( 3 x) ( 3x) ( x ) ( 3x) ( x ) Η άσκηση 1 μπορεί να λυθεί και ως εξής: που είναι ανεξάρτητο του Μ Για να δείξουμε ότι μια διανυσματική παράσταση που περιέχει το μεταβλητό σημείο Μ είναι σταθερή τότε: Διαλέγουμε κάποιο σταθερό σημείο και αναλύουμε όλα τα διανύσματα ως προς αυτό Έπειτα με πράξεις επιδιώκουμε να απαλείψουμε το σημείο Μ από την παράσταση 8