ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β (Μονάδες 8 β Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.(μονάδες 10 γ Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος. (Μονάδες 7 ^ 1 α Ισχύει:, 4. β Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή: αντικαθιστώντας τις τιμές από την υπόθεση και το ερώτημα (α προκύπτει ισοδύναμα: γ Άρα 4 6. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18558 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ =(-4,-6 και ΑΓ =(,-8. α Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7 β Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι οξεία. (Μονάδες 10 γ Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(,1, να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. (Μονάδες 8 1

2 α ΑΜ διάμεσος επομένως, 1 (-4+,-6-8=(-1,-7. β συν ˆ = >0, άρα η ˆ <90 ο x - = -4 x = -1 γ =(-4,-6 (x B -,y B -1=(-4,-6 B B, άρα Β(-1,-5 yb-1= -6 y B = -5 x - = x = 5 =(,-8 ( x Γ -,y Γ -1=(,-8 Γ Γ, άρα Γ(5,-7 yγ -1= -8 y Γ = -7. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18581 Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α,β 60. α Να αποδείξετε ότι α β (Μονάδες 10 β Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β (Μονάδες 15 α Έχουμε: α α β β Επομένως α β α β συν60 1 β Είναι 4 14 α α β α β α α β β α β Επομένως α β α α β α β α α β β α β Επομένως α β 6

3 4. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18598 Δίνονται τα διανύσματα 6 9, και 1,6, όπου α Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο (Μονάδες 8 β Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. (Μονάδες 9 γ Για κ=1 να βρείτε το διάνυσμα. α 6 9 6( β γ Για κ=1 έχουμε 6 9,1 άρα ( 1,6 (4, (,8 1 4, και 1,6 5. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_1860 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες 1 β Να δείξετε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα. (Μονάδες 1 α Θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το Α, έχουμε για το διάνυσμα : 5 ( β Για να δείξουμε ότι τα διανύσματα και είναι παράλληλα, αρκεί να βρούμε έναν αριθμό τέτοιο, ώστε. Από το προηγούμενο ερώτημα, έχουμε: ( Άρα //.

4 6. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18604 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε:,. 5 7 α Να γράψετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. (Μονάδες 1 β Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ, και Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 1 α Ε Ζ Δ Γ Είναι: (Ισχύει ότι λόγω του κανόνα του παραλληλογράμμου Είναι: 5 = 1- ΑΒ- ΑΔ = ΑΒ- ΑΔ β Αρκεί να δείξω μια σχέση της μορφής ΖΒ = λεζ, λ R Είναι: 5 και Άρα //, συνεπώς τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά. 4

5 7. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18605 Δίνονται τα διανύσματα: = +4, = +, =5-5,όπου και είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα. ΑΝα βρείτε τις συντεταγμένες των και (Μονάδες:1 ΒΝα εξετάσετε αν τα Α,Β,Γ μπορούν να είναι κορυφές τριγώνου (Μονάδες:1 αεπειδή γνωρίζουμε τα,,,συναρτήσει των και από τον ορισμό συντεταγμένων διανύσματος θα πάρουμε: =(,4, =(,1, =(5,-5. Θεωρώντας Ο ως σημείο αναφοράς παίρνουμε: = - =(,1-(,4=(-,1-4=(1,- = - =(5,-5-(,1=(5-,-5-1=(,-6 βπαίρνοντας ορίζουσα για τα και έχουμε: det(, = =-6+6=0,επομένως και επειδή υπάρχει κοινό σημείο το Β, τα σημεία Α,Β,Γ θα είναι συνευθειακά άρα δεν αποτελούν κορυφές τριγώνου. 8. ΘΕΜΑ 4 ΚΩΔΙΚΟΣ_18609 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι λ λ, ΑΓ λ λ, όπου λ και λ, και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ α Να αποδείξετε ότι λ λ (Μονάδες 7 β Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα ΑΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α λ λ (Μονάδες 8 γ Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10 α Από τον τύπο της διανυσματικής ακτίνας μέσου τμήματος, αν θεωρήσουμε το Α ως σημείο αναφοράς, έχουμε ΑΜ ΑΒ ΑΓ λ λ λ λ. β Ο συντελεστής διεύθυνσης του α είναι λ α λ λ και του ΑΜ είναι λ 5

6 λ ΑΜ λλ, έχουμε ΑΜ α. Άρα λ α λ ΑΜ λ λ λ ή λ Από την υπόθεση όμως λ, συνεπώς λ. γ Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: ΑΒΓ ΑΓ Για λ προκύπτει: ΑΒ και ΑΓ, τότε ΑΓ Άρα ΑΒΓ ΑΓ τ.μ 6

7 9. Δίνονται τα διανύσματα ( 4, και (1,, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα. (Μονάδες 4 β Αν Γ(α,β είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε : i. Να αποδείξετε ότι (,4 και ( 4, (Μονάδες 5 ii. Να αποδείξετε ότι 4 10 (Μονάδες 6 iii. Αν επιπλέον τα διανύσματα και είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 10 α ( 4, (1, 41 ( β άρα. i. ( 1, (4, (,4 ii. iii. και (, (4, ( 4, Το Γ είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β δηλ. με άπλα λόγια τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακα άρα : 4 // det, 0 0 ( 4( (1 0 (, (, ( Τις σχέσεις (1 και ( τις κάνω σύστημα : προσθέτω κατά μέλη και έχω : και Άρα,

8 10. ΘΕΜΑ 4 ΚΩΔΙΚΟΣ :18616 Δίνονται τα διανύσματα,, και, R. α Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο β Αν ισχύει τότε : i Να αποδείξετε ότι κ=- a για τα οποία ισχύουν, 1,, 60 ii Να υπολογίσετε το μέτρο του iii Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι κάθετα α Eίναι a b a b a b a b β i Έχουμε.., iiγια κ=- έχουμε iii Έχουμε ( ( 7 14 Οπότε τα διανύσματα είναι κάθετα. 8

9 9 11. ΘΕΜΑ 4 ΚΩΔΙΚΟΣ_18618 α Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμία από τις ισότητες : και (Μονάδες 10 β Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν : 0 και 7 4. i. Να αποδείξετε ότι : και (Μονάδες 8 ii. Να αποδείξετε ότι : 0 7 (Μονάδες 7 α ( ( (. Ομοίως : ( (. β i. Έστω : 7 4, άρα, 4 και 7. 0 ( ( , ( 1, ( 4 1, ( Άρα 0, ( δηλ. 0 ( ( , ( 8, ( 7 4 1, ( Άρα 180, ( δηλ.. ii. Αφού με 0 Άρα : (αφού 0

10 4 Άρα, οπότε από τη σχέση : 0 με αντικατάσταση του 4 έχω : ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0054 Θεωρούμε τα σημεία Ρ,Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5 α Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ και Μ είναι συνευθειακά. β Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει Όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. α 5 Άρα τα Λ,Κ,Μ συνευθειακά. β (Μονάδες 10 (Μονάδες 15 που ισχύει από το προηγούμενο ερώτημα. 10

11 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ :0055 Θεωρούμε τα σημεία Α α 1,, Βα,4 και Γ 4,5α 4, α R. α Να βρείτε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ. β Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 8 (Μονάδες 10 γ Ανα 1, να βρείτε αριθμό λ ώστε ΑΓ λαβ. (Μονάδες 7 α Το διάνυσμα ΑΒ έχει συντεταγμένες: Β Α Β Α ΑΒ χ χ, ψ ψ α α 1, 4 1,1 Το διάνυσμα ΒΓ έχει συντεταγμένες : ΒΓ χ χ, ψ ψ 4 α, 5α α, 5α. Γ Β Γ Β β Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν det AB, ΒΓ det AB, ΒΓ α 1 ( 4 α 0 4 α 5α Έχουμε : 5α 4 α 0 4α 4 α 1 γ Αν α 1 τότε τα σημεία είναι : Α,, Β1,4 και Γ 4,9. Οι συντεταγμένες του ΑΓ είναι : ΑΓ χ χ, ψ ψ 4, 9 6, 6 Είναι :. Γ Α Γ Α α 6 λ 1 ΑΓ λαβ 6, 6 λ 1,1 λ 6 6 λ Θέμα ΚΩΔΙΚΟΣ :0061 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεί 1,1, 4,, α Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του. (Μονάδες 9 β Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16,. 11

12 α β Το σημείο Κ είναι μέσο του ΑΓ, άρα,, ή,. Το σημείο Κ είναι μέσο του ΒΔ, άρα: Έστω x,y. 5 x 5 x x, ό ί,1. y 4 y y ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0071 Θεωρούμε τα σημεία 1, 4 και 5 1,,. α Να γράψετε το AB συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10. (Μονάδες 1 β Έστω. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα xx ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές με βάση την. (Μονάδες 1 α Έχουμε: AB 5 1 1, , 4, 5, οπότε είναι: AB : 1. 1 AB : E. Η ρίζες της είναι: έχει διακρίνουσα: Έχουμε : ή, x,0 σημείο του άξονα x x. β Έστω Για, είναι: , οπότε οι επομένως:. A 5,6 5 x 6 0 x 10x 5 6 x 10x 61, Ακόμη είναι 1

13 11, B 11 x 0 x x 11 4 x x 15. Για να είναι το είναι ισοσκελές τρίγωνο με βάση την, πρέπει και αρκεί να τα σημεία Μ,Α,Β να μην είναι συνευθειακά και να ισχύει: x 10x 61 x x 15 x 10x 61 x x 15 10x x x 64 x, ά, 0. 16, 0, έ ,6 0,6, 11, 0,, det, 0, ό ύ, ί 17 ά, έ ί,, ί ά ά ί έ ώ. 16 ά ύ ό ύ ίί, ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_ 007 Δίνονται τα σημεία,, 1,5 και, 4 α Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο.. β Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς το μέσο της. γ Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. ΛΥΣΗ: α Βρίσκουμε τα διανύσματα AB και A. AB ( x x, y y ( 1,5 (, A ( x x, y y (, 4 ( 4, 7 (Μονάδες 8 (Μονάδες 10 ( Μονάδες 7 1

14 Παρατηρούμε ότι det( AB, A Άρα τα AB και A είναι μη συγγραμμικά και επομένως τα,, σχηματίζουν τρίγωνο. β Το σημείο Μ είναι μέσο της ΑΓ άρα x x x x 0 x 1 y y 4 y y y Επομένως 1 0,. Έστω ( x, y το συμμετρικό του Β ως προς το Μ. Το σημείο Μ είναι μέσο και της ΔΒ, οπότε: Άρα Δ(1,-6. γ 1 ος τρόπος: x x y y x y x x x y y y x x x y y y x x y 5 1 y 6 Παρατηρώ ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιες διχοτομούνται, εφόσον το Μ είναι μέσο της ΑΓ και ΒΔ, άρα παραλληλόγραμμο. ος τρόπος: Βρίσκουμε το διάνυσμα ( x x, y y ( 1, 4 6 (, Παρατηρώ ότι ( ( ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. // 14

15 17. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_ 0148 Δίνονται τα διανύσματα i j, i 5j και 7,. α Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. (Μονάδες 10 β Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και. (Μονάδες 15 α Είναι : i j 1,, i 5 j, 5 και 7, με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης :, και. 7 Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί οπότε τα διανύσματα,, είναι μη συγγραμμικά ανά δύο. β Αρκεί να προσδιορίσουμε πραγματικούς αριθμούς, ώστε να είναι:. Είναι 7, 1,, 5 7,,, 5 7,, Επομένως

16 18. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_005 Δίνονται τα διανύσματα α, β με β α 4 και α β 8 α Να υπολογίσετε τη γωνία (α, β β Να αποδείξετε ότι β α 0. (Μονάδες 10 (Μονάδες 15 α Έστω (α, β φ και Έχουμε ότι : 0 (α, β 180. β 4. β α 4 α 4 α. αβ 8 β 4, α α β α β συνφ 8 4συνφ συνφ 1 β Αφού τα διανύσματα α, β είναι αντίρροπα, θα υπάρχει λ 0 τέτοιος ώστε β α α0 λ0 β λ α β λ α α λ α λ λ λ Άρα β α β α ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0056, Έστω και δύο διανύσματα με, ανα υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα και βνα βρείτε το μέτρο του διανύσματος. α Είναι:. 5 και. 6 (Μονάδες 16 (Μονάδες 9 16

17 5, β Είναι Απ όπου έπεται ότι: , 0. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0070 Έστω, δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν 9, 1 και (, ανα βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων, και το εσωτερικό γινόμενο. (Μονάδες 1 βνα υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος. (Μονάδες 1 ΛΥΣΗ: α Για τον υπολογισμό των μέτρων των διανυσμάτων,, επιλύουμε το σύστημα 9 : 1. Είναι 17

18 Επομένως το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με : 1 (, β Για το μέτρο του διανύσματος έχουμε: ( Απ όπου έπεται ότι 61.. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ 0057 π Δίνονται τα διανύσματα α,β,με α 1, β και α,β. Να υπολογίσετε τα εξής: α το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β και κατόπιν την τιμή της παράστασης α α (β β το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων α β και β α. (Μονάδες 10 ΛΥΣH : π α Είναι: α 1, β,και α,β,οπότε έχουμε (Μονάδες 15 1 αβ α. β.συνα,β και α α (β α αβ

19 β Έχουμε α β α β α 4αβ 4β α β α β 1 β α β α β 4αβ 4α β α β α α β β α αβ α β 4αβ α αβ β ,οπότε είναι α β β α συνα β,β α α β. β α ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0058 Δίνονται τα διανύσματα α ( 1, και β (,.Να υπολογίσετε: ατη γωνία (α,β (ΜΟΝΑΔΕΣ 10 βτο διάνυσμα α β (α β α (ΜΟΝΑΔΕΣ 15 α Είναι α ( 1 1 4, β 9 1 και α β 1. Επομένως α β 1 συν(α,β α β απ όπου έπεται ότι 0 (α,β 60. β Είναι α β (α β α α β (α β α = β ( α 4β 1α 4(, 1( 1, (4,1 (1, 1 (4 1,

20 4. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ _0059 Δίνονται τα διανύσματα α ( 1, και 1 β,. α Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α β (μονάδες 10 β Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα και x, x 1 κάθετα.(μοναδες 15 1 α α β 1,, 1, 4, 1, 4 β Θέλουμε 0 x 4x 1 0 x 4x 4 0. είναι Η διακρίνουσα Δ και οι ρίζες x , 6 6 x Συνεπώς ο θετικός αριθμός x που ζητάμε είναι ο x. 5. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_ 0050 Δίνονται τα διανύσματα (1, 7 και (,4. α Να βρεθεί η προβολή του πάνω στο. (Μονάδες 10 β Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να είναι παράλληλη στο. (Μονάδες 15 ΛΥΣΗ: α Η προβολή του πάνω στο είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το. 0

21 Έτσι, έχουμε: // (1 (1 ( Όμως, (1,7 (, και Οπότε, η σχέση ( γίνεται: 0 0 Άρα, από τη σχέση (1 έχουμε: (,4 (,6 β Έστω 1 και οι ζητούμενες συνιστώσες του. Έχουμε: 1. (1 Αν το 1 έχει τη διεύθυνση του, τότε: 1 (, 6 λόγω του α ερωτήματος. Οπότε, από τη σχέση (1, έχουμε: 1 (1,7 (,6 (,1 6. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_005 Δίνονται τα διανύσματα, α Να υπολογίσετε τα 1, 7 και 1 με και (Μονάδες 6 β Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος (Μονάδες 9 γ Να βρείτε την προβολή του στο διάνυσμα (Μονάδες 5 ΛΥΣΗ: 1

22 α β a ==== ( Άρα 1 1 γεπειδή Τότε προβ // και 0 υπάρχει R ώστε προβ. 7 προβ Επομένως προβ 4 7. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_0069 Δίνονται τα διανύσματα α = (, - και 1 β = (1, α Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β. (Μονάδες 10 β Να αναλύσετε το α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη με το β. (Μονάδες 15 α Ισχύει ότι α β = β προβ α (1 β Έστω προβ α β α. 1 Το διάνυσμα α είναι συγγραμμικό του β,άρα υπάρχει λ τέτοιο ώστε 1 1 λ α λβ = λ(1, (λ, ( άρα η σχέση (1 με αναλυτική έκφραση εσωτερικού 1 γινομένου γίνεται: 1 1 λ λ (1 1 + (- = 1 λ + λ = 4λ + λ 5λ = λ= 4 5

23 Επομένως από σχέση ( έχουμε : α = προβ α = ( 1 1 β 5, 5. β Εφόσον το α αναλύεται σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, που η μία είναι παράλληλη στοβ έπεται ότι : α = α α 1 + α 1 α α / /β α προβ α 1 1 β άρα από το α υποερώτημα έχουμε ότι α = α + α α = προβ α + α α α προβ α 1 β β α (, (, α (, - - α = (, Άρα οι ζητούμενες συνιστώσες είναι : α = προβ α = ( 1 1 β 5, 5 και 8 16 α = (,