ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ

2 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2

3 1. Η Έννοια του Διανύσματος Ορισμός Διανύσματος Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν. Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0 Αν ΑΒ ένα διάνυσμα, τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και συμβολίζεται με ΑΒ. Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός, δηλαδή ΑΒ 0. Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν. Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1, τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα. Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ λέγεται φορέας του ΑΒ. Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α. Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ που έχουν τον ίδιον φορέα ή παράλληλους φορείς, λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα και τα συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση. Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται ομόρροπα όταν : α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3

4 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ και ΓΔ λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ ΓΔ Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα. ΑΒ ΓΔ Δηλαδή : ΑΒ = ΓΔ και ΑΒ = ΓΔ Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους. Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ τότε ισχύει ΑΜ = ΜΒ και αντιστρόφως. Αντίθετα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα. ΑΒ ΓΔ Δηλαδή : ΑΒ = ΓΔ και ΑΒ = ΓΔ Ειδικότερα έχουμε ΑΒ = ΒΑ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων, αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο) Γωνία Δύο Διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α και ΟΒ = β. Την κυρτή γωνία ΑΟ Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και την συμβολίζουμε με α, β ή β, α Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α και β τότε ισχύουν : α) 0 θ π β) αν θ = 0 τότε α β γ) αν θ = π τότε α β δ) αν θ = π 2 τότε α β και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4

5 2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α και β. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ = β. Το διάνυσμα ΟΒ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α και β και συμβολίζεται με α + β. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ = α και ΟΒ = β, τότε το άθροισμα α + β ορίζεται από την διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ. Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Αν α, β, γ τρία διανύσματα, τότε ισχύουν : α) α + β = β + α (Αντιμεταθετική Ιδιότητα ) β) α + β + γ = α + β + γ (Προσεταιριστική Ιδιότητα ) γ) α + 0 = α δ) α + ( α ) = 0 Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων Η διαφορά α β του διανύσματος β από το διάνυσμα α, ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α και β. Δηλαδή : α β = α + β Διάνυσμα Θέσης Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ, το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ. Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου, λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5

6 Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα της αρχής. Πράγματι : Έστω Ο σημείο αναφοράς, τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ ισχύει : ΟΑ + ΑΒ = ΟΒ ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Άρα : ΑΒ = ΟΒ ΟΑ Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Αν α, β δύο διανύσματα, τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει : α β α + β α + β Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α, β Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε : (ΟΑ) (ΑΒ) (ΟΒ) (ΟΑ) + (ΑΒ) α β α + β α + β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6

7 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΑΒ, ΑΓ β. ΑΒ, ΒΓ γ. ΒΔ, ΔΓ δ. ΒΓ, ΓΔ 2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΑΒ, ΑΓ β. ΔΒ, ΒΓ γ. ΑΔ, ΓΔ 3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Να βρείτε τις γωνίες : α. ΒΑ, ΒΓ β. ΑΒ, ΓΑ γ. ΒΓ, ΔΑ δ. ΒΑ, ΑΔ 4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : α. ΑΒ + ΓΔ + ΒΓ β. ΚΛ + ΜΝ + ΛΜ + ΝΠ γ. ΑΒ + ΔΑ + ΓΔ + ΒΓ δ. ΑΓ ΒΔ ΔΓ ε. ΚΛ ΝΜ + ΝΚ ΜΛ 5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 7. Αν Ρ 1 Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5 Ρ 6 ένα εξάγωνο, τότε να δείξετε ότι : Ρ 1 Ρ 3 + Ρ 2 Ρ 4 + Ρ 3 Ρ 5 + Ρ 4 Ρ 6 + Ρ 5 Ρ 1 + Ρ 6 Ρ 2 = 0 8. Αν ισχύει ΑΝ ΓΜ = ΜΒ + ΓΝ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ. 9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ + ΜΔ = ΑΒ ΔΓ. 10. Αν ισχύει ότι ΓΔ = ΒΕ + ΓΑ ΔΕ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. 11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ + ΒΟ = ΒΔ ΓΔ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7

8 12. Αν ισχύουν α = 3, β = 2, α + β 5. Να δείξετε ότι τα διανύσματα α και β είναι ομόρροπα. 13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α = 1, α + β = 4, β + γ = 8. Να βρείτε α. το β β. το γ γ. το α + γ 14. Έστω τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου. Αν ΟΑ = 6, ΟΒ = 4 να δείξετε ότι 2 ΑΒ Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α + β + γ = 0 και α = β = γ Να δείξετε ότι : α. α β β. β γ. 16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α + β = γ και α = β = γ Να δείξετε ότι : α. α β β. β γ. 17. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν α = 2, β = 5, γ = 4. Να δείξετε ότι : α. 3 α + β 7 β. α + β 2γ Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν α = 3κ 5, β = 5κ 8, α + β = κ Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8

9 3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α. Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το αα και το συμβολίζουμε με λ α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο : α) είναι ομόρροπο του α αν λ > 0, κκκκκκ ααααααίρρρρρρρρρρ ττττττ α αν λ < 0 β) έχει μέτρο λ α Αν είναι λ = 0 ή α = 0 τότε ορίζουμε λα = 0 Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Αν α, β δύο διανύσματα και λ, μ δύο πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α) λ α + β = λα + λβ β) (λ + μ)α = λα + μα γ) λ(μα ) = (λμ)α Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α, β ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v = κα + λβ, όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί. Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων Αν αα, ββ δύο διανύσματα με ββ 00, τότε : αα ββ αα = λλββ, λλ R ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ ΒΓ, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ = λβγ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9

10 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς, τότε ΟΟΟΟ = ΟΟΟΟ + ΟΟΟΟ 22 Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ, το μέσο του Μ, καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο. Αφού Μ μέσο του ΑΒ τότε θα ισχύει : ΑΜ = ΜΒ ΟΜ ΟΑ = ΟΒ ΟΜ 2ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ 2 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10

11 Ασκήσεις 19. Αν ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = 2α 3β, να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ, ΑΓ, ΓΒ με την βοήθεια των α, β. 20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ = 3α, ΑΔ = 4β, να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ και ΜΝ. 21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ και ΜΓ ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ = α και ΒΓ = β. 22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ. Αν ΑΒ = α και ΑΔ = β να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ, ΔΕ, ΓΕ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. 23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ, Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ. Αν ΑΒ = α και ΑΓ = β, να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. 24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ = α, ΟΒ = β, ΟΓ = α + 3β και ΟΔ = 3α + β. Να δείξετε ότι ΑΓ + ΔΒ ΑΒ. 25. Αν ισχύει ότι ΑΔ = 3ΑΒ + 5ΑΓ και ΑΕ = 5ΑΒ + 3ΑΓ να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 5ΑΒ + 8ΑΓ και ΑΕ = 3ΑΒ + 10ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 2ΑΒ + 5ΑΓ και ΑΕ = 5ΑΒ + 2ΑΓ. α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΓ β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ = 4ΑΒ 9ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ 6ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. 29. Θεωρούμε τα διανύσματα u = 4α 3β και v = 2α + β. Να αποδείξετε ότι : α. το διάνυσμα γ = u + 3v είναι ομόρροπο με το α β. το διάνυσμα δ = u 2v είναι αντίρροπο με το β. 30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα α, β, 4α β, α + 2β να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ είναι ομόρροπα. 31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ = α, ΑΓ = α + β και ΒΔ = 2α + β είναι τραπέζιο. 32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = β, ΑΔ = α και ΑΓ = α + 2β είναι τραπέζιο. 33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ = β, ΑΔ = α και ΑΓ = α + 3β. Να αποδείξετε ότι : α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. β. το διάνυσμα u = ΒΓ ΑΔ είναι ομόρροπο με το β. 34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ = α 3β, ΟΒ = 2α β, ΟΓ = 3α + β και ΟΔ = 6α + 7β. Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ είναι ομόρροπα. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11

12 35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ = α, ΒΓ = β, ΓΔ = 2α και ΔΕ = 2β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά. 36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + 3β, ΟΒ = 2α β, ΟΓ = 3α 5β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + β + γ, ΟΒ = 5α + 3β + 4γ, ΟΓ = 13α + 7β + 10γ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ = α + 2β + 5γ, ΟΒ = α + 3β + 4γ, ΟΓ = 3α + β + 6γ. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 2α + β, ΑΓ = 5α β. Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ = 11α 5β, να δείξετε ότι τα σημεία Β, Γ, Δ είναι συνευθειακά. 40. Αν ισχύει 4ΜΑ + 5ΜΒ 9ΜΓ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 41. Αν ισχύει 9ΟΑ 7ΟΒ 2ΟΓ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 42. Αν ισχύει ΜΑ + 5ΡΑ = 3ΡΜ + 2ΡΒ 4ΓΜ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 43. Αν ισχύει 2ΑΛ + 3ΒΛ + 2ΜΒ = ΑΚ + ΑΜ + ΒΚ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 44.Αν ισχύει 5ΡΛ = 2ΡΚ + 3ΡΜ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακά.( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ + 3ΜΒ = (κ + 5)ΜΓ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ = 2 ΑΔ, ΑΖ = 2 ΑΓ. 5 7 α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ, ΖΒ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ και ΑΔ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ, Ε είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = α και ΑΔ = β. Θεωρούμε σημεία Ε, Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα τέτοια, ώστε ΑΕ = 1 ΑΔ, ΑΖ = 1 ΑΓ. Να αποδείξετε ότι : 3 4 α. ΑΖ = 1 α + β 4 β. ΕΖ = 1 α 1 β και να υπολογίσετε το ΕΒ με την βοήθεια των α, β. 4 3 γ. τα σημεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = α και ΒΓ = β και ΓΔ = 3 ΑΒ. Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ, ΑΓ, ΒΕ και ΒΔ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α και β. β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12

13 49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ.Πάνω στα τμήματα ΑΒ, ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε,Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΔ = ΑΒ, ΑΕ = ΑΜ, ΑΖ = ΑΓ. Αν ΑΒ = α και ΑΓ = β τότε : α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α, β τα διανύσματα ΔΕ, ΔΖ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. 50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ + ΑΖ = 3 ΑΓ Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ. Αν Κ, Λ, Μ μέσα των ΒΔ, ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι ΑΚ + ΑΛ ΑΜ = ΑΔ. 52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ, Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΒ + ΑΔ + ΓΒ + ΓΔ = 4ΜΝ. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ΔΓ ) με ΔΓ = 4 ΑΒ. Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ = 1 ΑΒ και ονομάζουμε Ζ 3 3 το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ. Να δείξετε ότι ΑΖ ΒΓ. 54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ. α.να εκφράσετε συναρτήσει των α, β τα διανύσματα ΔΒ, ΕΒ, ΓΒ, ΑΕ, ΕΓ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ε, Γ είναι συνευθειακά. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 55. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ 5ΜΒ + 2ΜΓ είναι σταθερό. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13

14 4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο Άξονας Αν σε μια ευθεία x x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ = i να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx, τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα ii Οι ημιευθείες Οx και Οx λέγονται αντίστοιχα θετικός και αρνητικός ημιάξονας. Για κάθε σημείο Μ του άξονα x x ισχύει ΟΜ i, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ = x i Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x) Καρτεσιανό Επίπεδο Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i και j αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη στον y y που τέμνει τον x x στο Μ 1 και παράλληλη στον x x που τέμνει τον y y στο Μ 2, τότε η τετμημένη x του Μ 1 λέγεται τετμημένη του Μ και η τετμημένη y του Μ 2 λέγεται τεταγμένη του Μ. Οι μοναδικοί αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και συμβολίζονται με Μ(x, y) Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ = α. Αν Α 1 και Α 2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες, τότε ισχύει : ΟΑ = ΟΑ 1 + ΟΑ 2 α = x i + y j Τα διανύσματα x i και y j λέγονται συνιστώσες του αα κατά την διεύθυνση των i και j αντίστοιχα. Οι αριθμοί x, y λέγονται συντεταγμένες του αα αα = xx ii + yy jj αα = (xx, yy) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14

15 Ίσα Διανύσματα Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Δηλαδή : Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ) τότε α = β x 1 = x 2 y 1 = y 2 Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Αν α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ) τότε έχουμε : α) α + β = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) β) α β = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) γ) λα = (λx 1, λy 1 ) δ) λα + μβ = (λx 1 + μx 2, λy 1 + μy 2 ) Συντεταγμένες μέσου τμήματος Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ xx 11+xx 22 22, yy 11+yy Έστω M(x, y) μέσο του ΑΒ. Τότε θα ισχύει ΟΜ = ΟΑ + ΟΒ 2 και ΟΒ = (x 2, y 2 ). Η (1) (x, y) = (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) 2 (x, y) = x 1+x 2 2, y 1+y 2 2 (1) με ΟΜ = (x, y), ΟA = (x 1, y 1 ) (x, y) = (x 1+x 2, y 1 +y 2 ) 2 x = x 1+x 2 2 και y = y 1+y 2 2 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε ΑΑΑΑ = (xx 22 xx 11, yy 22 yy 11 ) Πράγματι : ΑΒ = ΟΒ ΟΑ ΑΒ = (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) ΑΒ = (x 2 x 1, y 2 y 1 ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15

16 Μέτρο διανύσματος Αν αα = (xx, yy) τότε αα = xx 22 + yy 22 Έστω το διάνυσμα α = (x, y) και Α σημείο με ΟA = α. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ 1 έχουμε : (ΟΑ) 2 = (ΟΑ 1 ) 2 + (ΑΑ 1 ) 2 (ΟΑ) 2 = (ΟΑ 1 ) 2 + (ΟΑ 2 ) 2 α 2 = x 2 + y 2 α = x 2 + y 2 Απόσταση δύο σημείων Αν Α(xx 11, yy 11 ) και Β(xx 22, yy 22 ) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (AAAA) = (xx 22 xx 11 ) 22 + (yy 22 yy 11 ) 22 Έστω τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ), τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος ΑΒ = (x 2 x 1, y 2 y 1 ), άρα θα έχει μέτρο : ΑΒ = (ΑΒ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Αν αα = (xx 11, yy 11 ) και ββ = (xx 22, yy 22 ) τότε ισχύει η ισοδυναμία : αα ββ dddddd αα, ββ = 00 xx 11 xx 22 yy 11 yy 22 = 00 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16

17 Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος Έστω το διάνυσμα α = (x, y) και Α σημείο με ΟA = α. Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα αα με τον άξονα x x. Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 φ < 2ππ Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α = (x, y) με x 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συμβολίζουμε με λ α ή λ. λλ αα = yy xx Ισχύουν : α) α x x λ α = 0 αφού y = 0 β) α y y λ α = δεν ορίζεται, αφού x = 0 Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος αα ββ λλ αα = λλ ββ Θεωρούμε τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ). Τότε έχουμε : α β det α, β = 0 x 1 y 1 x 2 y 2 = 0 x 1 y 2 x 2 y 1 = 0 x 1 y 2 = x 2 y 1 y 1 x 1 = y 2 x 2 λ 1 = λ 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17

18 Ασκήσεις 1. Πράξεις με Συντεταγμένες 56. Δίνονται τα διανύσματα α = (2, 4), β = ( 1, 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α + β, α β, 2α 3β, 3α + 4β. 57. Δίνονται τα διανύσματα α = (3, 1), β = (5, 1) και γ = ( 1, 1). Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v = 2α β + γ 58. Δίνονται τα διανύσματα α = ( 2, 3), β = (1, 1) και γ = (3, 2) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α + 2β, 2α γ και α β γ. 2. Μηδενικό Διάνυσμα 59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το διάνυσμα u = (κ 2 + κ 2, 3λ 3) να είναι το μηδενικό διάνυσμα. 60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u = (κ 2 5κ + 6, κ 2) να είναι το μηδενικό διάνυσμα. 3. Ισότητα Διανυσμάτων Αντίθετα Διανύσματα 61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε τα διανύσματα α = (κ, 2κ λ), β = (2λ, 4) να είναι ίσα. 62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε τα διανύσματα α = (κ 1, λ 2), β = (λ, 2κ 1) να είναι αντίθετα. 63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α = (λ 2 3λ + 2, 2λ 2 3λ 2) και β = (λ 2 5λ + 6, 3λ 2 + 7λ 2) να είναι ίσα. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ, μ ώστε τα διανύσματα α = (2λ + μ)i + (λ 3μ + 1)j και β = (2μ + 5)i + (4λ μ + 1)j να είναι ίσα. 4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες 65. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ 2 4, λ + 2), λ R. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α = 0 β. α 0 και α x x γ. α 0 και α y y 66. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ 2 4, λ 2 3λ + 2 ), λ R. Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α = 0 β. α 0 και α x x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 67. Δίνονται τα διανύσματα α = (x, 1) και β = ( y 2 + 4y 5, x + 2). Να βρείτε τις τιμές των x, y αν : α. α β x x β. α + 2β = 20i + 9j 68. Δίνονται τα διανύσματα α = (λ 2 + 3λ, λ 2 9) και β = (λ 5, 3λ 1) με λ R. Να βρείτε τις τιμές του λ αν : α. τα διανύσματα α και β είναι αντίθετα β. το διάνυσμα α είναι το μηδενικό διάνυσμα γ. είναι α 0 και α x x δ. είναι α 0 και α y y ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18

19 5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 69. Δίνονται τα διανύσματα α = (κ 1, 2) και β = (λ 2, κ). Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε να ισχύει 3α 2β = Δίνονται τα διανύσματα u = ( 1,3), v = (2, 1). Να γραφεί το διάνυσμα w = (4, 16) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων u και v. 71. Δίνονται τα διανύσματα α = (2,3), β = ( 1, 2). Να γραφεί το διάνυσμα v = (4, 13) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β. 72. Δίνονται τα διανύσματα α = (2λ + 1, 2), β = (1, 2) και γ = (λ, μ) με λ, μ R. Να βρεθούν τα λ, μ ώστε να ισχύει α + 2β γ = Δίνονται τα διανύσματα α = xi + yj και β = (y 2)i + (x + 6)j με x, y R για τα οποία ισχύει 2α 3β = ( 7, 6). α. Να βρείτε τις τιμές των x, y β. Να γραφεί το διάνυσμα v = 10 i + 4 j σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β. 6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 74. Δίνονται τα σημεία Α(2, 8) και Β(6, 4). Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ. 75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4, 3) και το μέσο Ν( 2, 6) του ΚΛ. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ. 76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1, 2) ως προς το Β( 1, 3). 77. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 2κ 4), Β( 2λ κ, 3λ κ) και Μ(κ, λ 1) με κ, λ R. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ. 78. Δίνονται οι κορυφές Α(1, 3), Β(5,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το Κ(3, 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. 79. Δίνονται οι κορυφές Α(2, 3), Β(4, 1) και Γ(0, 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ( 3, 2), διαμέτρου ΑΒ με Α(1, 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. 81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1, 2), Λ(3, 5) και Μ(2, 4). Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ( 2, 2), Λ( 1, 0) και Μ(2, 1). Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2 (λ 2 + 3λ 5)x 10 = 0. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 1 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19

20 7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα 84. Αν Λ(2, 5) και Μ(3, 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ 85. Αν ΚΛ = ( 1, 4) και Λ(2, 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ. 86. Έστω το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε : α. το διάνυσμα ΑΒ όταν Β( 3, 0) β. το Γ αν είναι ΑΓ = ( 3, 5) γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ 3ΔΕ = 0 και Ε(3, 1) 86. Δίνονται τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 8). Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ = 2ΑΒ 87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 1), Β(2, 0) και Γ(2, 3). Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ = ΑΓ. 88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 2, 0), Β(1, 3 ) και Γ(2, 1). Αν ΑΜ = 2ΜΒ και ΑΔ διάμεσος, να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ. 88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1, 5), Β(7, 3) και ΑΚ = (1, 4) όπου Κ το κέντρο του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των Κ, Γ και Δ. 89. Δίνονται τα σημεία Α(λ, 3μ+2), Β(μ, λ 6) και το διάνυσμα ΑΒ = (4, 14). Να βρείτε : α. τα λ, μ β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ = 3ΒΜ. 90. Δίνονται τα σημεία Α(x, y), Β(x+2y, x+1) και Γ(y 3, 2x 4). α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, y αν ισχύει AB + AΓ = ( 12, 10) β. Να γραφεί το διάνυσμα v = ( 4, 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ και ΒΓ 8. Μέτρο Διανύσματος Απόσταση Δύο Σημείων 91. Αν α = ( 1, 2) και β = (3, 2) να υπολογίσετε τα μέτρα 2α και 3α 2β 92.Να βρείτε τις τιμές του λ R αν για το διάνυσμα β = (1 λ, λ 3) ισχύει β = Να βρείτε τις τιμές του λ R αν για το διάνυσμα α = (λ, λ + 1) ισχύει 3α = Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α για το οποίο ισχύει α = ( α 4, 8) 95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2, 1), Β(3, 2), Γ(7, 4). α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v = 4ΑΓ + 7ΒΓ β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ 96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 2, 2), Β(3, 0), Γ( 1, 3). Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα μήκη των διαμέσων του. 97. Έστω τα σημεία Α(8, 2), Β(0, 6) και Γ(2, 0). Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ. 98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 3, 3), Β( 1, 3) και Γ(11, 1 ) είναι ορθογώνιο. 99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1, 1), Γ(4, 3), Δ(2, 3). Να βρείτε : α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20

21 100. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 6) και Β( 9, 2). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β Δίνονται τα σημεία Α( 1, 2) και Β(3, 1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y y το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β Δίνονται τα σημεία Α( 2, 5) και Β(3, 4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ Δίνονται τα σημεία Α(x, 2), Β(16, x + 2) και Γ(5, x). Να βρείτε το x R αν ισχύει 2ΑΒ + 3ΒΓ = ΑΓ 104. Δίνονται τα σημεία A(λ, 1) και Β( 1, λ + 3). Να βρείτε το λ R αν ισχύει (ΑΒ)= Δίνεται το διάνυσμα α = ( 6, 8). Να βρείτε διάνυσμα β, παράλληλο του α, με β = Δίνεται το διάνυσμα α = (2, 1). Να βρείτε διάνυσμα β, αντίρροπο του α, με β = Δίνεται το διάνυσμα α = (2, 3). Να βρείτε διάνυσμα β, αντίρροπο του α, με β = 3 9. Παραλληλία Διανυσμάτων 108. Έστω τα διανύσματα α = (λ 1, 3) και β = (2λ 2, λ). Να βρείτε το λ R ώστε α β 109. Έστω τα διανύσματα α = (λ 1, 1) και β = (1, 2λ 1). Να βρείτε το λ R ώστε α β 110. Έστω τα διανύσματα α = (λ, 8) και β = ( 1, λ 2). Να βρείτε το λ R ώστε α β 111. Έστω τα διανύσματα α = (1, λ 1) και β = (λ 1, 9). Να βρείτε το λ R ώστε α β 112. Έστω τα σημεία Α( 3, 2), Β(2, κ), Γ(5, 3) και Δ(4, κ). Να βρείτε το κ R ώστε ΑΒ ΓΔ 113. Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύουν 3α + 2β = ( 2, 9) και α 2β = (10, 5). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α και β β. Να γραφεί το διάνυσμα γ = (4, 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β γ. Να βρείτε το λ R ώστε το διάνυσμα δ = (λ, 6 λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α β Έστω τα διανύσματα α = (λ, 1 λ), β = (λ + 1, 2) και γ = (6, 10). Αν ισχύει α + β γ τότε : α. να βρείτε τον αριθμό λ β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α 6β γ. να γράψετε το διάνυσμα u = 3 j σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α και β 115. Έστω τα διανύσματα α = (2, 3), β = ( 10, 2) και γ = 2α + β. Να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος γ β. τον αριθμό λ R ώστε το διάνυσμα δ = (λ, 1 λ) να είναι παράλληλο στο γ 10. Συνευθειακά Σημεία 116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α( 1, 2), Β(1, 1) και Γ( 3, 3) είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία Α(8, 6), Β( 2, 2) και Γ( 7, 0). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β. Να βρεθούν τα κ, λ R ώστε να ισχύουν ΑΓ = λγβ και ΑΒ = καγ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21

22 118. Δίνονται τα σημεία Α(0, 4), Β(κ, 2) και Γ( 2, 2). Να βρείτε το κ R ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία Α( 1, λ 1), Β(3, λ + 3) και Γ(λ 2, 2). Να βρείτε το λ R ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία Α(1, 4) και Β(4, 2). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά Δίνονται τα σημεία Α(α + 1, 3), Β(α, 4) και Γ( 4, 5α + 4), α R. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΒΓ β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ. Για α = 1, να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ = λ ΑΒ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1, 1), Β(2, 1) και Γ( 1, 5) είναι κορυφές τριγώνου 123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = 2i + 4j, ΟΒ = 3i + j, ΟΓ = 5i 5j. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ, ΒΓ β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου. ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 124. Δίνονται τα σημεία Α(1, 1), Β( 3, 3) και Γ(3, 1). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β, όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ 125. Δίνονται τα σημεία Α(λ 1, 2), Β( 1, 0) και Γ(λ 3, 2λ). α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να σχηματίζουν τρίγωνο. β. Για λ = 1, να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 2), Β(7, 0) και Γ(1, 4). Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το οποίο ισχύει 2 ΑΕ = ΕΓ, τότε : α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε β. να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά. 11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης : α. του διανύσματος α = (2, 6) β. του διανύσματος ΑΒ με Α(2, 4) και Β( 3, 6) 128. Δίνονται τα σημεία Α(λ, λ 1), Β(5, 2λ) με λ 5. Να βρείτε το λ R αν το διάνυσμα ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με Τα διανύσματα α = (κ, μ + 4) και β = (μ, κ 9) με κ, μ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και 3 αντίστοιχα. Να βρείτε : α. τις τιμές των κ και μ β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ = 3α 2β 130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα α = 3, Αν Α(7, 1), Β(4, 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα ΑΒ 132. Αν Α(3, 0), Β 0, 3 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα ΑΒ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22

23 133. Δίνεται το διάνυσμα α = (λ, λ 2 6). Να βρείτε το λ R ώστε το διάνυσμα α να σχηματίζει γωνία 3π τον άξονα x x. 4 με 134. Δίνονται τα διανύσματα α = (λ, λ 5), β = (λ 3, 6) για τα οποία ισχύει α + β = 5. α. Να δείξετε ότι λ = 1 β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ = 4α + 3β β 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x το διάνυσμα γ β 2. Να βρείτε το κ R ώστε το διάνυσμα δ = (κ, κ 6) να είναι παράλληλο στο γ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23

24 3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό : αα ββ = αα ββ σσσσσσ αα, ββ Αν α = 0 ή β = 0 τότε ορίζουμε α β = 0 Άμεσες συνέπειες του ορισμού : α) α β = β α β) α β α β = 0 γ) α β α β = α β δ) α β α β = α β ε) α 2 = α 2 αφού α 2 = α α = α α συν(α, α ) = α 2 1 = α 2 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Θεωρούμε τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : α β = x 1 x 2 + y 1 y 2 αα ββ = xx 11 xx 22 + yy 11 yy 22 Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου α) (λλαα ) ββ = αα λλββ = λλ αα ββ Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : (λα ) β = (λx 1, λy 1 ) (x 2, y 2 ) = (λx 1 )x 2 + (λy 1 )y 2 = λ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = λ α β α λβ = (x 1, y 1 ) (λx 2, λy 2 ) = x 1 (λx 2 ) + y 1 (λy 2 ) = λ(x 1 x 2 + y 1 y 2 ) = λ α β Άρα (λα ) β = α λβ = λ α β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24

25 β) αα ββ + γγ = αα ββ + αα γγ Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ), β = (x 2, y 2 ) και γ = (x 3, y 3 ), τότε : α β + γ = (x 1, y 1 ) (x 2 + x 3, y 2 + y 3 ) = x 1 (x 2 + x 3 ) + y 1 (y 2 + y 3 ) = (x 1 x 2 + x 1 x 3 ) + (y 1 y 2 + y 1 y 3 ) = (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) + (x 1 x 3 + y 1 y 3 ) = α β + α γ γ) αα ββ λλ αα λλ ββ = 11 Έστω τα διανύσματα α = (x 1, y 1 ) και β = (x 2, y 2 ), τότε : α β α β = 0 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = 0 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 y 1 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 = 1 λ x 1 x α λ β = 1. 2 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25

26 Ασκήσεις 1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου 135. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 3, β = 4 και α, β = 60, τότε να βρείτε : α. α β β. β 2 γ. 3α 4β δ. 2α 3α 4β ε. 2α β 3α + 5β 2π 136. Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, β = 2 και α, β = 3 α. α β β. α 2β α β γ. α 3β 2, τότε να βρείτε : 137. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 2, β = 2 2 και α, β = 6 α. α β β. α 2 + β 2 γ. α + β 2 δ. 2α + 3β 4α 5β, τότε να βρείτε : 138. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν β = 12, α β = 12 και α, β = 150 να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος α β. το εσωτερικό γινόμενο α + β α β 139. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 4, α, β = και α α + 2β = 28 τότε να βρείτε : 3 α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. το μέτρο του διανύσματος β γ. το εσωτερικό γινόμενο α 2β 2α + β 140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α β στις παρακάτω περιπτώσεις : α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και α = 5, β = 6 β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και α = 8, β = Αν α + β + 2γ = 0 και α = 1, β = 2, γ = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ 142. Αν α + β + γ = 0 και α = 1, β = 2, γ = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α 143. Αν α + β 3γ = 0 και 2 α = β = 4 γ = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α β + β γ + γ α 144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2. Αν ΑΔ το ύψος του, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ ΑΓ, ΑΒ ΒΓ, ΑΔ ΑΓ και ΑΓ ΔΒ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26

27 2. Κάθετα Διανύσματα Εύρεση Μέτρου Διανύσματος 145. Αν α = 3, β = 6, να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v = 3α + λβ και u = 3α λβ να είναι κάθετα Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 2π = 1, β = 2, α, β = 3 αριθμού λ ώστε να ισχύει α + λβ α 4β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού 147. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 2, β = 3, α, β = 6 α + β, α β και α + 2β τότε να βρεθούν τα μέτρα 148. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 2, β = 2 2 και α, β = 60 τότε : α. Αν τα διανύσματα 2α + β και κα + β είναι κάθετα, να βρείτε την τιμή του κ β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α + β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 149. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν 2 α = β = 2 2 και α, β = 60 τότε : α. Να αποδείξετε ότι α β = 2 β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α + β και α β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 150. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 5π = 2, β = 2 και α, β = και u = α + 2β τότε : 6 α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α β και α u β. Να βρείτε το μέτρο του u ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 151. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν 3 α + β = 9 και 2 α β = 1 και α, β = 60 α. Να βρείτε τα μέτρα των α, β και το εσωτερικό γινόμενο α β β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u = 2α 3β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 152. Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύουν α = 2, β = 1, α, β = 60 και γ = κ α β και β γ = κ 2 α. Να δείξετε ότι κ = 2 β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α + 2γ και β γ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 153. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α π = 1, α, β = και 3α 2β = 13, τότε να βρείτε το β Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 8, β = 3 και α, β = 45, τότε να βρείτε το 3α 2β 155. Αν α = 3, β = 1 και α β = 2 τότε να βρείτε το μέτρο α 2β Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α 2π = 3, α, β = 3 α. Να αποδείξετε ότι β = 4 β. Να βρείτε το μέτρο 4α + 3β και α + 2β = Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α = 2, β = 4 και 4α β = α 2β. α. Να αποδείξετε ότι α β = 3 β. Να βρείτε το μέτρο 3α 2β 158. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + β α 3β και α β = 2 να βρείτε τα μέτρα α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27

28 2π 159. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α, β = 3 μέτρα α, β, α + β α β και 3α + 2β = 7, να βρείτε τα 160. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + β α 4β και 2α + 3β = 5. α. Να αποδείξετε ότι α = 2, β = 1 β. Να βρείτε το μέτρο 3α + 8β 161. Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν α β, α + 2β α 3β και α = 6. Να δείξετε ότι 2α β = Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 1, β = 2, α, β = 60. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = α β και ΒΓ = 3α + β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 3 και α, β = 60. Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ = α 4β και ΓΒ = 4α 6β, για το οποίο ισχύει ΑΒ = 91 α. Να αποδείξετε ότι β = 5 β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 3α + 2β και α β αν α = 1, β = 2 και α, β = Να αποδείξετε ότι α + β 2 + α β 2 = 2 α β Αν ισχύει α = β = α + β τότε να αποδείξετε ότι α β = α 3. π 167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α, β με α, β = 3 x α + β και β ( α + x ) Δίνονται τα διανύσματα α, β με α 2π = 2, β = 3 α, β = 3 x α β και α ( β + x ).. Να βρείτε διάνυσμα x ώστε να ισχύουν. Να βρείτε διάνυσμα x ώστε να ισχύουν 3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων 169. Αν α = 2, β = 3, α β και u = 3α + 2β, να βρείτε την γωνία α, u 170. Αν α = 2, β = 1 και 2α + β 3α 5β να βρείτε τη γωνία α, β 171. Αν α = 2, β = 2 2 και α, β = 45, να βρείτε τη γωνία β α, α 172. Αν α π = 5, β = 3, α, β = Αν α 2π = 2, β = 3, α, β = 3, να βρείτε τη γωνία α + β, α β και δ = 3α + 2β, να βρείτε την γωνία β, δ 174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β με β = 2 α. Αν α α β να βρείτε τη γωνία α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28

29 175. Αν α = 1, α, β = 60 και α + β 5α 2β α. Να βρείτε το μέτρο του β β. Αν γ = 2α + β να βρείτε τη γωνία φ = α, γ 176. Αν α π = 1, β = 2, α, β = Αν α 2π = 1, β = 1, α, β = 3 και u = 2α + 3β και v = α 2β. Να βρείτε το συν u, v και u = 2α + β και v = α 2β. Να βρείτε το συν u, v 178. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 1, β = 5 και α 2β α + β = 46. α. Να βρείτε το συν α, β β. Θεωρούμε τα διανύσματα v = 3α + β και u = α β. Να βρείτε τη γωνία u, v 179. Δίνονται τα διανύσματα α, β με α = 2, β = 3 και 3α + 7β 6α + β. α. Να βρείτε τη γωνία των α, β β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ = λα + β το οποίο είναι κάθετο στο β. Να βρείτε : β 1. την τιμή του λ β 2. το μέτρο του διανύσματος γ β 3. τη γωνία των διανυσμάτων α και γ 180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β με α, β = 60. Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 4α + β και ΑΔ = 2α β με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ ΔΒ = 36. α. Να αποδείξετε ότι α = 1 και β = 4. β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ. γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ δ. Να βρείτε τη γωνία Α του ΑΒΓΔ Αν τα διανύσματα α, β, γ είναι μοναδιαία και ισχύει α β + β γ = 2 να δείξετε ότι α = β = γ 182. Δίνονται τα διανύσματα α, β με β = 2 α = 4 και α β = 8. α. Να βρείτε τη γωνία των α, β β. Να δείξετε ότι β + 2α = 0 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 183. Δίνονται τα διανύσματα α, β και u = α + 2β, v = 5α 4β και u v και α = β = 1. Να δείξετε ότι : α. α β = 1 2 β. τα διανύσματα u 3v και α β είναι αντίρροπα και u 3v = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις : α. α β αν α = (2, 3) και β = (4, 5) β. ΑΒ ΓΔ αν Α(3, 1), Β(2, 5), Γ( 4, 3), Δ( 1, 2) 185. Δίνονται τα διανύσματα α = (2, λ) και β = (λ 8, 1) για τα οποία ισχύει α β = 1. Να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. το εσωτερικό γινόμενο α 2β α + β 186. Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε τα διανύσματα α = (λ 3, 4λ 1) και β = ( 3λ + 9, λ 3) να είναι κάθετα. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29

30 187. Δίνονται τα διανύσματα α = (2x 1, x + 1) και β = (x + 1, 2x + 3). Να βρεθεί το x R ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα Δίνονται τα διανύσματα α = ( 1, 3) και β = 2, 1 2 α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u = α 2β β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u και v = (x 2, x 1) είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ = (κ 2 6κ + 9, κ 3) και ΑΓ = (1, 6) α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ να είναι κάθετα. β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 190. Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(7, 4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε ΑΜΒ = Δίνονται τα διανύσματα α = (1, λ) και β = ( 3, 4 λ) για τα οποία ισχύουν α + β 13α + 3β. α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ, το διάνυσμα γ = 5α + 2β είναι κάθετο στο δ = (μ, μ 8) 192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α( 1, 4), Β( 2, 1) και Γ(5, 7). Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ = 2ΒΜ α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ ΒΓ γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x x ώστε να ισχύει ΑΝ ΑΒ 193. Αν α = 3, 3 και β = 3, 1 να βρείτε τη γωνία α, β 194. Αν α = (4, 3) και β = (7, 1) να βρείτε τη γωνία α, β 195. Αν α = (0, 2) και β = 3, 1 να βρείτε τη γωνία α, β 196. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, 7) και β = ( 3, λ). Αν α, β = 135, να βρείτε το λ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 2), Β( 2, 1) και Γ(3, 6). Να βρείτε τη γωνία Α Αν Α(4, 1), Β(8, 2) και Γ(1, 3), να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ, ΑΓ είναι αμβλεία Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ( 4, 6) και ΑΓ = (2, 8). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία γ. Αν Α(3, 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 200. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ = ( 1, 4) και ΑΓ = (3, 6). α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία. β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ 1, 1), Β(λ, 2) και Γ(7, λ). Αν ισχύει ΑΒ ΒΓ = 15, να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. τη γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ 202. Δίνονται τα διανύσματα α, β με 2α + β = (7, 1) και 3α β = (8, 19). Να βρείτε : α. τις συντεταγμένες των α, β β. τη γωνία α, β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30

31 5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα 203. Αν α = (2, 3) και β = ( 1, 4), να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β 204. Αν α = (1, 3) και β = (9, 7), να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α 205. Αν α π = 2, β = 1, α, β = να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α Αν α π = 1, β = 2, α, β = να βρείτε την προβολή του v = 2α β πάνω στο α Αν τα διανύσματα α, β είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v = α β πάνω στο u = α + 2β 208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, 3), Β( 3, 0) και Γ(4, 4). Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ, τότε να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ 209. Δίνονται τα διανύσματα α = (4, 3) και β = ( 8, 6) α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α, β είναι αμβλεία β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β πάνω στο α 210. Αν α = (4, 3) και β = ( 1, 3), να υπολογίσετε το μέτρο προβ α 2α β 211. Δίνονται τα διανύσματα α = (1, 7) και β = (2, 4) α. Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ = (1, 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = (1, 1) 213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β = (1, 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = ( 1, 1) 214. Αν α π = 2, β = 8, α, β = και προβ 3 α x α + β = 5 α, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x Δίνονται τα διανύσματα α, β με προβ β α = 2 β και προβ 3 α β = 3 α. 4 α. Να δείξετε ότι α = 2 2 β 3 β. Να βρείτε τη γωνία α, β 216. Δίνονται τα διανύσματα α, β με 2α + 3β = (4, 2) και α 3β = ( 7, 8). α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α, β β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει κα + β 2α + 3β γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ = (3, 1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α = ( 1, 2). ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31

32 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. Γωνία Ευθείας με τον άξονα x x Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Α. Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x. Παρατηρήσεις 1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0 2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0 ω < 180 ή 0 ω < ππ 3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x x. Δηλαδή λλ εε = εεεεωω 1) Αν ω = 0, δηλαδή η (ε) x x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0. 2) Αν ω = π, δηλαδή η (ε) x x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε). 2 3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x x είναι οξεία. 4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x x είναι αμβλεία. Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x x λ > 0 0 < ωω < 90 λ < 0 90 < ωω < 180 λ= 0 ω = 0 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32

33 Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα Έστω διάνυσμα δ παράλληλο σε μια ευθεία (ε). Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ και η (ε) με τον άξονα x x, τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω. Τότε εφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω. Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λ δ = λ ε. Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα, έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ) με x 1 x 2 είναι : λλ = yy 22 yy 11 xx 22 xx 11 Πράγματι : Είναι ΑΒ ε λ ε = λ ΑΒ λ ε = y 2 y 1 x 2 x 1 Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε 1, ε 2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ 2 αντίστοιχα, τότε ισχύει : εε 11 εε 22 λλ 11 = λλ 22 Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε 1, ε 2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ 2 αντίστοιχα, τότε ισχύει : εε 11 εε 22 λλ 11 λλ 22 = 11 ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33

34 Εξίσωση Ευθείας Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : (ε) : yy yy 00 = λλ (xx xx 00 ) Θεωρούμε ένα σημείο M(x, y) της (ε) διαφορετικό του Α( x 0, y 0 ) Τότε το διάνυσμα ΑΜ είναι παράλληλο στην (ε), άρα θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Οι συντεταγμένες του ΑΜ = (x x 0, y y 0 ) άρα λ ΑΜ = y y 0 x x 0 Οπότε : λ = λ ΑΜ λ = y y 0 y y x x 0 = λ(x x 0 ). 0 Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Α(x 1, y 1 ) και Β(x 2, y 2 ) είναι y y 0 = y 2 y 1 (x x x 2 x 0 ) αφού λ ε = y 2 y 1 1 x 2 x 1 Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : yy = λλ xx + ββ Πράγματι : Είναι y y Α = λ(x x Α ) y β = λ(x 0) y β = λ x y = λ x + β ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34

35 Γ) Οριζόντια Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) είναι : yy = yy 00 Πράγματι : Αφού (ε) x x τότε θα είναι λ=0, άρα : y y 0 = λ(x x 0 ) y y 0 = 0 (x x 0 ) y y 0 = 0 y = y 0 Δ) Κατακόρυφη Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Α( x 0, y 0 ) είναι : xx = xx 00 Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Ε) Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : yy = λλ xx Πράγματι : Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0, 0) τότε : y y 0 = λ(x x 0 ) y 0 = λ (x 0) y = λ x. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35

36 Ζ) Διχοτόμος της 1 ης και 3 ης Γωνίας των Αξόνων Η διχοτόμος των γωνιών xo y και x O y έχει εξίσωση : yy = xx Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1 η γωνία του άξονα, τότε θα σχηματίζει γωνία 45 με τους άξονες, άρα λ = εφ45 = 1. Οπότε : y = λ x y = x H) Διχοτόμος της 2 ης και 4 ης γωνίας των αξόνων Η διχοτόμος των γωνιών x O y και xo y έχει εξίσωση : yy = xx Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2 η γωνία του άξονα, τότε θα σχηματίζει γωνία 135 με τους άξονες, άρα λ = εφ135 = 1. Οπότε : y = λ x y = x. Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0 (1) και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή. ΟΡΘΟ : Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση : y = λ x + β λ x + ( 1)y + β = 0 Άρα για Α = λ, Β = 1, Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή A x + B y + Γ = 0 με Β = 1 0. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36

37 Β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y y τότε είναι κατακόρυφη και θα έχει εξίσωση : x = x 0 x x 0 = 0 Οπότε για Α = 1 0, Β = 0, Γ = x 0 η ευθεία γράφεται στην μορφή A x + B y + Γ = 0 με Α = 1 0. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ : Έστω η εξίσωση A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0. Θα αποδείξουμε ότι παριστάνει ευθεία. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Α) Αν Β 0 τότε έχουμε : A x + B y + Γ = 0 B y = A x Γ y = A x Γ που είναι εξίσωση B Β ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης λ = A Γ και η οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0,. B Β Β) Αν Β = 0 τότε έχουμε : A x + B y + Γ = 0 Α x + Γ = 0 Α x = Γ x = Γ αφού Α 0, που είναι Α εξίσωση ευθείας κάθετη στον άξονα x x στο σημείο του Κ Γ, 0 Α Σε κάθε περίπτωση λοιπόν η εξίσωση A x + B y + Γ = 0 με Α 0 ή Β 0 παριστάνει ευθεία. Διάνυσμα Παράλληλο σε Ευθεία Η ευθεία με εξίσωση A x + B y + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δδ = (ΒΒ, ΑΑ) Αν Β 0 τότε η ευθεία A x + B y + Γ = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = A B = λ δ και επομένως είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ = (Β, Α). Αν Β = 0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y και επομένως παράλληλη και ως προς το διάνυσμα δ = (0, Α). Διάνυσμα Κάθετο σε Ευθεία Η ευθεία με εξίσωση A x + B y + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα ηη = (ΑΑ, ΒΒ) Όπως είδαμε, το διάνυσμα δ = (Β, Α) είναι παράλληλο στην ευθεία A x + B y + Γ = 0. Παρατηρούμε ότι : δ η = (Β, Α) (Α, Β) = Β Α Α Β = 0, άρα τα διανύσματα θα είναι κάθετα μεταξύ τους, οπότε το διάνυσμα η θα είναι κάθετο και με την ευθεία A x + B y + Γ = 0. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 37

38 Απόσταση Σημείου Από Ευθεία Έστω μια ευθεία ε: A x + B y + Γ = 0 και ένα σημείο Μ( x 0, y 0 ) εκτός αυτής. Η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία (ε) είναι : dd(mm, εε) = ΑΑ xx 00 + BB yy 00 + ΓΓ ΑΑ 22 + ΒΒ 22 Εμβαδό Τριγώνου Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου τότε το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο : (ΑΑΑΑΑΑ) = dddddd ΑΑΑΑ, ΑΑΑΑ ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 38

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ 1. Εξίσωση Γραμμής 1. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x 2 + x Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(1, 2014) ανήκει στην γραμμή C. 2. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x 2 + 2x 3. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ( 1, 2) ανήκει στην γραμμή C. 3. Έστω η γραμμή C που έχει εξίσωση y = x Να εξετάσετε αν το σημείο Μ( 3, 10) ανήκει στην γραμμή C. 2. Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Γωνία Ευθείας με τον άξονα x x 4. Έστω ότι η ευθεία (ε) έχει κλίση ίση με κ, είναι παράλληλη με το διάνυσμα δ = ( 3κ + 4, κ) και σχηματίζει με τον άξονα x x αμβλεία γωνία. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. 5. Δίνονται τα σημεία Α( 1, 2), Β(2, 1) και Γ(3, 4). α. Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 6. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία α. Α( 2, 1) και Β(3, 4) β. Γ(0, 2) και Δ(0, 3) γ. Ε(4, 2) και Ζ(1, 2) 7. Έστω ΑΜ η διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ με Α(5, 2), Β( 5, 3), Γ(9, 1). Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Μ. 8. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = α 1 και λ δ = 2α + 1 τότε να βρείτε τις τιμές του α ώστε οι ευθείες να είναι α) παράλληλες β) κάθετες 9. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = κ του κ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες και λ δ = κ τότε να βρείτε τις τιμές 10. Αν οι ευθείες (ε) και (δ) έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ ε = μ 1 4 του μ ώστε οι ευθείες να είναι κάθετες. και λ δ = μ 3 τότε να βρείτε τις τιμές 3. Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας 11. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α( 1, 2) και Β(4, 7) 12. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Κ(1, 4) και Λ(2, 6) ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 39

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Έστω Α, Β, Κ, Λ και Μ τυχαία σημεία του χώρου Α ισχύει η σχέση ΑΚ + ΜΑ = ΚΒ 2ΑΒ + ΒΛ, να αποδείξετε ότι: α) τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά, β) ΚΛ ΚΜ, γ) ΚΛ = ΚΜ 2 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για τα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει χρήσιμες γνώσεις για

Διαβάστε περισσότερα

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία Α (1,1), Γ (4,3) και Δ (,3). α) Να υπολογίσετε τα μήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H

Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a. ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο (Πανελλήνιες θετικής κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999) Α. Έστω a ( x1,) y1 και ( x,) y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. α) Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΣΕΛΙΔΕΣ 3-36 ΜΕΡΟΣ ο ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων

Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λανθασμένη: Πράξεις διανυσμάτων ) α β α β α//β ) α β α β α β ) α β α β α β 4)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:

1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο

1.3 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε = 5 + 2 α) Να γράψετε το διάνυσμα β) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Επανάληψη Χριστουγέννων Αφού κάνετε μια επανάληψη στο πρώτο κεφάλαιο και θυμηθείτε όλους τους τύπους και τις μεθοδολογίες, να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις από την τράπεζα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Θέµα ο A. Αν α, β µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: i. αβ και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. 4 4 B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα

Φυλλάδιο Ασκήσεων 1 Διανύσματα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΤΟΙΜΟΥ Β ΥΚΕΙΟΥ 07-8 Φυλλάδιο Διανύσματα ο ΓΕ Αγίων Αναργύρων Μαθηματικά Προσανατολισμού Φυλλάδιο Ασκήσεων Διανύσματα Β υκείου ύνθεση Άσκηση Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Διανύσματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Διανύσματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / 9 / 0 1 6 Kατεύθυνση κεφάλαιο 1 44 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α

α και γ και να 3. Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= 2ΟΑ αποδείξετε ότι ΓΑ = 2ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε: ΓΑ = ΓΟ + ΟΑ = γ + α 3 Δίνεται τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ = α, ΟΓ =γ και ΓΒ= ΟΑ Αν Δ και Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα, να βρείτε τα διανύσματα ΓΑ, ΑΒ και ΕΔ συναρτήσει των α και γ και να αποδείξετε ότι ΓΑ = ΕΔ ΛΥΣΗ Έχουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης.

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Ενιαίου Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης B Λυκείου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διανύσματα Η θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων 1 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y για τα οποία ισχύουν: x+ y= α+ 4 και 4x y= α+ Nδο τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Αν ισχύει η ισότητα MA+ 5ΡΑ = 3ΡΜ+ ΡΒ 4ΓΜ νδο τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β O A M B ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ ον : α α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, β. Μονάδες 5 β. Αν α, ν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα ΟΙ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Σ Λ - αντιστοίχησης Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = α, Α = β. α) Το διάνυσµα ΑΓ ισούται µε Α. α - β Β. β - α Γ.. α + β Ε. α - β α + β β) Το διάνυσµα Β ισούται µε α + β Α. α + β Β. β -

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα