Στοιχειώδη Σωμάτια ΙΙ (8ου εξαμήνου, εαρινό 2011-12) Χ. Πετρίδου & Κ. Κορδάς Μάθημα 3α Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Λέκτορας Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στοιχειώδη ΙΙ, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 13 Μαρτίου 2012
Αλληλεπιδράσεις και ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Έστω ένα σωματίδιο α που προσεγγίζει από κάποια απόσταση έναν ακίνητο πυρήνα Χ, και προσπίπτει τυχαία οπουδήποτε σε μια επιφάνεια π R 2 με κέντρο τον πυρήνα [ α X R Πιθανότητα αλληλεπίδρασης = σταθερά π R 2 = σ π R 2 σ = Ενεργός διατομή της αλληλεπίδρασης μονάδες επιφανείας, σε mb = (10 fm) 2 Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 2
Μιά αίσθηση μεγέθους ενεργών διατομών Ας πάρουμε τη γεωμετρική θεώρηση μιας σκέδασης [ α Xσ R Σωματίδιο α σκεδάζεται από πυρήνα με ακτίνα r =6 fm. Αν θεωρήσουμε το α σημειακό που πέφτει τυχαία οπουδήποτε στον μεγάλο κύκλο R, και επίσης θεωρήσουμε την επιφάνεια που παρουσιάζει ο πυρήνας σαν την ενεργό επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε η ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης είναι π * r 2 = 113 fm 2 = 1.13 mb πιθανότητα το α να πέσει πάνω στον πυρήνα = π * r 2 / π * R 2 Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 3
Ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Η ενεργός διατομή μπορεί να θεωρηθεί σαν το ενεργό εβδαδό που παρουσιάζει ο πυρήνας Χ στο επερχόμενο σωματίδιο α. [ α Xσ R Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων. Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν. Εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 4
Ενεργός διατομή: επί μέρους και ολική Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν και τις ενέργειές τους π.χ. σ(p+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Αν ρωτήσουμε: ποιά είναι η πιθανότητα να γίνει η αλληλεπίδραση, μιλάω για ολική ενεργό διατομή, σ Αν ρωτήσουμε: ποιά είναι η πιθανότητα να γίνει η αλληλεπίδραση και να έχω το τάδε αποτέλεσμα, τότε δεν μιλάω πιά για ολική ενεργό διατομή, σ, αλλά για επιμέρους ενεργό διατομή dσ ολική ενεργός διατομή = inclusive cross section = σ = Σ dσ i Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 5
Παράδειγμα: ενεργός διατομή Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που γ+d (d= 2 H= δευτέριο) 1 αλληλεπιδρούν: γ+p εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους Σχήμα 3.1 στο βιβλίο σας (C&G) Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 6
Ενεργός διατομή και ρυθμός αντίδρασης Δέσμη σωματιδίων α, προσπίπτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Χ α ρ α = επιφανειακή da υ*dt Επιφανειακή πυκνότητα της δέσμης α = ρ α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας πυκνότητα δέσμης σωματιδίων α Ροή των σωμματιδίων α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα χρόνου = ρ α * υ Αριθμός α που διέρχεται από επιφάνεια π R 2 γύρω έναν πυρήνα Χ, στη μονάδα χρόνου (dt=1) : ρ α * υ * π R 2 Πιθανότητα αλληλεπίδρασης των α με έναν πυρήνα Χ = σ π R 2 Ρυθμός (dn/dt) αλληλεπίδρασης σωμματιδίων α με έναν πυρήνα Χ: (ρ α *υ*π R 2 )*(σ/ π R 2 ) = ρ α *υ*σ tot = ροή * ενεργός διατομή Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 7
Πέρασμα μέσα από υλικό με πολλούς πυρήνες? Όταν η δέσμη σωματιδίων α, πέφτει πάνω σε Ν X πυρήνες, τότε ο ρυθμός αλληλεπιδράσεων είναι Ν Χ φορές μεγαλύτερος dn/dt = Ν Χ * ρ α * u * σ Αν η δέσμη των σωματιδίων α έχει επιφάνεια Α, και πέφτει πάνω στο στόχο που έχει πάχος dx, Αν οι πυρήνες Χ έχουν πυκνότητα ρ (=αριθμός πυρήνων / cm 3 ), τότε: Ν Χ = ρ * όγκος = ρ * Α * dx Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 8
Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Δέσμη σωματιδίων α, προσπιτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ da υ*dt α Χ ρ Χ = επιφανειακή πυκνότητα πυρήνων Χ Αντίστοιχα με την προηγούμενη σελίδα: Ρυμός αντίδρασης (dn/dt) ενός σωματιδίου α με τους πυρήνες Χ του στόχου: ρ x *υ * σ tot (σαν να είμαι πάνω στο α και να βλέπω τους πυρήνες Χ να έρχονατι με ταχύτητα υ, oπότε έχω: ροή των σωματιδίων Χ * ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης) Για μία αλληλεπίδραση απαιτείται κατά μέσο όρο χρόνος τ = 1/(ρ x *υ * σ tot ) Μέση ελεύθερη διαδρομή = τ*υ = 1/(ρ x * σ tot ) Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 9
Rutherford scattering (σκέδαση) πάλι Σωματίδια α σκεδάζονται από πυρήνες χρυσού Μετράω σε κάθε θέση θ, πόσα σωματίδια α βλέπω μέσα σε χρόνο dt: Επειδή dn/dt = ροή * σ, έχω dn = ροή * dt * σ Επίσης μετράω τον αριθμό των σωματιδίων dn, ανά μονάδα στερεάς γωνίας dω: Δηλαδή μετράω dn/dω Γωνία: θ r θ da dθ dθ=ds/r r Στερεά γωνία: Ω dω=da/r 2 dω=2π sinθ dθ =2π d cosθ Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 10
Rutherford scattering (σκέδαση) πάλι Αν ο πυρήνας είναι σημειακό φοτίο: Rutherford approximatιοn 1 dn θ sin 4 θ /2 dn dω = ροή dt dσ dω = σταθ. dσ dω dσ dω 1 sin 4 θ /2 = 1 1 cosθ 2 dω=2π sinθ dθ =2π d cosθ dσ d cosθ 1 sin 4 θ /2 = 1 1 cosθ 2 Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 11
Μερικοί σχετικοί ιστότοποι Rutherford scattering: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutsca.html#c2 Ενεργός διατομή σκέδασης: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/crosec.html#c5 Great experiments in Physics http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/grexp.html#c1 Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 12
Έξτρα Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 13
Σχετικιστική κινηματική: E = mc 2 Σχετικιστική κινηματική Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός γενικά, με κινητική ενέργεια Τ, έχουμε : E=T m c 2 E=m γ c 2,όπουγ = 1 p=m γ υ=m γ βc, όπου p=, και β=υ/c, με υ=ταχύτητα σω 2 1 β μ ατιδίου ορμή E 2 = pc 2 m c 2 2 E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c 2 ] Σημ είωση: μ ε c = 1, έχουμε : E 2 =p 2 +m 2, κλπ. Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 14
α= e 2 4 πε 0 ħ c = 1 137 Μονάδες c= 3 10 8 m/s μ ονάδα ταχύτητας 1 μ ονάδα ενέργειας ev =1.6 10 19 Cb V =1.6 10 19 Joule Συνήθως χρησιμοποιούμε το MeV (= 10 9 ev) Σταθερά του Plank = h = ħ c=197 MeV fm, όπου ħ= h 6.626 x 10-3 4 J s 2π μ ονάδα δράσης ενέργειας χρόνου 1 ( σταθερά λεπτής υφής ) Μετράμε: Μάζα: MeV/c 2 (αφού Ε = mc 2 ) Ορμή: MeV/c (αφού p = mγβc) Χρόνο σε: 1/MeV (αφού η μονάδα Ενέργειας * Xρόνου = 1) Μήκος σε: μονάδες χρόνου = 1/MeV (αφού η μονάδα ταχύτητας=1) 1 amu = 1/12 μάζας ουδέτρου ατόμου 12 C = 931.5 MeV/c 2 Μάζα πρωτονίου ~ 938 MeV, Mάζα ηλεκτρονίου = 0.511 MeV. Α.Π.Θ - 13 Μαρ. 2011 Κ. Κορδάς - Στοιχειώδη ΙΙ - Μάθημα 3a : ενεργός διατομή 15