Περιεχόμενα 1. Δυναμικό Ροής και Ροϊκή Συνάρτηση 2. Κυματική Θεωρία Stokes 1 ης τάξης (Airy) 3. Κυματική Θεωρία Stokes 2 ης τάξης 4. Κυματική Θεωρία Stokes 5 ης τάξης 5. Κυματική Θεωρία Συνάρτησης ροής (Fourier 18 ης τάξης) 6. Cnoidal waves 7. Θεωρία μοναχικού κύματος (Solitary wave) 8. Επιλογή κυματικής θεωρίας Σειρά II 2
1.3 Δυναμικό Ροής Με δεδομένο την αστρόβιλη ροή, w x = u z, w dz = u dx Θέτοντας το παραπάνω ως μία συνάρτηση φ έχουμε w dz = u dx = φ x, z, t Δυναμικό ροής Έτσι, u = φ φ και w = (και v = φ για 3D ροή) (1e) x z y Μία συνάρτηση περιγράφει όλη τη ροή. Σειρά ΙΙ 3
1.3 Δυναμικό Ροής Εξίσωση Laplace Από την εξίσωση συνέχειας της μάζας για 3D ροή: u + v + w x y z = 0 και με δεδομένα τα u = φ x, w = φ z και v = φ y x φ x + y φ y + z φ z = 0 άρα 2 φ + 2 φ + 2 φ = 0 x 2 y 2 z 2 ή Εύκολη στη λύση του!!! 2 φ = 0 Συνάρτηση Laplace με όρους φ Σειρά ΙΙ 4
1.3 Ροϊκή Συνάρτηση Αντίστοιχα, με δεδομένο την εξίσωση συνέχειας, u x = w z, ολοκληρώνοντας ως προς x έχουμε u w w dx = dx και άρα u = dx x z z ολοκληρώνοντας ως προς z έχουμε w u dz = dxdz και άρα u dz = w dx z Θέτοντας το παραπάνω ως μία συνάρτηση ψ έχουμε u dz = w dx = ψ x, z, t Ροϊκή Συνάρτηση Έτσι, u = ψ ψ και w = (1e ) z x Πάλι μία συνάρτηση περιγράφει όλη τη ροή. Σειρά ΙΙ 5
1.3 Ροϊκή Συνάρτηση Εξίσωση Laplace Η εξίσωση συνέχειας της μάζας ικανοποιείται αυτόματα: u x + w z = 0 2 ψ x z 2 ψ x z = 0 Με δεδομένο την αστρόβιλη ροή, w x u z = 0 x άρα ψ x 2 ψ + 2 ψ = 0 x 2 z 2 2 ψ = 0 Όμοια εύκολη στη λύση του!!! z ψ z Συνάρτηση Laplace με όρους ψ = 0 Σειρά ΙΙ 6
1.3 Φυσική σημασία του φ και ψ Γραμμές φ = σταθερό Αντιπροσωπεύουν τις γραμμές δυναμικού Ενώνουν σημεία με ίσο δυναμικό ροής Ισοδύναμο με το βαρυτικό δυναμικό πεδίο και έτσι ενώνει σημεία ίσου βαρυτικού δυναμικού το δυναμικό για την κίνηση προκύπτει λόγω κλίσης πίεσης Οι γραμμές δυναμικού έτσι, ενώνουν σημεία ίσης κλίσης πίεσης Γραμμές ψ = σταθερό Αντιπροσωπεύουν τις γραμμές ροής Αυτές δείχνουν την κίνηση ή μετακίνηση των σωματιδίων ρευστού Εύκολα ορατό σε πειράματα Το ρευστό κινείται στην κατεύθυνση της κλίσης πίεσης (από υψηλή σε χαμηλή). Έτσι οι γραμμές ροής πρέπει να είναι κάθετες στις γραμμές δυναμικού. Οι γραμμές δυναμικού και οι γραμμές ροής αποτελούν το πλέγμα ροής. Σειρά ΙΙ 7
1.3 Φυσική σημασία του φ και ψ Παράδειγμα: Ροή σε ανοιχτό αγωγό Σειρά ΙΙ 8
Θεωρία Airy ή Stokes 1 ης τάξης Γραμμικοί & Κανονικοί Κυματισμοί z=0 α z H c x Ταχύτητα μετάδοσης phase velocity wave celerity S.W.L d t w u Ελεύθερη επιφάνεια (x,t) acos( kxt) z=-d Wave Frequency, k 2 ; T αριθμός κύματος Wave Number k 2 μήκος κύματος, 2 gk tanh( kd) a coshk( y d) u sin( t kx) sinh( kd) a sinh k( y d) v cos( t kx) sinh( kd) Σειρά II 9
Μετατοπίσεις σωματιδίων Stokes 1 st Αν ( τοπικές συντεταγμένες που ορίζουν την θέση ενός σωματιδίου του ρευστού τότε: Έτσι: και ˆ a cosh k( y d)cos( t kx) sinh( kd) a sinh k( y d)sin( t kx) ˆ sinh( kd) και Εξς (1.5) Αφού: ct. Εξίσωση Έλλειψης 10
Μετατοπίσεις σωματιδίων - Stokes 1 st Για πολύ ρηχά νερά δεν έχει εφαρμογή αυτή η θεωρία. 11
Κατανομή Πίεσης - Stokes 1 st Από εξίσωση Bernoulli Εξ. (1d) έχουμε: όπου είναι η σταθερά που ασκείται στο y = 0, και ο όρος έχει πάλι παραλειφθεί. 12
Κατανομή Πίεσης - Stokes 1 st cosh k( y d) p po gy ga sin( t kx) cosh( kd) Συνολική πίεση 2 2 t kx Σταθερή πίεση p Υδροστατική πίεση gy Δυναμική πίεση cosh k( y d)sin( t kx) ga cosh( kd) 13
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Όσο πιο «μεγάλο» ένα κύμα τόσο πιο σημαντική γίνεται η μη γραμμικότητα GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας 2 η τάξη θα έχει τη μορφή: 2 H H k cosh( kd) coskx t 2 3 2 16 sinh kd 2 cosh2kd cos kx t H k coshk( d y) u g coskx t 2 cosh( kd) 3 2 cosh2kd y H k cos2kx t 4 16 sinh kd H w 2 d k sinh k d g sinh kd y y 3 2 sinh k H k sin 2 4 16 sinh ( kd) sin kx t kx t Εξίσωση διασποράς - Αμετάβλητη 2 gk tanh kd Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων Σειρά VII 14
Πηγή: Θ. Καραμπάς, Καθηγητής Πανεπ. Αιγαίου Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας H 2 η τάξη θα έχει τη μορφή: 2 H k cosh( kd) coskx t 2 3 2 16 sinh kd 2 cosh2kd cos kx t + 1 st ή κύρια αρμονική. Περιγράφει ελευθερους κυματισμούς c k ΙΙ 2 nd αρμονική. Περιγράφει δεσμευμένους κυματισμούς στους ελεύθερους κυματισμούς c 2 2k k Typical (t) Εξηγεί: Ασυμμετρία κυματοκορυφής κοιλίας Μεταβολή της μέσης στάθμης νερού Σειρά VII 15
3 rd order Stokes 3rd order dispersion relationship: Σειρά II 16
https://commons.wikimedia.org/wiki/file%3asteep_ deep_water_wave.ogv Σειρά II 17
Μη γραμμικές τροχιές σωματιδίων Σειρά II 18
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Δυστυχώς, όσο πιο «μεγάλοι» κυματισμοί τόσους περισσότερους όρους πρέπει να χρησιμοποιούμε: 1. Αναλυτικές λύσεις, μέχρι 5 ης τάξης. Fenton (1985) επέκταση της λύσης Stokes έως 5 η τάξη: Σειρά VII 19
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων Εξίσωση διασποράς - μεταβλητή Σειρά VII 20
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Σειρά VII 21
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Σειρά VII 22
Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί (a) Μία συχνότητα, μικρό εύρος α max = H/2 H max max max H H (b) Μία Συχνότητα, μεγάλο εύρος α max > H/2 max Σειρά VII 23
Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί (a) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, γραμμική λύση max = H/2 max H max H (b) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, μη-γραμμική λύση max > H/2 Σειρά VII 24
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Τυπικό μοτίβο αρμονικών Note: H k 2 εκφράζει την καμπυλότητα. Όσο μεγαλύτερη η καμπυλότητα, τόσο περισσότερες αρμονικές πρέπει να συμπεριληφθούν. Phase velocity, uniform current. 0. order (є) t kx 2 t kx + mean 1 st. order (є 1 ) 2 nd order (є 2 ) t kx 3t kx 2t kx 4t kx t kx 3t kx 5t kx 2t kx 4t kx 6t kx + mean + mean 3 rd.order (є 3 ) 4 th.order (є 4 ) 5 th. order (є 5 ) 6 th. order (є 6 ) Σειρά VII 25
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 2. Λύσεις συνάρτησης ροής. Dean (1965), Fourier 18 th Για y=η c U c U 1 N 1 n4,6,8 sinh n 2 k d y U Μέση ταχύτητα ρεύματος αν υπάρχει 2 X n n 2 cos kx 2 X n1 n 2 sin kx 2 Σειρά VII 26
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Λύσεις συνάρτησης ροής. Dean (1965), Fourier 18 th Εδώ πάλι: Η κυρίαρχη εξίσωση Laplace 2 ψ = 0 ικανοποιείται πάντα. Οι οριακές συνθήκες στον πυθμένα ικανοποιούνται πάντα. X n άγνωστοι προσδιορίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων που προσαρμόζεται στις οριακές συνθήκες της ελεύθερης επιφάνειας. Σημείωση: Το μοντέλο εφαρμόζεται σε ευρύτερο πεδίο βαθών (δες Fig.1 παρακάτω) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με δύο τρόπους Με δεδομένα τα H, T και d η x και ψ(x, y) και άρα u, v Με δεδομένη χρονοσειρά η t ψ(x, y) και άρα u, v Σειρά VII 27
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoidal Waves Για 1/50 < d/λ <1/8 μαθηματική επίλυση του προβλήματος κάνοντας χρήση των Ιακωβιανών ελλειπτικών συναρτήσεων συνημιτόνου Σειρά VII 28
US Army bombers flying over near-periodic swell in shallow water, close to the Panama coast (1933). The sharp crests and very flat troughs are characteristic for cnoidal waves. Σειρά II 29
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoidal Waves κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια δίνεται Σειρά VII 30
Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoidal Waves κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια δίνεται y t : η ανύψωση της κοιλίας cn Jacobi elliptic function K k : complete elliptic integral of the first kind k: εδώ δεν είναι ο κυματαριθμός αλλά καθορίζει τη μορφή του κυματισμού, 0 < k < 1 Σειρά VII 31
Μοναχικό κύμα Σειρά VII 32
Μοναχικό κύμα Σειρά VII 33 q H 2.sec h Στάθμη νερού η στο σημείο x : Ταχύτητα μετάδοσης Tαχύτητες u, w στο σημείο x, z : Μέγιστη ταχύτητα u max : ). ( 2 ) (3 2 1/ C t x d q 5 0. 1 1 2 1/ gd gd C d H / ( 0) x O Προσέγγιση Πρώτης Τάξης 2 cosh cos.cosh cos 1.. d x M d d z M d x M d d z M C N u 2 cosh cos.sinh sin.. d x M d d z M d x M d d z M C N w d d z M C N u cos 1. max sech x = 1 cosh x
Μοναχικό κύμα Σειρά VII 34
Επιλογή Κυματικής Θεωρίας Σειρά VII 35
Παράδειγμα Υπολογισμού (α) Κύμα ύψους στα ανοικτά 1.8m και περιόδου 8 secs εισέρχεται σε παράκτια περιοχή βάθους 5m. Nα προταθεί η κατάλληλη θεωρία για την περιγραφή του κύματος. (β) Να επαναληφθεί το ίδιο εάν το κύμα μεταδίδεται σε βαθιά νερά d=35m. (γ) Να υπολογιστεί για το (β) η μέγιστη ανύψωση του κυματισμού, η οριζόντια ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση για γραμμικό κυματισμό αλλά και σύμφωνά με τη θεωρία που προκύπτει από το διάγραμμα. Απάντηση (α) Από την εξίσωση διασποράς (Εξ. (2 η ) στη σειρά ΙΙ) καταλήγουμε ότι λ= 53.1m Ο συντελεστής ρήχωσης (Εξ. (3ζ)) προκύπτει Κ s = 1.023 Συνεπώς Η=2.0*1.023=2.56m. Θα είναι d/gt 2 = 0.008 και H gt 2 = 0.003, συνεπώς, από το διάγραμμα Le Mehaute προκύπτει ότι θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η ελλειπτική θεωρία ή η θεωρία ροϊκής συνάρτησης. (β)με τον ίδιο τρόπο λ = 97.8m και Κ s = 0.964, H=1.8*0.964=1.735m. Συνεπώς, d/gt 2 = 0.056 και H gt 2 = 0.0026, οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η θεωρία Stokes 2 ης τάξης. Σειρά VII 36