Αρµονικοί ταλαντωτές

Transcript

1 Αρµονικοί ταλαντωτές

2 ΦΥΣ Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής: x = x max cos(!t + ") όπου! 2 = K m q Φθίνουσες ταλαντώσεις q Εξαναγκασµένες ταλαντώσεις

3 ΦΥΣ Διαλ.30 3 Ελατήρια q Θεωρήστε το γνωστό σας ελατήριο Κ Μ Το σύστηµα έχει ένα βαθµό ελευθερίας Η εξίσωση της κίνησης γράφεται σύµφωνα µε το 2 ο νόµο του Newton F = ma =!Kx σε συνδυασµό µε το νόµο του Hooke Ξέρουµε όµως ότι η επιτάχυνση a = d 2 x dt 2 =!!x H εξίσωση της κίνησης γράφεται λοιπόν σαν: F = m!!x =!Kx " m!!x + Kx = 0 Δευτέρας τάξης (δεύτερη παράγωγος), οµογενής (=0), γραµµική (οι παράγωγοι εµφανίζονται σε πρώτη δύναµη) διαφορική εξίσωση Οοοοps τι κάνουµε?

4 Λύση της Δ.Ε. του απλού αρµονικού ταλαντωτή Ένας τρόπος για να λύσουµε την εξίσωση είναι µε τη µέθοδο διαχωρισµού των µεταβλητών. ΦΥΣ Διαλ.30 4 Ορίζω:! 2 = K m d 2 x dt =!" 2 x! d"!d! = "# 2 xdx 2 dt = #$ 2 x! d" dx dx dt = #$ 2 x! " d" dx = #$ 2 x!! #" d" = $% 2 1 # x dx!! 2 = "# 2 x 2 $! = ± "# 2 x 2! 2 = " 1 2 # 2 x 2 $ Παύση... Είµαστε στη µέση!! Αυτή τη στιγµή έχουµε τη ταχύτητα συναρτήσει της θέσης. Θέλουµε όµως την θέση συναρτήσει του χρόνου! Δηλαδή x(t) =! = "# 2 x! dx! dx x = "# 2 dt dt = "# 2 x! " dx x = " #$ 2 dt! ln x + C =!" 2 t! x = Ae ± "# 2 t Λύση της διαφορικής εξίσωσης

5 ΦΥΣ Διαλ.30 5 Λύση της Δ.Ε. απλού αρµονικού ταλαντωτή q Υeaks!!! Η µέθοδος είναι µακρόσυρτη και καθόλου ευχάριστη Το αποτέλεσµα είναι όµως ενδιαφέρον: x( t) = Ae ±!" 2 t Τη λύση αυτή µπορούσαµε να την δοκιµάσουµε από την αρχή!! Δηλαδή για να λύσουµε την Δ.Ε. δοκιµάζουµε διάφορες λύσεις. Αν την επαληθεύουν τότε το τι δοκιµάσαµε είναι όντως λύση!!! q Η λύση που βρήκαµε είναι η µοναδική? Υπάρχουν άλλες λύσεις? Από θεωρία Δ.Ε.: Για κάθε Δ.Ε. εξίσωση n-τάξης υπάρχουν n-ανεξάρτητες µεταξύ τους λύσεις. (γραµµικές µόνο): Αν n-λύσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους τότε και o γραµµικός τους συνδυασµός είναι λύση Δηλαδή x( t) = Ae +!" 2 t + Be!!" 2 t είναι λύση και µάλιστα καλείται γενική λύση ή πλήρης λύση της εξίσωσης Ø Ένα ακόµα προβληµατικό σηµείο: Tι συµβαίνει µε το ω? Είναι θετικό? αρνητικό?

6 ΦΥΣ Διαλ.30 6 Λύση Δ.Ε. απλού αρµονικού ταλαντωτή q Αν Κ < 0 ή m < 0 (δεν έχουµε φυσικό σύστηµα) ω 2 = -K/m > 0 Ø Οι λύσεις είναι της µορφής x( t) = Ae!t και x( t) = Be!"t Ο γραµµικός τους συνδυασµός είναι επίσης λύση x( t) = Ae!t + Be "!t H εξίσωση αυτή δεν αντιστοιχεί σε αρµονική κίνηση. Εν αντιθέσει αντιστοιχεί σε εκθετικά αυξανόµενη ή φθίνουσα κίνηση x ( t) x(t) = Ae!t cosh x = 1 2 ( e x + e! x ) sinh x = 1 2 e x! e! x ( ) cosh 2 x! sinh 2 x = 1 d cosh x = sinh x dx d sinh x = cosh x dx "! t = # e Χρησιµοποιώντας την: e!t = cosh! t + sinh! t Μπορούµε να γράψουµε τις λύσεις µε τις ακόλουθες ισοδύναµες µορφές: ( ) = Ae!t + Be "!t ( ) = C cosh!t + Dsinh!t ( ) =! cosh ("t + # 1 ) ( ) = F sinh (!t + " 2 )

7 ΦΥΣ Διαλ.30 7 Λύση Δ.Ε. Απλού αρµονικού ταλαντωτή q Αν Κ > 0 και m > 0 (φυσικό σύστηµα) τότε ω > 0 è -ω 2 < 0 Οι λύσεις είναι της µορφής µε πλήρη λύση: x( t) = Ae i!t + Be "i!t Χρησιµοποιώντας e i! = cos! + isin! x( t) = C cos!t + Dsin!t x( t) = E cos (!t + " 1 ) x( t) = F sin (!t + " 2 ) ( ) = Ae i!t και x( t) = Be!i"t έχουµε Όλες οι μορφές είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του αρμονικού ταλαντωτή Oι σταθερές Α,Β, ή C και D, Ε,F και φ 1,φ 2 καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος. Δηλαδή την κατάσταση του συστήµατος µια χρονική στιγµή t=t 0 συνήθως t 0 = 0. Aν ( ) = Acos!t + Bsin!t τότε ( ) = A αρχική θέση x 0 dx( 0) dt =! B αρχική ταχύτητα

8 ΦΥΣ Διαλ.30 8 Απλός αρµονικός ταλαντωτής Η γενική µορφή της λύσης του αρµονικού ταλαντωτή είναι ( ) = Acos! t + Bsin! t q Εν γένει αν x(t) = x(t+t) η κίνηση είναι περιοδική µε περίοδο Τ cos! t = cos! ( t + T ) ( ) = cos(! t + 2" ) αν! = 2" # = 1 $ Περίοδος ταλάντωσης ή συχνότητα Οι µορφές που γράψαµε πριν βγαίνουν από την γενική µε την βοήθεια τριγωνοµετρικών σχέσεων και οι σταθερές συνδέονται µεταξύ τους Χρησιµοποιώντας ( ) = E cos (! t + " 1 ) = E cos!t cos(a + B) = cos Acos B! sin Asin B ( )cos" 1 # E sin (!t)sin" 1 Εποµένως για A = E cos! 1 και B =!E sin" 1 ( ) = E cos (!t + " 1 ) = Acos (!t) + Bsin (!t) γίνεται: -φ/ω E 0 t

9 ΦΥΣ Διαλ.30 9 Απλός αρµονικός ταλαντωτής και κυκλική κίνηση q Εποµένως η εξίσωση x(t) = Acos(! t + ") παριστάνει µια περιοδική, συνηµιτονοειδή κίνηση µε αποµάκρυνση ή πλάτος Α και η γωνία φ προσδιορίζει την φάση της κίνησης. Το πλάτος και η φάση είναι σταθερές της κίνησης που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Η φάση εν γένει χρησιµοποιείται για την σύγκριση της κίνησης δύο συστηµάτων. q Χαρακτηριστικά, η κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση είναι όµοια µε την κίνηση που εκτελεί η προβολή µιας κυκλικής κίνησης στον x-άξονα A ωt x x Οµοιόµορφη κυκλική κίνηση χαρακτηρίζεται από!! a =!" 2 r # ax =!" 2 x # d 2 x dt 2 =!" 2 x # ""x =!" 2 x Ίδια διαφορική εξίσωση µε αυτή µάζας εξαρτηµένης σε ελατήριο

10 Απλός αρµονικός ταλαντωτής και κυκλική κίνηση P y t=0 θ T 0 x 0 υ=ωa v υ x υ x P T 0 α=ω 2 A P α α x T ΦΥΣ Διαλ θ=ωt+φ Ø Για t=0, θ=φ η γωνία που διαγράφει η ΟP µε τον x-άξονα Ø Συναρτήσει του t, το P περιστρέφεται πάνω στο κύκλο ακτίνας R=A ενώ το Τ κινείται παλινδροµικά στο x-άξονα ανάµεσα σε +Α και Α Τα σηµεία P και T έχουν την ίδια συντεταγµένη x è x=αcos(ωt+φ) Ø Ο χρόνος για µια πλήρη περιστροφή είναι ίσος µε την περίοδο κίνησης è γωνιακή ταχύτητα περιστροφής = γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης Ø Η γραµµική ταχύτητα του P, υ=ωr=ωα ενώ του Τ, υ x =-ωαsin(ωt+φ) από dx/dt Ø H γραµµική επιτάχυνση του P έχει φορά προς το κέντρο, α=ω 2 Α Ø Η επιτάχυνση του Τ: α x =-ω 2 Αcos(ωt+φ)=x-συνιστώσα της α του P

11 ΦΥΣ Διαλ Απλή Αρµονική ταλάντωση Εξισώσεις κίνησης θέση Τ Από την εξίσωση-λύσης της ΔΕ του αρµονικού ταλαντωτή µπορούµε να εξαγάγουµε τις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης: ταχύτητα επιτάχυνση x(t) = Acos(! t + ")!(t) = dx dt = "A# sin(# t + $) a(t) a(t) = d 2 x dt 2 = d! dt = "# 2 Acos(# t + $) % Oι ακραίες τιµές είναι εποµένως:!(t) max = "A# a(t) max =!A" 2 =!" 2 x Ø H φάση της ταχύτητας διαφέρει από αυτή της θέσης κατά 90 ο ή π/2 Ø H φάση της ταχύτητας διαφέρει από αυτή της επιτάχυνσης κατά 90 ο ή π/2 Ø H φάση της επιτάχυνσης διαφέρει από αυτή της θέσης κατά 180 ο ή π

12 ΦΥΣ Διαλ Μάζα σε ελατήριο x(t) = Acos(! t) Για t=0, x(0)=0 το σύστηµα περνά από τη θέση ισορροπίας

13 ΦΥΣ Διαλ Απλή αρµονική ταλάντωση q Τι έχουµε δει µέχρι τώρα F = m!!x =!Kx " m!!x + Kx = 0 Διάφορες µορφές λύσεις της εξίσωσης: x( t) = Acos (!t + ") ( ) = Bsin (! t + ") ( ) = C cos!t + Dsin!t ( ) = Ee i!t + Fe "i!t Άλλες εξισώσεις κίνησης:! x = "( A# )sin(# t + $ ) a( t) =!!x =!( A" 2 )cos "t + # ( ) Εξίσωση κίνησης αρµονικού ταλαντωτή A: πλάτος ταλάντωσης φ: φάση K 2! γωνιακή # = = = 2!" m $ συχνότητα Ταχύτητα:! max = A" Επιτάχυνση: a max = A! 2 Ø Κίνηση παρόµοια µε την κίνηση της προβολής στον x-άξονα ενός σώµατος που εκτελεί κυκλική κίνηση Ø Η ταχύτητα µικρότερη κοντά στο Α è περνά περισσότερη ώρα εκεί

14 ΦΥΣ Διαλ Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή ü Στις διαλέξεις για έργο και ενέργεια είχαµε συζητήσει την δυναµική ενέργεια που αποθηκεύεται σε ένα ελατήριο κατά την συµπίεση ή επιµήκυνσή του καθώς και την σχέση µεταξύ δυναµικής και κινητικής ενέργειας για µια µάζα m εξαρτηµένη από το ελατήριο. q Ξέρουµε ότι το ελατήριο µε µια µάζα εξαρτώµενη από το ένα άκρο του αποτελούν σύστηµα απλού αρµονικού ταλαντωτή: ( ) = Acos (!t + ") q H µηχανική ενέργεια είναι: E = K + U και διατηρείται K = 1 2 m! 2 = 1 2 m" 2 # 2 sin 2 ("t + $ ) = 1 2 ka2 sin 2 ("t + $ ) αφού! = U = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 cos 2 (!t + ") U max = K max 1 2 m! kx 2 = 1 2 ka2 "! = ± k m A2 " x 2 Ε ανάλογη πλάτους ( ) = ±# ( A 2 " x 2 ) U K U k m K

15 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγµα q Μάζα 12Κg είναι εξαρτηµένη σε ελατήριο µε Κ=1.3x10 4. To σύστηµα ξεκινά µε επιµήκυνση +55cm. Ποια η υ max. Κ Μ ( ) = Acos (!t + ") ( ) = "A# sin (#t + $ )! t! ( t = 0) = "A# sin ( $ ) = 0 % $ = 0 & $ = ' Διαλέγουµε την περίπτωση µε φ=0 µια και η αρχική επιµήκυνση >0 x( t = 0) = Acos (! ) = 0.55! = k m = 33rad / s x( t) = 0.55 cos( 33t )! max = A" = 18m / s! ( t) = "! max sin( 33t)

16 ΦΥΣ Διαλ Συνθήκες για να έχουµε απλή αρµονική ταλάντωση q Μια κίνηση είναι απλή αρµονική ταλάντωση µόνο όταν µια από τις 2 παρακάτω ισοδύναµες συνθήκες ισχύουν: (α) Αν υπάρχει µια συνισταµένη δύναµη σε ένα σύστηµα η οποία είναι ανάλογη της θέσης του συστήµατος όπως µετριέται από τη θέση ισορροπίας του µε µια σταθερά αναλογίας του τύπου του ελατηρίου! F tot =!kxî ανεξάρτητα από το αν η δύναµη είναι από ελατήριο ή όχι και αν η δύναµη αυτή, ή η δύναµη µαζί µε µια σταθερή δύναµη που ασκείται κατά µήκος του ίδιου άξονα, είναι οι µόνες δυνάµεις του συστήµατος ενεργούσες στην x-διεύθυνση (β) Αν εφαρµόζοντας το νόµο του Newton καταλήξουµε σε Δ.Ε. πανοµοιότυπη της Δ.Ε. του απλού αρµονικού ταλαντωτή. d 2 x dt 2 +! 2 x = 0 m /s 2

17 Απλή αρµονική ταλάντωση - Αρχικές συνθήκες q Αν δίνονται τα K και m, και οι αρχικές συνθήκες x(0)=x 0 και υ(0) = υ 0, να βρεθεί η εξίσωση τροχιάς x(t). Λύση: Ø Κάθε µορφή της λύσης της εξίσωσης κίνησης περιέχει ΔΥΟ άγνωστες ποσότητες. Αυτές δεν µπορούν να υπολογισθούν από την F=mα. Ø Προσδιορίζονται από τις 2 αρχικές τιµές της θέσης (x) και ταχύτητας (υ) Ø Αν γράψουµε το x σαν ( ) = Acos " ( ) = A$ sin " x 0! = 0 # 0! # t = 0 % ' & (' x( t) = Acos (!t + ") # µ$! = K m ) tan" = * # 0 $ x 0 A = x # 2 0 Ø Αν χρησιµοποιούσαµε x( t) = C cos!t + Dsin!t ( ) = C ( ) = # D x 0! = 0 " 0! " t = 0 $ & % '& $ 2 ΦΥΣ Διαλ Διατήρηση ενέργειας 1 2 KA2 = 1 2 Kx m! A 2 = x 2 0 +! 0 " = x m K! 2 0 ( x( t) = x 0 cos#t + " 0 # sin#t Έτσι φαίνονται περισσότερο οι αρχικές συνθήκες

18 Γιατί τα κοιτάζουµε όλα αυτά? ΦΥΣ Διαλ q Διαλέγουµε να µελετήσουµε την F=-kx για δύο βασικούς λόγους: Ø Τέτοιες δυνάμεις συναντάμε πολύ συχνά στη φύση Ø Μπορούµε εύκολα να λύσουµε την εξίσωση κίνησης q Σχετικά µε το πρώτο λόγο, φανταστείτε ένα δυναµικό της µορφής V(x). q Επικεντρώνουµε την προσοχή µας σε ένα τοπικό ελάχιστο. q Έστω ότι το V(x) έχει ένα ελάχιστο στη θέση x 0. Μπορούµε να πάρουµε το ανάπτυγµα σε σειρά Taylor του V(x) της µορφής: V ( x) = V ( x 0 ) + V! ( x 0 )( x " x 0 ) + 1 2! ( )( x " x 0 ) ! V!! x 0 V!!! x 0 ( )( x " x 0 ) 3 +! σταθ. εξ ορισμού=0 αρκετά μικρό για x κοντά στο x 0 V παραβολή Εποµένως µπορούµε να γράψουµε: ( )! 1 2 V"" ( x 0 )( x # x 0 ) 2 V x Δηλαδή κάθε δυναµικό µοιάζει µε µια παραβολή αν πάµε αρκετά κοντά σε ένα ελάχιστο. x 0 x Δηλαδή π.χ. V!! ( x 0 ) = "K " τότε: 1 2 V!! x 0 ( )( x " x 0 ) 2 # 1 2 K ax ( )2