Σύμφωνα με τις ηλεκτρικές τους ιδιότητες τα υλικά κατατάσσονται σε 3 κατηγορίες

Ηλεκτρικές ιδιότητες Ηλεκτρικές, Μαγνητικές και Οπτικές Ιδιότητες Υλικών (α Διηλεκτρικά Υλικά (β Οπτικές Ιδιότητες Υλικών Δ. Παπαγεωργίου Ι. Παναγιωτόπουλος Ε. Λοιδωρίκης Σύμφωνα με τις ηλεκτρικές τους ιδιότητες τα υλικά κατατάσσονται σε 3 κατηγορίες ζώνη αγωγιμότητας ζώνη αγωγιμότητας < V ζώνη αγωγιμότητας ζώνη ζώνη ζώνη σθένους σθένους σθένους αγωγοί ημιαγωγοί μονωτές (διηλεκτρικά >V Διηλεκτρικά υλικά Πυκνωτής Δεν υπάρχουν ελεύθεροι φορείς. Όλα τα ηλεκτρόνια σθένους είναι ισχυρά συνδεδεμένα στα άτομά και στους χημικούς δεσμούς τους Τα διηλεκτρικά υλικά: Δεν επιτρέπουν την αγωγή ρεύματος > ηλεκτρική μόνωση Χαρακτηριστική ιδιότητα > ηλεκτρική πόλωση (διπολική σε ηλεκτρικό πεδίο Χαρακτηριστικά μεγέθη > διηλεκτρική σταθερά (σχετική ηλεκτρική διαπερατότητα Χαρακτηριστική εφαρμογή > πυκνωτές 3 4

Πυκνωτής Πυκνωτής Χαρακτηριστική ιδιότητα του πυκνωτή είναι ηχωρητικότητα η φορτίου A C Φορτίο που συσσωρεύεται στον κάθε οπλισμό του πυκνωτή Q C V ομογενές ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον πυκνωτή Q =V/ Q με αέρα ανάμεσα στους οπλισμούς με διηλεκτρικό ανάμεσα στους οπλισμούς απόσταση V Η τάση από την πηγή παραμένει σταθερή > σταθερό πεδίο Ε μέσα στον πυκνωτή Ρεύμα φορτίου για να διατηρηθεί το πεδίο> αύξηση φορτίου στους οπλισμούς > αύξηση της χωρητικότητας του πυκνωτή 5 6 Αύξηση χωρητικότητας με διηλεκτρικά Πόλωση Με αέρα ανάμεσα στους οπλισμούς / σχετική ηλεκτρική διαπερατότητα A C Q CV ή αλλιώς διηλεκτρική σταθερά (χαρακτηριστικό κάθε διηλεκτρικού Με διηλεκτρικό ανάμεσα στους οπλισμούς C Q A A C Q CV CV C Q λόγω πόλωσης του διηλεκτρικού Ηλεκτρικό δίπολο: δύο ίσα και αντίθετα συνολικό φορτίο μηδέν φορτία χωρισμένα σε απόσταση a Q o Q δ Q διάνυσμα διπολικής ροπής δqq φορά από το αρνητικό στο θετικό (αντίθετα του ηλεκτρικού πεδίου Το συνολικό φορτίο σε ένα διηλεκτρικό είναι προφανώς μηδέν Πόλωση διηλεκτρικού > σχετικές μετατοπίσεις φορτίων λόγω εξωτερικών πεδίων 7 8

Πολωσιμότητα Πολωμένο διηλεκτρικό Άτομο χωρίς εξωτερικό πεδίο > σφαιρικά συμμετρικό > μηδέν συνολικό φορτίο μηδέν πόλωση ηλεκτρονιακά τροχιακά πυρήνας Άτομο σε εξωτερικό πεδίο > σφαιρικά ασυμμετρικό > μηδέν συνολικό φορτίο μημηδενική πόλωση P δ Επαγόμενη πόλωση P q Μακροσκοπική πόλωση P = συνολική διπολική ροπή ανα μονάδα όγκου όμως ~ΕΕ ~ Ε ορίζουμε την πολωσιμότητα α: Ε 9 Πυκνωτής με διηλεκτρικό Διάνυσμα πόλωσης Λόγω του πεδίου το διηλεκτρικό πολώνεται > =V/ > > φορτία πόλωσης Q στα άκρα του Q Q Q Το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον πυκνωτή καθορίζεται μόνο από την πηγή και την απόσταση των οπλισμών του πυκνωτή =V/ = σταθερό Το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στον πυκνωτή επίσης καθορίζεται από τα συνολικά φορτία στα δύο άκρα Q Q = Q > Q = Q Q Μεγαλύτερο φορτίο στους οπλισμούς > > μεγαλύτερη χωρητικότητα V Q Πόλωση = η συνολική διπολική ροπή ανα μονάδα όγκου o Ν: πλήθος μορίων P [... N ] Nav N ό ό ανα μονάδα όγκου Όμως: συνολική διπολική ροπή = Q o P ό A Q A Q Όγκος = A σ : επιφανειακή πυκνότητα φορτίων πόλωσης

Ηλεκτρική επιδεκτικότητα Το μέτρο της πόλωσης είναι ανάλογο της επιφανειακής πυκνότητας φορτίων πόλωσης P Όμως είναι ανάλογη του εφαρμοζόμενου πεδίου P αλλά εξαρτάται και από την πολωσιμότητα των μορίων άρα Ε N P N N χ : ηλεκτρική επιδεκτικότητα N η ηλεκτρική επιδεκτικότητα είναι ανάλογη της πολωσιμότηατας των μορίων και της πυκνότητάς τους Ηλεκτρική επιδεκτικότητα Το πεδίο καθορίζεται από την πηγή V Q Ε A Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης καθορίζεται από την συνολική επιφανειακή πυκνότητα φορτίου Q Q Ε A Η πόλωση καθορίζεται από την επιφανειακή πυκνότητα φορτίων πόλωσης P =V/ Q Q Q Q Q V Α P Η ηλεκτρική επιδεκτικότητα συνδέεται με την διηλεκτρική σταθερά ( N 3 4 Ηλεκτρονιακή πολωσιμότητα Η από το ηλεκτρικό πεδίο παραμορφώνει το άτομο και δημιουργεί ηλεκτρικό δίπολο F Z Ελκτικές δυνάμεις Coulomb δρουν ως δυνάμεις επαναφοράς μικρή παραμόρφωση > ανάλογη παραμόρφωσης F x απουσία πεδίου σε πεδίο Η «σταθερά ελατηρίου» β δεν μπορεί να μετρηθεί. Αντίθετα μπορεί να μετρηθεί η συχνότητα ταλάντωσης όταν πάψει το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο Σε ισορροπία αλληλοαναιρούνται σταθερά ελατηρίου συχνότητα Z συνολική μάζα Z x x Η διπολοκή ροπή του ατόμου Zm m Z ( Z x Z Ε Z m x Παράδειγμα Για καθένα από τα παρακάτω ευγενή αέρια δίνεται ο ατομικός αριθμός και η πολωσιμότητα. Υπολογίστε την συχνότητα συντονισμού Είχαμε βρει Z m Z m Μονάδες (χωρητικότητα Faa: F=C/V C C CV Π.χ. για το Αργό 9 (8(.6 C 3 (9. g(.7 4 gfm g(c/vm gm gm gm s 46.8 5.47 38 7 33.98 5.46 J 6 a/s gm /s f Fm s 8.69 5 Hz 5 6

Παράδειγμα Το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο Στην πράξη, το πεδίο που πολώνει ένα άτομο/μόριο είναι το τοπικό πεδίο τοπικό πεδίο lo P 3 μακροσκοπικό μέσο πεδίο πεδίο λόγω γειτονικών διπόλων Βρέθηκε ολοκληρώνοντας το πεδίο που προκαλούν όλα τα δίπολα στην θέση ενός μορίου έχοντας αφαιρέσει πρώτα το μόριο Τι σημαίνει αυτό για την πολωσιμότητα και την διηλεκτρική σταθερά? Η πολωσιμότητα αυξάνει με το Ζ, ενώ η συχνότητα δεν εξαρτάται από το Ζ! η πολωσιμότητα είναι μικροσκοπική ιδιότητα > > συνδέεται με το τοπικό πεδίο η πόλωση είναι μικροσκοπική ιδιότητα > > συνδέεται με το μακροσκοπικό πεδίο P ( N lo 7 8 Η σχέση ClaususMosso P N P N lo N 3 3 N N 3 3 N N N N 3 3 lo lo P 3 N 3 3 N 3N N N / 3 Η σχέση ClaususMosso Η σχέση ClaususMosso μας λέει ότι στην πράξη η πόλωση είναι μεγαλύτερη από ότι θα περιμέναμε λόγω του πεδίου πόλωσης: τα μόρια πολώνονται από το εξωτερικό πεδίο, αλλά επάγουν / 3 πόλωση και το ένα στο άλλο Η σχέση ClaususMosso συνήθως γράφεται για την διηλεκτρική σταθερά ή λύνοντας ως προς / 3 / 3 / 3 / 3 / 3 θέτοντας N τότε / 3 / 3 / 3 3 3 3 3 3( ( 3 N 3 9

Παράδειγμα Παράδειγμα Βρείτε την διηλεκτρική σταθερά του A εάν: 4-3.7 Fm, ρ.8 g m, A B 39.95 g mol - Άρα N 8-3 -4 (.7 m (.7 F m. 5 - (8 8.8585 F m Πρέπει να βρούμε πρώτα την επιδεκτικότητα N Αγνοώντας την συνεισφορά των διπόλων (αγνοώντας δηλαδή την ClaususMosso 3 Θα χρειαστούμε την πυκνότητα ατόμων N[ m ] aoms m N 3 3 aoms mol aoms g mol N A 3 mol m mol m g Με την ClaususMosso. 5 3 - -3 (6. mol (.8 g m - (39.95 g mol N -3.7 m.7 8 m -3 / 3.5 / 3. 63 / 3.5 / 3 Ηλεκτρονική πόλωση στα ομοιοπολικά στερεά Παράδειγμα 3 Στα ομοιοπολικά στερεά οι δεσμοί σχηματίζονται από ηλεκτρόνια σθένους > πιο εντοπισμένα ανάμεσα στα άτομα > πιο χαλαρά συνδεδεμένα με τους πυρήνες > πιο εύκολα πολώσιμα Έστω καθαρός κρύσταλλος S με. 9 (α Πόση είναι η ηλεκτρονιακή πολωσιμότητα; (β Εάν εφαρμόσουμε τάση στις άκρες ενός δείγματος, ποια η διαφορά μεταξύ τοπικού και εφαρμοζόμενου πεδίου; (γ Ποια η συχνότητα συντονισμού των ηλεκτρονίων σθένους; (δίνεται Α Β =8 g/mol, ρ=.39 g/m 3 Για παράδειγμα, S και G έχουν ίδιο αριθμό ηλεκτρονίων σθένους (4 και ίδια ατομική δομή (διαμαντιού. Όμως το G έχει μια επιπλέον στοιβάδα συμπληρωμένη: > τα ηλεκτρόνια σθένους πιο χαλαρά συνδεδεμένα με τον πυρήνα > πιο μεγάλη πολωσιμότητα > πιο μεγάλη διηλεκτρική σταθερά:, S. 9, G 6 Η πολωσιμότητα καθορίζεται από τον αριθμό των ηλεκτρονίων σθένους και από το πόσο ισχυρά συνδέονται με τον πυρήνα (α Λύνουμε την εξίσωση ClaususMosso Χρειαζόμαστε το Ν (αριθμός θ ό ατόμων ανά κυβικό μέτρο N 3 3 N 3 - -3 (6. mol (.39 g m N 5 - (8 g mol - 3(8.85 F m.9 8-3 4.7 (5 m.9 4 F m m 8 m -3 3 4

Παράδειγμα 3 (β Εάν εφαρμόσουμε τάση στις άκρες ενός δείγματος, ποια η διαφορά μεταξύ τοπικού και εφαρμοζόμενου πεδίου; Άλλοι μηχανισμοί πόλωσης Ιοντική πόλωση lo P 3 ( 3 Σε ιοντικούς κρυστάλλους όπως NaCl > μετακίνηση μόνιμων διπόλων, πχ Na, Cl lo ( 3 3 3.9 4.63 3 (α χωρίς πεδίο > μηδέν συνολική πόλωση (β με πεδίο > τα ιόντα μετακινούνται, πόλωση μημηδενική (γ Ποια η συχνότητα συντονισμού των ηλεκτρονίων σθένους; Z m Z Θα θεωρήσουμε ότι μόνο τα ηλεκτρόνια σθένους συνεισφέρουν, οπότε Ζ=4 9 4(.6 C 3 (9. g(4.7 4 m 6 5.65 a/s.6 Hz F m Ισχύουν οι ίδιες σχέσεις όπως και στην ηλεκτρονιακή πόλωση P lo ( P N N N 3 lo 5 6 Άλλοι μηχανισμοί πόλωσης Συνολική πόλωση Πόλωση προσανατολισμού Συνεισφέρουν προσθετικά όλοι οι μηχανισμοί πόλωσης lo lo lo Η ClaususMosso ισχύει μόνο για τις ηλεκτρονιακές και ιοντικές N N 3 lo Διεπιφανειακή πόλωση 7 8

Εξάρτηση από την συχνότητα Παραδείγματα φασμάτων διηλεκτρικής Κάθε μηχανισμός συντονίζεται σε άλλη συχνότητα λόγω διαφορετικών μαζών των φορτίων (πχ ηλεκτρόνια, ιόντα, μόνιμα διπολικά μόρια, κτλ > η διηλεκτρική σταθερά είναι συνάρτηση της συχνότητας ( και είναι μιγαδική ( ( ( ρυθμίζει την πόλωση ρυθμίζει τις απώλειες ή στα βιβλία μηχανικών ( ( j ( όπου j Πόλωση προσανατολισμού Ιοντική πόλωση 9 3 Παράδειγμα 4 Παράδειγμα 4 Για τον κρύσταλλο CsCl υπολογίστε την διηλεκτρική σταθερά. Θα είναι ίδια για όλες τις συχνότητες? Δίνεται: Cs 3.35 4 Fm Cl 3.4 πλεγματική σταθερά a=.4 m 4 Fm Cs Cl 6 4 Fm Πρώτα να βρούμε την αριθμητική πυκνότητα. Σε κάθε κυψελίδα έχουμε ένα ζεύγος CsCl Άρα N N a Λύνουμε την ClaususMosso 3 3 3 /(4. m.43 8 m Cs Cl N N N 3 8-3 4 (.43 m (3.35 3.4 6 F m -. 686 3(8.85 F m.686 / 3.686 / 3 7.56 Cs Cl Ο προηγούμενος υπολογισμός υπέθετε ότι και οι δύο μηχανισμοί πόλωσης είναι ενεργοί. Σε χαμηλές συχνότητες (π.χ. χ υπέρυθρο αυτό ισχύει. Όμως σε πολύ μεγάλες συχνότητες ο ιοντικός μηχανισμός γίνεται ανενεργός καθώς τα πολύ βαριά ιόντα αδυνατούν να ακολουθήσουν την κίνηση. Τότε ενεργός είναι μόνο ο ηλεκτρονικός Cs Cl 8-3 4 N N (.43 m (3.35 3.4 F m. 363-3 3(8.85 F m.7 Στα ιοντικά στερεά είναι μεγάλη η διαφορά που έχει η διηλεκτρική συνάρτηση σε διαφορετικές συχνότητες 3 3

Νόμος του Gauss Νόμος του Gauss στον πυκνωτή Το ολοκλήρωμα της κάθετης συνιστώσας του ηλεκτρικού πεδίου σε μια κλειστή επιφάνεια είναι ίσο με το συνολικό φορτίο που περικλείει η κλειστή επιφάνεια Qo A Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss σε φορτισμένη επιφάνεια > > πυκνότητα φορτίου σ > Gauss κλειστή επιφάνεια ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Α A A Λόγω της ύπαρξης της δεύτερης πλάκας, έχουμε πεδία μόνο μέσα στον πυκνωτή A A Το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό που γνωρίζαμε V Q / C Q Q A A 33 34 Νόμος του Gauss στον πυκνωτή Συνοριακές συνθήκες Τι γίνεται όταν ο μισός πυκνωτής γεμίσει με κάποιο διηλεκτρικό; > φορτία πόλωσης στο διηλεκτρικό > διαφορετικά πεδία Έστω φορτία πόλωσης με επιφανειακή πυκνότητα σ Γενικεύουμε στην περίπτωση των δύο διηλεκτρικών ( A Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss A P A( όμως P ( ( όμως A( P ( ( P P ( ( ( P Για ηλεκτρικό πεδίο κάθετο στην διεπιφάνεια 35 36

Συνοριακές συνθήκες Στην περίπτωση δύο παράλληλων διηλεκτρικών V Για ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στην διεπιφάνεια Παράδειγμα 5 Έστω ο παρακάτω πυκνωτής με ε =.9. Έστω επίσης ότι έχει μια μικρή αστοχία όπου έχει δημιουργηθεί μια μικρή οπή με ε =. Το πεδίο μέσα στην οπή πως σχετίζεται με το πεδίο μέσα στον πυκνωτή; Γενική περίπτωση: Το πεδίο μέσα στον πυκνωτή καθορίζεται από το δυναμικό και το πάχος του πυκνωτή V Συνοριακές συνθήκες στην αστοχία: πεδία κάθετα στην διεπιφάνεια V. 9 37 38 Παράδειγμα 6 Ο νόμος του Gauss γύρω από τα ηλεκτρόδια Λύστε την περίπτωση όπου ένα λεπτό διηλεκτρικό εισέρχεται στην μέση του πυκνωτή Οι συνοριακές συνθήκες επιβάλλουν Το ολοκλήρωμα του πεδίου δίνει την τάση ( V Λύνουμε ως προς Ε V ( V ( V V Εάν << τότε V V Qo A A Q f A Q f Q AP Q f A ( P A A A Q f A Q f f f o f o Που είναι ο γνωστός νόμος για την αύξηση της χωρητικότητας με αξιοποίηση διηλεκτρικού Αντίθετα θα μπορούσαμε να είχαμε ξεκινήσει Q κατευθείαν από τον νόμο του Gauss τροποποιημένο f A ώστε να παίρνει υπόψη μόνο τα ελεύθερα φορτία 39 4

Διηλεκτρική αντοχή και διάσπαση μόνωσης Σε πολύ μεγάλες τάσεις, μπορούν να δημιουργηθεί ρεύμα μέσα στο διηλεκτρικό > ηλεκτρονική διάσπαση χιονοστιβάδας > διηλεκτρική κατάρρευση > μόνιμη καταστροφή των στερεών διηλεκτρικών Ηλεκτρονική διάσπαση χιονοστοιβάδας Έστω ηλεκτρόνιο στην ζώνη αγωγιμότητας Εφαρμοζόμενο πεδίο: Ε Μέση ελεύθερη διαδρομή: l Διηλεκτρική αντοχή Ε b : το μέγιστο πεδίο που μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα διηλεκτρικό χωρίς να προκαλέσει διηλεκτρική διάσπαση Η κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει το ηλεκτρόνιο είναι K l Η διηλεκτρική αντοχή εξαρτάται από: Προσμίξεις Ατέλειες μικροδομής Γεωμετρία δείγματος Φύση ηλεκτροδίων Θερμοκρασία Υγρασία Διάρκεια εφαρμογής του πεδίου Συχνότητα του πεδίου Αυτό το ηλεκτρόνιο μπορεί να προσκρούσει ρ σε ηλεκτρόνιο της ηςζώνης σθένους εαν l g τότε το ηλεκτρόνιο από την ΖΣ θα μεταπηδήσει στην ΖΑ > > ηλεκτρόνια, που με την σειρά τους θα διεγείρουν άλλα, κοκ > μεγάλο ρεύμα και θέρμανση του διηλεκτρικού > κατάρρευση g Διηλεκτρική αντοχή b l Τα αρχικά ηλεκτρόνια προκύπτουν από προσμίξεις, από τις επαφές, με θερμική διέγερση, κτλ 4 4 Διηλεκτρική αντοχή Παράδειγμα 7 Έστω το ομοαξονικό καλώδιο στο διπλανό σχήμα. Χρησιμοποιήστε τον νόμο του Gauss για να υπολογίσετε την χωρητικότητά του ως πυκνωτή Έστω φορτίο Q f στον εσωτερικό αγωγό Έστω το καλώδιο έχει μήκος L Εφαρμόζουμε τον νόμο του Gauss σε ακτίνα Q f L Q f L Ηδ διαφορά άδυναμικού σε πάχος είναι Q f Q V V f L L Ολοκληρώνοντας b b Q f Q f b V V a L b Va l a L a χωρητικότητα C Q f / V L l( b / a 43 44

Παράδειγμα 7 Διηλεκτρικά υλικά πυκνωτών Σε ποιο σημείο έχω μέγιστο πεδίο; Q f L Βρήκαμε πρίν C Q f / V L l( b / a V l( b / a max V a l( b / a Σε ποια τάση προκαλείται διάσπαση διηλεκτρικού; Διάσπαση ξεκινάει όταν max b V b a l( b / a b Σε ποια τάση προκαλείται διάσπαση αέρα σε μια φυσαλίδα πάνω στον εσωτερικό αγωγό? Το πεδίο μέσα στην φυσαλίδα αέρα είναι κατά ε φορές μεγαλύτερο V a l( b / a a b a b 45 46 Κατασκευή πυκνωτών Πιεζοηλεκτρισμός Εμφανίζεται σε συγκεκριμένα υλικά με δύο συμπληρωματικούς τρόπους Εμφάνιση τάσης στα άκρα του κρυστάλλου κατά την εφαρμογή μηχανικής παραμόρφωσης Εμφάνιση μηχανικής παραμόρφωσης του κρυστάλλου κατά την εφαρμογή τάσης στα άκρα του 47 48

Πιεζοηλεκτρισμός Πιεζοηλεκτρισμός Απαραίτητη προϋπόθεση ο κρύσταλλος να μην έχει κέντρο συμμετρίας > π.χ. χαλαζίας (κρυσταλλικό SO, BaTO 3, κ.α. Για παράδειγμα ο κρύσταλλος του NaCl (κυβική συμμετρία, κεντροσυμμετρικό > κάθε διάνυσμα από το κέντρο που αντιστοιχεί σε φορτίο, το αντιστοιχεί στο ίδιο φορτίο Κρύσταλλοι που δεν είναι κέντροσυμμετρικοί εμφανίζουν πιεζοηλεκτρισμό Για παράδειγμα η εξαγωνική κυψελίδα παρακάτω δεν είναι κεντροσυμμετρική > κάθε διάνυσμα από το κέντρο που αντιστοιχεί σε φορτίο, το αντιστοιχεί στο αντίθετο φορτίο Στην ελεύθερη κατάσταση: το κέντρο των θετικών φορτίων και το κέντρο των αρνητικών φορτίων συμπίπτει > P= Στην παραμορφωμένη κατάσταση: το κέντρο των θετικών φορτίων και το κέντρο των αρνητικών φορτίων συμπίπτει > P= Κρύσταλλοι με κυβική συμμετρία συνήθως είναι κέντροσυμμετρικοί και άρα δεν εμφανίζουν πιεζοηλεκτρισμό Στην ελεύθερη κατάσταση: το κέντρο των θετικών φορτίων και το κέντρο των αρνητικών φορτίων συμπίπτει > P= Στην παραμορφωμένη κατάσταση: το κέντρο των θετικών φορτίων και το κέντρο των αρνητικών φορτίων ΔΕΝ συμπίπτει > P 49 5 Μη κεντροσυμμετρικοί κρύσταλλοι Χωρίς παραμόρφωση τα κέντρα συμμετρίας θετικών και αρνητικών φορτίων συμπίπτουν Πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο Με παραμόρφωση τα κέντρα συμμετρίας θετικών και αρνητικών φορτίων διαχωρίζονται, όμως η πόλωση είναι σε διεύθυνση κάθετη με την εφαρμοζόμενη τάση P Με παραμόρφωση τα κέντρα συμμετρίας θετικών και αρνητικών φορτίων διαχωρίζονται P y P yy T y y P Γενικά μηχανική τάση και πόλωση δεν είναι στην ίδια διεύθυνση > > τανυστική σχέση, για παράδειγμα στον εξαγωνικό κρύσταλλο P T T T Πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο Αντίστροφο πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο P T S j j j j y yx x η εφαρμογή μηχανικής τάσης επιφέρει ηλεκτρική πόλωση yy y yz T P yx x η εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου επιφέρει μηχανική παραμόρφωση j : πιεζοηλεκτρικοί συντελεστές, ίδιοι και στις δύο περιπτώσεις z 5 5

Εφαρμογές πιεζοηλετρικών Παράγοντας ηλεκτρομηχανικής σύζευξης Ηλεκτρομηχανικοί μετατροπείς: > μετατροπή ηλεκτρικού σήματος σε μηχανική παραμόρφωση και αντίστροφα > δημιουργία και ανίχνευση υπερηχητικών κυμάτων σε στερεά, μικρόφωνα, επιταχυνσιόμετρα, κ.α. Χαρακτηρισμός στερεού από χρόνο διάδοσης κυμάτων > > > ταχύτητα κυμάτων > > ελαστική σταθερά ή ηλεκτρική ενέργεια ππο μετατρέπεται σε μηχανική εισερχόμενη ηλεκτρική ενέργεια μηχανική ενέργεια ππο μετατρέπεται σε ηλεκτρική εισερχόμενη μηχανική ενέργεια Από σκέδαση κυμάτων > > εσωτερικές ατέλειες και ρωγμές > > μη καταστροφικός έλεγχος 53 54 Παράδειγμα 8 Παράδειγμα 8 Πιεζοηλεκτρική γεννήτρια σπινθήρων: > αναπτήρες, ανάφλεξη μηχανών και αυτοκινήτων Μηχανισμός: > η εφαρμογή δύναμης στα άκρα επιφέρει φορτία στους οπλισμούς > διαφορά δυναμικού > σπινθήρας εαν γίνει διηλεκτρική κατάρρευση Πόση δύναμη απαιτείται για την δημιουργία σπινθήρα; Δίνονται: πιεζοηλεκτρικός συντελεστής =5 m/v διηλεκτρική σταθερά στον πυκνωτή ε = μήκος πυκνωτή L= mm εμβαδό πυκνωτή A=7 mm τάση διάσπασης αερίου στο διάκενο V =3.5 5V Πιεζοηλεκτρική γεννήτρια σπινθήρων Η απαιτούμενη δύναμη είναι AV F L ΗπόλωσηείναιανάλογητηςτάσηςΤ ανάλογη τάσης Τ και άρα της δύναμης P T F A Η πόλωση είναι ίση με την επιφανειακή πυκνότητα φορτίων πόλωσης P Q A AP Τα φορτία στα άκρα αντιστοιχούν σε διαφορά δυναμικού Q V C Q A L AP A L LP 6 (8.85 F/m((7 m (35 V (. m(5 m/v LF A 86.7 N 55 56

Παράδειγμα 8 Σιδηροηλεκτρικοί κρύσταλλοι Η δύναμη F 86.7 N αντιστοιχεί σε μάζα m F g 86.7 N 9.8 m/s 8.85 g Κρύσταλλοι που είναι μόνιμα πολωμένοι > κατά αναλογία με τους σιδηρομαγνητικά υλικά (μόνιμους μαγνήτες Η δύναμη πρέπει να ασκείται απότομα, αλλιώς τα φορτία διαρρέουν ή εξουδετερώνονται Η επαγόμενη τάση ανά μονάδα δύναμης V L L F A A Ο πιεζοηλεκτρικός συντελεστής τάσης g εξαρτάται μόνο από το είδος του πιεζοηλεκτρικού υλικού g Διάφοροι συνδυασμοί μπορούν να δημιουργηθούν ώστε να αυξηθεί η τάση. Για παράδειγμα δίπλα η τάση θα είναι διπλάσια σε σχέση με την απλή διάταξη. Για παράδειγμα στο BTO BaTO 3, για θερμοκρασίες <3 C αλλάζει η δομή του υλικού και μετακινείται ένα άτομο T 4 από το κέντρο φορτίου Οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις μεταξύ μακρινών γειτόνων που συνολικά ρίχνουν την συνολική ενέργεια Η κρίσιμη θερμοκρασία κάτω από την οποία γίνεται η αλλαγή φάσης ονομάζεται θερμοκρασία Cu Τ 57 58 Σιδηροηλεκτρικοί κρύσταλλοι Υπό συνθήκες αυτή η αυθόρμητη πόλωση μπορεί να είναι μόνιμη > θερμαίνουμε τον κρύσταλλο πάνω από Τ > εφαρμόζουμε ηλεκτρικό πεδίο > αφήνουμε τον κρύσταλλο να ψυχθεί κάτω από Τ Με την εφαρμογή πεδίου όλα τα δίπολα κάθε κυψελίδας μένουν ευθυγραμμισμένα με την διεύθυνση του εξωτερικού πεδίου > μόνιμη πόλωση Πυροηλεκτρικοί κρύσταλλοι Οι σιδηροηλεκτρικοί κρύσταλλοι είναι και πυροηλεκτρικοί > μεταβολή στην θερμοκρασία μεταβάλει το μέγεθος της κυψελίδας και άρα την πόλωση > μεταβολή της θερμοκρασίας μεταβάλει την αυθόρμητη πόλωση λόγω θερμικής κίνησης Πυροηλεκτρικός P συντελεστής T Διεύθυνση πόλωσης = σιδηροηλεκτρικός άξονας Στα σιδηροηλεκτρικά η πόλωση είναι μόνιμη, ακόμα και για μηδέν εξωτερικό πεδίο > η σχέση μεταξύ πόλωσης και πεδίου ισχύει μόνο για σχετικές μεταβολές P ( 59 6

Παράδειγμα 9 Πυροηλεκτρικοί φωτοανιχνευτές Έστω πυροηλεκτρικό κεραμικό PZT πάχους. mm (η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλευρές όπου δημιουργούνται τα φορτία. Αν η θερμοκρασία του αυξηθεί και mk, τι τάση θα δημιουργηθεί; P T 6 - - P T (38 C m K (.K 3.8 7 C m - P ( P ( 7-3.8 C m - (8.85 F m (9-48 V/m -4 V L (48 V/m( m.48 V Εύκολα ανιχνεύσιμη τάση. Άρα εύκολα ανιχνεύσιμη δτ=. ο C Σημαντική εφαρμογή σε φωτοανιχνευτές υπερύθρου > > θερμική ακτινοβολία > > συναγερμοί Καθώς τα πυροηλεκτρικά είναι και πιεζοηλεκτρικά, χρειάζονται δύο στοιχεία για ανίχνευση > (Α μετρητής, (Β αντισταθμιστής > και τα δύο υφίστανται την ίδια τάση λόγω ηχητικών κυμάτων κτλ > αλληλοεξουδετέρωση λ > ο (Β καλύπτεται από ανακλαστική επιφάνεια > μόνο ο (Α λαμβάνει υπέρυθρο σήμα Καθώς μετά από λίγο χρόνο τα φορτία διαρρέουν ή εξουδετερώνονται > εφαρμόζουμε διακοπτόμενη ακτινοβόληση 6 6 Παράδειγμα Παράδειγμα Έστω ο πυροηλεκτρικός ανιχνευτής που εξετάσαμε πριν. Έστω ότι το σήμα έχει διάρκεια Δ. Ποια η μεταβολή στην θερμοκρασία; (το Δ είναι μικρό ώστε να μην χρειάζεται να υπολογίσουμε θερμικές απώλειες Η ενέργεια που απορροφάται Η μεταβολή στην θερμοκρασία Η μεταβολή στην πόλωση Η IA Ι: ένταση ακτινοβολίας Α: εμβαδό ανιχνευτή H IA I T AL AL L P T Η μεταβολή των επιφανειακών φορτίων Η μεταβολή της τάσης I L Q AP AI L L: μήκος ανιχνευτή ρ: πυκνότητα μάζας : θερμοχωρητικότητα ρη η ανα μάζα Q Q AI I V C A A L L L I Εάν το πυροηλεκτρικό υλικό είναι PZT, και η τάση που μετράμε με Δ=. s είναι V= mv, ποια είναι η ένταση ακτινοβολίας που προσπίπτει; Δίνεται: 6 - - 38 C m K 9 38 J K g - g - 7 g m V V I I -3 - - - (7 g m (38 J K g (8.85 F m (9( 6 - - (38 C m K (. s -3 - -3 - g m J K C m - g K - - F m s - V J F V C s -3 J s m V W m m -.9 W m 63 64

Οπτικές ιδιότητες υλικών Το φως ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα Οπτικές ιδιότητες υλικών Σε πολλές εφαρμογές η μελέτη του φωτός ως Ε/Μ κύμα είναι ικανοποιητική > μεγάλα μήκη κύματος > εφαρμογές που εμπεριέχουν διάθλαση και σκέδαση και συμβολή του φωτός Στις υπόλοιπες απαιτείται κβαντική προσέγγιση > μικρά μήκη κύματος (π.χ. ακτίνες γ > εφαρμογές που εμπεριέχουν απορρόφηση και εκπομπή φωτός Μια από τις βασικές ιδιότητες της ύλης που επηρεάζει την διάδοση του φωτός είναι ο δείκτης διάθλασης > αποτέλεσμα της πόλωσης του υλικού λόγω ηλεκτρικού πεδίου του φωτός > εξαρτάται από του μηχανισμούς πόλωσης > > εξαρτάται από την συχνότητα ( ή ισοδύναμα ( σχέση διασποράς 65 66 Το φως ως Ε/Μ κύμα Ε/Μ κύματα λ Εξίσωση διάδοσης os( z = : κυματαριθμός λ: χωρική περίοδος Τ θ ό ω: γωνιακή συχνότητα Τ: χρονική περίοδος ά ύ λά ύ αρχική φάση z φάση κύματος πλάτος κύματος Ε το ηλεκτρικό πεδίο Ε το μαγνητικό πεδίο Β το κυματάνυσμα σχηματίζουν δεξιόστροφο ορθοκανονικό σύστημα (κανόνας δεξιού χεριού Β 67 68

Ε/Μ κύματα Χρησιμοποιούμε ιδιότητες μιγαδικών αριθμών για να τα γράψουμε με την μιγαδική τους μορφή (φανταστική μονάδα os( ( z z R{ } πολλές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός Κάποιες ιδιότητες μιγαδικών αριθμών: j j( z os( z R{ } os s os s R{ R{ R{ } os } os το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού για την φανταστική μονάδα Im{ Im{ } s R{ } Im{ } os s ( / ( } s ( z R{ ( z } R{ } R{ ( z } Αναπαράσταση μιγαδικών στο επίπεδο Έστω ο μοναδιαίος κύκλος Ως διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί xx ˆ yy ˆ x y xˆ os yˆ s Ως μιγαδική φάση αναπαρίσταται os s os s os s Το μιγαδικό εκθετικό μπορεί ουσιαστικά να αναπαρασταθεί ως μια στροφή του μοναδιαίου διανύσματος στο επίπεδο χώρο y s x os Στα Ε/Μ αναπαριστά την φάση του κύματος 69 7 Ε/Μ κύματα στον τρισδιάστατο χώρο Ταχύτητα φάσης (, os( z > η ταχύτητα με την οποία ταξιδεύει το μέτωπο κύματος > στο μέτωπο κύματος ηφάση παραμένει σταθερή : κυματάνυσμα xˆ yˆ zˆ x y z x y z xˆ x yˆ y zˆ z x y z x x y z y Π.χ. αν η διεύθυνση διάδοσης είναι η z, τότε z z ˆ z z z os( z σταθ z σταθ Έστω ότι μετά από χρόνο το μέτωπο κύματος ταξίδεψε κατά z > η φάση στο μέτωπο κύματος παραμένει σταθερή ( z z ( z z Επίσης z Τ f f ταχύτητα φάσης Στο κενό f 3 8 m/s 7 7

Δείκτης διάθλασης Δείκτης διάθλασης Μέσα σε υλικό το Ε/Μ κύμα πολώνει τα άτομα και μόρια > η πόλωση αυτή επηρεάζει την διάδοση του κύματος > μοριακά δίπολα και κύμα είναι συζευγμένα Διηλεκτρική σταθερά και άρα δείκτης διάθλασης εξαρτούνται από την συχνότητα ( ( > επιβράδυνση του πεδίου > σμίκρυνση του μήκους κύματος Ισότροπα υλικά είναι ίδιο σε όλες τις διευθύνσεις Δείκτης διάθλασης Μήκος κύματος Ταχύτητα φάσης κυματάριθμος f f Ανισότροπα υλικά είναι διαφορετικό σε διαφορετικές διευθύνσεις 73 74 Διασπορά Μοντέλο Loz Σχέση δείκτη διάθλασης και μήκους κύματος Μελετάμε το μοντέλο του ελατηρίου (μοντέλο Loz > μας ενδιαφέρει η απόκριση σε συνάρτηση της συχνότητας Στην στατική περίπτωση (DC Z Z x ( Z x Ε Εάν απότομα μηδενίσουμε μ το πεδίο > ελεύθερη ταλαντευτική κίνηση η x Zm Zm x x Zm x Εξισώσεις της μορφής x x έχουν λύση της μορφής x x os( Zm ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης: Εξαρτάται από το είδος του τροχιακού,, τον αριθμό των τροχιακών, την σύνδεση των ηλεκτρονίων με τον πυρήνα, κ.α. 75 76

Μοντέλο Loz Έστω τώρα ότι τα ηλεκτρόνια ταλαντώνονται από ένα περιοδικό ηλεκτρικό πεδίο > το ηλεκτρικό πεδίο από εισερχόμενο φως > εξαναγκασμένη ταλάντωση Zm x x Z Εξίσωση κίνησης Για ευκολία υποθέτουμε ότι η μετατόπιση επίσης ακολουθεί την αρμονική ταλάντωση x x x x Zmx Zm x Z mx x( m ( Σχέση διασποράς Η επαγόμενη πόλωση Z Z x m Η πολωσιμότητα a a Z m Διηλεκτρική συνάρτηση και δείκτης διάθλασης > εξαρτώμενοι από συχνότητα > σχέση διασποράς Αυτό είναι απλοϊκό μοντέλο: > σε μεγάλες ταλαντώσεις δεν ισχύει η προσέγγιση του ελατηρίου > γενικά υπάρχουν και απώλειες (τριβές που δεν επιτρέπουν τον απειρισμό στη ω=ω N NZ a m 77 78 Μοντέλα για τον δείκτη διάθλασης Δείκτης διάθλασης για ενδεικτικά υλικά NZ m Η σχέση διασποράς συχνά γράφεται συναρτήσει του μήκους κύματος f NZ m Για πολλούς συντονισμούς (διαφορετικά άτομα, δεσμοί, κτλ κάνουμε παραμετροποίηση Μοντέλο Sllm Μοντέλο Cauhy 3... 3 Β Α C Όλα τα μήκη κύματος στις παραδίπλα εκφράσεις αναφέρονται στο μήκος κύματος στο κενό. Το λ στο μήκος κύματος συντονισμού που αντιστοιχεί στην ω, το λ στην ω κοκ 79 8

Κυματοπακέταταχύτητα ταχύτητα ομάδας Όταν έχουμε ένα μόνο μήκος κύματος > άπειρος κυματοσυρμός os( z με ταχύτητα φάσης / / Κυματοπακέτα φτιάχνονται με την πρόσθεση κυμάτων με ελαφρά διαφορετικές συχνότητες > παράδειγμα με δύο κύματα > διακρότημα os( z os( z os( z os( z a b b a Χρησιμοποιούμε μ την τριγωνομετρική ρ ταυτότητα os a osb os os os z os z έστω ότι os z os z Κυματοπακέταταχύτητα ταχύτητα ομάδας os z osz Αποτελείται από το γινόμενο δύο κυμάτων > ένα μεγάλης συχνότητας ω, ίση με τον μέσο όρο των δύο συχνοτήτων > ένα μικρής συχνότητας δω ίση με την διαφορά των δύο συχνοτήτων Η ταχύτητα μεταβολής της φάσης μέσα στην περιβάλλουσα / Η ταχύτητα διάδοσης της περιβάλλουσας ονομάζεται ταχύτητα ομάδας / g 8 8 Ταχύτητα ομάδας Η ταχύτητα που διαδίδεται ένας παλμός είναι ουσιαστικά η ταχύτητα της περιβάλλουσα > λόγω διασποράς (μεταβολή δείκτη διάθλασης με λ > ταχύτητα μεταφοράς ενέργειας, ταχύτητα μεταφοράς πληροφορίας, κ.τ.λ x Ταχύτητα ομάδας x g Ταχύτητα φάσης και ταχύτητα ομάδα Σε κάποια υλικά η ταχύτητα φάσης και ταχύτητα ομάδας μπορούν να έχουν και αντίθετη φορά = = g g ως προς το μήκος κύματος g 83 84

Δείκτης ομάδας Μαγνητικό πεδίο Ο δείκτης διάθλασης συνδέεται με την ταχύτητα φάσης μπορούμε να ορίζουμε τον δείκτη διάθλασης ομάδας N g N g g Δείκτης και δείκτης ομάδας για καθαρό πυριτικό ύαλο (SO. Στα 3 m ο δείκτης ομάδας κάνει ελάχιστο, οπότε η μεταβολή του με το μήκος κύματος γίνεται μηδέν (τοπικό ακρότατο. Σε αυτή την συχνότητα κυματοπακέτα διαδίδονται χωρίς διασπορά, δηλαδή χωρίς παραμόρφωση της κυματομορφής > κατάλληλο μήκος κύματος για οπτικές ίνες Από τον νόμο του Faaay προκύπτει η σχέση που συνδέει το μαγνητικό με το ηλεκτρικό πεδίο B Σε ένα επίπεδο κύμα είναι όλα κάθετα μεταξύ τους B 85 86 Πυκνότητα ενέργειας επίπεδου κύματος Η στιγμιαία πυκνότητα ενέργειας ενός κύματος του ηλεκτρικού πεδίου του μαγνητικού πεδίου u u B Ε B Λόγω συμμετρίας αυτά τα δύο είναι ίσα u u u B Ε Χρησιμοποιούμε την σχέση ΕΒ που γράψαμε πριν B B u ub Ε Ε Ακτινοβόληση επίπεδου κύματος Ή αλλιώς ένταση ακτινοβολίας Η ροή ενέργειας ανά μονάδα χρόνο μέσα από μοναδιαία επιφάνεια ροή ενέργειας = πυκνότητα ενέργειας x ταχύτητα διάδοσης S Με το μαγνητικό πεδίο γράφεται B B S B Στη γενική περίπτωση κυμάτων στον τρισδιάστατο χώρο S B το S ονομάζεται δά διάνυσμα Poyg 87 88

Μέση ακτινοβόληση Συνήθως μας ενδιαφέρει η μέση ακτινοβόληση και όχι η στιγμιαία Η μέση ακτινοβόληση Ι os( os ( Ι Ανάκλαση από επιφάνεια Το μέτωπο κύματος έχει την ίδια φάση Τα κύματα στα δύο υλικά έχουν διαφορετικές ταχύτητες Ο χρόνος για να τρέξει το κύμα την απόσταση ΒΒ στο υλικό ό = με τον χρόνο να τρέξει την απόσταση ΑΑ στο υλικό BB' D s AA' D s Οι χρόνοι διάδοσης D I (.33 3 BB' AA' D s D s D s D s AA' BB' s Νόμος του Sll s 89 9 Εσωτερική ολική ανάκλαση Οπτικές ίνες Για / s s, s Για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες από θ έχουμε ολική ανάκλαση Τυπικές διάμετροι πυρήνα ~ μm Για παράδειγμα, τυπικές τιμές. 445. 44 o la o, s 8. 8 o la 9 9

Συνοριακές συνθήκες Ανάκλαση και διέλευση από διεπιφάνεια os os s os Β os Β s Β Εισερχόμενο κύμα ( z Ανακλώμενο κύμα Διαθλώμενο κύμα ( z ( z B B x, ε, ε B s Β s Συνεχείς είναι: η παράλληλη συνιστώσες του ηκάθετησυνιστώσατουε του ε Ε επί την διηλεκτρική η παράλληλη συνιστώσα του Β/μ s s os os Β s Β s η κάθετη συνιστώσα του Β Β os Β os Συνοριακές συνθήκες για κάθετη πρόσπτωση Συνέχεια ηλεκτρικού πεδίου Συνέχεια μαγνητικού πεδίου όμως B B B B Πλάτος ανάκλασης για κάθετη πρόσπτωση 93 94 Ανάκλαση και διέλευση από διεπιφάνεια Εφαρμογές Πλάτος ανάκλασης για κάθετη πρόσπτωση Πλάτος διέλευσης για κάθετη πρόσπτωση Αντιανακλαστικές επιστρώσεις σε ηλιακά κύτταρα, φακούς, κτλ > για συγκεκριμένο μήκος κύματος μπορεί να μηδενιστεί η ανάκλαση Συντελεστής ανάκλασης και διέλευσης Ι > > τα αντίστοιχα ποσοστά των ροών ενέργειας Συντελεστής ανάκλασης R I I I δέλ Συντελεστής διέλευσης T I 4 Διηλεκτρικοί καθρέπτες > προσθετικές ανακλάσεις από όλες τις επιφάνειες > σε εύρος συχνοτήτων η ανάκλαση είναι ολική Εύκολο να δειχτεί η αρχή διατήρησης ενέργειας T R 95 96

Μιγαδικός δείκτης διάθλασης Μιγαδικός δείκτης διάθλασης Υλικά με απορρόφηση εμφανίζουν μιγαδική διηλεκτρική σταθερά και άρα μιγαδικό δείκτη διάθλασης > φανταστικό μέρος > απορρόφηση Μιγαδικό θα είναι και ο κυματάριθμος R Συντελεστής ανάκλασης: από αέρα = σε υλικό = ( ( ' z ( z z z z z Η ένταση ακτινοβολίας I I z συντελεστής εσ απορρόφησης z I 4 97 98 Απορρόφηση πλέγματος Διαζωνική απορρόφηση σε ημιαγωγούς Μεταβάσεις στο ενεργειακό χάσμα > διατήρηση ενέργειας g > > διατήρηση ορμής > > μόνο σε άμεσο χάσμα (το φωτόνιο έχει μηδενική ορμή h g g 99

Απορρόφηση ημιαγωγών Απορρόφηση ημιαγωγών