ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ SIMULINK ΤΗΣ MATLAB

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ SIMULINK ΤΗΣ MATLAB ΜΑΘΗΜΑ ΥΝΑΜΙΚΗ, ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ε. ΣΤΑΥΡΟΥΛΑΚΗΣ ΣΥΝΤΑΚΤΗΣ ΤΖΙΝΕΥΡΑΚΗΣ ΕΜΜ. ΣΤΥΛΙΑΝΟΣ ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός, Εργαστηριακός Συνεργάτης Πολυτεχνείου Κρήτης ΧΑΝΙΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2008

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η προσοµοίωση δυναµικών συστηµάτων αποτελεί τη βάση για την µελέτη πληθώρας τεχνολογικών προϊόντων και κατασκευών. Οι πιό απαιτητικές εφαρµογές αφορούν δυναµικά συστήµατα πολλών φυσικών φαινοµένων τα οποία αλληλεπιδρούν (ηλεκτροµηχανικά συστήµατα, υδραυλικά-µηχανικά συστήµατα, θερµοµηχανικά συστήµατα κ.ο.κ.). Οι αριθµητικές µέθοδοι έχουν προ πολλού αντικαταστήσει τις αναλυτικές µεθόδους και έχουν νοµιµοποιήσει τη θέση των εικονικών εργαστηρίων στη βιοµηχανία. Η ανάπτυξη των υπολογιστικών µοντέλων γίνεται σήµερα µε σύγχρονα γραφικά εργαλεία, τα οποία δεν απαιτούν απο το χρήστη την γνώση πολύπλοκων γλωσσών προγραµµατισµού. Ένα από αυτά τα εργαλεία είναι το Simulink σε περιβάλλον MATLAB που χρησιµοποιείται εδώ. Αντίστοιχα εργαλεία είναι διαθέσιµα και από την κοινότητα του ανοικτου λογισµικού (για παράδειγµα Scicos/Scilab). Ένα από τα σηµαντικά πλεονεκτήµατα της χρήσης σύγχρονων εργαλείων είναι η δυνατότητα άµεσης σύνδεσης µε εργαλειοθήκες για την παραπέρα µελέτη, όπως για παράδειγµα την βελτιστοποίηση συστηµάτων, τον σχεδιασµό συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου, την ταυτοποίηση παραµέτρων µε βάση πειραµατικές µετρήσεις. Ο κύκλος κλείνει µε τη δυνατότητα που δίνουν τα σύγχρονα γραφικά εργαλεία για την παραγωγή είτε προγραµµάτων σε µιά κλασική γλώσσα προγραµµατισµού (συνήθως C/C++), τα οποία εκτελούνται συνήθως µε µεγαλύτερη ταχύτητα, για την διεξαγωγή απαιτητικών και χρονοβόρων αριθµητικών διερευνήσεων, είτε και κώδικα σε γλώσσα µηχανής, για την ενσωµάτωση σε ευφυή προϊόντα και κατασκευές (όπως τα ηλεκτρονικά στους κινητήρες των αυτοκινήτων). Οι σηµειώσεις και τα προγράµµατα που παρουσιάζονται εδώ απευθύνονται στους φοιτητές που παρακολουθούν το µάθηµα υναµική, ταλαντώσεις και έλεγχος κατασκευών και σε κάθε ενδιαφερόµενο να εµβαθύνει και να χρησιµοποιήσει το Simulink για την προσοµοίωση δυναµικών συστηµάτων. Θα ήθελα να συγχαρώ τον συντάκτη των σηµειώσεων κ. Τζινευράκη για την πρωτοβουλία του αυτή, στα πλαίσια της δραστηριότητάς του ως εργαστηριακού συνεργάτη του Ιδρύµατός µας, και να ευχηθώ οι σηµειώσεις και η συλλογή των εφαρµογών να εµπλουτισθεί και να βελτιωθεί µε την βοήθεια και των φοιτητών µας. Γ.Ε. Σταυρουλάκης, Καθηγητής του Πολυτεχνείου Κρήτης 2

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ SIMULINK Στην ενότητα αυτή περιγράφονται τα στοιχεία προσοµοίωσης που χρησιµοποιούνται στα µοντέλα περιβάλλοντος simulink. Τα περισσότερα από αυτά ανήκουν στη βιβλιοθήκη simscape. ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (SIMSCAPE MECHANICAL) MASS Αντιπροσωπεύει µία ιδεατή µεταφορική µάζα, η κίνηση της οποίας, µε βάση τον νόµο του Νεύτωνα, περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: du F = m, όπου dt m=µάζα F=δύναµη αδράνειας u=ταχύτητα και t=χρόνος Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της µάζας (kg) και η αρχική της ταχύτητα ( m / sec ). ΤRANSLATIONAL SPRING Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό γραµµικό ελατήριο, η µηχανική συµπεριφορά του οποίου (καταστατικός νόµος) περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: F = Kx x= x + x x, όπου init F=δύναµη ελατηρίου Κ=σταθερά ελατηρίου R x=παραµόρφωση ελατηρίου x init c =αρχική παραµόρφωση ελατηρίου 3

x R, x c =απόλυτες µετακινήσεις των άκρων R και C αντίστοιχα Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της σταθεράς ελατηρίου (Ν/m) και η αρχική του παραµόρφωση (m). TRANSLATIONAL DAMPER Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό µεταφορικό αποσβεστήρα, ο οποίος περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: F = Du u= u R u C, όπου F=δύναµη απόσβεσης D=σταθερά απόσβεσης u=ταχύτητα u R, u C =απόλυτες ταχύτητες των άκρων R και C αντίστοιχα Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της σταθεράς απόσβεσης (Νs/m). MECHANICAL TRANSLATIONAL REFERENCE Αντιπροσωπεύει ένα σηµείο εδάφους στο οποίο δεσµεύεται η µεταφορική κίνηση. Χρησιµοποιείται για τη σύνδεση µε στοιχεία που θεωρούνται πακτωµένα στο έδαφος (στηρίξεις). εν έχει παραµέτρους. SOLVER CONFIGURATION Χρησιµοποιείται για να προσδιοριστούν οι παράµετροι της επίλυσης που χρειάζεται το µοντέλο πριν ξεκινήσει η προσοµοίωση. Καθορίζεται η ακρίβεια που επιδιώκεται κατά την επίλυση και προσδιορίζεται η µέθοδος της γραµµικής άλγεβρας που θα χρησιµοποιηθεί. 4

SIMULINK-PS CONVERTER Χρησιµοποιείται για τη µετατροπή ενός συνεχούς σήµατος στη διάρκεια του χρόνου (simulink)(π.χ. ηµιτονοειδής συνάρτηση) σε φυσικό σήµα (π.χ. ταχύτητα ηµιτονοειδούς µεταβολής), σε προκαθορισµένες µονάδες του διεθνούς συστήµατος (SI). Το simulink σήµα ουσιαστικά αποτελεί τη συνάρτηση που προσδιορίζει το φυσικό σήµα. Η σχέση µεταξύ simulink σήµατος και φυσικού σήµατος µπορεί να προσδιοριστεί. MOTION SENSOR Αποτελείται από τρία στοιχεία και χρησιµοποιείται για τη µέτρηση της µετατόπισης ή ταχύτητας σε οποιοδήποτε σηµείο του µοντέλου σε συνάρτηση µε το χρόνο καθώς και τη γραφική απεικόνισή του. Το πρώτο στοιχείο προσοµοίωσης (Ideal Translational Motion Sensor) αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό αισθητήρα, ο οποίος έχει την ικανότητα να µετατρέπει τη µεταβολή µεταξύ δύο κόµβων σε ένα φυσικό σήµα ταχύτητας ή µετακίνησης. Η µεταβολή αυτή εκφράζεται ως η διαφορά του κόµβου C από τον κόµβο R, όπου ο κόµβος C θεωρείται πακτωµένος στο έδαφος και o κόµβος R είναι οποιοδήποτε σηµείο του µοντέλου. Μπορεί να προσδιοριστεί η αρχική θέση του αισθητήρα. Στη συνέχεια, το φυσικό σήµα µέσω του στοιχείου PS-Simulink Converter µετατρέπεται σε simulink σήµα, η γραφική παράσταση του οποίου συναρτήσει του χρόνου αποδίδεται από το στοιχείο Scope. Σε πολλά µοντέλα για εξοικονόµηση χώρου και απλούστευση µοντέλου το στοιχείο Motion Sensor προβάλλεται µε τη µορφή, όπου τα δύο πρώτα στοιχεία προσοµοίωσης περιέχονται σε ένα υποσύστηµα. 5

IDEAL FORCE SOURCE Αντιπροσωπεύει µία ιδεατή πηγή µηχανικής ενέργειας, η οποία τροφοδοτεί το σύστηµα µε δύναµη ανάλογη µε το εισερχόµενο φυσικό σήµα. Το στοιχείο αποτελείται από τρεις θύρες S,C και R. Η θύρα S είναι η θύρα φυσικού σήµατος, µέσω της οποίας καθορίζεται η ασκούµενη δύναµη. Η δύναµη διοχετεύεται στο µοντέλο µέσω της θύρας R, ενώ η θύρα C θεωρείται πακτωµένη στο έδαφος. INERTIA Αντιπροσωπεύει µία ιδεατή στροφική αδράνεια, η οποία περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση (νόµος του Νεύτωνα για περιστροφική κίνηση): dω T = J, όπου dt Τ=ροπή J=στροφική αδράνεια ω=γωνιακή ταχύτητα t=χρόνος 2 Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της αδράνειας ( kg *m ) και η αρχική γωνιακή ταχύτητα ( rad / sec ). ROTATIONAL SPRING Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό στροφικό ελατήριο, το οποίο περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: T = Kϕ ϕ= ϕ + ϕ ϕ, όπου init R C Τ=ροπή ελατηρίου Κ=στροφική σταθερά ελατηρίου φ=στροφή (παραµόρφωση ελατηρίου) 6

ϕ init =αρχική στροφή ελατηρίου ϕ R, ϕ C = απόλυτες στροφικές µετακινήσεις των άκρων R και C αντίστοιχα Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της στροφικής σταθεράς ελατηρίου (mn/rad) και η αρχική παραµόρφωση (rad). ROTATIONAL DAMPER Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό στροφικό αποσβεστήρα, ο οποίος περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση: T = Dω ω = ω R ω C, όπου Τ=ροπή απόσβεσης D=σταθερά απσβεσης ω=γωνιακή ταχύτητα ω R, ω C =απόλυτες γωνιακές ταχύτητες των άκρων R και C αντίστοιχα Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της σταθεράς απόσβεσης (Νms/rad). MECHANICAL ROTATIONAL REFERENCE Αντιπροσωπεύει ένα σηµείο εδάφους στο οποίο δεσµεύεται η στροφική κίνηση. Χρησιµοποιείται για τη σύνδεση µε στοιχεία που θεωρούνται πακτωµένα στο έδαφος. εν έχει παραµέτρους. GEAR BOX Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό µετασχηµατιστή ενισχυτή περιστροφικής κίνησης (κιβώτιο ταχυτήτων), ο οποίος περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: ω1 = Nω 2 T 2 = NT 1, όπου 7

ω 1 =γωνιακή ταχύτητα στην είσοδο του ενισχυτή ω 2 =γωνιακή ταχύτητα στην έξοδο του ενισχυτή T 1 = ροπή στην είσοδο του ενισχυτή T 2 = ροπή στην έξοδο του ενισχυτή Ν=συντελεστής ενίσχυσης Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή του συντελεστή ενίσχυσης. LEVER Αντιπροσωπεύει ένα µηχανικό µοχλό, ο οποίος περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: u = K u + K C F = K A F = K K K u B AC = l AC AC BC AC F F A C C lbc + l l BC BC u AC BC =, όπου lac + lbc C u A, u B F B, =ταχύτητες στους κόµβους C,A,B αντίστοιχα, =δυνάµεις στους κόµβους C,A,B αντίστοιχα C FA, F B l l BC, AC =µήκη υποµοχλίων Στην περίπτωση που ο κόµβος C είναι δεσµευµένος οι παραπάνω εξισώσεις διαµορφώνονται ως εξής: 8

u A l = l AC BC u B F B l = l AC BC F A Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται ο καθορισµός των µηκών των υποµοχλίων l, l (m). BC AC WHEEL AND AXLE Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό µετασχηµατιστή αναστροφέα, ο οποίος περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: T = Fr u= ωr, όπου Τ=ροπή F=δύναµη στην περιφέρεια του τροχού ω=γωνιακή ταχύτητα u= γραµµική ταχύτητα στην περιφέρεια του τροχού r=ακτίνα του τροχού Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται ο καθορισµός της ακτίνας του τροχού r (m) και της κατεύθυνσης της αναστροφής. 9

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (SIMULINK) SIGNAL BUILDER Χρησιµοποιείται για τη δηµιουργία κατά τµήµατα γραµµικών σηµάτων (simulink signals). Τα σήµατα αυτά είναι συναρτήσεις του χρόνου, οι τιµές των οποίων καθορίζονται από το δηµιουργό του σήµατος. SINE WAVE Αντιπροσωπεύει ένα ηµιτονοειδές σήµα (simulink signal), το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: ( t) = Asin( ω t+ ϕ) b Y +, όπου Α=πλάτος του σήµατος ω=συχνότητα του σήµατος φ=διαφορά φάσης b=σταθερά Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή του Α, η τιµή του ω (rad/s), η τιµή του φ (rad) και η τιµή του b. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (SIMSCAPE ELECTRICAL) DC VOLTAGE SOURCE Αντιπροσωπεύει µία ιδεατή πηγή συνεχούς τάσης, η οποία έχει την ικανότητα να τροφοδοτεί ένα ηλεκτρικό κύκλωµα µε σταθερή στο χρόνο τάση. Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται ο καθορισµός της τιµής της τάσης (V). 10

RESISTOR Αντιπροσωπεύει µία γραµµική ηλεκτρική αντίσταση, η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: V = IR, όπου V=τάση Ι=ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος R=αντίσταση Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της αντίστασης R (Ohm). INDUCTOR Αντιπροσωπεύει ένα πηνίο µε επαγωγή L, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: di V = L dt V=τάση, όπου Ι=ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος L=επαγωγή T=χρόνος Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της L (H), η αρχική ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος (Α), η αντίσταση των τυλιγµάτων (Ohm) και η παράλληλη αγωγιµότητα (1/Ohm). Τα δύο τελευταία µεγέθη συνήθως λαµβάνονται µηδέν. ROTATIONAL ELECTROMECHANICAL CONVERTER Αντιπροσωπεύει µία µηχανή, η οποία µετατρέπει την ηλεκτρική ενέργεια σε µηχανική, στη µορφή της στροφικής κίνησης. Περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: T = KI 11

V = Kω, όπου Τ=ροπή ω=γωνιακή ταχύτητα V=τάση στα άκρα του µετατροπέα Ι=ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος Κ=ηλεκτροµηχανική σταθερά ζεύξης Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της ηλεκτροµηχανικής σταθεράς ζεύξης Κ (V/(rad/s)). ELECTRICAL REFERENCE Αντιπροσωπεύει µία γείωση. εν έχει παραµέτρους. Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ (SIMSCAPE HYDRAULICAL) HYDRAULIC REFERENCE Αντιπροσωπεύει σύνδεση µε την ατµόσφαιρα, ακριβώς για να προσοµοιωθεί σύνδεση σε σηµείο ατµοσφαιρικής πίεσης. εν έχει παραµέτρους. PS CONSTANT Χρησιµοποιείται για την εισαγωγή φυσικού σήµατος σταθερής τιµής. Για τον ορισµό του απαιτείται ο καθορισµός της τιµής αυτής. HYDRAULIC FLUID Χρησιµοποιείται για τον καθορισµό των ιδιοτήτων του ρευστού που θεωρείται ότι ρέει στον υδραυλικό βρόγχο. Για την εύρεση των ιδιοτήτων αυτών απαιτείται η εισαγωγή 12

ως δεδοµένα του τύπου του ρευστού, της θερµοκρασίας του και της αναλογίας του παγιδευµένου αέρα. IDEAL HYDRAULIC PRESSURE SOURCE Αντιπροσωπεύει µία ιδεατή πηγή υδραυλικής ενέργειας, η οποία τροφοδοτεί το σύστηµα µε πίεση ανάλογη µε το εισερχόµενο φυσικό σήµα. Το στοιχείο αποτελείται από τρεις θύρες S,P και T. Η θύρα S είναι η θύρα φυσικού σήµατος, µέσω της οποίας καθορίζεται η ασκούµενη πίεση. Η δύναµη διοχετεύεται στο µοντέλο µέσω της θύρας P, ενώ η θύρα T θεωρείται συνδεδεµένη µε την ατµόσφαιρα. LINEAR HYDRAULIC RESISTANCE Αντιπροσωπεύει µία υδραυλική αντίσταση, στην οποία η πίεση ελαττώνεται γραµµικά ανάλογα µε την παροχή του ρευστού. Περιγράφεται από την εξίσωση: p= QR, όπου p=µεταβολή (ελάττωση) πίεσης ( p = p p ) Q=παροχή R=υδραυλική αντίσταση Α Β Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η τιµή της υδραυλικής αντίστασης R (Pa/(m^3/s)). FLUID INERTIA Χρησιµοποιείται για την προσοµοίωση της µεταβολής της πίεσης, λόγω της µεταβολής της ταχύτητας του ρευστού όταν διέρχεται από έναν αγωγό σταθερής διατοµής. Περιγράφεται από την εξίσωση: L dq p= ρ, όπου A dt p=µεταβολή πίεσης ( p = p p ) L=µήκος αγωγού Α Β 13

A=διατοµή αγωγού ρ=πυκνότητα ρευστού Q=παροχή t=χρόνος Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται το µήκος L (m), η διατοµή Α του αγωγού (m^2) και η αρχική παροχή (m^3/s). TRANSLATIONAL HYDRO-MECHANICAL CONVERTER Αντιπροσωπεύει ένα ιδεατό αγωγό µε έµβολο, το οποίο µετατρέπει την υδραυλική ενέργεια σε µηχανική, στη µορφή της µεταφορικής κίνησης. Περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: ( ) Q= A u R u C F = Ap, όπου Q=η παροχή στον αγωγό του εµβόλου Α=η διατοµή του εµβόλου p=η ασκούµενη πίεση στο έµβολο F=η δύναµη που αναπτύσσεται από τη µετατροπή u R =η ταχύτητα στο άκρο R του αγωγού (ταχύτητα εµβόλου) u C =η ταχύτητα στο άκρο C του αγωγού (µηδέν-το άκρο C θεωρείται πακτωµένο στο έδαφος) Για τον ορισµό του στοιχείου απαιτείται η διατοµή Α του εµβόλου (m^2) και η φορά της µετατροπής. 14

ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ SIMULINK Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται κάποια µοντέλα στο περιβάλλον Simulink του προγράµµατος MATLAB. Σκοπός της δηµιουργίας των µοντέλων αυτών είναι η ακριβής επίλυση, µε αριθµητική ολοκλήρωση, των προβληµάτων του βιβλίου ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ των κκ. Κανάραχου και Αντωνιάδη, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, και η γραφική απεικόνιση των αποτελεσµάτων. Για περισσότερες πληροφορίες και για την αναλυτική λύση των παραδειγµάτων παραπέµπουµε στις σελίδες του βιβλίου. ΜΟΝΤΕΛΟ 1 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στο µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται ένας µονοβάθµιος ταλαντωτής µάζας m, σταθεράς ελατηρίου k και σταθεράς απόσβεσης c. Ο ταλαντωτής εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση, καθώς η εφαρµοζόµενη δύναµη ακολουθεί τη συνάρτηση: Fo t= o F = 0 t 0 Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.1.1 (σελ. 1.1). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 15

Για k=100n/m, c=25ns/m, m=25kg και F 0 =100N, προκύπτει η εξής µετακίνηση συναρτήσει του χρόνου: 16

ΜΟΝΤΕΛΟ 2 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Το µοντέλο αυτό είναι ίδιο µε το προηγούµενο µοντέλο µε τη µόνη διαφορά ότι η µάζα εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. Η επιβαλλόµενη φόρτιση είναι ηµιτονοειδούς µορφής. Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.1.6 (σελ. 1.7). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 17

Για k=100n/m, c=25ns/m, m=25kg και F = 400sin(10t ) N, προκύπτει η εξής µετακίνηση της µάζας m συναρτήσει του χρόνου: 10 Για k=100n/m, c= 10 Ns/m, m=25kg και F = 400sin(10t ) N, προκύπτει η εξής µετακίνηση συναρτήσει του χρόνου: 18

ΜΟΝΤΕΛΟ 3 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ Στο µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται ένας δευτεροβάθµιος ταλαντωτής που αποτελείται από τις µάζες m 1 και m 2, οι οποίες είναι συνδεδεµένες µε ελατήρια και αποσβεστήρες σταθερών k,k και 1 2 c, c 1 2 αντίστοιχα. Οι µάζες αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε ελατήριο σταθεράς k 3 και αποσβεστήρα σταθεράς c 3. Ο ταλαντωτής εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση, καθώς η εφαρµοζόµενη δύναµη, η οποία ασκείται στη µάζα m 1, ακολουθεί τη συνάρτηση: Fo t= o F = 0 t 0 Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.3.1 (σελ. 3.1) και του σχ.3.5 (σελ. 3.17). Στο σχήµα που ακολουθεί παρουσιάζεται το σχήµα 3.5 για ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση. Το σχήµα 3.1 για ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση είναι το ίδιο χωρίς την απόσβεση c. Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 19

10 Για k 1, k2, k3 =100N/m, c 1, c2, c3 = 10 Ns/m, m 1 = 4m 2 = 100 kg και F 0 =100Ν προκύπτουν οι εξής µετακινήσεις για τις µάζες m, m αντίστοιχα. 1 2 20

Για k 1, k2, k3 =100N/m, c, c = 10 1 3 10 Ns/m, c 2=25 Ns/m, m 1 = 4m 2 = 100 kg και F 0=100Ν προκύπτουν οι εξής µετακινήσεις για τις µάζες, m 1 2 m αντίστοιχα. 21

ΜΟΝΤΕΛΟ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΕΝ ΙΑΜΕΣΟ ΕΝΙΣΧΥΤΗ (ΜΟΧΛΟΣ) Στο µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται ένας δευτεροβάθµιος ταλαντωτής µαζών m 1 και m 2, οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µέσω ενός ενισχυτή (µοχλός) µε υποµόχλια l AC και l BC και σε σειρά µε ένα ελατήριο σταθεράς k 2. Η µάζα mσυνδέεται 1 µε ένα ελατήριο σταθεράς k 1, στο οποίο εφαρµόζεται αρχική θλιπτική παραµόρφωση σε κάθε άκρο του. Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.2.12 (σελ. 2.23). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 22

Για k,k 1 2 =200N/m, m 4 1 = m2 = 100 kg και x init =0.01m θλιπτική παραµόρφωση σε κάθε άκρο του ελατηρίου σταθεράς k 1 προκύπτουν οι εξής µετακινήσεις για τις µάζες m, m 1 2και το σηµείο Β του µοχλού αντίστοιχα. 23

ΜΟΝΤΕΛΟ 5 ΗΛΕΚΤΡΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Με το µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται ένα ηλεκτροµηχανικό σύστηµα, στο οποίο µια συνεχής τάση U επενεργεί µέσω µίας αντίστασης R και επαγωγής L σε ένα κινητήρα µε ηλεκτροµηχανική σταθερά ζεύξης G. Ο κινητήρας αυτός περιστρέφει µία µάζα αδράνειας J, η οποία είναι συνδεδεµένη µε στροφικό ελατήριο σταθεράς k, σε έδρανο µε συντελεστή τριβής c. Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.2.11 (σελ. 2.19). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 24

6 Για V=25Volt, R=10Ohm, L= 10 2 H, G=0.5V/(rad/s), J=10 kgm, k=100nm/rad και c=10nm/(rad/s) προκύπτουν οι εξής γραφικές παραστάσεις για τη γωνιακή ταχύτητα και ένταση του ρεύµατος αντίστοιχα. 6 Για V=25Volt, R=10Ohm, L= 10 2 10 H, G=0.5V/(rad/s), J=10 kgm, k= 10 Nm/rad και c=10nm/(rad/s) προκύπτει η ακόλουθη γραφική παράσταση για τη γωνιακή ταχύτητα. 25

ΜΟΝΤΕΛΟ 6 Υ ΡΑΥΛΙΚΟ-ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Με το µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται ένα υδραυλικό-µηχανικό σύστηµα, στο οποίο µία αντλία µε πίεση p επενεργεί µέσω ενός αγωγού αδράνειας Ι και αντίστασης R σε ένα έµβολο επιφάνειας διατοµής Α. Το έµβολο µε µάζα m, η οποία είναι συνδεδεµένη µε ελατήριο σταθεράς k, κινείται σε έδρανο µε σταθερά τριβής c. Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση και επίλυση του συστήµατος του σχ.2.10 (σελ. 2.18). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 26

Για τύπο ρευστού DIESEL FUEL µε ποσοστό παγιδευµένου αέρα 0.1% και θερµοκρασία 50 o 3 C, σταθερή πίεση εισόδου 100Pa, αντίσταση αγωγού R=10Pa/( m / s ), εµβαδόν διατοµής αγωγού Α=8 3 10 m 2 και µήκους l=1m, εµβαδόν εµβόλου 8 4 10 m 2, µάζα m=20kg, ελατήριο σταθεράς R=100N/m και σταθερά τριβής c=10n/(m/s) προκύπτει η εξής µετακίνηση για τη µάζα m. Για τύπο ρευστού DIESEL FUEL µε ποσοστό παγιδευµένου αέρα 0.1% και θερµοκρασία 50 o 3 C, σταθερή πίεση εισόδου 100Pa, αντίσταση αγωγού R=10Pa/( m / s ), εµβαδόν διατοµής αγωγού Α=8 3 10 m 2 και µήκους l=1m, εµβαδόν εµβόλου 8 4 10 m 2, 10 µάζα m=20kg, ελατήριο σταθεράς R= 10 N/m και σταθερά τριβής c=10n/(m/s) προκύπτει η εξής µετακίνηση για τη µάζα m. 27

ΜΟΝΤΕΛΟ 7 ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΕΝΙΣΧΥΤΗ-ΑΝΑΣΤΡΟΦΕΑ Στο µοντέλο αυτό παρουσιάζεται ένα µηχανικό σύστηµα µονοβάθµιου ταλαντωτή µάζας m, στο οποίο περιέχεται ένας µετασχηµατιστής ενισχυτής της εισερχόµενης στο σύστηµα πηγής ροπής µε συντελεστή Ν και ένας µετασχηµατιστής αναστροφέας της στροφικής κίνησης σε µεταφορική. Η µάζα m είναι συνδεδεµένη µε ελατήριο σταθεράς k και αποσβεστήρα σταθεράς c. Η συνάρτηση της ασκούµενης ροπής ακολουθεί την παρακάτω τυχαία κατανοµή Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η προσοµοίωση των µετασχηµατιστών της παραγράφου (2.4.1). Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 28

Για συντελεστή ενίσχυσης Ν=1.2, ακτίνα αναστροφέα r=0.05m, µάζα m=20kg, ελατήριο σταθεράς R=1000N/m και σταθερά τριβής c=40n/(m/s) προκύπτει η εξής µετακίνηση για τη µάζα m και η εξής γωνιακή ταχύτητα στον κόµβο που ακολουθεί τον ενισχυτή. 29

ΜΟΝΤΕΛΟ 8 ΚΟΜΠΡΕΣΕΡ Στο µοντέλο αυτό προσοµοιώνεται η λειτουργία ενός κοµπρεσέρ. Το µοντέλο αποτελείται από τρεις µάζες m 1, m2, m3, οι οποίες συνδέονται µεταξύ τους µέσω ελατηρίων σταθεράς k,k 1 2. Η επιβαλλόµενη φόρτιση είναι ηµιτονοειδούς µορφής. Με το µοντέλο αυτό επιδιώκεται η αποδειχθεί γραφικά µε τη χρησιµοποίηση του µεγέθους της ταχύτητας, ότι ελαττώνεται η ενόχληση του χειριστή µε τη χρήση ενδιάµεσης µάζας. Παρόµοιο πρόβληµα παρουσιάζεται στην άσκηση προς παράδοση 4.2 του µαθήµατος. Το µοντέλο παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί: 30

Για m 1, m2, m3 =50kg, k,k 1 2 =100 N/m και F = 100sin(10t ) N προκύπτουν οι εξής ταχύτητες για τις µάζες m, m και 1 2 m 3 αντίστοιχα. Όπως φαίνεται από τις γραφικές παραστάσεις στη µάζα m 3 σε σχέση µε τη µάζα m 1 µειώνεται το εύρος των µέγιστων και ελάχιστων τιµών της ταχύτητας ενώ αυξάνεται αισθητά η περίοδος επαναφοράς των τιµών αυτών. 31