Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D.

2 Περιεχόμενα Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών Συστημάτων Μεταβλητές Ισχύος Βασικά στοιχεία: Επαγωγή, Χωρητικότητα, Αντίσταση, Εξωτερικές Πηγές Ισχύς και Ενέργεια Μοντελοποίηση Υδραυλικών Συστημάτων Μεταβλητές Ισχύος Βασικά στοιχεία: Αδράνεια, Χωρητικότητα, Αντίσταση, Εξωτερικές Πηγές Ισχύς και Ενέργεια Ολοκλήρωση Μηχανικών, Ηλεκτρικών, και Υδραυλικών Συστημάτων Αντιστοιχία στοιχείων και μεταβλητών Μετατροπή ισχύος μεταξύ διαφορετικών υποσυστημάτων

3 Οι Πραγματικές Μηχανές Δεν Περιέχουν Μόνο Μηχανικά Συστήματα Αντιθέτως, αποτελούνται από μηχανικά, ηλεκτρικά, και υδραυλικά υποσυστήματα Παραδείγματα: Εκσκαφέας Scanning mirrors Στροβιλο-ηλεκτρικό σύστημα πρόωσης

4 Βλέπε «εισαγωγή στα ηλεκτρικά κυκλώματα και συστήματα» Μοντελοποίηση Ηλεκτρικών Συστημάτων

5 Μεταβλητές Ισχύος Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Μεταβλητή «σθένους»: Τάση V [Volt] Ορίζεται ως η διαφορά δυναμικούv = δu = U 2 U 1 μεταξύ 2 σημείων ενός ηλεκτρικού κυκλώματος Μεταβλητή «ροής»: Ένταση ρεύματος i = dq q είναι το ηλεκτρικό φορτίο dt [Amp] Ισχύς: P = V i

6 Διακριτά Στοιχεία Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Επαγωγή L Χωρητικότητα C Αντίσταση R Πηγές Τάσης, Ρεύματος V s (t) i s (t)

7 Διακριτά Στοιχεία Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Επαγωγή Η επαγωγή L περιγράφει την σχέση μαγνητικής ροής ρεύματος Κυρίως σε πηνεία Φ = L i Η ενέργεια που αποθηκεύεται σε επαγωγέα L τον οποίο περνά ρεύμα έντασης i είναι: L Ε = 1 2 L i2 Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική Φ(i) Καταστατική εξίσωση στοιχείου V = L di dt Φ i

8 Διακριτά Στοιχεία Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Χωρητικότητα Μια χωρητικότητα C περιγράφει μια σχέση τάσης φορτίου Κυρίως σε πυκνωτές C V = 1 C q H ενέργεια που αποθηκεύεται σε πυκνωτή χωρητικότητας C όταν περιέχει φορτίο q = C V: E = 1 2 C V2 V Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική V(q) Καταστατική εξίσωση στοιχείου dv dt = 1 C i q

9 Διακριτά Στοιχεία Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Χωρητικότητα Μια γραμμική (ωμική) αντίσταση R περιγράφει μια γραμμική σχέση τάσης έντασης ρεύματος V = R i R H αντίσταση μετατρέπει ηλεκτρική ενέργεια σε θερμότητα. Η ισχύς P που μετατρέπεται σε θερμότητα ισούται με P = V I = R i 2

10 Διακριτά Στοιχεία Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Πηγές Τάσης - Ρεύματος Πηγές τάσης Μια πηγή τάσης V s t καθορίζει την τάση (διαφορά δυναμικού) μεταξύ των δύο ακροδεκτών της Το ρεύμα που περνά την πηγή καθορίζεται από το σύστημα Παραδείγματα: μπαταρίες, τροφοδοτικά, γεννήτριες, αισθητήρες V s (t) Πηγές ρεύματος Μια πηγή ρεύματος i s (t) καθορίζει την ένταση του ρεύματος που την περνά Η τάση των ακροδεκτών της πηγής καθορίζεται από το σύστημα Παράδειγμα: τροφοδοτικά, αισθητήρες i s (t)

11 Ισχύς και Ενέργεια Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Έστω ένα ηλεκτρικό στοιχείο (R, L, C, πηγή) Η τάση του στοιχείου είναι V = U 2 U 1 To στοιχείο διαρρέται από ρεύμα i i 2 1 V Εναλλαγή ισχύος μεταξύ του στοιχείου και του συστήματος συνεδεμένου στους ακροδέκτες του Όταν τα V και i έχουν ίδιο πρόσημο (V > 0 & i > 0 ή V < 0 & i < 0 ) το στοιχείο παρέχει ισχύ στο σύστημα Π.χ. σε μια μπαταρία που παρέχει ισχύ, το ρεύμα πάει προς τον ακροδέκτη υψηλότερου δυναμικού Όταν τα V και i έχουν διαφορετικό πρόσημο (V < 0 & i > 0 ή V > 0 & i < 0 ) το στοιχείο αποροφά ισχύ από το σύστημα Π.χ. σε μια αντίσταση το ρεύμα κυλάει προς την κατεύθυνση χαμηλότερου δυναμικού

12 Ισχύς και Ενέργεια Σε Ηλεκτρικά Συστήματα Περιβάλλον R L C L C L Ηλεκτρικό Σύστημα C R i s t V s t

13 Επέκταση των μοντέλων ηλεκτρικών συστημάτων σε υδραυλικά Μοντελοποίηση Υδραυλικών Συστημάτων

14 Μεταβλητές Ισχύος Σε Υδραυλικά Συστήματα Μεταβλητή «σθένους»: Διαφορά Πίεσης δp [Pa] Ορίζεται ως η διαφορά της πίεσης δp = P 2 P 1 μεταξύ 2 σημείων ενός υδραυλικού κυκλώματος Μεταβλητή «ροής»: Παροχή Q = dv V είναι o όγκος του ρευστού dt [m3 /sec] Ισχύς: P = δp Q

15 Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Υδραυλική αδράνεια I Q Υδραυλική χωρητικότητα C Q Υδραυλική αντίσταση R Q Πηγές διαφ. Πίεσης, Παροχής δp s (t) Q s (t)

16 Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Υδραυλική Αδράνεια Η υδραυλική αδράνεια I Q περιγράφει μια σχέση ορμής παροχής Περιγράφει το γεγονος ότι χρειάζεται πίεση (δύναμη) για να επιταχυνθεί η αδράνεια του ρευστού. l = I Q Q Η κινητική ενέργεια που αποθηκεύεται σε μια υδραυλική αδράνεια I Q όταν διαρρέεται από παροχή Q είναι: T = 1 2 I Q Q 2 Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική l(q) Καταστατική εξίσωση στοιχείου δp = I Q dq dt l I Q Q

17 Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Υδραυλική Χωρητικότητα Μια υδραυλική χωρητικότητα C Q περιγράφει μια σχέση διαφοράς πίεσης όγκου ρευστού δp = 1 C Q V C Q H δυναμική ενέργεια που αποθηκεύεται σε μια χωρητικότητα C Q όταν περιέχει όγκο ρευστού φορτίο V = C Q δp: U = 1 2 C Q δp 2 Ισούται με το εμβαδόν κάτω από την γραφική δp(v) Καταστατική εξίσωση στοιχείου dδp dt = 1 C Q Q δp V

18 Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Υδραυλική Χωρητικότητα Παραδείγματα υδραυλικής χωρητικότητας C Q : Συμπιεστότητα ρευστού Όλα τα ρευστά έχουν πεπερασμένη συμπιεστότητα β Η απαραίτητη αύξηση πίεσης δp για να μπεί ρευστό όγκου δv σε ένα απαραμόρφωτο δοχείο όγκου V είναι δp = 1 β δv V Αποθήκευση ρευστού σε δεξαμενή Περιγράφει την δυναμική ενέργεα λόγω βαρύτητας δp = P 2 P 1 = ρgh = ρg Α V Οι εικόνες προέρχονται από τις «Σημειώσεις μοντελοποίησης», Δρ. Ε. Παπαδόπουλος, ΕΜΠ

19 Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Υδραυλική Αντίσταση Μια υδραυλική αντίσταση R Q περιγράφει μια σχέση πτώσης πίεσης παροχής δp = R Q (Q) H μορφή της συνάρτησης R Q (Q) εξαρτάται από την παροχή Q Μικρή παροχή (μικρά Reynolds): στρωτή ροή γραμμική αντίσταση δp = R Q Q Μεγάλη παροχή (μεγάλα Reynolds): τυρβώδη ροή τετραγωνική αντίσταση δp = R Q,turb Q Q H αντίσταση μετατρέπει υδραυλική ενέργεια σε θερμότητα. Η ισχύς P που μετατρέπεται σε θερμότητα ισούται με P = δp Q R Q

20 Πηγές Πίεσης Διακριτά Στοιχεία Σε Υδραυλικά Συστήματα Πηγές Πίεσης - Παροχής Μια πηγή πίεσης δp s t καθορίζει την διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο ακροδεκτών της Η παροχή που περνά την πηγή καθορίζεται από το σύστημα Παραδείγματα: αντλίες δp s (t) Πηγές Παροχής Μια πηγή παροχής Q s (t) καθορίζει την παροχή που την περνά Η διαφορά πίεσης στα άκρα της πηγής καθορίζεται από το σύστημα Παράδειγμα: αντλίες θετικής μετατόπησης Q s (t)

21 Ισχύς και Ενέργεια Σε Υδραυλικά Συστήματα Έστω ένα υδραυλικό στοιχείο (R Q, Ι Q, C Q, πηγή) Διαφορά πίεσης στα άκρα του στοιχείου: δp = P 2 P 1 To στοιχείο διαρρέται από παροχή Q Q 2 1 δp Εναλλαγή ισχύος μεταξύ του στοιχείου και του συστήματος συνεδεμένου στους ακροδέκτες του Όταν τα δp καιq έχουν ίδιο πρόσημο (δp > 0 & Q > 0 ή δp < 0 & Q < 0 ) το στοιχείο παρέχει ισχύ στο σύστημα Π.χ. σε μια αντλία που παρέχει ισχύ, η παροχή πάει προς τον ακροδέκτη υψηλότερης πίεσης Όταν τα δp και Q έχουν διαφορετικό πρόσημο (δp < 0 & Q > 0 ή δp > 0 & Q < 0 ) το στοιχείο αποροφά ισχύ από το σύστημα Π.χ. σε μια αντίσταση η ροή κυλάει προς την κατεύθυνση χαμηλότερης πίεσης

22 Ισχύς και Ενέργεια Σε Υδραυλικά Συστήματα Περιβάλλον Ι Q R Q C Q Ι Q C Q Ι Q Υδραυλικό Σύστημα C Q R Q Q s t δp s t

23 Ας βάλουμε μαζί τα 4 είδη συστημάτων που είδαμε μέχρι τώρα Ολοκλήρωση Μηχανικών, Ηλεκτρικών και Υδραυλικών Συστημάτων

24 Αντιστοιχία Συστημάτων Διαφορετικών Ειδών Μεταβλητές Ισχύος Mηχανικά συστήματα Μεταφορικά Περιστροφικά Ηλεκτρικά συστήματα Υδραυλικά συστήματα Β. Ε. Θέση r Διεύθυνση θ Φορτίο q Όγκος ρευστού V «Ροή» Ταχύτητα u = r Γων. ταχύτητα ω = θ Ένταση ρεύματος i = q «Σθένος» Δύναμη f Ροπή τ Διαφορά δυναμικού V Παροχή ρευστού Q = V Διαφορά πίεσης δp

25 Αντιστοιχία Συστημάτων Διαφορετικών Ειδών Στοιχειώδη Διακριτά Στοιχεία Καταστατικές Εξισώσεις Mηχανικά συστήματα Μεταφορικά Περιστροφικά Ηλεκτρικά συστήματα Υδραυλικά συστήματα Στοιχείο «αδράνειας» Στοιχείο «ελαστικότητας» Μάζα m f = m u Γρ. ελατήριο k f = k δu Ροπή αδράνειας I z τ = I z ω Γρ. περ. ελατήριο k T τ = k T δω Επαγωγή L V = L di dt Χωρητικότητα C V = C 1 i Υδρ. Aδράνεια I Q δp = I Q Q Υδρ. Χωρητικότητα C Q δp = C Q 1 Q Στοιχείο «απόσβεσης» Γρ. αποσβεστ. c f = c δu Γρ. περ. αποσβεστ. c T τ = c T δω Aντίσταση R V = R i Υδρ. Aντίσταση R Q δp = R Q Q

26 Αντιστοιχία Συστημάτων Διαφορετικών Ειδών Στοιχειώδη Διακριτά Στοιχεία Ενέργεια και Ισχύς Αποθηκευμένη ενέργεια στο στοιχείο «αδράνειας» Αποθηκευμένη ενέργεια στο στοιχείο «ελαστικότητας» Ισχύς που χάνεται στο «απόσβεσης» Mηχανικά συστήματα Μεταφορικά Περιστροφικά Ηλεκτρικά συστήματα Υδραυλικά συστήματα 1 2 m u I Ζ ω L 1 i2 2 I Q Q k 1 f k T 1 τ C 1 V2 2 C Q δp 2 c u 2 = 1 c f 2 c T ω 2 = 1 c T τ 2 R i 2 = 1 R V2 R Q Q 2 = 1 R Q δp 2

27 Τετράεδρα Κατάστασης Ένας γραφικός τρόπος να περιγραφούν οι μεταβλητές και τα στοιχεία σε κάθε ένα από τα 4 είδη συστημάτων Ορμή d dt Σθένος F Αδράνεια m Απόσβεση c Ελαστικότητα k Ροή U d dt Μετατόπιση x

28 Μετατροπή Ισχύος Μεταξύ των Υποσυστημάτων μιας Μηχανής Ένα σύστημα μπορεί να αναλυθεί σε απλούστερα υποσυστήματα που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους εναλλάσοντας ενέργεια Ιδίου τύπου Διαφορετικού τύπου

29 Μετατροπή Ισχύος Μεταξύ των Υποσυστημάτων μιας Μηχανής Παράδειγμα: Αντλιοστάσιο Μετατροπή Ισχύος Μετατροπή Ισχύος

30 Μετατροπή Ισχύος - Γενίκευση Το κοινό «νόμισμα» που ανταλλάσουν διαφορετικά υποσυστημάτα είναι η ΙΣΧΥΣ Η μετατροπή ισχύος μεταξύ διαφορετικών συστημάτων μοντελοποιείται μέσω 2 ειδών ιδανικών δίθυρων στοιχείων μετατροπής ισχύος 1. Ενισχυτές Μετατρέπουν «σθενος» F 1 σε «σθένος» F 2 και «ροή» U 1 σε «ροή» U 2 2. Αναστροφείς Μετατρέπουν «σθενος» F 1 σε «ροή» U 2 και «ροή» U 1 σε «σθένος» F 2.

31 Στοιχεία Μετατροπής Ισχύος - Επανάληψη Ενισχυτές Μετατρέπουν «σθενος» F 1 σε «σθένος» F 2 και «ροή» U 1 σε «ροή» U 2 F 2 = T 0 U 2 0 T 1 F 1 Περιγράφονται από την σταθερά ενισχυτή T Προσοχή στα πρόσημα. Διατήρηση Ισχύος U 1 P 2 = F 2 U 2 = T F 1 1 T U 1 = F 1 U 1 = P 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 U 1 Τ U 2 Σύστημα 2

32 Στοιχεία Μετατροπής Ισχύος - Επανάληψη Αναστροφείς Μετατρέπουν «σθενος» F 1 σε «ροή» U 2 και «ροή» U 1 σε «σθένος» F 2. F 2 = 0 G U 2 G 1 0 F 1 Περιγράφονται από την σταθερά αναστροφέα G Προσοχή στα πρόσημα. Διατήρηση Ισχύος U 1 P 2 = F 2 U 2 = G U 1 1 G F 1 = F 1 U 1 = P 1 Σύστημα 1 F 1 F 2 U 1 G U 2 Σύστημα 2

33 Παραδείγματα Στοιχείων Μετατροπής Ισχύος Ηλεκτρικός Μετασχηματιστής Συνδέει δύο ηλεκτρικά συστήματα Ενισχυτής σταθεράς Τ = n 2 n 1 V 2 i2 = n 2 n n 1 n 2 V 1 i1 + i 1 i 2 + V 1 V 2

34 Παραδείγματα Στοιχείων Μετατροπής Ισχύος Υδραυλικός Μετασχηματιστής Συνδέει δύο υδραυλικά συστήματα Ενισχυτής σταθεράς Τ = A 1 A 2 δp 2 Q 2 = A 1 A A 2 A 1 δp 1 Q 1

35 Παραδείγματα Στοιχείων Μετατροπής Ισχύος Ηλεκτρικός Κινητήρας Συνεχούς / Δυναμό Συνδέει ένα ηλεκτρικό σύστημα με ένα μηχανικό περιστροφικό σύστημα Αναστροφέας σταθεράς G = K T (σταθερά ροπής) τ 2 ω = 0 K T 1 2 K T 0 V 1 + i1 V 1 i 1 ω 2 τ 2 Παρόμοιο στοιχείο: πηνείο φωνής (γραμμικός κινητήρας) f 2 = 0 K T u 1 2 K T 0 V 1 i1

36 Παραδείγματα Στοιχείων Μετατροπής Ισχύος Υδραυλικός επενεργητής Συνδέει ένα υδραυλικό σύστημα με ένα μηχανικό μεταφορικό σύστημα Ενισχυτής σταθεράς Τ = Α (εμβαδόν πιστονιού) f 2 = A 0 u 2 0 A 1 δp 1 Q 1 Q 1 + δp 1 f 2 u 2

37 Παραδείγματα Στοιχείων Μετατροπής Ισχύος Αντλία θετικής μετατόπησης Συνδέει ένα μηχανικό περιστροφικό σύστημα με ένα υδραυλικό σύστημα Αναστροφέας σταθεράς Τ δp 2 = Τ 0 Q 2 0 Τ τ 1 + ω 1 ω 1 δp 2 τ 1 Q 2