ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της μεταφορικής του κίνησης δίνεται από την σχέση: Κ μετ = 1 m u 2 cm

Transcript

1 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Μ.ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΗ ΘΕΤΙΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα 1 ο 1. γ. γ 3. α 4. δ 5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ Θέμα ο 1. Σωστή απάντηση είναι το α. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της μεταφορικής του κίνησης δίνεται από την σχέση: μετ = 1 m u cm. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της περιστροφικής του κίνησης δίνεται από την σχέση: περ = 1 Ι cm ω = 1 περ = 1 m u cm 4 1 u cm = ω R m R ω = 1 4 m (ω R) μετ περ = m u m u cm cm = περ = 1 μετ = 3 J.

2 Άρα η ολική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της σύνθετης κίνησης θα είναι: K κυλίνδρου = μετ + περ = K κυλίνδρου = 9 J. Σωστή είναι η β. Η συχνότητα μεγιστοποίησης της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή είναι διπλάσια από την συχνότητα της ταλάντωσης δηλαδή: f K = f 1 10 Hz = f 1 f 1 = 5 Hz. Από τη σύνθεση των δύο ταλαντώσεων προκύπτει μια περιοδική κίνηση της οποίας το πλάτος μεγιστοποιείται με συχνότητα: f = f 1 f = 1 Hz f = 5 Hz 1 Hz f = 4 Hz. Η συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης δίνεται από την σχέση: f+f f = 1 = 5+4 = 4,5 Hz. Ο αριθμός των ταλαντώσεων Ν που κάνει το σώμα σε χρονικό διάστημα t = 4 s είναι: f = Ν t 4,5 Hz = Ν 4 s N = 18 ταλαντώσεις. Επειδή σε κάθε ταλάντωση το σώμα περνάει από την θέση ισορροπίας του δύο φορές, σε χρονικό διάστημα t = 4 s θα περάσει 36 φορές.

3 3. Α. Σωστή απάντηση είναι το α. Όπως φαίνεται από το διάγραμμα φ t που μας δίνεται το κύμα από την πηγή Π 1 θα φθάσει στο σημείο Γ τη χρονική στιγμή t 1 = 0,3 s, ενώ το κύμα από την πηγή Π τη χρονική στιγμή t = 0,5 s. Άρα οι αποστάσεις d 1 και d του σημείου Γ από τις δύο πηγές είναι: d 1 = u t 1 d 1 = 3 m και d = u t d = 5 m. H η απόσταση ΑΒ μεταξύ των δύο πηγών είναι: (B) = d - d = = 16 (B) = 16 = 4 m Β. Σωστή απάντηση είναι το β. Από το διάγραμμα φ t που μας δίνεται παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t = 0,7 s η φάση της ταλάντωσης του φελλού είναι φ = 6π rad. Η φάση του φελλού μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων δίνεται από τη σχέση: t d+ d - T λ φ = π 1 3λ = 0,7λ T 0,7 8 6π = π - 3 = 0,7-4 T λ T λ λ u = - 4 Τ 3λ = 0,7u 4 3λ = 3 λ = 1 m. Θέμα 3 ο α. Η ροπή αδράνειας του κρίκου ως προς τον άξονα περιστροφής του (Γ) είναι σύμφωνα με το θεώρημα του Steiner:

4 Ι κρίκου = Ι cm + m R = m R + m R = m R. Άρα η ροπή αδράνειας Ι συστ. του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του (Γ) είναι: Ι συστ. = Ι κρίκου + Ι διαμ = m R + m 8 (R) Ι συστ. = m R + m 8 4R Ι συστ. = m R + m R Ι συστ. = 5 m R. Εφαρμόζουμε ΑΜΕ για το σύστημα μεταξύ της ανώτερης και κατώτερης θέσης του βραχιολιού. αρχ μηχ τελ μηχ E = Ε αρχ + U αρχ = τελ + U τελ 0 + m g 3R + m 8 g 4R = 1 Ι συστ. ω + m g R m g R = 1 5 m R ω + m g R R Γ U β = 0 5 m g R = 1 5 m R ω ω = g R = 400 = 0 rad/s Άρα η γραμμική ταχύτητα του διαμαντιού, όταν αυτό βρεθεί στην κατώτερη θέση της κατακόρυφης διαμέτρου ΑΓ του βραχιολιού είναι: u δ = ω (R) = u δ = m/s. β. Η γωνιακή επιτάχυνση του του βραχιολιού όταν το διαμάντι βρεθεί στην κατώτερη θέση της κατακόρυφης διαμέτρου του ΑΓ

5 υπολογίζεται από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης: Στ (Γ) = Ι συστ. α γ. Όμως Στ (Γ) = 0 αφού όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο βραχιόλι (βάρη του διαμαντιού, του κρίκου και η δύναμη από τον άξονα) έχουν φορείς του διέρχονται, στη θέση αυτή, από το σημείο περιστροφής του συστήματος Γ. Άρα θα είναι α γ = 0. γ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του dl συστήματος είναι ίσος με = Στ (Γ), άρα θα dt γίνεται μέγιστος όταν και η ροπή των δυνάμεων που ασκούνται στο βραχιόλι θα είναι μέγιστη. Αυτό θα συμβεί όταν το βραχιόλι έχει στραφεί κατά 90 0, γιατί στη θέση αυτή η απόσταση του άξονα από τους φορείς των δυνάμεων είναι η μέγιστη δυνατή. Γ R R mg mg/8 Άρα: 10 - Ν m dl dt dl dt = Στ (Γ) = m g R + m 8 g R = 5m 4 g R = 1,5 δ. Την στιγμή της αποκόλλησης του διαμαντιού από το βραχιόλι, στο βραχιόλι δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές (Στ εξ = 0) άρα ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής. R L αρχ = L τελ αρχ. συστηματος L = L τελ + τελ κρίκου L διαμαντιού I συστ. ω = κρίκου Ι ω 1 + m 8 u 1 5 m R ω = m R ω 1 + m 4 u 1 R 10 R ω = 8 R ω 1 + u 1 ω 1 = 10 rad/s. Άρα η κινητική ενέργεια του βραχιολιού θα είναι ίση με:

6 βρ. = 1 Ι κρίκου ω = 1 m 1 R ω 1 βρ. = = J Θέμα 4 ο. α) Οι δυνάμεις που δέχεται το σώμα είναι η σταθερή οριζόντια δύναμη F και η δύναμη ελατηρίου, k m l 0 που έχει πάντα φορά προς τη θέση k F ελ F φυσικού μήκους του, άρα η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του δεν θα ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου (ΘΦΜ). Στη θέση ισορροπίας (ΘΙΤ), που βρίσκεται σε απόσταση l 0 από τη k F ελ x ΘΦΜ, εφαρμόζω τη συνθήκη ισορροπίας στον οριζόντιο άξονα: ΣF = 0 F F ελ = 0 F = F ελ F = k l 0 (1) l 0 = 0,4 m Τοποθετούμε κατόπιν τη σφαίρα σε μια τυχαία θέση (ΤΘ) θετικής απομάκρυνσης χ απ τη ΘΙ της και υπολογίζουμε τη συνισταμένη δύναμη: (1) ΣF = F F ελ = k l 0 - k(l 0 + χ) ΣF = k l 0 - kl 0 kχ ΣF = k χ Επειδή η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του είναι της μορφής ΣF = - Dχ, συμπεραίνουμε ότι το σώμα εκτελεί ΑΑΤ με σταθερά επαναφοράς D = k = 50 N/m και περίοδο Τ = π m = π s. D 5 (+) ΘΦΜ ΘΙΤ ΤΘ F

7 β) Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο είναι: χ = Α ημ(ωt + φ 0 ) () ω = π Τ ω = 10 rad/s. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και η συχνότητα που καταγράφει ο δέκτης είναι ίση με f s, άρα η ταχύτητα του θα είναι ίση με μηδέν. Συνεπώς η Θ.Φ.Μ. θα είναι η ακραία θέση, της ΑΑΤ του σώματος άρα: Α = l 0 = 0,4 m. Για t 0 = 0 είναι χ = - Α Α ημφ 0 = - Α ημφ 0 = - 1 φ 0 = 3π rad (αφού 0 φ 0 < π). Η εξίσωση () γίνεται: χ = 0,4 ημ 3π 10t + (S.I.) γ) Η δύναμη του ελατηρίου (F ελ = k l) μεγιστοποιείται στη θέση μέγιστης απόστασης από τη Θ.Φ.Μ. (+) ΘΦΜ ΘΙΤ Ακραία Θέση (+Α) (μέγιστης επιμήκυνσης l ) δηλαδή k m στη ακραία θέση χ = + Α της ταλάντωσης όπου l = Α = 0,8 l 0 m. Άρα F = k l ελ = 50 0,8 F ελ k F ελ F = 40 N. B. a) Μετά την κατάργηση της δύναμης F, η μόνη δύναμη που k F ελ() F = 0 ασκείται στο σώμα είναι η δύναμη ελατηρίου, οπότε η θέση ισορροπίας Α της νέας ΑΑΤ που θα ακολουθήσει

8 είναι η Θ.Φ.Μ. του ελατηρίου. Η δύναμη καταργείται στη θέση που το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου γίνεται μέγιστο δηλ. στη ακραία θέση χ = + Α. Εκεί το σώμα έχει ταχύτητα u = 0 και απέχει Α από τη Θ.Ι. και Α από τη Θ.Φ.Μ. άρα το πλάτος της νέας ΑΑΤ θα είναι: = Α = 0,8 m. β) Η γωνιακή συχνότητα της νέας ΑΑΤ θα είναι ίδια με την αρχική, δηλαδή: ω = ω = k = 10 rad/s. m Άρα η μέγιστη ταχύτητα του ταλαντωτή θα έχει μέτρο: u = ω Α = 8 m/s. Ο δέκτης καταγράφει τη μέγιστη συχνότητα όταν το σώμα (πηγή) περνάει από τη θέση ισορροπίας του (όπου έχει ταχύτητα μέτρου u = u = ω Α = 8 m/s) και κινείται προς τον δέκτη. Η τιμή της μέγιστης συχνότητας θα δίνεται από την παρακάτω σχέση: u f = f s u - u ηχ ηχ ' = f = 170 Hz.