Πρόβλημα 8.3 Πρόβλημα 8.4 Η κυματικ εξίσωση δίνει Ψάχνουμε για λύσεις του τύπου Το τοποθετούμε αυτό και: Διαιρούμε με ZT: Η αριστερ μεριά εξαρτάται μόνο από το z και η δεξιά μόνο από το t, έτσι και οι δυο πρέπει να είναι σταθερές. Καλούμε την σταθερά (Σημειώστε ότι το κ πρέπει να είναι πραγματικός,αλλιώς τα Ζ και Τ καταρρέουν, χωρίς να χάσουμε την γενικότητα μπορούμε να θεωρσουμε το κ θετικό) Ο γενικός γραμμικός συνδυασμός από διαχωρίσιμες λύσεις είναι: Όπου Αλλά μπορούμε να συγκρίνουμε τον τρίτο όρο με τον πρώτο, αφνοντας το κ να γίνει αρνητικό παραμένει θετικό) παρομοίως ο δεύτερος και ο τέταρτος: Επειδ στο τέλος θέλουμε μόνο τον πραγματικό μέρος του f, επαρκεί να κρατσουμε έναν μόνο από αυτούς τους όρους (από την στιγμ που το κ είναι αρνητικό και οι δύο όροι που περιλαμβάνουν κύματα ταξιδεύουν και στις δυο κατευθύνσεις.) Έχουμε: Ο πρώτος όρος συνδυάζεται με τον τρίτο
Από την στιγμ που το αρνητικό κ διαλέγεται στο άλλο μισό της περιοχς ολοκλρωσης και ο δεύτερος συνδυάζεται με τον τέταρτο για τον ίδιο λόγο. Έτσι η γενικ λύση για τον σκοπό μας μπορεί να γραφεί: Πρόβλημα 8.5 Αφού το κάθετο άθροισμα Βρίσκεται σε ένα κύκλο ακτίνας Α. Για χρόνο t = 0 Για χρόνο Προφανώς γυρίζει ωρολογιακά.για να κάνουμε ένα κύμα να γυρίζει με τον άλλο τρόπο χρησιμοποιούμε (c) To γυρίζουμε γύρω από ένα κύκλο αντί για πάνω κάτω. Πρόβλημα 8.6 Εξίσωση 8.46 Τώρα Εξίσωση 8.48 (όπου κ είναι σταθερά) Προσθέτοντας τις δύο αυτές ισότητες παίρνουμε: (όπου Τώρα και είναι ξεχωριστές συναρτσεις από μια μοναδικ μεταβλητ u (στην πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούμε στην δεύτερη και στην τρίτη
Έτσι Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ισότητα με και αφαιρώντας (η σημειογραφία είναι έξυπνη,έτσι εδώ είναι ένα παράδειγμα για ημιτονοειδ κύμα: Εδώ και οι οριακές συνθκες λένε και Πρόβλημα 8.7 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη ισότητα με και προσθέτουμε: Αν η δεύτερη χορδ είναι άμαζη τότε και και έχουμε όπου Τώρα με και Επιπλέον Ομοίως Έτσι
Πρόβλημα 8.8 (b) Θέτω τότε Όπου Λύση: Αναλύουμε το κ στο πραγματικό και φανταστικό του μέρος αλλά το κ είναι πραγματικός άρα το είναι θετικός έτσι θέλουμε το πρόσημο +: Προσθέτοντας Αλλά ο Β όρος δίνει μια αυξανόμενη συνάρτηση που δεν την θέλουμε,έτσι Β = 0 και (c) Το κύμα εξασθενεί από τον παράγοντα που γίνετε όταν: (d) Αυτό είναι το ίδιο με πριν, με την διαφορά ότι
(όπου ) Εν τω μεταξύ: Πρόβλημα 8.9 (Από την στιγμ που το από την στιγμ που είναι παράλληλο στο xz επίπεδο πρέπει να έχει τον τύπο και από την στιγμ που είναι μοναδιαίο διάνυσμα
Πρόβλημα 8.10 Για ένα τέλειο κάτοπτρο η πίεση είναι διπλάσια: Η ατμοσφαιρικ πίεση είναι έτσι η πίεση του φωτός σε ένα κάτοπτρο είναι Πρόβλημα 8.11 Εν τω μεταξύ σε συντομογραφία: Έτσι: όπου Πρόβλημα 8.12 To Ε έχει μόνο x συνιστώσα και το Β μόνο y. Έτσι όλοι οι όροι είναι μηδέν. Για τα διαγώνια στοιχεία:
Έτσι (όλα τα άλλα στοιχεία είναι μηδέν) Η ορμ από αυτά τα πεδία είναι στην z διεύθυνση και μεταφέρεται στην z κατεύθυνση,έτσι κατανοούμε ότι το πρέπει να είναι το μόνο μη μηδενικό στοιχείο στο Το είναι το ποσοστό με το οποίο μια ορμ διασχίζει μια επιφάνεια da. Εδώ δεν έχουμε ορμές που να διασχίζουν τις περιοχές που ορίζονται στην x y κατεύθυνση. Η ορμ ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα επιφάνειας τρέχει σε μια επιφάνεια στην z διεύθυνση που είναι έτσι και επομένως ορμ ανά μονάδα χρόνου που διασχίζει μια περιοχ Α. Προφανώς: πυκνότητα ρος της ορμς = πυκνότητα ενέργειας Πρόβλημα 8.13 (Εξ. 8.94) (Εξ. 8.90) όπου [Σημειώστε ότι Πρόβλημα 8.14 Η εξίσωση 8.87 αντικαθίσταται από και η εξ. 8.88 γίνεται Η y συνιστώσα της πρώτης εξίσωσης είναι η x συνιστώσα της δεύτερης είναι Συγκρίνοντας της δύο συμπεραίνουμε ότι και επομένως Πρόβλημα 8.15 Διαχωρίζουμε Διαχωρίζοντας ξανά: για όλα τα x, έτσι (χρησιμοποιώντας έτσι (χρησιμοποιώντας έτσι (χρησιμοποιώντας
Άλλα Α και Β είναι μη μηδενικά, άρα a = b. Επομένως έτσι (αφού Συμπέρασμα: Πρόβλημα 8.16 Οριακές συνθκες: Νόμος διάθλασης: Συνοριακ συνθκη Συνοριακ συνθκη Συνοριακ συνθκη Αλλά ο όρος στην παρένθεση είναι 1 από τον νόμο της διάθλασης, έτσι είναι το ίδιο με το (ii). Συνοριακ συνθκη Θέτουμε Τότε: Λύνοντας για και
Από την στιγμ που τα α και β είναι θετικά,είναι και το θετικό και επομένως με ανακλώμενο κύμα είναι ίδιο με το προσπίπτων κύμα και τα πραγματικά πλάτη σχετίζονται με την Το ανακλώμενο κύμα είναι σε φάση αν, εκτός φάσης αν τα πραγματικά πλάτη σχετίζονται με Αυτές είναι οι εξισώσεις Fresnel για πόλωση κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης. Για να φτιάξουμε τις γραφικές παραστάσεις σημειώστε ότι όπου θ η γωνία πρόσπτωσης, έτσι για Υπάρχει γωνία Brewster? Λοιπόν, σημαίνει ότι και επομένως Αφού αυτό σημαίνει ότι που είναι αληθινό μόνο για οπτικά δυσδιάκριτο μέσων,στην οποία περίπτωση δεν υπάρχει ανάκλαση, αλλά αυτό είναι αληθινό για κάθε γωνία,όχι μόνο για κάποια ειδικ γωνία Brewster. Από το ίδιο σημείο το είναι είτε πάντα 0 είτε πάντα π, για δοσμένη επιφάνεια Δεν αλλάζει αν αλλάξουμε την γωνία θ.στην πράξη αν β=3/2 τότε αβ>1 για Γενικά για και επομένως Για και Σε κανονικ γωνία πρόσπτωσης α = 1,έτσι οι εξισώσεις του Fresnel γίνονται Συντελεστς ανάκλασης διάθλασης:
Πρόβλημα 8.17 Εξ. 8.114 Εξ. 8.118 Εξ. 8.117 (b) Εξ. 9.112 Πρόβλημα 8.18 (a) Ισότητα 8.128 Τώρα, και για γυαλί ο δείκτης διάθλασης είναι περίπου 1.5, έτσι Ενώ Τότε Αλλά η ειδικ αντίσταση του γυαλιού ποικίλει υπερβολικά από ένα τύπο σε άλλον,έτσι αυτ η απάντηση μπορεί να ορίζεται από ένα παράγοντα του 100 σε κάθε κατεύθυνση. (b) Για ασμι και έτσι Από την στιγμ που το πάχος είναι (c) Για χαλκό Αφού εξ. 8.134 έτσι εξ. 8.137 Η ταχύτητα διάδοσης είναι Στο κενό
Πρόβλημα 8.24 (a) Ξέρουμε ότι όπου α μια σταθερά. Όμως και Άρα Είναι (b) Επομένως Άρα Από τη στιγμ που (όπου είναι η κλασικ ταχύτητα του σωματιδίου), έπεται ότι η υ g (και όχι η υ) αντιστοιχεί στην κλασικ ταχύτητα). υ c Πρόβλημα 8.25. Άρα Το οποίο είναι υπεριώδες. # Avrogadro Αριθμός μορίων ανά μονάδα όγκου = Αριθμός ηλεκτρονίων ανά μόριο = 2 (για το Η 2 ) Δηλαδ περίπου το 1/3 της πραγματικς τιμς. Δηλαδ περίπου το 1/4 της πραγματικς τιμς. Πρόβλημα 8.26 Θέτουμε τον παρονομαστ ίσο με D. Άρα έχουμε: και το πλάτος της ανώμαλης περιοχς είναι οπότε στο μέγιστο Στα ω 1 και ω 2, άρα α
Όμως Άρα στα ω 1 και ω 2 Πρόβλημα 8.27 Αφού ο δεύτερος όρος μέσα στην αγκύλη είναι θετικός, συνεπάγεται ότι, ενώ η είναι μεγαλύτερη από το c μικρότερη από το c, ανάλογα με το ω. Πρόβλημα 8.31 (a) Από τις Εξ.(8.211, 8.212) Στην ορολογία των Εξ.(8.213): άρα άρα άρα άρα άρα άρα Τα παραπάνω επιβεβαιώνουν τις Εξ.(8.214). Τώρα πολλαπλασιάζουμε την (iii) επί k, την (v) επί ω, και τις αφαιρούμε:.
Πολλαπλασιάζουμε την (ii) επί k, την (vi) επί ω, και προσθέτουμε: ω Πολλαπλασιάζουμε την (ii) επί 2, την (vi) επί k, και προσθέτουμε: c ω Πολλαπλασιάζουμε την (iii) επί 2, την (v) επί k, και αφαιρούμε: c Αυτ ταν και η επαλθευση των Εξ.(8.215) (b) Με χρση των Εξ.(8.215): Ομοίως Αυτ ταν και η επαλθευση των Εξ.(8.216). Η επαλθευση μπορούσε επίσης να γίνει με αντικατάσταση των Εξ.(8.215) στις Εξ.(8.214)
Πρόβλημα 8.32 Εδώ (ΕΗ) και άρα από την Εξ.(8.214)(ii): επίσης από την Εξ.(8.214)(iii): από την Εξ.(8.214)(v):, και από την Εξ.(8.214)(vi): Άρα και αφού το Β z είναι συνάρτηση μόνο των x και y, συμπεραίνουμε ότι είναι σταθερό. Ο νόμος του Faraday σε ολοκληρωτικ μορφ λέει ότι: και από τις Εξ.(8.211) παίρνουμε ότι Εφαρμοζόμενο σε μια διατομ του κυματοδηγού, αυτό μας δίνει. Από τη στιγμ που το Β z είναι μια σταθερά, βγαίνει έξω από το ολοκλρωμα. Όμως αν το όριο είναι ακριβώς μέσα από το μέταλλο, όπου δηλαδ Ε = 0, συνεπάγεται Β z = 0. Άρα αυτό θα ταν ένας ΕΗΜ τρόπος, για τον οποίο ξέρουμε δη ότι δε μπορεί να υπάρξει για αυτόν τον οδηγό. Πρόβλημα 8.33 Εδώ είναι a= 2.28cm και b=1.01cm άρα: Ουσιαστικά προκύπτουν μόνο 4 τρόποι: (10, 20, 01, 11). Για να πάρουμε τελικά μόνο ένα τρόπο θα πρέπει να οδηγσουμε τον κυματοδηγό σε μια συχνότητα μεταξύ των και : άρα Πρόβλημα 8.34 Είναι Εδώ είναι
Και για τον ΕΗ τρόπο: Άρα Στο τελευταίο βμα χρησιμοποισαμε ότι: Ομοίως Αυτά τα αποτελέσματα μπορούν να απλοποιηθούν, γράφοντας απαλείφοντας το ε 0, και : Τελικά: Ενέργεια ανά μονάδα χρόνου Ενέργεια ανά μονάδα μκους =
Πρόβλημα 8.35 Σύμφωνα με την ενότητα 8.5.2, το πρόβλημα είναι να λύσουμε τις Εξ.(8.216) με και υπακούοντας στις οριακές συνθκες (8.210). Έστω. Όπως πριν, έτσι και σε αυτ την περίπτωση, θα πάρουμε Όμως η οριακ συνθκη απαιτεί, επομένως και Χ = 0, όταν x = 0 και x = α. οπότε Β = 0 και Όμως αυτ τη φορά m = 1,2,3,.. και όχι μηδέν, αφού το μηδέν θα εξαφάνιζε το Χ εντελώς. Τα ίδια ισχύουν για το Y(y). Επομένως: Τα υπόλοιπα είναι ίδια όπως για την περίπτωση ΕΗ κυμάτων: αποκοπς, η ταχύτητα κύματος είναι η ταχύτητα ομάδας είναι Ο χαμηλότερος ΕΜ τρόπος είναι ο 11 με συχνότητα αποκοπς της χαμηλότερης ΕΜ συχνότητας προς την χαμηλότερη ΕΗ συχνότητα θα είναι: είναι η συχνότητα οπότε ο λόγος Πρόβλημα 8.36 αφού Οριακές συνθκες: (b) Για να προσδιορίσουμε το λ, θεωρούμε μια κυλινδρικ επιφάνεια Gauss ακτίνας s και μκους dz: Για να προσδιορίσουμε το Ι, θεωρούμε ένα κυκλικό Αμπεριανό βρόχο ακτίνας s (σημειώστε ότι το ρεύμα μετατόπισης μέσω αυτού του βρόχου είναι μηδέν, αφού το Ε είναι στη διεύθυνση ŝ.) Το φορτίο και το ρεύμα στον εξωτερικό αγωγό είναι ακριβώς τα αντίθετα από αυτά, αφού Ε = Β = 0 μέσα στο μέταλλο, και επομένως το συνολικό έγκλειστο φορτίο και το συνολικό έγκλειστο ρεύμα πρέπει να είναι μηδέν.
Πρόβλημα 8.37 Αν τότε μετονομάζοντας την μεταβλητ Επομένως Εν τω μεταξύ, (Προσέξτε ότι εδώ είναι άρα δε βγαίνει έξω από το ολοκλρωμα) Αθροίζοντας τα δύο αυτά αποτελέσματα, παίρνουμε Πρόβλημα 8.38 (a) (i) Νόμος Gauss: (ii) Νόμος Faraday: Ολοκληρώνοντας ω προς t, με παίρνουμε:
(iii) Απόκλιση του Β: (b) Διάνυσμα Poynting: Υπολογίζοντας κατά μέσο όρο σε ένα πλρη κύκλο, χρησιμοποιώντας παίρνουμε την ένταση:
Δείχνει προς την ˆr διεύθυνση, όπως θα περιμέναμε για ένα σφαιρικό κύμα Πρόβλημα 8.40 Το ελάχιστο μη μηδενικό πάχος είναι Αλλά = και όπου (πιθανώς) Άρα επομένως Πρόβλημα 8.41 Είναι Αφού το κυμαίνεται από 0 έως 1, Δεν υπάρχει μεγάλη διαφορά, και η μετάδοση είναι καλ (90%) για όλες τις συχνότητες. Οι τύποι για τον συντελεστ μετάδοσης δεν αλλάζουν άμα μεταθέσουμε τους δείκτες διάθλασης, άρα το ψάρι μας βλέπει όσο καλά το βλέπουμε κι εμείς. Πρόβλημα 8.42 Ψάχνουμε λύσεις της μορφς που να υπόκεινται στις αρχικές συνθκες σε όλες τις επιφάνειες. Οι εξισώσεις του Maxwell, στη μορφ των Εξ.(8.212) είναι: Από εδώ και στο εξς θα παραλείπουμε τον δείκτη (0). Το πρόβλημα είναι να λύσουμε τις (χρονικά ανεξάρτητες) εξισώσεις: Από την συνεπάγεται ότι μπορούμε να βρούμε το Β εφόσον ξέρουμε το Ε, οπότε θα συγκεντρωθούμε στα υπόλοιπα προς το παρόν.
Οπότε Λύνουμε κάθε μια με χωρισμό μεταβλητών. Κάθε όρος πρέπει να είναι σταθερός, άρα Η λύση είναι:. όπου Όμως και στο όριο Ε x = 0 για y = 0 και z = 0, άρα D = F = 0, και Ε x = 0 για y = b και z = d, άρα όπου n και l είναι ακέραιοι. Ομοίως εργαζόμαστε για τα Ε y και Ε z. Συμπέρασμα: Όπου (Για την ακρίβεια, δεν υπάρχει λόγος σε αυτό το σημείο να υποθέσουμε ότι τα k x, k y, k z είναι τα ίδια και για τις τρεις συνιστώσες, και κανονικά θα έπρεπε να εισάγουμε και έναν δεύτερο δείκτη (x για το E x, y για το E y και z για το E z ) αλλά σε λίγο θα δούμε ότι στην πραγματικότητα πρέπει να είναι τα ίδια, έτσι για να αποφύγουμε αυτ τη δυσμετακίνητη σημειογραφία θα υποθέσουμε από τώρα ότι είναι.) Τώρα Συγκεκριμένα, θέτοντας επομένως Ομοίως και Επίσης, αν τα k δεν ταν ίσα για τις διαφορετικές συνιστώσες, τότε, από την ανάλυση Fourier, η εξίσωση αυτ δε θα μπορούσε να ικανοποιηθεί για όλα τα x, y, z, εκτός και αν όλες οι άλλες σταθερές ταν επίσης μηδέν, οπότε και θα μέναμε χωρίς καθόλου πεδίο..συνεπάγεται ότι, (έτσι ώστε E = 0 ) και έτσι μας απομένει: με όλοι ακέραιοι, και Το αντίστοιχο μαγνητικό πεδίο δίνεται από την
Ή Αυτές αυτομάτως ικανοποιούν την συνοριακ συνθκη y = b και Β z = 0 για z = 0 και z = d). Για επαλθευση, ας εξετάσουμε αν B = 0 (Β x = 0 για x = 0 και x = α, Β y = 0 για y = 0 και Οι εξισώσεις στο κουτάκι ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις Maxwell και τις συνοριακές συνθκες. Για ΕΗ τρόπους, διαλέγουμε E z = 0, άρα F = 0, και επομένως αφνοντας μόνο το συνολικό πλάτος ακαθόριστο, για δοθέντα l, m και n. Για ΕΜ τρόπους θέλουμε Β z = 0, οπότε αφνοντας και πάλι μόνο ένα πλάτος ακαθόριστο, αφού. Σε κάθε περίπτωση, ΕΗ ΕΜ, η συχνότητα δίνεται από την: