(α) 1. (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού 12 V: U ολ = 1 2 C ολ(δv) 2 = J.

Transcript

1 4 η Ομάδα Ασκήσεων Δύο πυκνωτές C=5 μf και C=40 μf συνδέονται παράλληλα στους ακροδέκτες πηγών τάσης VS=50 V και VS=75 V αντίστοιχα και φορτίζονται Στην συνέχεια αποσυνδέονται και συνδέονται μεταξύ τους, ο θετικός οπλισμός του ενός με τον θετικό οπλισμό του άλλου και ο αρνητικός του ενός με τον αρνητικό του άλλου Να υπολογίσετε την τάση, το φορτίο και την ενέργεια του κάθε πυκνωτή στη νέα κατάσταση ισορροπίας Οι πυκνωτές φορτίζονται με φορτία =C ΔVS=5 μc και =C ΔVS=300 μc Μόλις συνδεθούν θα έχουμε μετατόπιση φορτίων ώστε να έχουν κοινό δυναμικό, VT, οπότε τα τελικά τους φορτία θα είναι Τ=C ΔVΤ και Τ=C ΔVΤ Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε ΔV T = T+ T C +C Εφόσον η σύνδεση γίνεται με τον τρόπο που περιγράφεται (θετικός οπλισμός με θετικό και αρνητικός με αρνητικό) το συνολικό φορτίο της αρχικής κατάστασης θα πρέπει να ισούται με το συνολικό φορτίο της τελικής, +=Τ+Τ=45 μc Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη προκύπτει ότι ΔVΤ=654 V και στην συνέχεια Τ=C ΔVΤ=635 μc και Τ=C ΔVΤ=65 μc Οι ενέργειες των πυκνωτών υπολογίζονται από κάποια από τις τρεις γνωστές εξισώσεις, πχ UT=/ C ΔV T=53 mj και UT=/ C ΔV T=86 mj Δύο πυκνωτές, C=80 μf και C=360 μf, συνδέονται σε σειρά και στα άκρα του συνδυασμού συνδέεται μπαταρία 0 V Να βρεθεί (α) η ισοδύναμη χωρητικότητα και (β) η συνολική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο σύστημα Επίσης (γ) η ενέργεια σε κάθε πυκνωτή χωριστά και (δ) να συγκριθεί το αποτέλεσμα του γ με το αντίστοιχο του β (ε) Η ισότητα αυτή που παρατηρήσατε στο (δ) ισχύει γενικά ή εξαρτάται από άλλες παραμέτρους όπως ο αριθμός των πυκνωτών ή οι χωρητικότητές τους; (στ) Αν οι ίδιοι πυκνωτές είχαν συνδεθεί παράλληλα, ποια είναι η διαφορά δυναμικού που πρέπει να εφαρμοστεί στον συνδυασμό τους ώστε να αποθηκευτεί η ίδια συνολική ενέργεια (αυτή που υπολογίσατε στο (β); Στην περίπτωση αυτή της παράλληλης σύνδεσης σε ποιον πυκνωτή από τους δύο έχει αποθηκευτεί περισσότερη ενέργεια; (α) C ολ = C + C C ολ = C C C +C = μf (β) Το σύστημα βρίσκεται υπό διαφορά δυναμικού V: U ολ = C ολ(δv) = J (γ) Έχουμε εξηγήσει ότι πυκνωτές σε σειρά φέρουν το ίδιο φορτίο το οποίο είναι μάλιστα ίσο με το συνολικό φορτίο του συστήματος Άρα, = = = C ολ ΔV = 44 μc

2 Οι αντίστοιχες ενέργειες θα είναι U = = J και U C = = J C (δ) Παρατηρούμε ότι U + U = U ολ (ε) Η παραπάνω παρατήρηση ισχύει γενικά, ανεξάρτητα των επιμέρους χαρακτηριστικών των δύο πυκνωτών (στ) Αν οι δύο πυκνωτές είχαν συνδεθεί παράλληλα, τότε C ολ = C + C = 54 μf Τότε για να αποθηκευτεί η ίδια ενέργεια U ολ = C ολ(δv ) ΔV = U ολ C ολ = 57 V Στην περίπτωση της παράλληλης σύνδεσης επειδή η διαφορά δυναμικού είναι η ίδια προκύπτει αμέσως ότι ο πυκνωτής με την μεγαλύτερη χωρητικότητα θα αποθηκεύσει περισσότερη ενέργεια, πράγματι U = C (ΔV ) = J και U = C (ΔV ) = J, ακριβώς αντίστροφα 3 Θεωρήστε δύο αγώγιμες σφαίρες με ακτίνες R και R, οι οποίες απέχουν απόσταση πολύ μεγαλύτερη από τις R και R (με άλλα λόγια θεωρήστε ότι τα φορτία σε κάθε σφαίρα είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα) Στις σφαίρες κατανέμεται συνολικό φορτίο =q+q Θέλουμε να δείξουμε ότι όταν η συνολική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του συστήματος έχει την ελάχιστη τιμή, η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σφαιρών είναι μηδέν Ακολουθήστε την ακόλουθη διαδικασία: (α) δείξτε ότι η ενέργεια κάθε αγώγιμης σφαίρας είναι U = k e q i R i (β) Βρείτε την συνολική ενέργεια του συστήματος των δύο σφαιρών συναρτήσει των q,, R, R (γ) Παραγωγίστε το αποτέλεσμα του σκέλους β ως προς το q, στην συνέχεια εξισώστε με το μηδέν και βρείτε το q συναρτήσει των, R, R (δ) Βρείτε το q (ε) Βρείτε το δυναμικό της κάθε σφαίρας σε σχέση με κάποια κοινή αναφορά (στ) Βρείτε την διαφορά δυναμικού (α) Η χωρητικότητα κάθε σφαίρας θα είναι C i = q i ΔV = q i k e q i /R i = R i k e και κατά συνέπεια η ενέργεια που αποθηκεύεται θα είναι U i = C i(δv) = ( k eq i ) q = k i k e R e i R i (β) Η συνολική ενέργεια του συστήματος θα είναι το άθροισμα των δύο ενεργειών, δηλαδή U ολ = U + U = q + q = q + ( q ) = k eq + k e( q ) C C R /k e R /k e R R (γ) du ολ dq = 0 k eq R + k e( )( q ) R = 0 q = R (δ) q = q = R R +R R +R q (ε) Θεωρούμε το δυναμικό μηδέν στο άπειρο οπότε γνωρίζουμε ότι V = k e = k R e και V = k e q R = k e R +R R i R +R

3 Βλέπουμε ότι οι δύο σφαίρες έχουν το ίδιο δυναμικό άρα η απάντηση στο (στ) θα είναι ότι η διαφορά δυναμικού θα είναι μηδέν 4 Δύο πλάκες τετράγωνου σχήματος πλευράς l τοποθετούνται παράλληλα σε απόσταση d, με d<< l Οι πλάκες είναι ομοιόμορφα φορτισμένες με φορτία +o, -o Ένα κομμάτι μετάλλου επίσης διαστάσεων l l και πάχους οριακά μικρότερου του d εισάγεται ανάμεσα στις πλάκες σε βάθος x Θεωρήστε ότι τα φορτία των πλακών εξακολουθούν να είναι κατανεμημένα ομοιόμορφα και ότι το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του μετάλλου είναι μηδέν Θεωρήστε επίσης ότι αν και μέταλλο, είναι το τέλειο διηλεκτρικό υλικό με τεράστια διηλεκτρική σταθερά, κ (α) Να υπολογιστεί η ενέργεια που αποθηκεύεται στο σύστημα συναρτήσει του x (β) Να βρεθεί η κατεύθυνση και το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο μεταλλικό κομμάτι (γ) Αν το εμβαδόν της μπροστινής έδρας του κομματιού είναι πρακτικά l d και θεωρήσουμε ότι η συνολική δύναμη ασκείται σε αυτή την έδρα, να βρεθεί η δύναμη ανά μονάδα επιφανείας (μηχανική τάση) που ασκείται (δ) Να εκφραστεί η πυκνότητα ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει των o, ε, l, d (ε) Συγκρίνετε τις απαντήσεις των γ και δ Υπόδειξη: Γνωρίζετε από τη μηχανική ότι F = du dx Στην περιοχή του πυκνωτή που βρίσκεται η αγώγιμη μεταλλική πλάκα το ηλεκτρικό πεδίο πρακτικά μηδενίζεται Τα φορτία του κάθε οπλισμού, επάγουν φορτία στην κοντινή τους πλευρά της μεταλλικής πλάκας έτσι στο εσωτερικό της πλάκας δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο Δεν προκύπτει ανακατανομή των φορτίων στους οπλισμούς του πυκνωτή εξ αιτίας του μετάλλου Η χωρητικότητα του τμήματος του πυκνωτή εκτός της περιοχής που βρίσκεται η πλάκα θα A είναι C = ε = ε l(l x) ο d ο ενώ το φορτίο της θα είναι ανάλογο του εύρους της = (l x) d l o (α) Εφόσον στην περιοχή του πυκνωτή που βρίσκεται η αγώγιμη μεταλλική πλάκα το ηλεκτρικό πεδίο μηδενίζεται, η ενέργεια οφείλεται μόνο στο ελεύθερο τμήμα του πυκνωτή άρα U = = [(l x) o/l] d(l x) C = o ε ο l(l x)/d ε ο l 3 d(l x) d (β) F = du = d dx dx ( o ) = + o Το θετικό πρόσημο σημαίνει ότι η δύναμη είναι ε ο l 3 ε ο l3 προς τα δεξιά, δηλαδή ο πυκνωτής «ρουφάει» την μεταλλική πλάκα (παρατηρείστε ότι αύξηση του x μειώνει την δυναμική ενέργεια του συστήματος άρα είναι η προτιμητέα από την φύση)

4 (γ) Η δύναμη ανά μονάδα επιφανείας είναι F ld = o ε ο l 4 (δ) Η πυκνότητα ενέργειας δίνεται όπως έχουμε πει από την εξίσωση u E = ε οe = ε ο ( σ ) = ( ε ο ε ο A ) = o ε ο l 4 (ε) Παρατηρούμε ότι είναι ακριβώς οι ίδιες! 5 Επίπεδος πυκνωτής με απόσταση μεταξύ των οπλισμών d φορτίζεται σε διαφορά δυναμικού ΔVo Χωρίς να αφαιρέσουμε την μπαταρία, εισάγουμε στον πυκνωτή διηλεκτρικό υλικό πάχους σχεδόν d και διηλεκτρικής σταθεράς κ (α) Δείξτε ότι ο λόγος τελικής και αρχικής ενέργειας είναι ίσος με την διηλεκτρική σταθερά, U U o = κ (β) Εξηγείστε την αύξηση της ενέργειας (γ) Τι συμβαίνει στο φορτίο του πυκνωτή; (α) Η παρουσία της μπαταρίας σημαίνει ότι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή θα παραμείνει σταθερή στην αρχική τιμή ΔVo Γνωρίζουμε ότι το διηλεκτρικό θα αυξήσει την χωρητικότητα του επίπεδου πυκνωτή κ φορές, C = κ Co, άρα ο λόγος των ενεργειών θα είναι: U U o = C (ΔV o ) = C o(δv o ) C C o = κ (β) και (γ) Από την εξίσωση = C ΔV παρατηρούμε ότι και το φορτίο του πυκνωτή αυξάνεται κ φορές με την εισαγωγή του διηλεκτρικού Αυτό γίνεται εφικτό καθώς η αύξηση της χωρητικότητας υπό σταθερή διαφορά δυναμικού μπορεί να «τακτοποιήσει» περισσότερα φορτία στο σύστημα Μέσα στο διηλεκτρικό έχουμε την εμφάνιση πόλωσης όπως έχουμε περιγράψει, τα ηλεκτρονικά νέφη των ατόμων που είναι σταθερά διευθετημένα (δεν έχουμε ευκίνητα φορτία) μετατοπίζονται προς τις αντίστοιχες πλάκες Αυτή η μικρή μετατόπιση φορτίων συνεπάγεται αλλαγή της δυναμικής ενέργειας του συστήματος κατά κ και προφανώς η επιπλέον ενέργεια για την αύξηση αυτή παρέχεται από την μπαταρία 6 Κατά μήκος του άξονα y υπάρχει ευθύγραμμη κατανομή φορτίου με σταθερή γραμμική πυκνότητα φορτίου λ=+ μc/m Δεξιά της κατανομής τοποθετούμε ηλεκτρικό δίπολο με το κέντρο του στο σημείο xο=5 cm Το δίπολο αποτελείται από δύο φορτία ±0 μc που απέχουν μεταξύ τους απόσταση α= cm Ο άξονας του διπόλου σχηματίζει γωνία θ=35⁰ με τον άξονα x με το αρνητικό φορτίο προς την πλευρά της κατανομής Να βρεθεί η συνισταμένη δύναμη (όχι η ροπή μιας και δεν έχουμε ζεύγος δυνάμεων) που δέχεται το δίπολο Υπόδειξη : Αρχικά πρέπει να βρεθεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου με την βοήθεια του νόμου του Gauss, όπως γνωρίζετε υπάρχει εξάρτηση από την απόσταση άρα όντως οι δυνάμεις δεν είναι ίσες

5 Υπόδειξη : Εκφράστε την απόσταση κάθε φορτίου από την κατανομή συναρτήσει των xο, α, cosθ Γνωρίζουμε ότι το πεδίο μιας άπειρης γραμμικής κατανομής είναι ακτινικό, με οριζόντια συνιστώσα μόνο Με την βοήθεια μιας κυλινδρικής ομοαξονικής επιφάνειας και εφαρμογή του νόμου του Gauss στην παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου (αφού από τις βάσεις δεν έχουμε ηλεκτρική ροή ενώ στην επιφάνεια του κυλίνδρου η ένταση θα είναι σταθερή λόγω συμμετρίας) θα έχουμε: Φ Ε = E da = Ε dα = ΕΑ = q ε o Ε (πrl) = λ l ε o E = k e λ r x Πρέπει να εκφράσουμε την θέση των δύο φορτίων σε σχέση με την κατανομή Η προβολή της απόστασης του κάθε φορτίου από την θέση του κέντρου του διπόλου θα είναι α cosθ Άρα το αρνητικό φορτίο βρίσκεται στην θέση rq- = xο - α cosθ και το θετικό φορτίο στην rq+ = xο + α cosθ Η δύναμη σε κάθε φορτίο έχει μέτρο E q δηλαδή: λ F q+ = qe (r q+ ) = qk x και e x o +αcosθ F q λ = qe (r q ) = qk x, e οι δύο x o αcosθ δυνάμεις έχουν αντίθετη φορά, η συνισταμένη δύναμη θα είναι το διανυσματικό άθροισμα F ολ = F q+ + F q = qk e λ ( ) x = 4 q k e α λ cosθ x = 94 x o +αcosθ x o αcosθ x ο +α cos θ 0 x N