ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης στο R και Ενότητες Όριο και Διάταξη - Όρια και Πράξεις του κεφ5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα ΘΕΜΑ Β Να βρεθεί το όριο: Παρατηρούμε ότι μορφής ( ) και ( ) δηλαδή το όριο είναι της Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και παρονομαστή το Για τον αριθμητή που είναι ένα τριώνυμο, βρίσκουμε τη διακρίνουσά του ± 5 ( ) 4 ( ) 9 6 5, και τις δύο του ρίζες,, δηλαδή και 4 Άρα το τριώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής: Για να εμφανίσoυμε τώρα στον παρονομαστή το ( ) θα πολλαπλασιάσουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή και έτσι θα έχουμε: ( )( )( ) 4

2 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 4 ) Μεθοδολογία Αν το όριο μιας ρητής συνάρτησης όταν το τείνει στο οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή, τότε με κάποια από τις μεθόδους παραγοντοποίησης δημιουργούμε σε αριθμητή και παρονομαστή τον παράγοντα ( ) και τον απλοποιούμε

3 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση: 6 f () e 5 7 Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια: i) f ( ) 4 ii) f ( ) 5 Η συνάρτηση f για να ορίζεται πρέπει 5, δηλαδή 5 έτσι η συνάρτηση f έχει πεδίο D 5, ορισμού το [ ) f i) Το f ( ) 4 δεν υπάρχει αφού η συνάρτηση f δεν ορίζεται κοντά στο 4 f e ii) Το 6 6 e e ( ) ( ) 6 5 e e 5 5 7

4 Μεθοδολογία i) Όταν θέλουμε να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο, εξετάζουμε πρώτα αν έχει έννοια το όριο, δηλ αν η f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) (, β) ή (,β ) ή α, ii) Α) α) β) c c για κάθε σταθερά c Β) Προσοχή: Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, τότε: ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) ) ( f ( ) ) f ( ) κ κ για κάθε σταθερά κ ) ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) 4) f( ) f ( ), εφόσον g g g 5) f ( ) f ( ) κ f f 6) κ εφόσον f κοντά στο ν 7) f ( ) f ( ) ν * ν οπότε ν ν 4

5 Παράδειγμα Αν (5 α ) β 5, να βρείτε τα α, β Θεωρούμε τη συνάρτηση (5 ) α β f(), f 5 και για Οπότε έχουμε, α β f()( ) (5 ) f 5 α β Επομένως Έτσι: α β α β βα 5 (5 ) () Άρα ( ) 5 α β f 5 5 (5 α ) α 5 5 α α 5 5 α α 5 ( )( ) α ( ) 5 ( )( ) α 5 5

6 α 5 Έτσι: α 5 7 α 5 α 4 Από την () έχουμε β 6 Άρα α ή α και β 6 Μεθοδολογία Υπολογισμός παραμέτρων που περιέχονται στη ρητή συνάρτηση f Αν σε μια ρητή συνάρτηση που έχει κάποιες παραμέτρους, υπάρχει το όριο όταν το τείνει στο και ο παρονομαστής μηδενίζεται στο, τότε θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση f() κάνουμε χιαστί και μετά παίρνουμε τα όρια 6

7 Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε το όριο: Παρατηρούμε ότι: ( 7 ) 5 και Δηλαδή το όριο είναι της μορφής, θα πρέπει να βγάλουμε τα απόλυτα Όταν το, τότε 7 < άρα < κοντά στο οπότε θα έχουμε: ( ), και 5 7 < άρα 5< κοντά στο οπότε θα έχουμε: 5 ( 5) οπότε θα έχουμε: 7 ( 7), ακόμα 7 < άρα 7< κοντά στο Έτσι: ( )( 4) Μεθοδολογία Αν το όριο f ( ) και ο τύπος της f( ) περιέχει απόλυτα, θα πρέπει είναι της μορφής να τα απαλείψουμε Αν το δεν μηδενίζει τις συναρτήσεις που είναι μέσα στα απόλυτα, τότε τα βγάζουμε έχοντας υπόψιν ότι: f > κοντά στο, οπότε βγάζουμε το απόλυτο χωρίς να αλλάξουμε τα πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο Αν f ( ) < τότε: f( ) < κοντά στο, οπότε βγάζουμε το απόλυτο αλλάζοντας τα πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο Αν f ( ) > τότε: 7

8 Παράδειγμα 5 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: α) β) ( τρόποι επίλυσης) α) Α Τρόπος: Θέτουμε ω 6 οπότε επίσης για τότε Έτσι έχουμε: ω και ω 6 ω 6 ω ( ) 6 ω 6 6 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω 6 Β Τρόπος: Οπότε ( ) έτσι: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) ) 6 β) Τα υπόριζα είναι διαφορετικά αλλά τότε θα προσθαφαιρέσουμε το και θα χωρίσουμε το κλάσμα σε δύο Έτσι έχουμε: Αφού τα δύο όρια είναι ίσα με 8

9 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )(( ) ) ( )( ) ( ) 6 ( ) Μεθοδολογία α) Περίπτωση απροσδιοριστίας, όπου έχουμε ρίζες διαφορετικής τάξης Αν τα υπόριζα είναι ίδια μπορούμε να θέσουμε ως u την ρίζα, που θα έχει τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών Αφού υπολογίσουμε το u που θα τείνει το u όταν το Αλλιώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες άθροισμα κύβων ή διαφορά κύβων β) Περίπτωση απροσδιοριστίας όπου έχουμε ρίζες διαφορετικής ή ίδιας τάξης Αν τα υπόριζα είναι διαφορετικά και τα δυο ριζικά έχουν το ίδιο όριο του, τότε προσθέτουμε και αφαιρούμε αυτό το κοινό όριο στον αριθμητή του κλάσματος και χωρίζουμε το κλάσμα σε δυο 9

10 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f() α β Αν το f (), να βρείτε τα α, β R α β Επειδή f() α β f() ( ) υπάρχουν τα όρια έχουμε: α β f () αβ βα (), με την προϋπόθεση ότι Τώρα επειδή () α β f () αα αα ( )( ) ( ) α α α α α 4 α α Και από την () τώρα θα έχουμε: β β 5 Μεθοδολογία Αν η f είναι ρητή συνάρτηση η οποία έχει κάποιες παραμέτρους και ζητάμε να τις βρούμε έτσι ώστε να έχει η f όριο όταν το τείνει στο, από τον τύπο της f κάνουμε χιαστί και μετά παίρνουμε όρια

11 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση α β, f() α β 6, > Nα βρείτε τα α, β R, έτσι ώστε το f () Επειδή το στο οποίο έχουμε το όριο είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, θα πάρουμε πλευρικά όρια Για να ισχύει Έτσι έχουμε: f () θα πρέπει f () f () () f () α β 6 α β 6 f () α β αβ και Οπότε από την () θα έχουμε: α β 6 α β () και και αβ αβ () Από την () προκύπτει: βα (4) Οπότε η () γίνεται: α α ( ) α4α α5 α 5 Και από την (4) θα έχω: β 5 β 9 Μεθοδολογία Όταν θέλουμε να βρούμε το όριο σε ένα σημείο μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου, και το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος, παίρνουμε πλευρικά όρια

12 Παράδειγμα Να υπολογίσετε, αν υπάρχει το όριο: 4 Παρατηρούμε ότι τα: 4 και Δηλαδή το όριο έχει τη μορφή, άρα θα πρέπει να βγάλουμε τα απόλυτα Επειδή το μηδενίζει το, θα πάρουμε πλευρικά όρια Όταν το, θα ισχύει: >, οπότε θα έχουμε: <, >, > Άρα:, και Οπότε το όριο γίνεται: ( ) Όταν το τώρα θα ισχύει <, οπότε θα έχουμε: <, >, < Άρα:, και Οπότε το όριο γίνεται: 4 4 4

13 ( ) Δηλαδή τα δύο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, άρα το 4 δεν υπάρχει Μεθοδολογία Αν το όριο f () καταλήγει στη μορφή πρέπει να τα απαλείψουμε και ο τύπος της f() περιέχει απόλυτα θα Αν το δεν μηδενίζει τις συναρτήσεις που είναι μέσα στα απόλυτα, τότε τα βγάζουμε σύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων Δηλαδή: Αν f () >, τότε f() > κοντά στο, δηλαδή βγάζουμε το απόλυτο χωρίς να αλλάξουμε τα πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο, ενώ αν f () <, τότε f() < κοντά στο, δηλαδή βγάζουμε το απόλυτο αλλάζοντας τα πρόσημα της συνάρτησης μέσα στο απόλυτο Αν το τώρα μηδενίζει τη συνάρτηση που είναι μέσα σε κάποιο απόλυτο, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια χρησιμοποιώντας τις παραπάνω δύο ιδιότητες των ορίων

14 Παράδειγμα 4 Να υπολογίσετε το όριο: και το ( ) το όριό μας είναι της μορφής, Παρατηρούμε ότι οι δύο ρίζες είναι διαφορετικής τάξης, οπότε θέτουμε ως u τη ρίζα που έχει 6 βαθμό το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των βαθμών των ριζών, δηλαδή u (), οπότε 6 όταν το, το u Επειδή το οπότε θα εμφανίσουμε στον αριθμητή τον παράγοντα ( ) Από την () επίσης προκύπτει ότι: Οπότε, το όριο γίνεται: u, u 6 και u u u u u u u u 6 u 6 () Παραγοντοποιούμε αριθμητή με σχήμα Horner: οπότε ο αριθμητής γίνεται: ( u )( u u ) Ομοίως για τον παρονομαστή, θα έχουμε: 5 4 και έτσι ο παρονομαστής θα γίνει: ( u )( u u u u u ) 4

15 Τότε το όριο () γίνεται: ( u 5 4 )( u u u u u ) u u u u u 5 u u u 5 u 4 u u u 6 Μεθοδολογία Όταν έχουμε ρίζες διαφορετικής τάξης, μπορούμε να θέσουμε ως u τη ρίζα που θα έχει τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών, και αφού υπολογίσουμε το u που θα τείνει το u όταν το, θα οδηγηθούμε σε ένα όριο πηλίκου πολυωνυμικών συναρτήσεων, τις οποίες και θα παραγοντοποιήσουμε 5

16 Παράδειγμα 5 Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: i) 5 6 ii) iii) 4 iv) 5 v) i) Έστω η συνάρτηση: f( ) Επειδή το 5 6, για, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου Παρατηρούμε όμως ότι για μηδενίζονται και οι δυο όροι του κλάσματος, έτσι φτάνουμε σε απροσδιοριστία της μορφής που πρέπει να άρουμε Αυτό επιτυγχάνεται παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή, οπότε εμφανίζεται ο παράγοντας που στη συνέχεια απλοποιούμε Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή 5 6 ( )( ) 5 6 Οπότε η συνάρτηση f( ) 5 6 ( )( ) Επομένως, f f, για γράφεται: ii) Για μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος, έτσι φτάνουμε σε απροσδιοριστία της μορφής που πρέπει να άρουμε Αυτό επιτυγχάνεται παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή, οπότε εμφανίζεται ο παράγοντας που στη συνέχεια απλοποιούμε Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή με σχήμα Horner 6

17 Οπότε ο αριθμητής γίνεται: ( )( ) Για τον παρονομαστή, πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή και έτσι έχουμε: ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 8 iii) Για μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση του αριθμητή και έτσι έχουμε: 4 ( 4 )( 4 ) ( ) ( )

18 iv) Για μηδενίζονται οι όροι του κλάσματος Έχουμε κυβική ρίζα, μπορούμε να κάνουμε χρήση της ταυτότητας: α β α β α αβ β ή α β Επομένως, αβ α αβ β ( ) ( )( )( ) ( () ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 8 h v) Έστω η συνάρτηση: 5 4, με D h, Για μηδενίζονται οι παρανομαστές των ρητών παραστάσεων της h, και επειδή δεν υπάρχει το όριο των επιμέρους ρητών παραστάσεων, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των ορίων οπότε θα κάνουμε τις πράξεις και μετά θα υπολογίσουμε το όριο 5 h Επομένως, 5 ( )( 4 ) ( )

19 Μεθοδολογία ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ i) Αν το όριο μιας ρητής συνάρτησης όταν το τείνει στο οδηγεί σε απροσδιοριστία της μορφής, τότε με κάποια από τις μεθόδους παραγοντοποίησης δημιουργούμε σε αριθμητή και παρονομαστή τον παράγοντα και τον απλοποιούμε Αρχικά λοιπόν, όταν πάμε να βρούμε το όριο μιας ρητής συνάρτησης f( ) αντικαθιστούμε το με το και αν καταλήξουμε σε απροσδιοριστία της μορφής, όπου P( ) και K( ) τότε ο P( ) ( ) Q( ) και K( ) ( ) H( ) P( ) ( ) Q( ) Q( ) Επομένως, f( ) K( ) ( ) H( ) H( ) ( ) ( ) P, πάντα K θα είναι παράγοντας τους και θα ισχύει: άρα, P Q Q f ( ) K H H Σημείωση η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί ii) έως iv) Όταν έχουμε τετραγωνικές ρίζες πολλαπλασιάζουμε αριθμητή ή παρονομαστή ή και τους δύο όρους του κλάσματος με τις συζυγείς παραστάσεις των άρρητων όρων, ούτως ώστε να δημιουργηθεί η ταυτότητα αβ αβ α β Ομοίως όταν έχουμε κυβικές ρίζες μπορούμε να κάνουμε χρήση των ταυτοτήτων: α β ( αβ)( α αββ ) ή αβ α β α αβ β ή α β ( αβ)( α αββ ) ή α β α β α αβ β v) Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε το ( f ( ) g( ) ) και δεν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των ορίων οπότε θα κάνουμε τις πράξεις και μετά θα υπολογίσουμε το όριο 9

20 Παράδειγμα 6 g 4 α β Έχουμε την συνάρτηση g() 5 4 Να βρείτε τα α, β ώστε g() 8, και Έχουμε g() 8, οπότε 6 4 αβ 8 βα 6 () Επίσης () g() 4 ( α ) β α α α α ( )(5 ) α ( ) ( )[(5 ) α] ( )( 7) ( )( 7) 5 α 7 α δηλαδή: 7 α 9 α 6, 7 οπότε από την () έχουμε β 8 Μεθοδολογία Όταν δίνεται η συνάρτηση g συναρτήσει παραμέτρων, τις οποίες θέλουμε να υπολογίσουμε και ισχύει o k( ) g( ) h( ) g( ) λ, h( ) και α, τότε υπολογίζοντας τα όρια καταλήγουμε σε σύστημα από το οποίο βρίσκουμε τις παραμέτρους

21 Παράδειγμα 7 Να βρείτε τα, α β ώστε να υπάρχει το f ( ) και να είναι πραγματικός αριθμός με: f( ) α β < α β > 5, 5 4 ln, Παρατηρούμε ότι στο αλλάζει τύπο η συνάρτηση οπότε θα πάρουμε πλευρικά όρια δηλαδή: Για να υπάρχει το f ( ), θα πρέπει: f ( ) f ( ) Για < είναι: f ( ) 5 α β, οπότε f ( ) 5 α β Για > είναι: f 4 ln f α4β 5 α β, οπότε Επομένως, 5α β α4β α α β 4β 4 α β α και β Μεθοδολογία Όταν δίνεται συνάρτηση πολλαπλού τύπου της οποίας υπάρχουν τα όρια στα σημεία στα οποία αλλάζει τύπο, αυτό σημαίνει ότι τα πλευρικά όρια στα σημεία αυτά είναι ίσα

22 Παράδειγμα 8 Να υπολογίσετε αν υπάρχει το όριο: 5 Παρατηρούμε ότι: ( 5 ) και Δηλαδή το όριο είναι της μορφής, θα πρέπει να βγάλουμε τα απόλυτα Επειδή το μηδενίζει το, θα πάρουμε πλευρικά όρια Όταν το, ισχύει < οπότε θα έχουμε: < και 5 < Άρα και 5 5 Έτσι: ( )( ) 5 4 Όταν το, ισχύει > οπότε θα έχουμε: > και 5 < Άρα και 5 5 Έτσι: ( )( ) Αφού 5 άρα δεν υπάρχει το Μεθοδολογία Αν το όριο f ( ) και ο τύπος της f( ) περιέχει απόλυτα, θα πρέπει είναι της μορφής να τα απαλείψουμε Αν το μηδενίζει την παράσταση που είναι μέσα σε κάποιο απόλυτο, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια

23 Παράδειγμα 9 α) Έστω f,g: 5f 7g 4 f g και, αν, να βρείτε τα f ( ) και g ( ) f β) Έστω f,g:, αν να βρείτε το f ( ) g ( ) και g 8 4, f( ) γ) Έστω f: με α και Να βρείτε το α και το f ( ) 4f f f α) Θέτουμε h ( ) f ( ) g ( ) με και k ( ) 5f ( ) 7g ( ) με k ( ) 4 h Έτσι έχουμε: f ( ) g ( ) h ( ) 5 f 5g 5h 5f ( ) 7g( ) k ( ) f 4g k g 5 h k, Άρα οπότε g ( ) 5h ( ) k ( ) 5 h ( ) k ( ) h ( ) g ( ) Ακόμα f( ), έτσι h ( ) g ( ) β) Α Τρόπος: f( ) Θέτουμε h( ) f h και k( ) g( )( 8) g( ) k( ) f 8 για για Έτσι για έχουμε: k( ) f( ) g( ) h ( )( ) 8 k( ) h( )( ) k( ) h( ) ( )( 4) 4 k( ) h( ) 4 Επομένως, f ( ) g ( ) 4 h, με k 4, με Β Τρόπος: Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με κατάλληλους όρους

24 ώστε να δημιουργήσουμε τις δοσμένες σχέσεις δηλαδή, ( ) g( )( 8) f f ( ) g ( ) 8 ( ( )) f g 8 8 ( ( )) f g 8 4 f g ( )( 8) 4 4 γ) Για : 4f f f έχουμε: 4f f f f f f 4 f f f Επομένως, 4 f( ) και αφού α, τότε: Με σχήμα Horner 4α α α 4α α α 4α α α α 4α 5α α αφού 4α 5α Έτσι έχουμε Ακόμα f( ) f f f 4

25 f Επομένως Μεθοδολογία α),β) Αν δίνονται τα όρια των συναρτήσεων h( ), k( ) του οι οποίες είναι γραμμένες ως συνδυασμός των f,g και ζητάμε τα όρια των f,g του, τότε ΔΕΝ μπορούμε να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων για την εύρεση τους, αφού δεν ξέρουμε ακόμα αν υπάρχουν Γι αυτό λύνουμε το σύστημα των h( ), k( ) ως προς f( ), g( ) και έπειτα βρίσκουμε τα όρια Ή πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με κατάλληλους όρους ώστε να δημιουργήσουμε τις δοσμένες σχέσεις f( ) γ) Όταν δίνεται το και μια ισότητα στην οποία περιέχονται δυνάμεις f διαιρούμε τη δοσμένη συνθήκη της f( ), για να βρούμε το με κατάλληλη δύναμη του, ούτως ώστε να δημιουργηθούν δυνάμεις του f() που γνωρίζουμε το όριο τους 5

26 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση z z ( z z ) i γ f(), < Im( z) 5Re( z) 4,, όπου zαβ i Να βρείτε τα α, β, γ, όταν το f () παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α (,) είναι πραγματικός αριθμός και η γραφική Έχουμε z αβ i οπότε και z z αβi( αβ i) β i ( i) z z αβ i αβ α Επομένως α βγ, < f() β 5 α 4, Αφού υπάρχει το f () και είναι πραγματικός αριθμός ισχύει: f () f () () Για < είναι οπότε α f() βγ f()( ) α β γ, Άρα f ( )( ) ( α β γ ), οπότε 4 4 α βγ 4 4 γ α β () Επομένως ( ) 4 4 α β γ α β α β α 4 β α β α αβ 4αβ Για > είναι f() β 5α 4, οπότε f () 4βα 4 6

27 Επομένως () 4αβ 4β α 4 α46β 4 7αβ () Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (, ) τότε ισχύει: f () 9β5α 4 5α 9β 6 5α β (4) Από () και (4) παίρνουμε α και β 4 και από () γ 8 γ Μεθοδολογία Όταν υπάρχει, το όριο στο μιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου, και το είναι το σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος, παίρνουμε πλευρικά όρια τα οποία είναι ίσα Ημερομηνία τροποποίησης: 6// 7