56. РЕПУБЛИЧКИ НАТПРЕВАР ПО ФИЗИКА 03 Скопје, мај 03 I година (решенија на задачите) Задача. Експресен воз го поминал растојанието помеѓу две соседни станици, кое изнесува, 5 km, за време од 5 min. Во првите 5 min по тргнувањето од станицата возот се движел рамномерно забрзано, а потоа се движел рамномерно забавено се додека не запрел пристигнувајќи на следната станица. Определете ја максималната брзина што ја постигнал возот. Решение: Растојанието помеѓу станиците ќе го прикажеме како = + () каде што е делот од патот што возот го поминал движејќи се рамномерно забрзано, а е делот што го поминал движејќи се рамномерно забавено. За првиот дел од патот важи: at =, () а, за вториот at = 0t, (3) каде што a и a се модулите на забрзувањата на возот на првиот и вториот дел од патот соодветно, а t и t се времетраењата на одделните движења. Според условот на задачата t = 5 min, а t = t t 0 min. При запишување на релациите () и () е земено предвид дека возот тргнал од = мирување од првата станица т.е. дека неговата почетна брзина е 0 = 0, додека на вториот дел од патот тој забавувал тргнувајќи од некоја некоја почетна брзина. 0 Брзината е всушност бараната максимална брзина што возот ја постигнал во текот на движењето. Неа можеме да изразиме на следниве два начина: - за првиот дел од патот важи: 0 = at (4а) - за вториот дел од патот важи: 0 = 0 at односно 0 = at. (4б) Изедначувајќи ги десните страни на (4а) и (4б) добиваме t at 0 a =. (5) Сега можеме врз основа на претходните релации да запишеме: од каде што наоѓаме t = + 0t = + att = + 0 ( t + t t ) = ( t t ) Решенија на задачите за I година
m km max 0 = = 30 = 08. t + t h Втор начин: Брзината на возот со текот на времето се менувала како на графикот прикажан на сл. р. Ако се има предвид дека вкупниот изминат пат е еднаков на плоштината на фигурата формирана помеѓу графикот на брзината и апцисната оска, можеме веднаш да запишеме: max t =, од каде што следува, 0 0 0 t (min) km max = = 08. Сл. р t h 60 max 50 (km/h) 40 30 0 0 0 30 Решенија на задачите за I година
Задача. На едниот крај од нерастеглив конец со должина l е врзано топче со маса m, а другиот крај му е прицврстен во точката О (види сл. ). Под точката О, на истата вертикала со неа, од ѕидот излегува тенка метална прачка. Системот го доведуваме во положба во која конецот е хоризантално поставен (види сл. ) и оттаму го пуштаме да се движи. Во моментот кога конецот ќе дојде во вертикална положба тој ќе удри во прачката. На колкаво минимално растојание од точката О треба да се наоѓа прачката за да конецот се скине кога ќе удри во неа? Максималната сила на затегнување која конецот може да ја издржи е Т 0. Бараното растојание да се изрази преку величините l, m и Т 0. m l Сл. О x Решение: Од моментот на пуштање, па се до моментот кога конецот ќе се постави во вертикална положба топчето се движи по кружен лак со радиус еднаков на должината на конецот. Притоа нему му дејствуваат две сили: силата тежа mg и силата на затегнување на конецот T. Силата тежа е конзервативна сила, а силата на затегнување на конецот за цело време е нормална на патеката на движење на топчето (значи дека не врши работа), па оттука следува дека вкупната механичка енергија на топчето се запазува. Применувајќи го законот за запазување на механичката енергија и имајќи предвид дека во почетната положба топчето има само потенцијална енергија (тргнува од мирување) имаме: m mgl =, () каде што е брзината на топчето во моментот кога конецот удира во металната прачка. При запишување на релацијата () за референтно ниво во однос на кое ја изразуваме потенцијалната енергија ја користевме најниската положба на топчето, па затоа на десната страна во () се појавува само неговата кинетичка енергија. Од () за брзината наоѓаме: = gl. () О Од моментот кога конецот ќе удри во прачката, топчето почнува да се движи по кружна патека со радиус = l x (сл. р). Неговото центрипетално забрзување се должи на резултантата од силите кои дејствуваат долж нормалата на патеката (таа се совпаѓа со правецот на конецот), па согласно Вториот Њутнов закон имаме: x l-x T T mg coθ = m. (3) l x Равенката (3) запишана за моментот кога конецот удира во прачката ( θ = 0 ) изгледа вака T mg = m, (4) l x mg Сл. р θ од каде што, имајќи ја предвид релацијата (), за силата на затегнување на конецот во дадениот момент се добива: mgl T = mg + m = mg +. (5) l x l x Решенија на задачите за I година 3
За да се скине конецот во тој момент, треба mgl l T = mg + = mg + > T0, (6) l x l x а тоа ќе биде исполнето ако растојанието x го задоволува условот l T0 lmg + > ; l x < ;. l x mg T mg односно mg x > l. T0 mg 0 Решенија на задачите за I година 4
Задача 3. Плочка со маса m се движи по хоризонтална подлога и удира во друга плочка со маса,5m која мирува. После судирот првата плочка продолжува да се движи под прав агол во однос на својот првобитен правец на движење и поминува растојание =,5 m додека не запре. Втората плочка до запирањето поминува пат = 4 m. Колкава била брзината на првата плочка непосредно пред судирот? Коефициентот на триење помеѓу подлогата и плочките е ист за двете плочки и изнесува μ = 0,7. Решение: Брзините на плочките непосредно пред судирот ќе ги означиме со и, а веднаш по судирот со u и u. Индексот се однесува на првата, а индексот на втората плочка. Бидејќи според условот на задачата = 0, вкупниот импулс на системот од плочки пред судирот бил p = m (сл. 3р лево), а непосредно по судирот, кога двете плочки се разлетуваат, тој изнесува p = mu +, 5mu (сл. 3р десно). Согласно законот за запазување на импулсот следува: p = p односно m = mu +, 5mu () p = m пред судирот, 5mu Сл. 3р p mu по судирот Имајќи ја предвид геометријата на движењето (првата плочка по судирот скршнува за 90 ) од горната векторска равенка се добива: (, 5mu ) ( m ) + ( mu ) =, од каде што за брзината на првата плочка пред судирот имаме: =, 5u u. () Врската помеѓу брзините на плочките непосредно по судирот, u и u, и патиштата што ги поминуваат до запирање, и, може да се најде на следниов начин. Кинетичката енергија што секоја од плочките ја има непосредно по судирот целосно се троши за совладување на силата на триење т.е. таа е еднаква на работата што ја врши силата на триење: mu = A mu = F t mu = μmg На сличен начин за втората плочка се добива: u = μg u = μg Со замена на (3) и (4) во () ја наоѓаме бараната брзина : m = μ g( 4, 5 ) = 5, 00.. (3). (4) Решенија на задачите за I година 5
Задача 4. Во топлински изолиран цилиндричен сад на растојание h од дното на садот се наоѓа клип со маса m којшто е обесен за конец (види сл. 4). Под клипот, во садот, се наоѓа мол гас. На почетокот, притисокот на гасот е еднаков на надворешниот (атмосферски) притисок p 0, а температурата на гасот е Т 0. Гасот потоа се загрева со електричен грејач. Колкаво количество на топлина треба да прими гасот за клипот да се искачи на висина h? Да се земе дека промената на внатрешната енергија на гасот при неговото ширење изнесува, каде што Т и Т се h почетната и крајната температура на гасот, соодветно, а C V е моларниот топлински капацитет на гасот при константен волумен (изохорен процес). Сл. 4 Решение: На почетокот, притисокот на гасот под клипот е еднаков на надворешниот притисок, што значи дека тежината на клипот е сконпензирана со силата на затегнување на конецот. Со примање на топлина од грејачот, гасот се шири, клипот се крева нагоре, и во конечната состојба конецот веќе нема да биде затегнат. Притисокот на гасот во крајната состојба е, а волуменот е, каде што S е плоштината на базисот на цилиндричниот сад (еднаква на плоштината на базисот на клипот). Равенката на состојбата на гасот во почетната состојба е а во крајната состојба од каде што за крајната температура на гасот се добива Промената на внатрешната енергија на гасот при неговото ширење изнесува При неговото ширење, гасот врши работа против тежината на клипот и против силите на надворешниот притисок, па работата изнесува Количеството на топлина што притоа треба да ја прими гасот изнесува Решенија на задачите за I година 6
Задача 5. Капиларна цевка чијшто горен дел е затворен, е поставена вертикално со отворениот дел надолу во сад со вода. За нивото на водата во капиларната цевка да биде исто со нивото на водата во садот, цевката мора да се потопи во садот за,5 % од својата должина. Да се најде внатрешниот радиус на капиларната цевка. Атмосферскиот притисок изнесува 00 kpa, квасењето е потполно, а температурата е константна. Решение: Притисокот на воздухот во капиларната цевка пред нејзиното потопување во вода бил атмосферски (p 0 ). Кога капиларата ќе се потопи, воздухот во неа се компримира, па притисокот се зголемува. Бидејќи нивото на водата во капиларата е еднакво со нивото на водата во садот во којшто таа е потопена, тогаш притисокот од долната страна на менискусот е еднаков на атмосферскиот притисок, а притисокот на воздухот над менискусот (во капиларата) изнесува каде што α е коефициентот на површински напон на водата, а R е внатрешниот радиус на капиларната цевка. Бидејќи температурата е константна, ќе важи каде што и е волуменот на гасот во капиларата пред и по потопувањето (S е напречниот пресек на капиларата, а l е нејзината должина). Оттука следува Следствено, за радиусот на капиларата се добива Решенија на задачите за I година 7