Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 4: Δίκτυα Συστημάτων Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής
Γιατί δίκτυα συστημάτων αναμονής; Τα απλά συστήματα αναμονής μπορούν να χρησιμοποιηθούν είτε ως μοντέλα μελέτης ενός πόρου κάποιου πληροφοριακού συστήματος, ή ως μοντέλα για μια μακροσκοπική μελέτη του συστήματος θεωρώντας το έναν πόρο. Τα δίκτυα συστημάτων αναμονής μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μοντέλα για πολύπλοκα πληροφοριακά συστήματα που περιέχουν περισσότερους από έναν πόρους και στα οποία οι «πελάτες» μετακινούνται από τον έναν πόρο στον άλλο.
Παράδειγμα Ανοικτό Δίκτυο Αναχωρήσεις από το δίκτυο Δίσκος Α Αφίξεις στο δίκτυο CPU Δίσκος Β 3
Παράδειγμα Κλειστό Δίκτυο Ν πελάτες Δίσκος Α CPU Δίσκος Β Cetral Server odel 4
Ορισμοί Δίκτυο συστημάτων αναμονής είναι μια συλλογή απλών συστημάτων αναμονής, στην οποία κάθε «πελάτης» που αναχωρεί από ένα απλό σύστημα, μετακινείται σε κάποιο άλλο πιθανώς το ίδιο, ή αναχωρεί από το δίκτυο, αν αυτό επιτρέπεται. Ανοικτό δίκτυο συστημάτων αναμονής είναι αυτό στο οποίο επιτρέπονται αφίξεις από το περιβάλλον του δικτύου και αναχωρήσεις προς το περιβάλλον. Κλειστό δίκτυο είναι αυτό στο οποίο δεν επιτρέπονται αφίξεις και αναχωρήσεις, αλλά διατηρείται ένας σταθερός αριθμός Ν μετακινούμενων «πελατών». 5
Περιγραφή δικτύων συστημάτων αναμονής Ένα δίκτυο συστημάτων αναμονής, μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο Μ σταθμών. Κάθε σταθμός αναπαριστά κάποια παροχή υπηρεσίας με τη βοήθεια c servers στο σταθμό, =,,3,,. Γενικά, οι πελάτες μπορούν να αφιχθούν από το περιβάλλον στο δίκτυο σε οποιοδήποτε σταθμό και να εγκαταλείψουν το σύστημα από οποιοδήποτε σταθμό. Μπορούν να διασχίσουν το σύστημα από διαφορετικά μονοπάτια κάθε φορά. Μπορούν να επιστρέψουν σε σταθμούς που έχουν προηγουμένως επισκεφτεί, να παραλείψουν εντελώς κάποιους από αυτούς, ή ακόμα να επιλέξουν να παραμείνουν στο σύστημα για πάντα 6
Δίκτυα Jackso Οι αφίξεις από το περιβάλλον στο σταθμό ουρές μήκους ακολουθούν μία διαδικασία Posso με μέσο ρυθμό γ Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ίδιοι στους servers κάθε σταθμού, ανεξάρτητοι και εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο μ θεωρούμε server ανά σταθμό, εύκολα > Η πιθανότητα ένας πελάτης που τελείωσε την εξυπηρέτηση του στον σταθμό, να πάει στο σταθμό routg probablty, είναι r ανεξάρτητη από την κατάσταση του συστήματος με =,,,, =,,,. Η πιθανότητα r 0 υποδεικνύει την πιθανότητα ο πελάτης να αναχωρήσει από το δίκτυο, από το σταθμό. Κλειστά Δίκτυα Jackso: γ = 0 για όλα τα κανένας πελάτης δεν μπορεί να εισέλθει στο δίκτυο r 0 = 0 για όλα τα κανένας πελάτης δεν μπορεί να αναχωρήσει από το δίκτυο 7
Ανοιχτά δίκτυα Jackso Σύστημα arkov Ζητάμε λύση Μόνιμης κατάστασης τυχαία μεταβλητή για τον αριθμό πελατών στο σταθμό Θέλουμε Βασική κατάσταση: Pr{,,..., } p,,...,,,...,,...,,..., Κατάσταση Συμβολισμός,,...,,...,,...,,,...,,...,,...,,,...,,...,,...,,,...,,...,,..., ; ; ; 8
Παράδειγμα Ανοικτό Δίκτυο r 0 r Δίσκος Α r r = μ γ μ CPU r 3 μ 3 Δίσκος Β r 3 = 9
Ανοιχτά δίκτυα Jackso Νόμος διατήρησης της ροής πιθανότητας Εξίσωση : p r p r p p ; rp ; 0 ; Προς την κατάσταση Από την 0 0,0,,0 Για την κατάσταση : p 0 r 0 p 0; Και η προφανής σχέση: p ό 0
Ανοιχτά δίκτυα Jackso 3 Έστω λ ο συνολικός ενεργός effectve μέσος ρυθμός αφίξεων στο σταθμό throughput. Ισχύει r Ορίζουμε για =,,3,, Η λύση στη μόνιμη κατάσταση λύση μορφής γινομένου:,,..., p p... Το δίκτυο συμπεριφέρεται σαν κάθε σταθμός του να είναι ένα ανεξάρτητο Μ/Μ/ με παραμέτρους λ και μ Η συνολική κατανομή πιθανότητας μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο των λύσεων των επί μέρους Μ/Μ/ Στην πραγματικότητα δεν είναι Μ/Μ/ τα επί μέρους συστήματα λόγω των πιθανών αναδράσεων στη δρομολόγηση
Παράδειγμα Ανοικτό Δίκτυο r 0 r Δίσκος Α r r = μ γ μ CPU λ λ r 3 μ 3 Δίσκος Β r 3 = λ 3
Ανοιχτά δίκτυα Jackso 4 Για να αποδείξουμε ότι η λύση με C ικανοποιεί την εξίσωση ροής πιθανότητας, βάζουμε τη λύση στην Εξίσωση : με έχουμε p CR Για το C:... R.. p C ΙΣΧΥΕΙ...? ; r ; r 0 ; r CR CR CR CR CR? r 0 p C για ολα τα 0 0 0...... C..... 3
Κλειστά δίκτυα Jackso Έχουμε ένα πεπερασμένο αριθμό από Ν πελάτες, που ταξιδεύουν μέσα στο δίκτυο με τους Μ σταθμούς. Για γ = 0 και r 0 = 0, η Εξίσωση γίνεται: Oι ordo και ewell 967 απέδειξαν ότι και η λύση των κλειστών δικτύων είναι μορφής γινομένου product for: Εξίσωση Τα ρ είναι οι σχετικές χρησιμοποιήσεις, και υπολογίζονται από τις εξισώσεις: r p ; r p p C... C r Εξίσωση 4
5 Κλειστά δίκτυα Jackso Το C υπολογίζεται από την: Η λύση αυτή, συνήθως γράφεται: = /C ώστε: όπου: Γενικά, υπάρχουν τρόποι κατανομής Ν πελατών σε Μ κόμβους. Για μεγάλα Ν, Μ, δύσκολος ο υπολογισμός. Αλγόριθμος; C............ C ό p p p...,...,,......
6 Αλγόριθμος του Buze Για τον υπολογισμό του ορίζεται η βοηθητική συνάρτηση αν = και =, δηλαδή Ισχύει: g... g g 0... 0...... g... 0...
Αλγόριθμος του Buze Δηλαδή: g Οι αρχικές τιμές για την είναι: Αλγόριθμος: g g g g 0 0,,, g 0,,, Κανένας Σταθμός Κανένας Πελάτης for to do for to do 7
Αλγόριθμος του Buze 3 ΒΗΜΑ : Υπολογισμός των ρ από τις Εξισώσεις : r Τα ρ είναι οι σχετικές χρησιμοποιήσεις των σταθμών του δικτύου. Θέτουμε κάποιο ρ = για να βρούμε τα υπόλοιπα σε σχέση με αυτό. 8
Αλγόριθμος του Buze 4 ΒΗΜΑ : [Υπολογισμός του ] Σταθμοί... Πελάτες 0 g0 g 0.. g 0.. 0 0 g g..... g g g..... g 3 3 g3 g 3............... -.... g.. g g... g g............ -....... g Ν g...... g 9
0 Αλγόριθμος του Buze 5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ [έχουμε όλα τα 0,,, Ν] P P P P
Αλγόριθμος του Buze 6 Χρησιμοποίηση απόλυτη τιμή: Μέσος αριθμός εργασιών σε ένα σταθμό:, l l P l k k P U P E
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.0. 4
Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Πανεπιστήμιο Πατρών, Ιωάννης Γαροφαλάκης, 05. «Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων». Έκδοση:.0. Πάτρα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ceid093/. 5
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Coos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creatvecoos.org/lceses/by-c-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 6