Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης Ενότητα 2: Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Μιχαήλ Λογοθέτης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Συνιστώμενο Βιβλίο: Εκδόσεις : Παπασωτηρίου Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές Μιχαήλ Δ. Λογοθέτη Δεύτερη Έκδοση Το βιβλίο αυτό απευθύνεται κατ' αρχήν σε τηλεπικοινωνιακούς μηχανικούς και μηχανικούς Η/Υ. Δεδομένης όμως της διεισδυτικότητας της Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως στον γενικότερο επιστημονικό τομέα των μηχανικών, συνιστάται η γνώση του αντικειμένου του βιβλίου αυτού σ' όλους τους Ηλεκτρολόγους/Ηλεκτρονικούς Μηχανικούς και ιδιαιτέρως σε όλους όσους εξειδικεύονται στον τομέα των τηλεπικοινωνιακών δικτύων ή δικτύων υπολογιστών ως διαχειριστές, αναλυτές ή σχεδιαστές. Πρόθεση του συγγραφέα είναι το βιβλίο αυτό να αποτελέσει εγχειρίδιο μελέτης για προπτυχιακούς φοιτητές. Συνιστάται δε ως βασικό υπόβαθρο στους φοιτητές που ενδιαφέρονται να ακολουθήσουν μεταπτυχιακές σπουδές στους προαναφερθέντες τομείς. Copyright 22 Α. Παπασωτηρίου & ΣΙΑ Ο.Ε. Μιχαήλ Δ. Λογοθέτης 2
Σκοποί ενότητας Περιγραφή και ανάλυση μεθόδων βέλτιστου σχεδιασμού εναλλακτικής δρομολόγησης Περιγραφή και ανάλυση συστημάτων περιορισμένης διαθεσιμότητας 3
Περιεχόμενα ενότητας Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Βάσει της κλασσικής μεθόδου Βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως Βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας 4
Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Κλασσική μέθοδος () Στα συστήματα εναλλακτικής δρομολόγησης, αν αλλάξουμε την χωρητικότητα της ζεύξης υψηλής εκμετάλλευσης, αλλά διατηρήσουμε σταθερό το GOS, το «κόστος» του συστήματος θα αλλάξει, όπως φαίνεται στο σχήμα. κόστος συνολικό κόστος κόστος ΥΔ εναλλακτική οδός C, α, B C 2, κόστος ΕΔ A b C, α, οδός πρώτης επιλογής C αριθμός trunk στην ΥΔ 5
Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Κλασσική μέθοδος (2) Αρχικά θα μελετήσουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό του συστήματος εναλλακτικής δρομολόγησης που ελαχιστοποιεί το κόστος μέσω της κλασσικής μεθόδου. Κεντρική ιδέα της κλασσικής μεθόδου είναι ότι η κίνηση υπερροής δεν είναι μη τυχαία αλλά τυχαία. Έστω C, C και C 2 τα κόστη ανά trunk στην διαδρομή υψηλής εκμετάλλευσης Α C και στα τμήματα της εναλλακτικής διαδρομής Α Β και Β C αντιστοίχως, όπως φαίνεται στο σχήμα. κόστο ς συ νολ ικ ό κό στο ς κό στο ς ΥΔ εναλλακτική οδ ός C, α, B C 2, κό στο ς ΕΔ A b C, α, οδός πρώτης επιλογής C αρ ιθ μό ς trunk στην ΥΔ 6
Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Κλασσική μέθοδος (3) Δηλώνοντας το οριακό κόστος (marginal cot) ανά μονάδα φορτίου κίνησης (ανά erl) σε σχέση με το κόστος προσθήκης ενός trunk στην εναλλακτική διαδρομή (ΕΔ) με C Ε και στην διαδρομή υψηλής εκμετάλλευσης (ΥΔ) με C Υ, έχουμε τις σχέσεις: C C E Y ATC LTC όπου ATC είναι η χωρητικότητα του επιπρόσθετου trunk (Additional Trunk Capacity), και LTC η χωρητικότητα του τελευταίου trunk (Lat Trunk Capacity) που ορίσθηκαν στην ενότητα 3 (σχέσεις 32, 33). Η επαύξηση της χωρητικότητας της ΥΔ δικαιολογείται όσον C Υ C Ε. Σημείωση: Η αρίθμηση συνεχίζεται από την προηγούμενη ενότητα. C 2 σ C C (4) 7
Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Κλασσική μέθοδος (4) Ορίζουμε τον λόγο Κ του κόστους της ΕΔ προς το κόστος της ΥΔ: K C C 2 (5) C Τότε η συνθήκη για την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους είναι : ATC K (6) LTC καθόσον C Ε /C Υ = (C +C 2 )*LTC/(C *ATC)=Κ*(LTC/ATC)=Κ/(ATC/LTC), οπότε για να είναι C Ε C Υ πρέπει Κ ATC/LTC, δηλαδή ισχύει η (6). Αν α είναι το προσφερόμενο φορτίο και ο αριθμός των trunk της ΥΔ, τότε: LTC = α[e (α) E (α)] (7) 8
Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης Κλασσική μέθοδος (5) Παράδειγμα Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός των trunk στην διαδρομή υψηλής εκμετάλλευσης που καθιστά ελάχιστο το κόστος του συστήματος εναλλακτικής δρομολόγησης όταν το προσφερόμενο φορτίο κίνησης είναι α=5 erl, και ο λόγος κόστους Κ=.5; Στην πράξη χρησιμοποιείται ATC=.83 erl (για το αμερικάνικο ή το γιαπωνέζικο σύστημα PCM των 24 καναλιών). Τότε από την (6) έχουμε:.83 LTC. 55 erl.5 Υλοποιώντας την (7) στον Η/Υ βρίσκουμε το που ικανοποιεί την σχέση LTC.55. Το αποτέλεσμα είναι = 5.78. Άρα ο βέλτιστος αριθμός trunk είναι = 5. Σημείωση: Η υπόθεση ότι ATC=.83 erl αντιστοιχεί σε =24 trunk στα οποία προσφέρεται τυχαία κίνηση 5.29 erl και ο βαθμός εξυπηρέτησης είναι %. 9
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως () Χρησιμοποιώντας την ίδια συμβολογραφία όπως ανωτέρω, η θεωρία της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (ERT) διατυπώνεται ως εξής: b * = b + α = b( *,α * ), v * =v + α = v( *,α * ) B b όπου οι συναρτήσεις b(.,.) και v(.,.) ορίζονται από τις σχέσεις Wilkinon, (9). Μπορούμε να θεωρήσουμε την ακόλουθη συνάρτηση κόστους του συστήματος εναλλακτικής δρομολόγησης: f = + k (8) * * (9) * * b,, (2)
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (2) Επομένως ο βέλτιστος σχεδιασμός για την ελαχιστοποίηση του κόστους f με δεδομένη την πιθανότητα απωλείας κλήσεως, Β, στην τελική εναλλακτική διαδρομή, αντιστοιχεί σε πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού για την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης f, υπό τους περιορισμούς: g =b( *,α * ) b * = g 2 = v( *,α * ) v * = g 3 = b( * +,α * ) Β b( *,α * ) = (2) Οι περιορισμοί αυτοί προκύπτουν από την (9). Εισάγουμε τους πολλαπλασιαστές r, r 2 και r 3 κατά Lagrange, και θέτουμε: F = f + r g + r 2 g 2 + r 3 g 3 (22)
2 Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (3) Κατόπιν σχηματίζουμε τις μερικές παραγώγους: και λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων το οποίο υπό μορφή πίνακος έχει ως εξής:,,, * * F F F F k b v b b v b b v b 3 2 ' ' * a * a ' ' * * ' r r r Bb Bb a (23)
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (4) Επιλύοντας το σύστημα 23 έχουμε την συνθήκη ελαχιστοποίησης της f, υπό τον περιορισμό: k b ' * ' * ' * ' * b v b v v b b b b b B ' * * * * ' b b v b v b (24) όπου: b = b(, α )/ v = v(, α )/ b * x = b( *, α * )/ x * v * x = v( *, α * )/ x * b x = b( + *, α * )/ x * x = α, 3
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (5) Θέτοντας t= + α + b, οι ανωτέρω παράγωγοι υπολογίζονται από τις σχέσεις: b(, α)/ α = t b/a b(, α)/ = b Ψ+ v(, α)/ α = v/t t (b 2 v)/α (25) 2 2 2 b a / t v b / v(, a) / t όπου το Ψ + υπολογίζεται από την (27), κατωτέρω, που προκύπτει ως εξής: 4
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (6) Γράφοντας τον Β τύπο του Erlang υπό αναδρομική μορφή και λαμβάνοντας τις μερικές παραγώγους, προκύπτουν οι σχέσεις: E (α) = αε (α)/(+αε (α)), όπου Ε (α) =. όπου: E ( ) [ ( )] E E ( ) ( ) E ( ) ( ) (26) E( ) ( ) loge ( ) / E ( ) (27) 5
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (7) Παράδειγμα 2 Στο σχήμα που προέρχεται από το [], φαίνεται το αποτέλεσμα της βέλτιστης σχεδίασης ενός συστήματος εναλλακτικής δρομολόγησης, όταν το προσφερόμενο φορτίο κίνησης στην ζεύξη υψηλής εκμετάλλευσης είναι α = 5 erl και η πιθανότητα απωλείας κλήσεως στην τελική εναλλακτική διαδρομή είναι Β=.. Π.χ., με k=.5 και α = erl έχουμε βέλτιστο αριθμό trunk στην διαδρομή υψηλής εκμετάλλευσης = 5. Αυτό συμπίπτει με το αποτέλεσμα του παραδείγματος, όπου ο σχεδιασμός έγινε βάσει της κλασσικής μεθόδου. Το σχήμα περιλαμβάνει επίσης και τα αποτελέσματα της κλασσικής μεθόδου. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η κλασσική μέθοδος προκαλεί κάποιο σφάλμα για μικρές τιμές του k, π.χ. για k.3 που αντιστοιχεί στην περίπτωση της ψηφιακής μεταγωγής και μετάδοσης. [] Akimaru H. and Kawahima K., Teletraffic Theory and Application, Springer Verlag, 993. 6
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει της θεωρίας της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως (8) Παράδειγμα 2 (συνέχεια) 7
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών () Με την μέθοδο ERT υπολογίζουμε μία πιθανότητα απωλείας κλήσεως στην τελική (εναλλακτική) οδό για το σύνολο της κίνησης α και α. Αν υπολογίζαμε την πιθανότητα απωλείας κλήσεως στην τελική οδό ξεχωριστά για την κίνηση α και ξεχωριστά για την κίνηση α, θα διαπιστώναμε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο αυτών πιθανοτήτων. Αν θέλουμε να εξισορροπήσουμε τους δύο αυτούς βαθμούς εξυπηρέτησης, πρέπει να ενεργήσουμε ανάλογα με την περίπτωση της πολυδιάστατης κίνησης και να εφαρμόσουμε σύστημα δέσμευσης γραμμών (trunk reervation ytem). Θα δεσμεύσουμε ορισμένα trunk από την χωρητικότητα της τελικής (εναλλακτικής) οδού για να χρησιμοποιούνται αποκλειστικά για την τυχαία κίνηση α, ενώ τα υπόλοιπα θα τα έχουμε σε κοινή χρήση της τυχαίας κίνησης α και της κίνησης υπερροής b. 8
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών (2) Με το σύστημα δέσμευσης γραμμών δεσμεύομε 2 από τα trunk της εναλλακτικής διαδρομής για να χρησιμοποιούνται αποκλειστικά από το φορτίο κίνησης α (βλ. σχήμα). Έστω j και k οι αριθμοί των υπαρχουσών κλήσεων στην ζεύξη υψηλής εκμετάλευσης και στην ζεύξη τελικής διόδευσης, αντιστοίχως. α 2 k Εναλλακτική οδός r b α j Οδός υψηλής εκμετά λλευσης 9
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών (3) Θέτοντας r = 2, το σύστημα περιγράφεται ως εξής: () Η προσφερομένη τυχαία κίνηση (α ) στην οδό υψηλής εκμετάλλευσης ( ) διεκπεραιώνεται απ αυτήν αν j<, διαφορετικά αν j υπερρέει στην εναλλακτική οδό. (2) Στην εναλλακτική οδό ( ), οι κλήσεις της τυχαίας κίνησης (α ) εξυπηρετούνται ως κλήσεις προτεραιότητας αν k< ή φράσσονται και εγκαταλείπουν αμέσως το δίκτυο αν k. Οι κλήσεις της κίνησης υπερροής (b) εξυπηρετούνται αν k<r ή φράσσονται και χάνονται αν k r. 2
2 Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών (4) Συμβολίζοντας τις πιθανότητες απωλείας κλήσεως για φορτία α και α, ως Β και Β αντιστοίχως, αυτές υπολογίζονται ως εξής: όπου: και α=α +α, α 2 = α +b(,α ).! = P B,!! 2 r r j j a a a j a P B (28)!! ), (!! ), (!! 2 2 r j r j j r j j j r j j j a a a j a P a j b j a a a a j b j a a a P (29)
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών (5) Ο βέλτιστος σχεδιασμός που θα καθιστά ελάχιστο το συνολικό κόστος του συστήματος έχοντας ως προδιαγραφή ένα κοινό βαθμό εξυπηρέτησης για τα φορτία κίνησης α και α, γίνεται με παρόμοιο τρόπο αλλά με την βοήθεια της μεθόδου δέσμευσης γραμμών. Για μια προκαθορισμένη κοινή πιθανότητα απωλείας κλήσεως Β, έχουμε τους περιορισμούς ότι: g = B B =, g = B B = (3) Η συνάρτηση του σχετικού κόστους του συστήματος είναι: f = +k (3) 22
Βέλτιστος σχεδιασμός βάσει του συστήματος δέσμευσης γραμμών (6) Η συνθήκη που καθιστά ελάχιστο το f υπό τους περιορισμούς (3) είναι: k B B B B 2 2 B B B B 2 (32) 2 όπου το k ορίζεται από την σχέση (5) και τα B ij = B i / j (i,j =,,2) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις (μερικές) παραγώγους της Erlang B formula (26), (27). 23
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας () Όποιο κι αν είναι το κριτήριο διαστασιολόγησης των συστημάτων εξυπηρέτησης (π.χ. η πιθανότητα απωλείας κλήσεως ή ο μέσος χρόνος αναμονής) προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερους ρυθμούς άφιξης έχουμε, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόδοση (efficiency) του εξυπηρετητή. Αυτή η παρατήρηση είναι ένα καλό πρόσχημα για την συγκέντρωση της κίνησης, αλλά η συγκέντρωση με την σειρά της οδηγεί σε συγκρούσεις με άλλες απαιτήσεις. Σκεφτείτε π.χ. μια περιοχή με έναν αριθμό τηλεφωνικών κέντρων L,...,L m. Είναι δυνατόν να διασυνδέσουμε πολυγωνικώς αυτά τα κέντρα και να σχηματίσουμε ένα δίκτυο. Στην πολυγωνική αυτή σύνδεση δέσμες απ ευθείας γραμμών παρέχονται μεταξύ κάθε ζεύγους κέντρων. Αφ ενός μεν η κίνηση θα δρομολογείται μέσω της συντομότερης διαδρομής, αφ ετέρου όμως πολλές από αυτές τις δέσμες θα μεταφέρουν μικρή κίνηση και έτσι θα έχουν μικρές αποδόσεις. 24
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (2) Μία άλλη περίπτωση είναι η σύνδεσή τους σε δίκτυο υπό μορφή αστέρα. Όλα τα κέντρα συνδέονται σε ένα κεντρικό κόμβο C μέσω δύο δεσμών γραμμών, μία για κάθε κατεύθυνση. Έτσι μία σύνδεση L i L j δρομολογείται ως L i CL j. Χρησιμοποιείται έτσι μεγάλο μήκος καλωδίου, αλλά οι ομάδες των γραμμών είναι λιγότερες, μεταφέρουν περισσότερη κίνηση και έτσι η απόδοση είναι καλύτερη απ ό,τι στο πολυγωνικό δίκτυο. Η συνηθισμένη πρακτική είναι ένας συμβιβασμός μεταξύ αυτών των δύο μορφών δικτύου. Δημιουργείται ένα δίκτυο αστέρα στο οποίο προστίθενται ομάδες απ ευθείας γραμμών μεταξύ των κέντρων που έχουν περισσότερες συναλλαγές (π.χ. γειτονικές πόλεις). 25
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (3) Μία κλήση L i L j θα χρησιμοποιήσει, αν υπάρχει, μια ελεύθερη απ ευθείας γραμμή L i L j. Όταν καμμία απ ευθείας γραμμή δεν είναι ελεύθερη, τότε χρησιμοποιείται η εναλλακτική διαδρομή L i CL j. Η κίνηση που ακολουθεί αυτή η δρομολόγηση λέγεται κίνηση υπερροής (overflow traffic). Όλες οι κινήσεις υπερροής που απορρέουν από το κέντρο L i μοιράζονται την χρήση της ομάδας γραμμών L i C. Γι' αυτό τις καλούμε κοινές γραμμές. Οι απ ευθείας γραμμές δεν χρειάζεται να είναι πολυάριθμες. Έτσι στις απ ευθείας δέσμες γραμμών μπορούμε να έχουμε καλύτερες αποδόσεις, απ ό,τι στην περίπτωση του πολυγωνικού δικτύου. Οι σχετικά μικρές υπερροές από το κέντρο L i ομαδοποιούνται και δρομολογούνται μέσω της ζεύξης L i C. Στην κοινή αυτή δέσμη γραμμών θα διαχειρισθούμε τις συνολικές κινήσεις προς τα κέντρα L j όταν δεν είναι εφικτές οι απ ευθείας ζεύξεις από το L i. Η συγκέντρωση όλων αυτών των κινήσεων στην δέσμη γραμμών L i C, παράγει και μια καλή απόδοση και γι αυτές τις γραμμές. 26
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (4) Τώρα βέβαια μπορεί να δημιουργηθεί η απορία: Τι ποσοστό της κίνησης L i L j, βρίσκει κατειλημμένες και τις δύο δέσμες γραμμών, τόσο την απ ευθείας δέσμη γραμμών L i L j (αν παρέχεται) όσον και την δέσμη των κοινών γραμμών L i C; Ας υποθέσουμε ότι το κέντρο L i παράγει ροές κίνησης προς άλλα κέντρα L,...,L m (εκτός του L i ) με ρυθμούς άφιξης λ,...,λ m. Αυτές οι κινήσεις επιτάσσουν c,...,c m απ ευθείας γραμμές. Επιπλέον υπάρχουν C κοινές γραμμές L i C για να εξυπηρετήσουν την κίνηση υπερροής (βλ. σχήμα όπου το τετράγωνο συμβολίζει μια γραμμή). 27
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (5) Κλήσεις μπορούν να καταλάβουν μία ελεύθερη κοινή γραμμή μόνο όταν όλες οι γραμμές c j της απ ευθείας ζεύξης L i L j είναι κατειλημμένες. Έστω ότι δεν υπάρχει ουρά αναμονής. Σ αυτό το σχέδιο εξυπηρέτησης δεν έχουμε πια πλήρη διαθεσιμότητα των εξυπηρετητών, αφού οι απ ευθείας γραμμές δεν είναι διαθέσιμες σ όλες τις κλήσεις αλλά μόνο σε ένα μέρος αυτών. Γι αυτό και το σύστημα αυτό λέγεται σύστημα περιορισμένης διαθεσιμότητας (retricted availability ytem). 28
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (6) Μια άλλη αιτία ύπαρξης της περιορισμένης διαθεσιμότητας μπορεί να είναι και η εξής: όταν έχουμε μεγάλο φορτίο κίνησης απαιτείται και μεγάλος αριθμός εξυπηρετητών. Όμως μπορεί να υπάρξουν τεχνικά εμπόδια, για να γίνουν και οι c εξυπηρετητές διαθέσιμοι σε όλες τις κλήσεις. Σε πολλές περιπτώσεις μια κλήση δεν μπορεί να αποκτήσει πρόσβαση σε περισσότερους από k (<c) εξυπηρετητές. Η διαθεσιμότητα είναι περιορισμένη στο k (π.χ. ή 2 στην τηλεφωνία), όπως λέμε. Είναι δε πρακτικό, να χωρίσουμε την ομάδα των κλήσεων, σε έναν αριθμό υποομάδων όπου κάθε μία θα έχει τις δικές της k επιλογές ανάμεσα στους c εξυπηρετητές. Κλήσεις από μια τέτοια ομάδα, χρησιμοποιούν βασικά μια δέσμη γραμμών πρώτης επιλογής και αν αυτή είναι (πλήρως) κατειλημμένη προσπαθούν στη δεύτερη κ.τ.λ. Αν και οι k επιλογές είναι κατειλημμένες τότε η κλήση χάνεται. 29
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (7) Εξ αιτίας της σειράς αναζήτησης ελεύθερης γραμμής σε μια δέσμη γραμμών, οι πρώτες επιλογές θα έχουν περισσότερη κίνηση απ ό,τι οι τελευταίες (βλ. σχήμα). Λόγω αυτού του γεγονότος, εφαρμόζεται κοινή χρήση των τελευταίων επιλογών, ώστε να αυξηθεί η απόδοση των εξυπηρετητών που εμφανίζονται σ αυτές τις επιλογές. Έτσι έχουμε τις λεγόμενες βαθμώσεις ή κλιμακώσεις (grading) στην χρήση των εξυπηρετητών. Το σχήμα δείχνει την κλιμάκωση της χρήσης των εξυπηρετητών. Στις δύο πρώτες επιλογές έχουμε αποκλειστική χρήση των εξυπηρετητών από κάθε ομάδα κλήσεων, στις επόμενες τρεις επιλογές έχουμε εν μέρει κοινούς εξυπηρετητές και στην τελευταία επιλογή έχουμε κοινούς εξυπηρετητές. 3
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (8) Άλλο παράδειγμα βαθμώσεων παρουσιάζεται παρακάτω: Ένας διακόπτης έχει 8 εισερχόμενες γραμμές και 6 εξερχόμενες. Ο διακόπτης αυτός είναι ένα σύστημα περιορισμένης διαθεσιμότητας. Για να βάλουμε κάποια τάξη στην χρήση των 6 εξόδων χρησιμοποιούμε το εξής σχέδιο κλιμάκωσης: Διακρίνουμε δύο ομάδες εξόδων. Η πρώτη ομάδα αποτελείται από 2 εξερχόμενες γραμμές πλήρους προσιτότητος και η δεύτερη ομάδα από 4 γραμμές με διαθεσιμότητα (προσιτότητα) 2. Η βάθμωση παρίσταται συνήθως με απλά σχέδια όπως στο δεξιό μέρος του σχήματος. 3
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (9) Παράδειγμα 3 Ακριβής υπολογισμός της πιθανότητας απωλείας κλήσεως Θεωρούμε το σύστημα εξυπηρέτησης περιορισμένης διαθεσιμότητας του σχήματος και υποθέτουμε εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης. Παρότι το σύστημα έχει τρεις εξυπηρετητές A, B και C, υποθέτουμε ότι οι κλήσεις έχουν πρόσβαση μόνον σε δύο. Υποθέτουμε δηλαδή ότι οι κλήσεις χωρίζονται σε δύο ομάδες και ο ρυθμός άφιξης των κλήσεων κάθε ομάδας είναι ½λ. Οι κλήσεις της ης ομάδας οδεύουν προς τους A και C ενώ της 2 ης ομάδας προς τους B και C. Αν και οι δύο εξυπηρετητές κάθε ομάδας κλήσεων είναι κατειλημμένοι, οι κλήσεις χάνονται. Συμβολίζουμε τους μη απησχολημένους εξυπηρετητές με παύλες και τους κατειλημμένους με αστερίσκους. 32
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας () Στο πίνακα περιγράφουμε τις καταστάσεις του συστήματος και δηλώνουμε τις πιθανότητες μονίμων καταστάσεων. Συνδυασμοί που είναι ισοπίθανοι (λόγω συμμετρίας) παίρνονται μαζί για να μορφοποιήσουν μια κατάσταση. 33
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας () Το διάγραμμα μετάβασης καταστάσεων του συστήματος αυτού φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 34
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (2) Από το διάγραμμα μετάβασης των καταστάσεων, εφαρμόζοντας την σχέση της σφαιρικής ισορροπίας για κάθε κατάσταση, προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: = λp +p 2 +p 3 = λp (.5λ+)p 2 +p 4 +2p 5 = (λ+)p 3 +p 4 =.5λp 2 +λp 3 (.5λ+2)p 4 +2p 6 (33) =.5λp 2 (λ+2)p 5 +p 6 =.5λp 4 +λp 5 3p 6 και p +... + p 6 = (34) 35
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (3) Διαγράφοντας μια εξίσωση από το σύστημα (33), το σύστημα (33), (34) μπορεί να λυθεί αριθμητικά. Η πιθανότητα απωλείας κλήσεως υπολογίζεται ως: Β=.5p 4 +p 6 (35) αφού χάνεται το 5% των κλήσεων από την κατάσταση 4 και το % των κλήσεων από την κατάσταση 6. 36
Συστήματα περιορισμένης διαθεσιμότητας (4) Όταν οι βαθμώσεις γίνονται πολύπλοκες ή όταν η κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης διαφέρει, το σύστημα των εξισώσεων γίνεται πολύ δύσκολο. Όταν υπάρχουν c εξυπηρετητές, όταν δεν υπάρχει συμμετρία και οι χρόνοι εξυπηρέτησης έχουν κατανομή Erlang k, ο αριθμός των εξισώσεων είναι (k+) c, δηλαδή πάρα πολύ μεγάλος για πρακτικά προβλήματα. O ακριβής λοιπόν υπολογισμός των πιθανοτήτων απωλείας κλήσεως στις περιπτώσεις περιορισμένης διαθεσιμότητας δεν είναι δυνατός, εκτός των πολύ απλών συστημάτων. Σε πρακτικά προβλήματα χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές μέθοδοι όπως π.χ. είναι η θεωρία της ισοδύναμης τυχαίας κινήσεως που ανέπτυξε ο R.I. Wilkinon (955/56) για την επίλυση του προβλήματος της κίνησης υπερροής σε σύστημα εναλλακτικής δρομολόγησης. 37
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστημίου Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 39
Σημειώματα 4
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. 4
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Μιχαήλ Λογοθέτης. «Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης. Βέλτιστος σχεδιασμός εναλλακτικής δρομολόγησης». Έκδοση:.. Πάτρα 25. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecla.upatra.gr/coure/ee772/ 42
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Common Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommon.org/licene/by nc a/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 43
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 44
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση του ακόλουθου έργου: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες/Πίνακες [] Μιχαήλ Λογοθέτης, Θεωρία Τηλεπικοινωνιακής Κινήσεως και Εφαρμογές, 2 η έκδοση, Παπασωτηρίου, 22 45