Θέματα.

Θέμα Α Θέματα Στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α. O κύλινδρος του παρακάτω σχήματος στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα περιστροφής zz που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής zz : α. ισούται με το γινόμενο I περιστροφής zz. ω, όπου I η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα β. ισούται με την συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν στον κύλινδρο. γ. είναι μηδέν. δ. θα ήταν διπλάσιος αν ο κύλινδρος στρεφόταν με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Α. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός, η οποία αρχικά ταξιδεύει μέσα σε ένα οπτικό μέσο (), προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων (), () και μεταβαίνει στο οπτικό μέσο (). Αν το μήκος κύματος της μονοχρωματικής ακτίνας αυξάνεται στο οπτικό μέσο () τότε : α. η ταχύτητα της αυξάνεται στο οπτικό μέσο () και η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετη στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων (), (). β. η ταχύτητα της αυξάνεται στο οπτικό μέσο () και η διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετη στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων (), (). Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα

γ. η ταχύτητα της μειώνεται στο οπτικό μέσο () και η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετη στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων (), (). δ. η ταχύτητα της μειώνεται στο οπτικό μέσο () και η διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετη στην διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων (), (). ( 5 μονάδες ) Α3. Περιπολικό που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ ακολουθεί ύποπτο αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ. Το περιπολικό εκπέμπει ήχο συχνότητας f S που διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα υ. Η συχνότητα f του ήχου που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του ύποπτου αυτοκινήτου είναι: α. f υ υ Α Α Α fs β. fα υ+υπ υ υπ υ υ υ υα υ+υα fs γ. fα fs δ. fα fs υ+υ υ υ ( 5 μονάδες ) Α4. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Όταν η επιτάχυνση του σώματος γίνεται ίση με α= α 3 max, όπου max Π α είναι η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα, το πηλίκο της κινητικής προς την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι : α. K 8 U β. K γ. K 9 U 8 U δ. K U 9 Α5. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιο σας κάθε πρόταση που ακολουθεί με την λέξη Σωστό, αν είναι σωστή, και με την λέξη Λάθος, αν είναι λανθασμένη. ( 5 μονάδες ) α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος μιας αμείωτης απλής αρμονικής ταλάντωσης τότε η περίοδος της διπλασιάζεται. β. Κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών η σφαίρα που έχει την μεγαλύτερη μάζα θα έχει και την μεγαλύτερη μεταβολή της ορμής της. γ. Ένα ταλαντούμενο σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με συχνότητα διεγέρτη f>f 0, όπου f 0 η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν αυξηθεί η συχνότητα του διεγέρτη τότε το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται. δ. Όταν η υπέρυθρη ακτινοβολία απορροφάται από ένα σώμα, τότε αυξάνεται το πλάτος της ταλάντωσης των σωματιδίων από τα οποία αποτελείται, αυξάνοντας έτσι τη θερμοκρασία του. ε. Ιδανικό κύκλωμα με πυκνωτή και πηνίο εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Αν τετραπλασιάσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου διατηρώντας σταθερή την χωρητικότητα του πυκνωτή, η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης υποδιπλασιάζεται. Π Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα

Θέμα Β Β. Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας m, ακτίνας R και βάρους w, βρίσκεται ακίνητη πάω σε οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή ασκείται στο κέντρο μάζας της σταθερή οριζόντια δύναμη F, μέτρου F=w, με αποτέλεσμα η σφαίρα να κινηθεί. O συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ σφαίρας και οριζοντίου επιπέδου είναι τριβής ολίσθησης μεταξύ σφαίρας και οριζοντίου επιπέδου. I. Η κίνηση της σφαίρας είναι : μ 0,5 και υποθέτουμε ότι είναι ίσος με τον συντελεστή s α. μεταφορική. β. κύλιση χωρίς ολίσθηση. γ. κύλιση με ολίσθηση. ( μονάδα ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( 3 μονάδες ) II. Έστω α η επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας. Το μέτρο της επιτάχυνσης του σημείου επαφής της σφαίρας με το έδαφος ισούται με : α α. μηδέν. β. α. γ. 6. ( μονάδα ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( 4 μονάδες ) Η ροπή αδράνειας συμπαγούς σφαίρας μάζας m και ακτίνας R ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της είναι I 5 mr. Β. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο στερεώνεται σε ακλόνητο δάπεδο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στο ελεύθερο άκρο του ισορροπεί σώμα μάζας m. Ανυψώνουμε το σώμα κατακόρυφα, ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος, και την χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς ίση με την σταθερά του ελατηρίου. Το σώμα από την χρονική στιγμή t=0 μέχρι Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 3

την χρονική στιγμή που το μέτρο της ταχύτητας του γίνεται μέγιστο για δεύτερη φορά, διανύει διάστημα s. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Όταν το μέτρο της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας γίνεται ίσο με το μισό του πλάτους της ταλάντωσης του, η δυναμική του ενέργεια ταλάντωσης ισούται με : α. mgs 6 β. mgs γ. mgs 4 ( μονάδες ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( 6 μονάδες ) Β3. Σώμα μάζας m υ υ 5 m/s. Σώμα μάζας m 8 Kg κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα μέτρου Kg κινείται αντίθετα προς το σώμα μάζας m με ταχύτητα μέτρου 0 m/s που σχηματίζει γωνία 60 0 με την οριζόντια διεύθυνση όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή το σώμα μάζας m σφηνώνεται ακαριαία στο σώμα μάζας m. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων που χάθηκε κατά την διάρκεια της πλαστικής κρούσης είναι : α. 70 %. β. 80%. γ. 96 %. ( μονάδες ) Ποια είναι η σωστή απάντηση ; Να την δικαιολογήσετε. ( 6 μονάδες ) Θέμα Γ Σε γραμμικό ελαστικό µέσο διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρµονικά κύµατα ίδιας συχνότητας f και ίδιου πλάτους A. Τα δύο κύµατα έχουν αντίθετη φορά διάδοσης, µε αποτέλεσµα να δημιουργείται στο ελαστικό µέσο στάσιμο κύμα. Στο σημείο Ο όπου x=0 δημιουργείται κοιλία η οποία την χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στην θέση ισορροπίας της και κινείται κατά την θετική φορά. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι Δx= m. Την χρονική στιγμή t =0,5 s το σημείο Ο έχει φάση φ =π rad και ταχύτητα ταλάντωσης μέτρου υ =,6π m/s. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 4

Γ. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. ( 6 μονάδες ) Γ. Να βρείτε τη διαφορά φάσης της ταλάντωσης των σημείων Ο και Α(x Α =+4,75 m). (6 μον.) Γ3. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος μεταξύ των σημείων Κ(x m ) και Λ( x 4,5 m) την χρονική στιγμή t=0,875 s. ( 6 μονάδες ) Γ4. Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ζ( xζ από την θέση ισορροπίας του είναι y=+0, m. ( 7 μονάδες ) Θέμα Δ 8,5 m) όταν η απομάκρυνση του Το στερεό σώμα του παρακάτω σχήματος αποτελείται από δύο λεπτούς κυλίνδρους () και () που έχουν μάζες m = Kg και m = m και ακτίνες R και R = R αντίστοιχα οι οποίοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους στο κοινό τους κέντρο μάζας. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου () έχουμε τυλίξει λεπτό και αβαρές σχοινί. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 5

Το στερεό σώμα συγκρατείται αρχικά ακίνητο πάνω σε ομογενή δοκό, μήκους m και βάρους w δ =30 N, σε σημείο Ζ που απέχει από το άκρο Α της δοκού απόσταση (ΑΖ)=. Η δοκός 4 ισορροπεί σχηματίζοντας γωνία φ με την οριζόντια διεύθυνση. Το άκρο Α της δοκού συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ στο της άκρο Γ είναι δεμένο κατακόρυφο αβαρές σκοινί το οποίο είναι δεμένο σε οροφή. Την χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο Δ του σκοινιού που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο () σταθερή δύναμη μέτρου F= N η οποία είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σκοινί αρχίζει να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά στην περιφέρεια του κυλίνδρου (), ενώ ταυτόχρονα το στερεό σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στην δοκό. Δ. Να προσδιορίσετε την φορά της στατικής τριβής (χωρίς να επιλέξετε τυχαία φορά) και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ( 7 μονάδες ) Δ. Να βρείτε το μέτρο της στατικής τριβής. ( 5 μονάδες ) Έστω ότι το σκοινί που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο () ξετυλίγεται, μετά την χρονική στιγμή t=0, κατά d= 4. Να βρείτε : Δ3. την δύναμη που ασκεί η άρθρωση στη δοκό την χρονική στιγμή που το σκοινί έχει ξετυλιχθεί κατά d. ( 8 μονάδες ) Δ4. την κινητική ενέργεια του στερεού σώματος την χρονική στιγμή που το σκοινί έχει ξετυλιχθεί κατά d. ( 5 μονάδες ) Δίνονται : H ροπή αδράνειας οποιουδήποτε κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας R ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του g=0 m/s. Επίσης : 9 4,36 I mr, ημφ=, 3 συνφ= και ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 6

Θέμα A Απαντήσεις A. γ A. β A3. β A4. α A5. α) Λάθος β) Λάθος γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θέμα B Β. Ι. Σωστό είναι το γ. Η κίνηση της σφαίρας αποκλείεται να είναι μεταφορική γιατί το οριζόντιο επίπεδο δεν είναι λείο. Έστω ότι η σφαίρα, υπό την επίδραση της δύναμης F, κυλά χωρίς να ολισθαίνει. Στη σφαίρα ασκούνται, εκτός από την δύναμη F, το βάρος της w, η κάθετη δύναμη Ν δέχεται από το έδαφος και η στατική τριβή T στ που η οποία για να προκαλεί αύξηση της γωνιακής ταχύτητας ω (γωνιακή επιτάχυνση) πρέπει να έχει αντίθετη κατεύθυνση από αυτή της δύναμης F. Μεταφορική κίνηση : ΣFmα Fστ mα () τt () τν() τw() + τf() α Στροφική κίνηση : Στ αγων στ στr mr αγων Tστ mrαγων () 5 5 γων τ τ 0 γιατί το σημείο εφαρμογής των w,f βρίσκεται F() Ν() w() πάνω στον άξονα περιστροφής () της σφαίρας. τ 0 γιατί ο φορέας της Ν διέρχεται από τον άξονα περιστροφής της σφαίρας. } Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 7

Κύλιση : α αγωνr (3) 5 ( ) (3) 5Tστ στ () T mα mα (4). 5 5Tστ 5Tστ 7Tστ F Έχουμε : ()=(4) F στ F στ F Tστ (5) 7 Στην κατακόρυφη διεύθυνση η σφαίρα είναι ακίνητη. Άρα σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε : ΣF y 0 Nw 0 N w Έστω Τ ορ, η οριακή τριβή. Έχουμε : Τορ s μ N Τ ορ 0,5w (6) Για να κυλά η σφαίρα χωρίς να ολισθαίνει, η τριβή πρέπει να είναι στατική. Δηλαδή πρέπει : στ (5),(6) F ορ 0,5w F 3,5w F,75w. 7 Όμως η οριζόντια δύναμη F έχει μέτρο F=w. Άρα η σφαίρα κυλά με ολίσθηση. IΙ. Σωστό είναι το γ. Αφού η σφαίρα κυλά με ολίσθηση, θα ασκείται σε αυτή τριβή ολίσθησης T ολίσθ. Έχουμε : Tολίσθ Τορ T ολίσθ 0,5w (7) Μεταφορική κίνηση : (7) F ολισθ w 0,5w,5w,5mg ΣFmα Fολισθ mα α α m m m m, 5g (8). Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 8

Στροφική κίνηση : Στ αγων τt ολίσθ () τν() τ w() +τf() αγων ολίσθr mr αγων Tολίσθ mrαγων (9) 5 5. Έστω α η γραμμική επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας της σφαίρας (άρα και του σημείου επαφής Α με το έδαφος). dυ dω υ ωr dυ d(ωr) dυ Rdω R dt dt α α R (0) γων 5T 50,5w (9) T mα α 5 m m (0) ολίσθ ολίσθ α, 5g () Η επιτάχυνση του σημείου επαφής Α της σφαίρας με το έδαφος είναι : αα α α,5g, 5g α Α Β. Σωστό είναι το γ. () α 0, 5g Α 0, 5g (). α (8) α,5g 6 Στο σώμα ασκούνται το βάρος του w και η δύναμη από το ελατήριο F ελ. α 6 Α. (8),() Στην θέση ισορροπίας θα έχουμε : F=0 w F ελ=0 mg kx =0 mg=kx () Εφόσον το σώμα φέρεται από την θέση ισορροπίας στην θέση φυσικού μήκους και αφήνεται ελεύθερο, η αρχική συσπείρωση x ισούται με το πλάτος της ταλάντωσης. Δηλαδή : A x () Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 9

Το σώμα από την χρονική στιγμή t=0 μέχρι την χρονική στιγμή που το μέτρο της ταχύτητας του γίνεται μέγιστο για δεύτερη φορά, διανύει διάστημα s που ισούται με 3Α. δηλαδή : s = 3A s A (3) 3 () (3) s () mg=ka mg=k k 3mg (4) 3 s D=k A s x= (3),(4) 3 A A 3mg 3mg s U= Dx U= k k 4 s 4 s 49 Β3. Σωστό είναι το γ. Έχουμε : υ υ 0 x υσυν60 x 0 m/s mgs U= 4 Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα μάζας m βρίσκονται στον άξονα το βάρος του w yy και είναι και η κάθετη δύναμη από το έδαφος N. Όμως κατά την διάρκεια της πλαστικής κρούσης το σώμα m δέχεται πολύ μεγάλη πλάγια δύναμη F από το σώμα m επειδή η κρούση είναι ακαριαία. Για το σώμα m έχουμε : ΣFy 0 N=w +Fy Fy N w. Άρα : ΣF N w =F. ΣFεξ(m ) 0 εξ(m ) y Άρα δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής στο άξονα yy. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 0

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής για το σύστημα σωμάτων m,m στον άξονα xx. p p p p p m υ m υ m+m V ολ(πριν)x ολ(μετά)x m (πριν)x m (πριν)x m,m (μετά)x x m υ m υ m+m x V 85 0 m/s 8+ V m/s Το συσσωμάτωμα τελικά κινείται με φορά ίδια με αυτή του σώματος μάζας m πριν την πλαστική κρούση. Έστω π % το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την διάρκεια της πλαστικής τους κρούσης. Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) Κ ολ(μετά) m+m V π % 00 % 00 % 00 % Κ ολ(πριν) Κ ολ(πριν) mυ mυ m +m V 04 40 96 00 % 00 % 00 % 00 % mυ mυ 85 400 000 00 π % 96 %. Θέμα Γ Γ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι : λ Δx= m Δx= λ=δx λ= m. Στο σημείο Ο(x=0) δημιουργείται κοιλία με εξίσωση απομάκρυνσης : π π π y=amaxημ t y=aημ t. Άρα η φάση της ταλάντωσης του σημείου Ο είναι : φ 0 = t Τ Τ Τ φ 0= πt Τ π πt π 0, 5 } φ = t T= s T=0,5 s. Την t0,5 s : φ 0=φ =π rad Τ φ π (). Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα

T Παρατηρούμε ότι t. Άρα η ταχύτητα υ του σημείου Ο είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του. π υτ,6π 0,5 0, m. Τ 4π 4π υ =υo(max) υ =ω Αmax υ=ω υ = = m/s Τελικά : Γ. π x πt π x πt y=aσυν ημ 0,συν ημ y 0,4συν π x ημ4π t S.I. λ Τ 0,5 } y0,4συν π xημ4π t π y 0,4συν4,75π ημ4πt=0,4συν 5π ημ4πt= Σημείο Α(x=4,75 m) 4 π π π =0,4συν4π+π ημ4πt= 0,4συνπ ημ4πt= 0,4συν ημ4πt= 0,4 ημ4πt= 4 4 4 = 0, ημ4πt y 0, ημ 4πt π S.I. Άρα : () Δφ=φ φ 4πt π 4πt Δφ=π rad. 3T Γ3. Παρατηρούμε ότι : t=0,875 s=t+. 4 Το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα

Γ4. Αρχικά βρίσκουμε το πλάτος της ταλάντωσης Α Ζ του σημείου Ζ( xζ 8,5 m). π π ΑΖ 0,4συνπxZ 0,4συνπ( 8, 5) 0,4συν8, 5π 0,4συν8π+ 0,4συν 4 4 ΑΖ 0, m Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης. D=mω DAZ mυ Dy DAZ mυ Dy mωαz mυ mω y ωα υ ωy υ ω Α y Z Z υ 4π 0, 0, m/s=. 4π 40 0 m/s= 4π 70 m/s υ 0, 4π 7 m/s Θέμα Δ Δ. Έστω T η δύναμη πού ασκεί το σκοινί σε εμάς (στο χέρι μας). F=T ως δυνάμεις δράσης-αντίδρασης. Άρα : F=T= Ν. Θα προσδιορίσουμε προς ποια κατεύθυνση τείνει να ολισθήσει το σημείο Σ του στερεού σώματος που έρχεται σε επαφή με το έδαφος, υπό την επίδραση της δύναμης T που ασκείται στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου (), λίγο πριν την εμφάνιση της T. Το σημείο Σ υπό την επίδραση της δύναμης T τείνει να στ εκτελέσει ταυτόχρονα δύο κινήσεις : μεταφορική κίνηση, με επιτάχυνση γραμμική επιτάχυνση α. α, και στροφική με mm RR ολ () () Ι m R m R m R m R m R 4m R =mr 4 Ι 9 mr () Επίσης : mολ mm m ολ 3m () ολ Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 3

Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο κάθε κίνησης λίγο πριν την εμφάνιση της T στ ( T στ =0). Μεταφορική κίνηση : ΣFx mολα wολ x mολα mολgημφ=mολα 30 3m gημφ 5 α m/s 3m 3 3 τ Στροφική κίνηση : Στ ολαγων () 9 9 R mr αγων T mrα γων (3) α m/s τ τ α } T() Ν() w γων ολ() ολ τw ολ () 0 γιατί το σημείο εφαρμογής της w ολ βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής () του στερεού. τν() 0 γιατί ο φορέας της Ν διέρχεται από τον άξονα περιστροφής του στερεού. dυ d(ωr ) dω α α R α Rαγων αγων (4) dt dt dt R 9 α 9 4Τ 4 (3) T m R T m α α m/s (4) R 4 9m 9 Παρατηρούμε ότι α α () 8 m/s α 9,33 m/s 3. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Σ τείνει να κινηθεί προς τα αριστερά άρα η T στ θα ασκηθεί προς τα δεξιά (προς τα πάνω) και θα έχει την ίδια φορά με την T. Δ. Μεταφορική κίνηση : ΣFx mολα στ wολ x mολα Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 4

στ mολgημφ=3mολα στ 3mgημφ=3mα (5) Στροφική κίνηση : () 9 9 Στ ολαγων R TστR mr αγων Tστ mrα γων (6) α Κύλιση : α αγωνr α αγωνr αγων (7) R 9 α 9 (6) T m R T m α 48T 9m α (8) (7) [4] στ στ στ R 4 [( 3)] (5) 33 9m gημφ= 9m α (9) στ (8) (9) 48Tστ 33στ 9mgημφ 9mα 9mα T στ 9mgημφ 0 90 T 9mgημφ 45 στ T 9mgημφ στ N= N στ 6 N. Δ3. Το μήκος d του σκοινιού που ξετυλίγεται είναι ίσο με το τόξο s που διαγράφει το ανώτερο σημείο της περιφέρειας του εσωτερικού κυλίνδρου (). Δηλαδή : d=s (0). Το ανώτερο σημείο της περιφέρειας του εξωτερικού κυλίνδρου () διαγράφει τόξο s που είναι ίσο με την μετατόπιση του κέντρου μάζας x του στερεού σώματος. Δηλαδή : s x (). Έχουμε : s s s s s x θ= = s = d= x =d (). R R R R (0),() Άρα : x =0,5 m (3). Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 5

Το στερεό σώμα τελικά θα βρεθεί σε σημείο Λ πάνω στην δοκό που απέχει από το άκρο της Α απόσταση Έστω 3 (ΑΛ)= 4. Τ στ, Ν οι αντιδράσεις των δυνάμεων στ Τ, Ν, οι οποίες ασκούνται στο σημείο Λ της δοκού. Στην κατακόρυφη διεύθυνση το στερεό σώμα είναι ακίνητο. Άρα σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε : 3 ΣF y 0 Nwολy 0 Nwολy mολgσυνφ=30 N 5 3 Ν. Έχουμε λοιπόν : Τ στ =6 Ν και Ν 5 3 Ν. N x Nημφ 5 3 Ν N x 7,5 3 Ν και 5 3 3 N y N y Nσυνφ Ν,5 N 6 3 T στx T στx Τσυνφ Ν 3 3 N και 6 Τ στy Τ στyημφ= N Τ στy 3 Ν. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 6

Η δοκός ισορροπεί. Άρα : Στ( Α) 0τF ( A) τ A w δ ( A) τ ( A) +τ +τ 0 (A) στ (A) τ 0 F F (A) γιατί το σημείο εφαρμογής της A A είναι το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζουμε τις ροπές τ 0 γιατί ο φορέας της στ (A) στ διέρχεται από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζουμε τις ροπές } 3 3 τ τ ( ) w δ ( ) τ ( ) 0 Ν w( δ ) ( ) 0 Ν w δ συνφ συνφ 0 4 4 3Ν w δσυνφ 3Ν w δ 35 3 30 συνφ Ν=,55 Ν 37,5 Ν 4 4συνφ 3 4 Εξαιτίας της ισορροπίας της δοκού ισχύουν επίσης : ΣF =0 N T F =0 F N T 7,5 33 3 N FAx 4,5 3 N. x x στx Ax Ax x στx ΣF =0 F +T w T N =0 F =w +T +N T= y Ay δ στy y Ay δ στy y 30 3,5 37,5 N F Ay =8 N. Οι F Ax, F Ay F F F A Ax Ay είναι κάθετες μεταξύ τους. 9 3 FA 4,5 3 8 N= 3 9 N=9 4 N= 4 F 4,5 9 N FA 9,6 N. Επίσης : A Δ4. W W Τ(μεταφ.) +WΤ(στροφ.). Έχουμε λοιπόν : Τ(μεταφ.) (3) W Τ x 0,5 J W Τ(μετ) 0,5 J. F 8 8 4 4 3 Ay εφθ= F Ax 9 3 9 3 3 3 9 9 9 N= 9 N 4 } W TR θ s W τ θ W TR W Ts W Td= (0) Τ(στροφ.) Τ(στροφ.) T Τ(στροφ) Τ(στροφ) Τ(στροφ.) θ= s R R 0,5 J WΤ(στροφ) 5,5 J Άρα : W 0,5 5,5 J W 5,75 J (4) Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 7

Η δύναμη w ολy είναι κάθετη στην μετατόπιση του στερεού σώματος. Άρα : Ww 0 (5). ολy Η δύναμη Ν είναι κάθετη στην μετατόπιση του στερεού σώματος και ο φορέας της διέρχεται από κέντρο μάζας του. Άρα η Ν έχει μηδενικό έργο στην μεταφορική και την στροφική κίνηση του στερεού. Επομένως κατά την κύλιση του : WN 0 (6). Η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της γιατί κάθε στιγμή ασκείται στo διαφορετικό σημείο επαφής του στερεού με την δοκό το οποίο έχει μηδενική ταχύτητα. Άρα : W 0 (7). Tστ Η δύναμη w ολx έχει αντίθετη κατεύθυνση από την μετατόπιση. Άρα : Ww w ολx ολxx mολgημφ x 30 J Ww ολx 7,5 J (8). Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας για την κύλιση του στερεού σώματος από την θέση Ζ στην θέση Λ. (4),(5) ΚΖ 0 (6),(7),(8) Κ Κ W Κ Κ W Κ W W W W W 5, 75 7,5 J τελ αρχ ολ Ζ ολ wολx N wολy Tστ Κ 8, 5 J. Επιμέλεια θεμάτων και απαντήσεων: Κωνσταντίνος Ζαχαριάδης. Φυσικός Σελίδα 8