Νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Σχολικό έτος 2016-17 Σπύρος Γ. Γλένης spyrosglenis@gmail.com Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height. Ιδιότητες παραλληλογράμμων Ορισμός: Παραλληλόγραμμο ονομάζουμε το..(1) που έχει τις... (2) πλευρές.(3). Οι πλευρές του ονομάζονται και βάσεις. Άσκηση 1 Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι παραλληλόγραμμα; Σχήμα 1 Σχήμα 2 Σχήμα 3 Σχήμα 4 Σχήμα 6 Σχήμα 7 Σχήμα 5 Δραστηριότητα 1 Στο διπλανό παραλληλόγραμμο να μετρήσετε τις γωνίες του. Τι συμπεραίνετε; Πιστεύετε ότι το συμπέρασμά σας ισχύει μόνο για το συγκεκριμένο παραλληλόγραμμο ή μπορεί να γενικευθεί σε όλα τα παραλληλόγραμμα; Υπάρχει μια θεωρητική εξήγηση; Σχήμα 8 1
Δραστηριότητα 2 Μπορείτε να χωρίσετε το διπλανό παραλληλόγραμμο σε δυο ίσα τρίγωνα; Μπορείτε να σκεφτείτε κι ένα 2 ο τρόπο; Τι παρατηρείτε για τις απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου; Άσκηση 2 Να χωρίσετε το διπλανό παραλληλόγραμμο σε δυο «ίσα» παραλληλόγραμμα με δυο τρόπους. Πώς αντιλαμβάνεστε την ισότητα; Άσκηση 3 Σε ένα παραλληλόγραμμο μια γωνία του είναι 60. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι υπόλοιπες τρεις γωνίες. Άσκηση 4 Σε ένα παραλληλόγραμμο μια γωνία του είναι 90. Να βρείτε τις υπόλοιπες τρεις γωνίες. Άσκηση 5 Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαδοχικές πλευρές ΑΒ και ΒΓ είναι ίσες. Αν η περίμετρος είναι 8 εκ. να βρείτε τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου. Δραστηριότητα 3 Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις απέναντι κορυφές ενός παραλληλογράμμου ονομάζονται διαγώνιοι. Προσοχή: Οι διαγώνιοι δεν είναι απαραίτητα ίσες ούτε διχοτομούν τις γωνίες. Έχουν όμως πάντα κοινό μέσο δηλαδή το σημείο Κ είναι μέσο της ΑΓ και της ΒΔ και λέμε ότι «οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται». Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιους και να μετρήσετε τις γωνίες του. 2
**Άσκηση 6 Στο διπλανό παραλληλόγραμμο έχουμε ˆΑ 60, AΔ=5, και ΑΒ=ΒΔ. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΔ. Στη συνέχεια να βρείτε την περίμετρο του παραλληλογράμμου. **Άσκηση 7 Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραμμο που να έχει όλες τις πλευρές ίσες. Να εξηγήσετε γιατί η διαγώνιος είναι και διχοτόμος. Δραστηριότητα 4 Η απόσταση δυο παράλληλων ονομάζεται ύψος του παραλληλογράμμου. Στο διπλανό σχήμα όλα τα ύψη που είναι σχεδιασμένα είναι ίσα. Μπορείτε να σχεδιάσετε κάποιο ύψος που να μην είναι ίσο με τα υπόλοιπα; Άσκηση 8 Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραμμο με βάση 4 εκ και ύψος 3 εκ. Άσκηση 9 Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραμμο που να έχει όλα τα ύψη ίσα. *Άσκηση 10 Στο διπλανό παραλληλόγραμμο δίνεται ότι η εξωτερική γωνία της Β είναι 63 και η γωνία ΓΑΔ 30. Να υπολογίσετε (με θεωρητικό τρόπο) α. Τις γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. β. Τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση 11 Να χαρακτηρίσετε τους επόμενους ισχυρισμούς ως αληθείς (Α) ή ψευδείς (Ψ) Το σχήμα που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. Το τετράπλευρο που έχει δυο πλευρές παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου έχουν κοινό μέσο. Κάθε διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δυο ίσα τρίγωνα. 3
Ιδιότητες παραλληλογράμμων Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. Δυο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται (έχουν κοινό μέσο) Κάθε διαγώνιος χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δυο ίσα τρίγωνα. Άσκηση 12 Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ώστε οι διαγώνιοι να έχουν μήκη ΑΓ=4εκ., ΒΔ=6εκ. και να σχηματίζουν γωνία 60. Στη συνέχεια να βρείτε α) το μήκος της περιμέτρου σε χιλιοστά β) τα μέτρα των γωνιών. Να επαναλάβετε την κατασκευή με χρήση του λογισμικού Geogebra. Συμφωνούν τα αποτελέσματα; Είδη παραλληλογράμμων Α. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ονομάζουμε κάθε παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες ορθές. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου του είναι ίσες. Β. Ρόμβο ονομάζουμε κάθε παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές ίσες. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες. Τα ύψη του ρόμβου είναι ίσα. Γ. Τετράγωνο ονομάζουμε κάθε παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες. Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες. Τα ύψη του τετραγώνου είναι ίσα. Άσκηση 13 Αν η περίμετρος ενός ρόμβου είναι 28 cm, να βρείτε τα μήκη των πλευρών του. 4
Άσκηση 14 Να σχεδιάσετε ένα ρόμβο κι ένα τετράγωνο που να έχουν την ίδια περίμετρο. Άσκηση 15 Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές 8 cm και 6 cm. Να σημειώσετε με Κ, Λ, Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. α) Να μετρήσετε τα μήκη των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. β) Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο ΚΛΜΝ και να μετρήσετε τα μήκη των πλευρών του. Τι σχήμα είναι το ΚΛΜΝ; Το τραπέζιο Τραπέζιο ονομάζουμε το τετράπλευρο που έχει μόνο δυο πλευρές παράλληλες. Η παράλληλες πλευρές του τραπεζίου ονομάζονται βάσεις και είναι πάντοτε άνισες. Η απόσταση των βάσεων ονομάζεται ύψος Αν οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες το τραπέζιο ονομάζεται ισοσκελές. τραπέζιο Οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες. Άσκηση 16 Στο διπλανό ισοσκελές τραπέζιο έχουμε ισοσκελές τραπέζιο ότι ˆΑ 64. Να βρείτε τις υπόλοιπες γωνίες του. Άσκηση 17 Να σχεδιάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ=6cm και ΓΔ=4cm. Να βρείτε τα μέσα Κ, Λ των μη παράλληλων πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος του ΚΛ (το ΚΛ ονομάζεται διάμεσος του τραπεζίου). Άσκηση 18 Να σχεδιάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ που να έχει μεγάλη βάση ΑΒ=6cm, μικρή βάση ΓΔ=4cm, ύψος 2cm και ˆΑ 90. Πόσες μοίρες θα είναι οι υπόλοιπες γωνίες του; 5