1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Transcript

1 1 1.4 ΠΥΘΑΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πυθαγόρειο θεώρηµα : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. γ α α = β + γ β. Αντίστροφο Πυθαγορείου : Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της µιας πλευράς του είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πρώτη πλευρά. ΣΧΟΛΙΟ Άµεση συνέπεια : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας µείον το τετράγωνο της άλλης κάθετης πλευράς. β = α γ και γ = α β

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε αν είναι ορθογώνιο ένα τρίγωνο µε πλευρές : i) α =,5cm, β = cm, γ = 1,5cm ii) α = 3,5 cm, β =3 cm, γ = 4,5cm i) Μεγαλύτερη πλευρά είναι η α µε α =,5 = 6,5 cm (1) β + γ = + 1,5 = 4 +,5 = 6,5 cm () Από τις (1), () έχουµε ότι α = β + γ Άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την α ii) Οµοίως γ = 4,5 = 0,5 cm (3) α + β = 3,5 + 3 = 1,5 + 9 = 1,5 cm (4) Από τις (3), (4) έχουµε ότι γ α + β Άρα το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο Θεωρία. Αν α, β, γ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ µε τον πίνακα: α β γ Αφού Α = 90 ο υποτείνουσα η α. 1 η στήλη : β = α γ = 5 3 = 5 9 = 16 άρα β = 16 = 4 η στήλη : γ = α β = 10 8 = = 36 άρα γ = 36 = 6 Α = 90 ο, συµπληρώστε Σχόλιο 3 η στήλη : α = β + γ = = = 169 άρα α = 169 = 13 συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που συµπληρώθηκαν είναι τα κόκκινα. 3. Ποια από τις παρακάτω τριάδες αποτελεί µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Α. 1,, 3 Β. 1, 4, 5., 4, 6. 5, 3, 4 Ε. 6, 4, 3 Α. 3 = 9 και 1 + = = 5 µε 9 5 δεν αποτελεί Β. 5 = 5 και = = 17 µε 5 17 δεν αποτελεί. 6 = 36 και + 4 = = 0 µε 36 0 δεν αποτελεί. 5 = 5 και = = 5 µε 5 = αποτελεί Ε. 6 = 36 και = = 5 µε 36 5 δεν αποτελεί

3 3 4. Να βρείτε το εµβαδό ενός τετραγώνου Τ 1 το οποίο έχει πλευρά τη διαγώνιο ενός άλλου τετραγώνου Τ που η πλευρά του είναι 10dm. Τ Είναι δ = = = 00 dm Το εµβαδόν του ζητούµενου τετραγώνου πλευράς δ είναι Ε = δ = 00 dm 5. 10dm δ 10dm Σε τρίγωνο ΑΒ η γωνία είναι ορθή. Ποιός από τους τύπους που ακολουθούν είναι σωστός ; i) β = α + γ ii) γ = β α iii) γ α = β Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει α = β γ, ποια γωνία είναι ορθή; Αφού ορθή, υποτείνουσα είναι η γ. Άρα γ = α + β οπότε γ α = β Σωστό το (iii) α = β γ άρα α + γ = β εποµένως ορθή η γωνία Β 6. Ενός τριγώνου ΑΒ η πλευρά ΑΒ είναι 7cm µεγαλύτερη από την Α και η Α είναι 8 cm µικρότερη από την Β. Η περίµετρος του τριγώνου είναι 30cm. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο. Να βρείτε το εµβαδό του τετραγώνου που διαγώνιός του είναι η ΑΒ. Έστω ότι Β = x, τότε Α = x 8 και ΑΒ = 7 + x 8 = x 1 Όµως ΑΒ + Β + Α = 30 οπότε x 1 + x + x 8 = 30 3x = 39 x = 13 Οπότε Β = 13 cm, Α = 5 cm και ΑΒ = 1 cm Β = 13 = 169 ΑΒ + Α = = = 169 Άρα Β = ΑΒ + Α συνεπώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα τη Β Αν y είναι η πλευρά του τετραγώνου που έχει διαγώνιο την ΑΒ, τότε ΑB = y + y άρα 1 = y 144 = y y = 7 Συνεπώς το εµβαδόν του ζητούµενου τετραγώνου είναι Ε = y = 7 cm

4 4 7. Σε ισοσκελές τρίγωνο, η περίµετρος είναι 3 cm και η βάση 1 cm. Να υπολογίσετε το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση και στη συνέχεια το εµβαδόν του τριγώνου Έστω x το µήκος µιας των ίσων πλευρών. Με βάση τα δεδοµένα έχουµε x + x + 1 = 3 x = 0 x = 10 Στο ισοσκελές τρίγωνο το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διάµεσος, συνεπώς = 6. Πυθαγόρειο στο ορθ. τρίγωνο Α : Α = Α = = 10 6 = Ε = β υ = 1 8 = 48cm = = = 64 άρα Α = 64 = 8 x Α x Β 8. Στο διπλανό τραπέζιο να υπολογίσετε το ύψος και το εµβαδόν του. Φέρνοντας τα ύψη ΑΚ και ΒΕ του τραπεζίου έχουµε = Κ + ΚΕ + Ε K 7 = Κ Κ = 9 Πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚ : ΑΚ = Α Κ = = 15 9 = = 5 81 = Ε = (Β + υ = (7 + 10) 1 = cm = 144 άρα ΑΚ = 144 = 1 cm

5 5 9. Στο διπλανό σχήµα να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο. Πυθαγόρειο στο Α Β : Α = ΑΒ Β = = 15 1 = = = 81 άρα Α = 81 = 9 δηλαδή x = 9 Οπότε Β = = 1 Πυθαγόρειο στο Α : Α = Α + = = = 16 άρα Α = 16 Είναι Β = 1 = 441 και Α + ΑΒ = ( 16 ) + 15 = = 387 Εποµένως Β Α + ΑΒ άρα το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο y x Α x 1 15 Β 10. Στο διπλανό τετράπλευρο οι διαγώνιες είναι κάθετες. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του. A 8 6 Ο B 3 Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Ο : Ο = Ο = = 5 3 = = 5 9 = 16 Άρα Ο = 16 = 4 5 (ΑΒ ) = (ΑΒ) + (Α ) = Α ΟΒ Α Ο + = = = 33 + = 55 τετραγωνικές µονάδες

6 6 11. Στο διπλανό σχήµα Να βρείτε τα µήκη των πλευρών ΑΒ και Β Να δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο Πυθαγόρειο στο Α Β : ΑΒ = Β + Α = = = = = 5 Άρα ΑΒ = 5 = 15 A B Πυθαγόρειο στο Β : Β = Β + = = = = = 400 Άρα Β = 400 = 0 Είναι Α = 5 = 65 και ΑΒ + Β = = 65 Άρα Α = ΑΒ + Β συνεπώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την Α 1. Σε τρίγωνο ΑΒ µε Α = 90 ο ισχύει α = γ. Να δείξετε ότι β = 3γ Είναι α = γ + β και λόγω της υπόθεσης (γ) = γ + β 4γ = γ + β β = 3γ 13. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε το εµβαδόν τετραγώνου που έχει πλευρά τη Ε. 14 Ε Πυθαγόρειο στο ΑΒ : Α = ΑΒ + Β = = = = = 5 Α 4 1 Πυθαγόρειο στο Α : Α = Α + = = = = = 169 Β 3 Πυθαγόρειο στο Α Ε : Ε = ΑΕ Α = = = = = 5 Το εµβαδόν Ε του ζητούµενου τετραγώνου είναι Ε= Ε = 5 τετραγωνικές µονάδες

7 7 14. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του διπλανού τραπεζίου. Φέροµε το ύψος Κ. Τότε ΑΚ = 4 cm, εποµένως Κ = 16 4 = 1 cm Πυθαγόρειο στο Κ : Κ = Κ = = 15 1 = Ε = (Β + υ = (16 + 4) 9 = = 81 άρα Κ = 81 = 9 = 90 cm K 15. Η περίµετρος του διπλανού τριγώνου είναι 4cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο γ) Να βρείτε το εµβαδόν του 5x-3 3x-1 7x-1 5x 3 7x 1 5x 3 7x 1 + 3x 1 + = 4 άρα + 3x 1 + = 4 5x 3 + 6x + 7x 1 = 48 18x = 54 x = Οι πλευρές του τριγώνου έχουν µήκη = 6, = 8 και 10 = 100 και = = 100 άρα 10 = Εποµένως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πλευρά µήκους 10 γ) Ε = β γ = 6 8 = 4 τετραγωνικές µονάδες = 10

8 8 16. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο Να υπολογίσετε την ΑΒ Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου γ) Να υπολογίσετε το ύψος στην υποτείνουσα ΑΒ = Β Α = 10 8 = =36 οπότε ΑΒ = 36 = 6 Ε = γ) ΑΒ Α = 6 8 = 4 τετραγωνικές µονάδες Αν υ είναι το ύψος στην υποτείνουσα, έχουµε ότι Ε = Β υ 4 = 10 υ 8 A άρα 10 οπότε υ = 4,8 B