Ασκήσεις σε στάσιµα κύµατα

Ασκήσεις σε στάσιµα κύµατα. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδονται δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις: y = 0, ηµ π (0t-x) και y = 0, ηµπ(0t+x) (S.I.). α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος που προκύπτει. β) Να βρείτε το µήκος κύµατος του στάσιµου κύµατος. γ) Να βρείτε την αποµάκρυνση ενός σηµείου του ελαστικού µέσου, το οποίο απέ- χει από την πηγή διαταραχής (αριστερή άκρη του ελαστικού µέσου) x= m τη 6 χρονική στιγµή t= s. 0 δ) Πόσες κοιλίες υπάρχουν από την αρχή διάδοσης του κύµατος (x=0) µέχρι απόσταση x =,5 m ; ε) Πόσοι δεσµοί υπάρχουν στο διάστηµα 0,0(m) x,0(m) (το x <<µετράει>> από την αριστερή άκρη του ελαστικού µέσου); [ Απ. α) y = 0, συν π x ηµ0πt, β) λ στ =(λ/)=0,5 m, γ) y= 0,05 m, δ) 6 κοιλίες, ε) δεσµοί ]. ύο γραµµικά αρµονικά κύµατα διαδίδονται σε ένα ελαστικό µέσο και δηµιουργούν στάσιµο κύµα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0, συνπx ηµ8πt (S.I.). Να βρεθούν: α) Οι εξισώσεις των τρεχόντων κυµάτων που δηµιούργησαν αυτό το στάσιµο κύ- µα. β) Το πλάτος ενός σηµείου του ελαστικού µέσου, το οποίο απέχει από την πηγή διαταραχής: (i) x=0,5 m, (ii) x=0,5 m, (iii) x=0,5 m. γ) Ποιες χρονικές στιγµές, η αποµάκρυνση ενός σηµείου του ελαστικού µέσου, το οποίο απέχει από την πηγή διαταραχής κατά x=0,65 m, είναι y= m; 0 [ Απ. α) y = 0, ηµπ(t-x), y β) (i) 0, m, (ii) 0, (iii) 0, m, κ+ γ) t = (s), κ= 0,,,,..., ή 8 = 0, ηµπ(t+x), κ+ 5 t = (s), κ= 0,,,,... ] 8

πx. Μια χορδή εκτελεί ταλάντωση µε εξίσωση: y = 5 συν ηµ 0 π t, όπου τα x, y σε cm και το t σε s. Να βρεθούν: α) Η περίοδος, το µήκος κύµατος και η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. β) Η ταχύτητα ενός σηµείου της χορδής: 9 (i) µε συντεταγµένη x=,5 cm τη χρονική στιγµή t= s. 8 (ii) µε συντεταγµένη x=,5 cm τη χρονική στιγµή t=,065 s. 9 (iii) µε συντεταγµένη x= cm τη χρονική στιγµή t= s. 8 [ Απ. α) 0 s - 6 cm -, m s, β) (i) v=0, (ii) v = 00 π cm s (iii) v=-00π cm s ],. Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδονται δύο εγκάρσια αρµονικά κύµατα τα οποία περιγράφονται από τις εξισώσεις: x y = ηµπ 5t- 0 και x y = ηµπ 5t+ 0 ( x, y, y σε cm, t σε s ). α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος που δηµιουργεί η συµβολή των δύο προηγούµενων κυµάτων. β) Να γράψετε τις εξισώσεις, σε συνάρτηση µε το χρόνο, για την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σηµείου του ελαστικού µέσου, το οποίο βρίσκεται στη θέση µε συντεταγµένη x=,5 cm. πx [ Aπ. α) y = 6 συν ηµ0πt, β) v = 0 π συν0πt (v σε cm, t σε s) 0 s cm α=-00π ηµ 0 π t (α σε, t σε s ) ] s 5. Κατά µήκος µιας χορδής δηµιουργείται στάσιµο κύµα. Η εξίσωση της ταχύτητας ενός σηµείου της χορδής είναι: v=0,8π συνπx συν0πt (S.I.). Θεωρούµε ως αρχή µέτρησης των αποστάσεων (x=0) το σηµείο Ο (αριστερό άκρο της χορδής) και ως αρχή των χρόνων (t=0) τη χρονική στιγµή κατά την οποία η αποµάκρυνση στο σηµείο Ο είναι y=0 και η φορά της κίνησης είναι θετική. Να βρεθούν: α) Οι εξισώσεις των δύο κυµάτων που δηµιούργησαν το στάσιµο κύµα. β) Η εξίσωση της επιτάχυνσης ενός σηµείου της χορδής. [ Απ. α) y = 0 ηµπ(0t-x) =, y = 0 ηµ π (0t + x) β) = ηµ π +, α=-6π συν π x ηµ0πt ]

6. ύο εγκάρσια κύµατα του ίδιου πλάτους Α= cm, της ίδιας συχνότητας f=5 Hz διαδίδονται µε την ίδια ταχύτητα υ=0 cm/s κατά µήκος του άξονα x Οx. Τα κύ- µατα προέρχονται από δύο πηγές κυµάτων, την πηγή Ο που βρίσκεται στη θέση x=0 και την πηγή Ο που βρίσκεται στη θέση x=d=0 cm. Υποθέτουµε ότι κατά τη χρονική στιγµή t=0 οι δύο πηγές βρίσκονται στις θέσεις ισορροπίας τους και κινούνται κατά τη θετική φορά. Ζητούνται: α) Να γραφεί η εξίσωση του κύµατος που προκύπτει από τη συµβολή των δύο κυ- µάτων για τα σηµεία του άξονα x Οx που βρίσκονται µεταξύ των σηµείων Ο και Ο. β) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης στη θέση x=9 cm. γ) Ποιος είναι ο αριθµός των σηµείων του άξονα x Ox, µεταξύ των πηγών Ο και Ο, που παραµένουν ακίνητα; πx [ Απ. α) y = συν 5π- ηµ ( 0 π t 5π) (το t σε sec και τα x, y σε cm) β) Α = cm, γ) n=0 ] 7. Κατά µήκος χορδής, µήκους l = m, δηµιουργείται το στάσιµο κύµα του σχήµατος. Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος κατά µήκος της χοργής είναι υ= m/s. α) Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης 8cm που εκτέλεσε το αριστερό άκρο της χορδής. β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κυµάτων που δηµιουργήθηκαν πάνω στη χορδή. γ) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιµου κύµατος, που παράγεται πάνω στη χορδή. l= m δ) Να βρεθεί πόσο απέχει από το αριστερό άκρο της χορδής το σηµείο Σ, για το οποίο το πλάτος ταλάντωσης είναι Α = cm. ε) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης ενός σηµείου Ρ, το οποίο απέχει από το αριστερό άκρο της χορδής κατά x = 7 m. στ) Να βρεθεί η ταχύτητα της ταλάντωσης ενός σηµείου Ν της χορδής, το οποίο α- πέχει από το αριστερό άκρο της χορδής κατά x = m, τη χρονική στιγµή t=,5 s. ζ) Αν η εξίσωση της ταλάντωσης του αριστερού άκρου της χορδής είναι: y = 0, 0 ηµ ( π t)(m), να σχεδιαστεί το στάσιµο κύµα που θα παραχθεί πάνω στη χορδή µήκους l = m. [ Απ. α) y = 0,0 ηµ ( π t)(m), β) y = 0,0 ηµπ (tm x) (m), γ) y = 0, 0 συν ( π x) ηµ ( π t), δ) x=⅔ m, ε) A = ( Ρ ) 0, 0 (m), στ) v = 0,0 π (m/ s) ]

8. Κατά µήκος χορδής δηµιουργείται στάσι- µο κύµα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0, 06 συν ( π x) ηµ ( π t)(m). Τα σηµεία Κ, Λ και Μ της χορδής απέ- χουν από ένα δεσµό αποστάσεις α= m 6 και β= m, αντίστοιχα. Να βρεθεί η µε- γιστη κατακόρυφη απόσταση µεταξύ των σηµείων: α) Κ και Λ, β) Κ και Μ, γ) Λ και Μ. [ Απ. α) h = 0,0 ( 0,5)m, β) h = 0, 0 ( + 0, 5)m γ) h = 0, 06 m ] 9. Κατά µήκος της χορδής του σχήµατος δηµιουργείται στάσιµο κύµα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0,0 συν ( π x) ηµ ( π t)(m). Το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Κ είναι Α (Κ) =0,05 m, ενώ το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Λ είναι Α (Λ) =0,05 m. α) Να βρεθεί πόσο απέχουν (οριζόντια) τα σηµεία Κ και Λ. β) Τη στιγµή που η αποµάκρυνση του σηµείου Κ είναι y(k ) η αποµάκρυνση του σηµείου Λ. =+ 0, 05m να βρεθεί [ Απ. α) x= 5 m, β) y = 8 ( Λ ) 0, 05m ]

0. Κατά µήκος χορδής, µήκους l, δηµιουργούνται τα στάσιµα κύµατα (i) και (ii) του σχήµατος του ίδιου πλάτους (Α). (i) α) Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις, να βρεθεί ποια σχέση συνδέει τις συχνότητες των παραγοµένων ταλαντώσεων. β) Για τα σηµεία της χορδής (i), όπου το πλάτος της l ταλάντωσης είναι Α, πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης των σηµείων της χορδής (ii); γ) Για τα σηµεία της χορδής (ii), όπου το πλάτος της (ii) ταλάντωσης είναι Α, πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης των σηµείων της χορδής (i); δ) Για τα σηµεία της χορδής (ii), όπου το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0, πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης των σηµείων της χορδής (i); [ Απ. α) f =f, β) Α, A, γ) A, Α, Α, A, δ) A, A ]. ηµιουργία στάσιµου κύµατος σε χορδή, που έχει το ένα άκρο της ακλόνητο. Το κύµα (Κ ) που κινείται από την ελεύθερη άκρη προς το ακλόνητο άκρο περιγράφεται t x από την εξίσωση: y = A ηµ π + T λ. Στο ακλόνητο άκρο, όπου γίνεται ανάκλαση του κύµατος, έχουµε αναστροφή της φάσης και το κύµα (Κ ) που επιστρέφει περιγράφε- t x ται από την εξίσωση: y = A ηµ π +π T λ. K K x= 0 α) Να δείξετε ότι το στάσιµο κύµα που δηµιουργείται δίνεται από την εξίσωση: π x π t y = A ηµ συν. λ T β) Να βρεθεί πόσο απέχουν οι κοιλίες και οι δεσµοί του στάσιµου κύµατος από το ακλόνητο άκρο. γ) Να βρεθούν οι συχνότητες για τις οποίες παράγονται στάσιµα κύµατα στη χορδή, αν το µήκος της είναι l και τα κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ. λ λ (Υπόδειξη: ισχύει ότι: l = + K ). 5

λ λ [ Απ. β) x (K ) = (K + ), ή x (K ) = (K + ), Κ=0,,,, - λ x = K λ ή x = (K + ), Κ=0,,,,, υ γ) f = (K + ) l, Κ=0,,,, ]. Στο διπλανό σχήµα φαίνονται τα στιγµιότυπα (π.χ. για t =T/) των δύο αντιθέτως κινουµένων όµοιων κυµάτων, η συµβολή των οποίων δηµιουργεί στάσιµο κύµα. α) Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του στασί- µου κύµατος που παράγεται. β) Να σχεδιάσετε τα στιγµιότυπα των κυµάτων (α) και (β) καθώς και του συνιστάµενου κύµατος µετά από χρόνο t=t/ (δηλ. για t =T/). γ) Να σηµειώσετε πάνω στο συνιστάµενο κύ- µα (στάσιµο) τους δεσµούς και τις κοιλίες.. Κατά µήκος της χορδής του σχήµατος παράγεται στάσιµο κύµα. α) Να σχεδιάσετε πάνω στη χορδή τις ταχύτητες των σηµείων Κ, Λ, Μ τις χρονικές στιγµές t o =0, t =T/, t =T/. β) Αν δεχτούµε ένα µόριο της χορδής, που α- ντιστοιχεί στο σηµείο Κ, να βρεθεί η σχέση που συνδέει την κινητική προς την δυναµική του ενέργεια (στην ταλάντωση που κάνει) τις χρονικές στιγµές: t o =0, t =T/, t =5T/8. (to = 0) 6

. Κατά µήκος ελαστικής χορδής, από το αριστερό άκρο της και προς τα δεξιά, δη- µιουργείται στάσιµο κύµα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση: πx y = 0, συν ηµ ( π t). Στο αριστερό άκρο, για το οποίο είναι x = 0, αντι- στοιχεί κοιλία. α) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων της χορδής, τα οποία έ- χουν πλάτος: (i) A' = 0,(m), (ii) A' =+ 0,(m). β) Πόσα σηµεία, σε µήκος χορδής από x = 0 µέχρι x = 6 m, έχουν αποµάκρυνση y =+ 0, (m) τη χρονική στιγµή t = 0,5 s ; γ) Κάποια στιγµή (t) υπάρχουν σηµεία µε αποµάκρυνση y =+ 0,(m) και ταχύτητα µε µέτρο υ= 0, (m / s). Να βρεθεί το πλάτος A της γ.α.τ. που εκτελούν. δ) Ένα σηµείο της χορδής, το οποίο απέχει από την αριστερή άκρη της x = 0,5 m, πόσες φορές σε χρόνο t =,5 s έχει αποµάκρυνση y =+ 0,(m) και υ > 0 ; 8 [ Απ. α) (i) x min = (m), (ii) x min = (m), β), γ) A = 0, m, δ) ] 7