Ασκήσεις στη συµβολή κυµάτων

Transcript

1 Ασκήσεις στη συµβολή κυµάτων. Οι δύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν την ίδια στιγµή κύµατα, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο ελαστικό µέσο µε ταχύτητα υ=30 m/s. Σε όλα τα σηµεία της µεσοκαθέτου στην ευθεία Π Π υπάρχει ενισχυτική συµβολή. α) Να βρεθεί η διαφορά δρόµων των δύο κυ- µάτων για τα σηµεία αριστερά και δεξιά της µεσοκαθέτου, όπου το πλάτος της ταλάντωσής τους είναι Α (µε µέγιστο πλάτος στα σηµεία ενισχυτικής συµβολής Α). β) Να βρεθεί η διαφορά δρόµων των δύο κυµάτων για τα πρώτα σηµεία αριστερά και δεξιά της µεσοκαθέτου, όπου το πλάτος της ταλάντωσής τους είναι Α (µε µέγιστο πλάτος στα σηµεία ενισχυτικής συµβολής Α). λ [ Απ. α) d d = (6k + ), k=0,,, 3,, κ.λ., β) d d = m ] 3. ύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύ- µατα, πλάτους Α=4 cm, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ= m/s. Να βρεθούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σηµείου Σ, το οποίο απέχει από την πηγή Π απόσταση d =0,3 m και από την πηγή Π απόσταση d =0,5 m. β) Η µέγιστη ταχύτητα της α.α.τ. του σηµείου Σ. γ) Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σηµείου Σ, το οποίο απέχει από την πηγή Π απόσταση d =0, m και από την πηγή Π απόσταση d =0,8 m. δ) Η µέγιστη ταχύτητα της α.α.τ. του σηµείου Σ, το οποίο απέχει από την πηγή Π απόσταση d =0,6 m και από την πηγή Π απόσταση d =0,9 m. ε) Η µέγιστη επιτάχυνση της α.α.τ. ενός σηµείου Ρ, το οποίο απέχει από την πηγή Π απόσταση r =,0 m και από την πηγή Π απόσταση r =, m. [ Απ. α) Α =4 cm, β) υ max =,60π (m/s), γ) Α =8 cm, δ) υ max =0, ε) α max =64π (m/s ) ] 3. ύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύ- µατα, πλάτους Α=3 cm, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ=5 m/s. Να βρεθεί η αποµάκρυνση και η ταχύτητα ενός σηµείου Σ, το οποίο α- πέχει από την πηγή Π απόσταση d = m και από την πηγή Π απόσταση d =3 m τις χρονικές στιγµές: α) t =0,65 s, β) t =0,6 s, γ) t 3 =0,475 s. [ Απ. α) y=6 cm, υ=0, β) y=0, υ=,π (m/s), γ) y = 3 cm (µόνο από το κύµα της πηγής Π ), υ=0 ]

2 4. ύο πηγές Α και Β παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύµατα, τα ο- ποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ=5 m/s. Η εξίσωση της ταλάντωσης της πη- γής Α είναι: y = 4 0 ηµ (0 π t), ενώ η εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής Β είναι: (A) y(b) = 4 0 ηµ(0 πt+ π) = π π. (S.I.) α) Να βρεθεί η εξίσωση της αποµάκρυνσης ενός σηµείου Σ της επιφάνειας του υ- γρού, το οποίο απέχει από την πηγή Α απόσταση d και από την πηγή Β απόσταση d. β) Αν d = m και d =,5 m, να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Σ. γ) Να βρεθεί η αποµάκρυνση ενός σηµείου Ρ, το οποίο απέχει από τις πηγές r =,5m και r =,75 m, αντίστοιχα, τη χρονική στιγµή t=0,575 s. δ) Να βρεθεί η ταχύτητα της α.α.τ. του σηµείου Ρ (r =,5m και r =,75 m ), τη χρονική στιγµή t =0,6 s. π π [Απ. α) y( Σ) = 8 0 συν π (d d ) ηµ 0 π t π (d + d ) + (S.I.), β) Α =0, γ) y = 8 0 m, δ) v=,6π (m/s) ] (P) 5. ύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή (t o =0) Π Π Σ κύµατα, πλάτους A = 4 0 m, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ=8 m/s. d x α) Να δείξετε ότι η αποµάκρυνση του σηµείου Σ του σχήµατος, από τη στιγµή που συναντώνται τα δύο κύµατα δίνεται από τη σχέση: d t d+ x y = A συν π ηµ π T λ λ, για d+ x t υ d+ x ή y = 8 0 συν (, 5 π d) ηµ π 0t,6 β) Αν d=,4 m και x=0,4 m, να βρεθεί η αποµάκρυνση του σηµείου Σ τη χρονική στιγ- µη t=0,375 s. 3 γ) Να βρεθεί η ταχύτητα του σηµείου Σ, τη χρονική στιγµή t = (s). 60 [ Απ. β) =, γ) υ= 0,8 π (m / s) ] y= 8 0 m

3 6. ύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή (t o =0) κύµατα. Η ταλάντωση των πηγών περιγράφε- Παναγιώτης Μόρφης (to = 0) (to = 0) Π Σ Π ται από την εξίσωση: y = 0, 0 ηµ ( π t)(m) x και τα παραγόµενα κύµατα διαδίδονται µε τα- d χύτητα υ= m/s. α) Να υπολογιστεί η εξίσωση της ταλάντωσης του σηµείου Σ. β) Αν το σηµείο Σ είναι το µέσο της απόστασης Π Π (δηλ. x=d/), πόσο επηρεάζεται το αποτέλεσµα της συµβολής (ενίσχυση ή απόσβεση) από την απόσταση d των δύο πηγών; γ) Αν οι δύο πηγές Π και Π απέχουν µεταξύ τους απόσταση d=6, m, σε πόσα ση- µεία του ευθύγραµµου τµήµατος Π Π έχουµε: (i) ενισχυτική συµβολή, (ii) απόσβεση; π t d [Απ. α) y = 0, 04 συν (d x) ηµ π 4 8, β) A 0,04m f(d) =, γ) (i) x = 8 κ,[ κ= 0, ±, ±, ± 3, ± 4], (ii) x = 7 κ, ( κ= 0, ±, ±, ± 3, 4) ] 7. ύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύ- µατα, πλάτους Α=3 cm, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ=5 m/s. α) Να γράψετε την εξίσωση (ποσοτικά) της αποµάκρυνσης ενός σηµείου Σ της επιφάνειας του νερού, το οποίο απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις d και d αντίστοιχα. β) i) Ποια είναι η εξίσωση του πλάτους της κίνησης του σηµείου Σ; ii) Ποια είναι η συνθήκη για ενισχυτική συµβολή στο σηµείο Σ; iii) Ποια είναι η συνθήκη για αποσβεστική συµβολή στο σηµείο Σ; 5 γ) Ποιες χρονικές στιγµές το σηµείο Σ, αν απέχει από τις πηγές d = m και d = m, έχει αποµάκρυνση: (i) y= 3 3(cm), (ii) y=,5 3(cm) ; (Σηµείωση: Πρέπει να ισχύ- 5 ει t (s) ). 9 δ) Ποιες χρονικές στιγµές το σηµείο Σ, αν απέχει από τις πηγές d =3 m και d = m, 6 έχει αποµάκρυνση: (i) y=,5 (cm), (ii) y= 0(cm) ; 9 (Σηµείωση: Πρέπει να ισχύει t (s) ). 30 ε) Πόσες χρονικές στιγµές, µέσα στο χρονικό διάστηµα 0,8(s) t,(s), το σηµείο Σ, αν απέχει από τις πηγές d =,5 m και d = 4,5 m, έχει αποµάκρυνση y = 0 (cm); (Σηµείωση: Πρέπει να ισχύει t 0,9(s) ). [ Απ. α) y = 6 συν π d d ηµ π 0t ( d + d ) (cm), 3

4 κ β) (i) A = 6 συν π d d, (ii) d d =, κ= 0,,, 3,..., ( κ+ ) (iii) d d =, κ= 0,,, 3,..., 4 κ 5, γ) (i) t = + s 0, κ = 0,,,3,, κ 5 κ 5,4 (ii) t = +, κ= 0,,,3,..., και t = +, κ= 0,,,3, κ 77(83) κ 78(8) δ) (i) t 3 = +, κ= 0,,,3,..., (ii) t 4 = +, κ= 0,,,3, ε) 7 στιγµές ] 8. Οι δύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν την ίδια στιγµή κύµατα, πλάτους Α=4 cm, συχνότητας f=0 Hz, τα οποία διαδίδονται στο ε- λαστικό µέσο µε ταχύτητα υ=5 m/s. α) Να δείξετε ότι η αποµάκρυνση ενός σηµείου Σ, τη στιγµή που φτάνει σ αυτό το κύµα α- πό την πηγή Π (µε d >d ), είναι: π y = A ηµ (d d ) = 0, 04 ηµ 4 π (d d )(m). λ β) Αν το τρίγωνο Π ΣΠ είναι ορθογώνιο µε Π Π =5 m και d =3 m, να βρεθεί η από- µάκρυνση του σηµείου Σ τη στιγµή t=0,85 s. γ) Αν το σηµείο Σ είναι πάνω στη µεσοκάθετο (Μ), να δείξετε ότι η µέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσής του είναι v max =,6π (m/s). [ Απ. β) y= 0,04 m ] 9. Για τη διάταξη του σχήµατος της άσκησης 8, να δείξετε ότι το άθροισµα των διαδρο- µών (d +d ) των δύο κυµάτων, µέχρι το σηµείο Σ, για το οποίο είναι y =+ A και το πλάτος της ταλάντωσής του είναι A = A δίνεται από τη σχέση: t 8 + d + d = λ T 8, όπου 0,,,... = ± ± 0. Στη διάταξη της άσκησης 8, οι δύο πηγές Π και Π εκτελούν γ.α.τ. που περιγράφεται από την εξίσωση: y( Π ) = 0, 03 ηµ ( π t) (S.I.). Τα δύο κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ= m/s. Το σηµείο Σ του µέσου απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις d =6 m και d =8 m, αντίστοιχα. Ποιες χρονικές στιγµές, µέσα στο χρονικό διάστηµα από 6 s µέχρι s (6s t s), η αποµάκρυνση του σηµείου Σ είναι y =+ 0, 03m (και υ>0) ; [ Απ. 6,5 s (µόνο από το ένα κύµα) (49/6) s (6/6) s ] 4

5 . Στη διάταξη της άσκησης 8, οι δύο πηγές Π και Π εκτελούν γ.α.τ. που περιγράφεται από την εξίσωση: y( Π ) = 0, 06 ηµ ( π t) (S.I.). Τα δύο κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ= m/s. Το σηµείο Σ του µέσου απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις d =5 m και d =9 m, αντίστοιχα. α) Μέχρι ποιο σηµείο της ευθείας (Π Σ) έχει φτάσει το κύµα που προέρχεται από την πηγή (Π ), τη στιγµή που το σηµείο Σ (εξαιτίας του κύµατος από την πηγή Π ) έχει α- ποµάκρυνση y() =+ 0, 03(m) (και υ>0) για η φορά; β) Πόση είναι η ταχύτητα της ταλάντωσης του σηµείου Σ τη στιγµή που φτάνει το κύ- µα και από την πηγή Π ; 43 [ Απ. α) x = (m), β) υ=0,4π (m/s) ] 6. Στη διάταξη της συµβολής του σχήµατος, οι δύο πηγές Π και Π εκτελούν γ.α.τ. που περιγράφεται από την εξίσωση: y = 0, 06 ηµ ( π t) (S.I.). Τα δύο κύµα- = ( Π ) (to = 0) (to = 0) Π Π Σ M Σ x x d τα διαδίδονται µε ταχύτητα υ=0,5 m/s. Οι δύο πηγές απέχουν µεταξύ τους απόσταση d=6 m. ύο σηµεία Σ και Σ, συµµετρικά του µέσου Μ των δύο πηγών, απέχουν από το µέσο Μ απόσταση x=0,5 m. α) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο t αρχίζουν τα σηµεία Σ και Σ να εκτελούν <<διπλή>> γ.α.τ. (αποτέλεσµα συµβολής); β) Να υπολογίσετε την αποµάκρυνση των σηµείων Σ και Σ µετά από χρόνο t =7,5 s (από τη στιγµή που άρχισαν να διαδίδονται τα δύο κύµατα). [ Απ. α) t =7 s, β) y=0, m ] 3. Στη διάταξη της συµβολής του σχήµατος, της άσκησης, οι δύο πηγές Π και Π εκτελούν γ.α.τ. που περιγράφονται από τις εξισώσεις: y = 0, 03 ηµ ( π t) και = ( Π ) π y( Π ) = 0, 03 ηµ π t + (S.I.). Τα δύο κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα υ= m/s. Οι δύο πηγές απέχουν µεταξύ τους απόσταση d= m. α) Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν τα δύο κύµατα; β) Πόση αποµάκρυνση (y) έχει το κάθε κύµα χωριστά τη στιγµή της συνάντησης των δύο κυµάτων (στο σηµείο συνάντησης); γ) Το σηµείο Μ είναι το µέσο της απόστασης των δύο πηγών. Πόση η αποµάκρυνσή του τη στιγµή t =3,5 s; δ) Πόσα σηµεία, µεταξύ των πηγών Π και Π, εκτελούν γ.α.τ. µε πλάτος Α =0,06 m; ε) Πόσα σηµεία, µεταξύ των πηγών Π και Π, εκτελούν γ.α.τ. µε πλάτος Α =0; [ Απ. α) t=,75 s, β) y () =y () =0, γ) y (M) =0,03 m, δ) 6 (x=5,5- ), ε) 6 (x=4,5- )] 5

6 4. ύο σύγχρονες πηγές Α και Β παράγουν στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύ- µατα, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε ταχύτητα υ=5 m/s. Η εξίσωση της ταλάντω- σης και των δύο πηγών είναι: y = 4 0 ηµ (0 π t). Οι πηγές απέχουν µεταξύ (A,B) τους απόσταση D=4 m. Από την πηγή Α φέρουµε κάθετη στην ευθεία που ορίζουν οι πηγές. Πάνω στην κάθετη αυτή θεωρούµε ένα σηµείο Σ του υγρού, το οποίο απέχει α- πό την πηγή Α απόσταση d =3 m. Να βρεθούν: α) Το µέγιστο πλάτος ταλάντωσης του σηµείου Σ. β) Μετά από πόσο χρόνο t, από τη στιγµή που άρχισαν να διαδίδονται τα κύµατα από τις δύο πηγές, η αποµάκρυνση του σηµείου Σ είναι για η φορά y=+0,0 m; γ) Μετά από πόσο χρόνο t, από τη στιγµή που άρχισαν να διαδίδονται τα κύµατα από τις δύο πηγές, η αποµάκρυνση του σηµείου Σ είναι για η φορά y=+0,08 m; [ Απ. α) 0,08 m, β) t =(73/0) sec, γ) t =,05 sec ] 5. Σε κάποιο σηµείο στην επιφάνεια ενός υγρού δη- µιουργούµε κύµατα µε την πηγή Π. Στο σηµείο Σ της επιφάνειας, σε απόσταση α από την πηγή, τα κύµατα µπορούν να φτάσουν ή απευθείας (ακολουθώντας τη διαδροµή ΠΣ) ή αφού ανακλαστούν στον ανακλαστήρα Κ που βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού και πάνω στη µεσοκάθετο του τµή- µατος ΠΣ. Τα κύµατα που παράγονται από την πηγή Π έχουν συχνότητα f=0,5 Hz και διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού µε ταχύτητα υ= m/s. α) Αν δίνονται οι αποστάσεις α=3 m και h=4 m να βρεθεί αν στο σηµείο Σ θα έχουµε ενίσχυση ή απόσβεση του κύµατος; β) Κατά πόσο (d) πρέπει να <<κατεβάσουµε>> τον ανακλαστήρα, παράλληλα µε τον εαυτό του, προς την ευθεία ΠΣ, ώστε να συµβαίνει απόσβεση του κύµατος; [ Απ. α) ενίσχυση, β) d=0,646 m ή,354 m ή,97 m ] i Π α K h M α Σ 6

7 6. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται µια διάταξη που αποτελείται από δύο σωλήνες Α και Β. Ο σωλή- Π A B νας Β µπορεί να µετακινείται και µε τον τρόπο x αυτό να µεταβάλλεται το µήκος x. Ηχητική πηγή Π δηµιουργεί ήχο συχνότητας f στο ένα ανοιχτό άκρο του σωλήνα. Στο άλλο ανοιχτό άκρο (Σ) φτάνουν ταυτόχρονα δύο ηχητικά κύµατα. Τα Σ κύµατα δηµιουργούνται από την πηγή και διαδίδονται µέσω του αέρα στους σωλήνες Α και Β. Μετακινώντας το σωλήνα Β (µεταβάλλεται τότε η απόσταση x) η ένταση του ήχου στο σηµείο Σ αυξοµειώνεται. Αν για µία τιµή του x, την x =0,54 m, η ένταση του ήχου στο σηµείο Σ είναι µηδέν και για την α- µέσως επόµενη τιµή του x, την x =0,6 m, ξαναµηδενίζεται η ένταση του ήχου να βρεθεί η συχνότητα f του ήχου που δηµιουργεί η πηγή. ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο σωλήνα υ=340 m/s. υ [ Aπ. f = = 06, 5(Hz) ] (x x ) 7. Οι δύο σύγχρονες πηγές Π και Π παράγουν την ίδια στιγµή κύµατα τα οποία συµβάλλουν σε διάφορα ση- µεία του επιπέδου του σχήµατος. Οι δύο πηγές απέχουν µεταξύ τους απόσταση D=7 m. Το σηµείο Σ α- πέχει από την ευθεία Π Π απόσταση h=4 m και βρίσκεται στη µεσοκάθετο ΜΣ. Αν το πρώτο σηµείο Ρ, στο οποίο συµβαίνει ενισχυτική συµβολή, απέχει οριζόντια του Σ κατά x=0,5 m, να βρεθεί το µήκος κύµατος λ. Στη συνέχεια να προσδιοριστεί σχέση που συνδέει την απόσταση x µε τα µεγέθη: λ, h, D. [ Απ. λ = ( )m 0, 6568 m, h Π M Π D λ 4h x = + ] D ( λ ) Σ x Ρ 7

8 8. ύο σύγχρονες πηγές Α και Β παράγουν y(cm) στην επιφάνεια υγρού την ίδια στιγµή κύ- µατα, τα οποία διαδίδονται στο υγρό µε +8 ταχύτητα υ=4 m/s. Η εξίσωση της ταλάντωσης και των δύο πηγών είναι: 0,5 t(s) y(a,b) = 4 0 ηµ (4 π t) (S.I.). Ένα ση- 8 µείο Σ βρίσκεται πάνω σε ευθεία κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Ο χρόνος αρχίζει να µετρά από τη στιγµή που αρχίζουν οι πηγές την ταλάντωσή τους. Η αποµάκρυνση του ση- µείου Σ, σε συνάρτηση µε το χρόνο, φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα. Ένας υποψήφιος που µελετά αυτό το διάγραµµα υποστηρίζει ότι το σηµείο Σ βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο της ευθείας ΑΒ. (α) Έχει δίκιο ή όχι; ικαιολογήστε την απάντησή σας. (β) Αν έχει δίκιο, πόσο απέχει το σηµείο Σ από τις δύο πηγές; (γ) Πόσο είναι το µέτρο της ταχύτητας του σηµείου Σ, τη στιγµή t =,5 s ; [ Απ. (α) ναι, (β) 6 m, (γ) υ= 6 π 0 m/s ] 8

9 9