ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 3 Μόνιμη κατάσταση λειτουργίας ΣΜ Παράλληλη λειτουργία ΣΜ Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ

Σύγχρονη μηχανή κυλινδρικού δρομέα ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλεκτρική ισχύς σε μόνιμη κατάσταση cos sin s t t X V E I V P s t s t t X V X V E I V Q 2 cos sin 0

Ηλεκτρική ισχύς σε μόνιμη κατάσταση Σύγχρονη μηχανή έκτυπων πόλων Ισχύς αντίδρασης P V t E x d f x 2 d xq sin Vt sin 2 2x x d q

Πρόβλημα 1. Μια τριφασική σύγχρονη γεννήτρια κυλινδρικού δρομέα 100MVA, 15kV έχει σύγχρονη αντίδραση η κορεσμένη τιμή της οποίας είναι X s,s =1.4 pu και η ακόρεστη X s,u =1.6pu. Η μηχανή συνδέεται σε ένα δίκτυο το οποίο έχει ισοδύναμη αντίδραση Thevenin X TH =0.25pu και τάση V TH =1pu (και οι δύο τιμές αναφέρονται στο σύστημα βάσης της γεννήτριας). Η γεννήτρια εμφανίζει τάση ανοικτού κυκλώματος ίση με 1pu όταν το ρεύμα διέγερσής της είναι 300Α. Η μηχανή βρίσκεται στον κορεσμό όταν η τάση στους ακροδέκτες της είναι μεγαλύτερη από 0.85pu.

Πρόβλημα 1. (α) Να βρεθεί η μέγιστη ισχύς με την οποία μπορεί να τροφοδοτήσει η μηχανή το δίκτυο εάν το ρεύμα διέγερσης είναι 300Α. Η ισχύς που μεταφέρεται ανάμεσα σε σύγχρονη μηχανή κυλινδρικού δρομέα και δίκτυο είναι: P = E fv TH sinδ X s + X TH Και η μέγιστη για δ=90 ο P max = E fv TH X s + X TH Υποθέτουμε ότι η τάση στους ακροδέκτες θα είναι μεγαλύτερη των 0,85pu και έτσι θα χρησιμοποιήσουμε την κορεσμένη τιμή της σύγχρονης αντίδρασης. Έχουμε, E f =1pu (αφού Ι f =300A), και V TH =1pu. Από την (6.23) παίρνουμε,

Πρόβλημα 1. EV f TH 11 Pmax 0.606 pu 60.6MW X X 1.4 0.25 s TH Παρατηρούμε ότι η μηχανή μπορεί να δώσει μόνον το 60.6% της ονομαστικής της ισχύος. Στην πραγματικότητα-για αυτό το ρεύμα διέγερσης- η επιτρεπτή ισχύς της γεννήτριας είναι αρκετά μικρότερη αφού για λόγους δυναμικής ευστάθειας η γωνία δ πρέπει να είναι αρκετά μικρότερη των 90 (60 ο 70 ο ). Ελέγχουμε εάν η τάση στους ακροδέκτες της μηχανής είναι όντως >0,85pu: Το ρεύμα στο στάτη είναι και η τάση στους ακροδέκτες I a Ef 90 VTH 0 190 10 0.85745 j( X X ) j1.65 s, s TH V t E f jx ss, I a 190 j1.4 0.85745 0.8610 Επομένως η μηχανή βρίσκεται όντως στον κορεσμό.

Πρόβλημα 1. (β) Να σχεδιασθεί το μέτρο της τάσης ακροδεκτών και η ισχύς που δίνει στο δίκτυο η γεννήτρια σαν συνάρτηση της γωνίας δ, θεωρώντας ότι το ρεύμα διέγερσης είναι πάντα 300Α. Το ρεύμα στο στάτη είναι: I a Ef VTH 0 1 10 j( X X ) j( X X ) s TH s TH και η τάση στους ακροδέκτες είναι: V V jx I a 10 j0.25 I t TH TH a Ιa

Τάση ακροδεκτών, pu Ισχύς, pu ΜΑΘΗΜΑ 3 Πρόβλημα 1. 1,01 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0,85 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 3 6 9 11 14 17 20 23 26 30 33 36 40 44 48 52 57 63 70 82 Γωνία φορτίου, δ Επειδή η ισχύς είναι μικρότερη της P max η τάση θα είναι μεγαλύτερη από αυτήν που υπολογίσθηκε στο (α) και επομένως η X s θα είναι η κορεσμένη. (0<P<Pmax)

Πρόβλημα 1. (γ) Υποθέτοντας ότι ο ρυθμιστής τάσης της γεννήτριας ενεργοποιείται και διατηρεί, ελέγχοντας το ρεύμα διέγερσης, την τάση στους πόλους στο 1pu και την ισχύ ίση με την ονομαστική, να υπολογιστεί η γωνία φορτίου δ, η εσωτερική τάση και το ρεύμα διέγερσης της μηχανής. Να γίνει γράφημα με την μεταβολή της E f σαν συνάρτηση της ισχύος. Εφόσον η τάση ακροδεκτών V t =1pu, και η σχύς P=1pu, θα έχουμε: P VV t TH 11 sin1 sin1 1 14, 47 X 0.25 TH δ 1 γωνία μεταξύ V t και V TH

Πρόβλημα 1. Το ρεύμα στο στάτη και στο δίκτυο είναι I a Vt 14.47 VTH 0 114.47 10 1.0087.4 jx j0.25 TH και η εσωτερική τάση της γεννήτριας είναι (σε pu) E f V j( X X ) I a 10 j1.65 1.0087.4 1.82664.54 TH TH ss Το ρεύμα διέγερσης υπολογίζεται από την (5.21): Ε af = ω el af I f 2 I f = 2 Ε af ω e L af Ε af Ε af = ωel af I f 2 ωel af I f 2 I f = Ε af I Ε f I f = 1.826 af 1 300 Επομένως το ρεύμα διέγερσης (σε Ampere) θα είναι: 300x1.826=547.8A.

Ef, pu ΜΑΘΗΜΑ 3 Πρόβλημα 1. Η μεταβολή της E f με την ισχύ έτσι ώστε η τάση ακροδεκτών να είναι πάντα 1pu φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 Ισχύς, pu

Πρόβλημα 2. Ένας σύγχρονος τριφασικός κινητήρας έκτυπων πόλων έχει ονομαστικά στοιχεία: P=1500Hp, 2.1kV, cosφ=1, X d =1.8Ω, Χ q =1.3Ω. Ο κινητήρας συνδέεται σε άπειρο ζυγό με τάση 2,1kV. Να βρεθεί η μέγιστη ισχύς στον άξονα του κινητήρα χωρίς αυτός να τεθεί εκτός συγχρονισμού (θεωρούμε ότι η ισχύς αυξάνεται με πολύ αργό τρόπο έτσι ώστε να μην έχουμε προβλήματα δυναμικής ευστάθειας). Η διέγερσή του έχει εκείνη την τιμή που σε ονομαστική ισχύ ο συντελεστής ισχύος είναι μονάδα. Η ωμική αντίσταση του στάτη αμελείται.

Πρόβλημα 2. Σε σύγχρονες μηχανές έκτυπων πόλων η ισχύς δίνεται από την: P V E x x t f 2 d q sin Vt sin 2 xd 2xd xq Για να προσδιορίσουμε την μέγιστη ισχύ του θα πρέπει να υπολογίσουμε την εσωτερική τάση E f. Το διανυσματικό διάγραμμα του κινητήρα όταν λειτουργεί με ονομαστική ισχύ και cosφ=1 φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. Ο

Πρόβλημα 2. Ο Η τάση Vt προηγείται της E f κατά γωνία δ. Ο προσδιορισμός της γωνίας δ θα γίνει με το βοηθητικό διάνυσμα οα (το οποίο έχει επίσης γωνία δ). Είναι: oα = V t + ο α ο α = ji a X q oα = V t ji a X q

Πρόβλημα 2. 2100 V t 0 1212.4 0 3 Επειδή για P=1500Hp=1120kW (1Hp=0,745kW), είναι cosφ=1, έχουμε S=P=1120kVA και το ρεύμα στον στάτη Η γωνία του ρεύματος ως προς το V t είναι μηδέν. Ia 1120 307.6 A 3 2.1 Έτσι oa ' V t ji ax q 1212.4 j307 1.3 1276.618.26 Αρα δ=18,26 Από το παραπάνω σχήμα έχουμε E V cos I X V cos I sin X 1324.5 V f t d d t a d

Πρόβλημα 2. Η ισχύς δίνεται από την Η μέγιστη ισχύς είναι για V E x x P dp d t f 2 d q sin Vt sin 2 892.12sin 157sin 2 xd 2xd xq 0 892.12cos 314cos 2 0 P 73.14 max Και η μέγιστη ισχύς υπολογίζεται σε P max =940.9kW/φάση ή 2822.7 kw τριφασική

Πρόβλημα 3. Στο σχήμα φαίνεται σχηματικά μια σύγχρονη μηχανή με έκτυπους πόλους. Στο στάτη υπάρχουν δύο τυλίγματα με κάθετους μαγνητικούς άξονες ενώ στο δρομέα υπάρχει ένα τύλιγμα. Λόγω των έκτυπων πόλων, το διάκενο δεν είναι ομοιόμορφο και για το λόγο αυτό οι αυτεπαγωγές και οι αμοιβαίες επαγωγές μεταξύ των τυλιγμάτων μεταβάλλονται με την θέση του δρομέα η οποία προσδιορίζεται από την γωνία θ 0. Προσεγγιστικά μπορούμε να πούμε ότι: L aa = L 0 + L 2 cos2θ 0 L bb = L 0 L 2 cos2θ 0 L ab = L 2 sin2θ 0 Η αμοιβαίες επαγωγές μεταξύ στάτη και δρομέα μεταβάλλονται ως: L M cos L af bf Msin Τα L o, L2 και Μ είναι θετικές σταθερές. Η αυτεπαγωγή L ff του δρομέα θεωρείται επίσης σταθερή. Ο δρομέας θεωρούμε ότι διαρρέεται από συνεχές ρεύμα Ir ενώ τα τυλίγματα του στάτη από τα συμμετρικά ρεύματα i ( t) 2I cos( t ) a i ( t) 2I sin( t ) b Ο δρομέας στρέφεται με τις σύγχρονες στροφές, και η θέση του επομένως καθορίζεται από την θ 0 =ωt. Ζητούνται: 0 0

Πρόβλημα 3. Α) Να βρεθεί μια έκφραση για την ροπή που ασκείται στο δρομέα Η συνενέργεια του συστήματος είναι: 1 1 1 W i L i L I L i i L i I L i I L 2 2 2 ' 2 2 2 fld a aa b bb r ff a b ab a r af b r bf και η ροπή υπολογίζεται από την μερική παράγωγο ως προς τη μηχανική γωνία: W dl dl T i i i I i I ' 2 2 fld ia dlaa ib dlbb dlab af bf fld a b a r b r 0 2 d,, 0 2 d i I 0 d0 d0 d0 a ib r 2 2IaIrM sin 2Ia L2 sin 2

Πρόβλημα 3. Β) Μπορεί η μηχανή να λειτουργήσει σαν κινητήρας ή σαν γεννήτρια; Εάν δ>0, τότε Τ>0 και η μηχανή είναι κινητήρας. Εάν δ<0, τότε Τ<0 και η μηχανή είναι γεννήτρια. Γ) Θα συνεχίσει η μηχανή να λειτουργεί εάν το ρεύμα του δρομέα γίνει μηδέν; 2 Εάν Ιr=0 η ροπή Tfld 2Ia L2 sin 2 θα εξακολουθεί να υπάρχει και επομένως η μηχανή θα εξακολουθήσει να περιστρέφεται. Αυτή είναι η λεγόμενη ροπή αντίδρασης (reluctance torque) και οφείλεται στο γεγονός ότι οι πόλοι είναι έκτυποι (L2 0). Στην περίπτωση κυλινδρικού δρομέα L2=0 και εφόσον Ιr=0 η ροπή θα ήταν μηδέν.

Πρόβλημα 4. Ένας εξαπολικός σύγχρονος κινητήρας, 50Hz, έχει διάκενο 1.5mm, μέση διάμετρο στο διάκενο ίση με 25cm, και μήκος 50cm. Το τύλιγμα στο δρομέα έχει 900 στροφές και συντελεστή τυλίγματος 0,965. Για θερμικούς λόγους το ρεύμα στο δρομέα δεν πρέπει να υπερβεί τα 30Α. Να υπολογισθεί η μέγιστη ροπή και ισχύς που μπορεί να δώσει αυτός ο κινητήρας. Η ροπή θα δοθεί από τη σχέση (6.71): T P Dl 2 2 F B sin r sr r Και η μέγιστη τιμή θα δοθεί για δ r =-π/2 Τ max = P 2 πdl 2 F rb sr

Πρόβλημα 4. Η μέγιστη τιμή της ΜΕΔ του πεδίου του δρομέα μπορεί να υπολογισθεί από την (2.11) (F r1 ) max = 4 π k r N r P I r,max = 4 π 0.965 900 6 30 = 5529 A στροφες Θα θεωρήσουμε ότι η μέγιστη πυκνότητα της συνισταμένης μαγνητικής ροής δεν πρέπει να υπερβεί τα 1.5Τ (λόγω φαινομένων κορεσμού). Δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι Βsr=1.5T. Η μέγιστη ροπή μπορεί να βρεθεί από την (6.71) για δr=-π/2 (το μείον επειδή έχουμε κινητήρα). T 6 0.25 0.5 5529 1.5 4885,3 Nm 2 2 Επειδή ο κινητήρας είναι εξαπολικός, οι ονομαστικές στροφές του είναι 1000rpm=104.7 rad/s. Επομένως, η ισχύς του κινητήρα είναι, P=Tω=4885,3 104,7=511,6 kw.

Στατική χαρακτηριστική P-f Στατική χαρακτηριστική Q-V

Πρόβλημα 5. Δυο σύγχρονες γεννήτριες Α και Β, λειτουργούν παράλληλα και τροφοδοτούν ένα φορτίο 300 KW στα 50 Hz. Οι γεννήτριες είναι ίδιες με ονοματικά στοιχεία 690 V, 625 kva, cosφ=0.8, 50Hz. Η ρύθμιση των στροφών κάθε γεννήτριας είναι 2%. Η γεννήτρια Α δίνει 100 kw και η γεννήτρια Β, 200 kw. Εάν θεωρήσουμε ότι γίνεται απόζευξη της γεννήτριας Α, να υπολογιστεί η συχνότητα (α) της γεννήτριας Α, (β) της γεννήτριας Β (γ) του ζυγού που τροφοδοτεί το φορτίο.

Πρόβλημα 5. (α) Να υπολογιστεί η συχνότητα της γεννήτριας Α Α1, Β1 Σημεία κατάστασης πριν την απόζευξη της γεννήτριας Α. Η ονομαστική ισχύς (Ρ) κάθε γεννήτριας είναι P=625 0.8=500 kw.

Πρόβλημα 5. Η κλίση β των στατικών χαρακτηριστικών είναι: Άρα για την γεννήτρια Α έχουμε: β = Δf ΔΡ = f nl f ον 0 P ον = s Df ον P ον fa s f 0.02 50 D fa f A P P 100 500 0.2 Hz Έτσι, μετά την απόζευξή της, η γεννήτρια Α θα έχει συχνότητα: f Anl = 50+0.2=50.2 Hz

Πρόβλημα 5. (β) να υπολογιστεί η συχνότητα της γεννήτριας Β Επειδή και οι δυο μηχανές είναι ίδιες, Δf B = 0.2 Hz Η νέα συχνότητα της γεννήτριας Β, η οποία, μετά την απόζευξη της γεννήτριας Α, τροφοδοτεί όλο το φορτίο των 300 kw, θα είναι f Βnl = 50-0.2=49,8 Hz (γ) Να υπολογιστεί η συχνότητα του ζυγού που τροφοδοτεί το φορτίο. Η συχνότητα του ζυγού είναι προφανώς ίδια με την συχνότητα της γεννήτριας Β, δηλαδή 49.8 Hz. Παρατηρούμε ότι η τάση των γεννητριών δεν σχετίζεται με την κατανομή του φορτίου, τις αλλαγές του φορτίου ή της συχνότητας. Η μόνη απαίτηση είναι οι τάσεις των δυο γεννητριών να είναι ίσες μεταξύ τους για να μπορούν να παραλληλισθούν.

Πρόβλημα 6. Δυο γεννήτριες Α και Β τροφοδοτούν παράλληλα ένα φορτίο 400 kw στα 50 Hz. Κάθε γεννήτρια δίνει από 200 kw. Η γεννήτρια Α έχει ονομαστικά στοιχεία 625 kva, cosφ=0.8, 50Hz, 2.3kV και είναι εξαπολική. Η γεννήτρια Β έχει ονοματικά στοιχεία 375 kva, cosφ=0.8, 50Hz, 2.3kV και είναι τετραπολική. Θεωρούμε ότι οι ρυθμιστές στροφών των γεννητριών δεν μετακινούν τις στατικές χαρακτηριστικές τους. Η ρύθμιση στροφών κάθε γεννήτριας είναι 2,43%.Εάν το φορτίο αυξηθεί στα 500 kw να υπολογισθούν:

Πρόβλημα 6. Α) Η νέα συχνότητα του φορτίου: Από την (7.4) έχουμε για την γεννήτρια Α Δf s *f Δf 0,0243 50 ΔP P ΔP 6250,8 A D ον = = ΔP =411.52 Δf ον,α A A Για την γεννήτρια Β είναι s *f D ον Δf Δf 0,0243 50 = = ΔP =246.91 Δf B ΔP P ΔP 3750,8 B ον,b B

Πρόβλημα 6. Η μεταβολή του φορτίου είναι 500-400=100 kw. Άρα: ΔΡ = 100 kw Άρα: ΔP= ΔP A + ΔP B =411,52 Δf + 246,91 Δf = 658,43 Δf 100 658.43 f f 0.152 Hz Επομένως η νέα συχνότητα θα είναι f = 50 Δf = 49,848 Hz (β) Να υπολογισθεί το φορτίο κάθε μηχανής. ΔP A = 411,52 Δf= 62,55 kw ΔP B = 100-62,55=37,45 kw P A = 200+62,55 = 262,55 kw P B = 200+37,45 = 237,45 kw Παρατηρούμε πως ούτε ο αριθμός των πόλων κάθε μηχανής σχετίζεται με την κατανομή φορτίου.

Πρόβλημα 7. Δυο γεννήτριες Α και Β τροφοδοτούν παράλληλα ένα φορτίο 900 kw στα 50 Ηz. H κλίση της στατικής χαρακτηριστικής και των δυο γεννητριών είναι ίδια και ίση με 0,0008 Hz/kW. Η γεννήτρια Α έχει ονομαστικά στοιχεία 1250 kva, cosφ=0.8, 50Hz, και η γεννήτρια Β, 750 kva, cosφ=0.8, 50Hz. Η γεννήτρια Α δίνει 600 kw και η γεννήτρια Β, 300 kw στο φορτίο. Εάν στο φορτίο προστεθούν 720 kw να υπολογισθεί (α) η συχνότητα του συστήματος (β) το φορτίο κάθε γεννήτριας (α) Αφού οι μηχανές έχουν στατικές με την ίδια κλίση θα αναλάβουν ίσα μέρη του πρόσθετου φορτίου, δηλαδή 720 ΔP A=ΔP B= =360kW 2 Έτσι f =50-0.288=49,712 Ηz Δf Δf =0.0008 =0.0008 Δf=0,288 Hz ΔP 360 A (β) P A = 600+360=960 kw P Β = 300+360=660 kw

Πρόβλημα 8. Τρία ηλεκτροπαραγωγά ζεύγη (ΗΖ) Α, Β και Γ τροφοδοτούν παράλληλα ένα φορτίο 210 kw, 50 Ηz. Κάθε ΗΖ προσδίδει 70 kw. Τα ονομαστικά στοιχεία τους είναι 625 kva, 375 kva, και 250 kva αντίστοιχα, με cosφ=0.8. Το μονογραμμικό διάγραμμα και οι στατικές χαρακτηριστικές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.

Πρόβλημα 8. Εάν στο υφιστάμενο φορτίο προστεθούν δυο ακόμη, από τα οποία το ένα έχει 440 kw, cosφ=1 και το άλλο 200 kva, cos φ=0,8 να υπολογισθεί η συχνότητα του συστήματος και το φορτίο κάθε ΗΖ. Η μεταβολή του φορτίου είναι ΔP = 440+200 0,8= 600 kw Η κλίση της στατικής χαρακτηριστικής κάθε ΗΖ είναι (από το σχήμα) A f P A A1 50.2-50 70 0, 002857 Hz / kw B f P B B1 50.4-50 70 0, 005714 Hz / kw f 50.6-50 0, 00857 Hz / kw P 70 1 Λόγω της αύξησης του φορτίου, η συχνότητα του συστήματος θα μειωθεί. Η μεταβολή του φορτίου σε κάθε ΗΖ εξαρτάται από την στατική χαρακτηριστική του.

Πρόβλημα 8. Έτσι: f 0.002857 P 2 350 f P 2 P 2 175f P 2 116,667 f ΔP= ΔP Α2 + ΔP B2 + ΔP Γ2 = 350Δf + 175 Δf + 116,667Δf = 600 Δf=0.9351 Hz Άρα η συχνότητα του συστήματος θα γίνει f=50-0.9351=49.065hz P A2 = 70+ ΔP A2 =70+350 0,9351=397.3 kw P Β2 = 70+ ΔP Β2 =70+175 0,9351=233.6 kw P Γ2 = 70+ ΔP Γ2 =70+ 116,667 0,9351=179.1 kw