Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014. i S (ωt)

Transcript

1 Θέμα 1 ο Απαντήσεις των Θεμάτων Ενδιάμεσης Αξιολόγησης στο Μάθημα «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Μηχανές» Ημερομηνία: 29/04/2014 Για το κύκλωμα ΕΡ του διπλανού σχήματος δίνονται τα εξής: v ( ωt sin ( ωt s =, R =10Ω, =25mH, R =5Ω, =700μF, f=50hz. Ζητούνται: 1. Τα ρεύματα i s, i και i στο πεδίο της συχνότητας. 2. Ο συντελεστής ισχύος της πηγής. 3. Τα επιβεβαιωθεί το ισοζύγιο των ισχύων. ~ i S (ωt v S (ωt R i (ωt R i (ωt Λύση 1. Υπολογίζονται οι σύνθετες αντιστάσεις των κλάδων, 3 Z = R + jx = 10+ j 2 π = 10+ j 7,85= 12,71 38,13 Ω R ZR = R j = 5 j = 5 j4,55= 6,76 42,3 Ω. ω 2 π Υπολογίζεται η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση των δύο κλάδων, Z Z eq. eq. ( ( ( 12,71 38,13 + ( 6,76 42,3 12,71 38,13 6,76 42,3 ZR ZR 85,92 4,17 85,92 4,17 = = = = Z + Z 15+ j 3,3 15,36 12, 41 R R = 5,59 16,58= 5,36 j1,59 Ω. Υπολογίζεται η ένταση ρεύματος της πηγής στο πεδίο της συχνότητας, Vs Is = = = 41,14 16,58 A= 39, 43+ j11, 74 A. Z 5,59 16,58 eq. Υπολογίζεται το ρεύμα στον ένα από τους δύο κλάδους, π.χ. του ρεύματος i, με εφαρμογή του κανόνα του διαιρέτη ρεύματος, ( 6,76 42,3 ( 12,71 38,13 ( 6,76 42,3 Z I ( 41,14 16, R = Is = Z R ZR 278,11 25,72 278,11 25,72 I = = = 18,11 38,13 = 14, 25 j11,18 A. 15+ j 3,3 15,36 12, 41 Σελίδα 1 από 8

2 Το ρεύμα στον κλάδο με τον πυκνωτή υπολογίζεται με εφαρμογή του πρώτου κανόνα του Kirchhff, I = Is I I = 39, 43+ j11,74 14, 25 j11,18 = 25,18+ j22,92= 34,05 42,31 A. ( ( 2. Συντελεστής ισχύος της πηγής, (ΣΙ s =cs (16,58 =0,958 (χωρητικός. 3. Υπολογίζεται η μιγαδική ισχύς που προσφέρει η πηγή, Ss= Vs Is = ( ( 41,14 16,58 S = 9.462, 2 16,58= 9.068,8 j = 9.068,8+ j VA. s ( Υπολογίζεται η μιγαδική ισχύς στον κλάδο με το πηνίο, S= Vs I = ( ( 18,11 38,13 S = 4.165,3 38,13= 3.276,5+ j 2.571,9 VA. Υπολογίζεται η μιγαδική ισχύς στον κλάδο με τον πυκνωτή, S = Vs I = ( ( 34, 05 42,31 S = 7.831,5 42,31 = 5.791,5 + j 5.271, 7 VA. Έλεγχος ισοζυγίου πραγματικής ισχύος, 3 i i = 1 P = 0 P + P + P = 9.068, , ,5 = 0,8W 0 W. s R R Έλεγχος ισοζυγίου άεργης ισχύος, 3 i = 1 Q = 0 i Q + Q + Q = , , 7 = 0, 2VAr 0 VAr. s R R Ο έλεγχος του ισοζυγίου των μιγαδικών ισχύων πραγματοποιείται, λαμβάνοντας υπόψη ότι η μιγαδική ισχύς είναι διανυσματικό μέγεθος και επομένως πρέπει να ισχύει Ss+ S+ S = 0. Είναι: S = S + S = ( PR + PR + j( QR + QR S = ( 3.276, ,5 + j(2.571, ,7 S = j 2.699,8VA= S s Το ισοζύγιο των μιγαδικών ισχύων παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα. Σελίδα 2 από 8

3 Im Q R S S S Q S P R P R P P S Q S S S Re Q R Θέμα 2 ο Καταναλωτής συνδέεται σε δίκτυο ΕΡ τάσης v(t και απορροφά ρεύμα έντασης i(t (Σχ Οι κυματομορφές της τάσης Δίκτυο ΕΡ it ( vt ( Ηλεκτρικό φορτίο (καταναλωτής και του ρεύματος δίνονται στο Σχ Ζητούνται: (1 η συχνότητα, η ενεργός τιμή της τάσης Σχήμα 2.1. και του ρεύματος, καθώς και το είδος του φορτίου. (2 Η μιγαδική ισχύς και ο συντελεστής ισχύος του φορτίου. (3 Η χωρητικότητα του πυκνωτή, ώστε ο συντελεστής ισχύος να γίνει ίσος με 0,9. Σχήμα 2.2. Λύση 1. Η συχνότητα, η ενεργός τιμή της τάσης και η ενεργός τιμή του ρεύματος λαμβάνονται από τις κυματομορφές της τάσης και του ρεύματος. Είναι: Σελίδα 3 από 8

4 Περίοδος, Τ=0,02sec και συχνότητα, f=1/τα=1/0,02=50hz. Μέγιστη και ενεργό τιμή της τάσης, Vˆ = V = 848, 4V max Vˆ 848,4 V = Vrms = V = = = 600 V. 2 2 Μέγιστη και ενεργό τιμή του ρεύματος, Iˆ = I = 252,3A max Iˆ 252,3 I = Irms = I = = = 178,4 A 2 2 Η κυματομορφή του ρεύματος καθυστερεί ως προς την κυματομορφή της τάσης και επομένως πρόκειται για ωμικό-επαγωγικό φορτίο, το οποίο καταναλώνει άεργη ισχύ. 2. Η μιγαδική ισχύς που απορροφά το φορτίο από το δίκτυο είναι, S = VI [ cs( φ + j sin( φ ] S = , 4 cs( 69 + j sin( 69 = ( 0,358 j 0,934 VA S = ,5 j VA. Ο συντελεστής ισχύος του φορτίου πριν την αντιστάθμιση, (ΣΙ =cs(-69=0, Υπολογίζεται η γωνία φ 2 μετά την αντιστάθμιση, φ 2 =cs -1 (0,9=25,84 ο. Υπολογίζεται η αναγκαία χωρητικότητα του πυκνωτή, Σελίδα 4 από 8

5 Q c c c ( tanφ tanφ = P ( Q = ,5 tan 69 tan 25,84 = VAr Q = ω V Q = c = = 0, F= 718,7 µ F. 2 2 ωv 2 π Im Q ' c= Q Q Q ' Q S φ ' 1 S φ 2 P Re Q c Θέμα 3 ο Τριφασικό φορτίο συνδέεται κατά τρίγωνο και τροφοδοτείται από συμμετρικό τριφασικό δίκτυο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δίνονται: f = 50Hz, Z = 3+ j6.28 Ω, ( ω = ( ω ( ω = ( ω ( ω = ( ω v t sin t, v t sin t 120, v t sin t 240. a b c Ζητούνται: (1 οι εντάσεις ρεύματος στις τρεις φάσεις του φορτίου στο πεδίο της συχνότητας. (2 Οι εντάσεις ρεύματος στις τρεις γραμμές τροφοδότησης του φορτίου. (3 Το διανυσματικό διάγραμμα των φασικών ρευμάτων και των ρευμάτων γραμμής στο τριφασικό φορτίο. ~ 1 Α I A v a I AB ~ v b ~ 2 3 Β I B I B Z I I A v c Δίκτυο (ΔΕΗ Τριφασικό φορτίο Σελίδα 5 από 8

6 Λύση 1. Υπολογίζεται η ενεργός τιμή της έντασης ρεύματος που διαρρέει τη σύνθετη αντίσταση στη φάση του φορτίου, η οποία συνδέεται μεταξύ των άκρων Α-Β. Η τάση που εφαρμόζεται στα άκρα της αντίστασης είναι η πολική τάση v AB, η οποία προπορεύεται από την τάση v A (τάση αναφοράς κατά 30 ο. Είναι: VAB = = V ( RMS Z = 3+ j6, 28= 6,96 64, 47Ω VAB I AB = = = ,47 A( RMS. Z 6,96 64, 47 Τα ρεύματα i B, i A θα έχουν την ίδια ενεργό τιμή με το ρεύμα i AB και θα καθυστερούν ως προς αυτό κατά -120 ο και -240 ο αντίστοιχα. Είναι: IB = 199 ( 34, = , 47 A( RMS I = , = , 47 = ,53 A( RMS. A ( 2. Το ρεύμα γραμμής είναι κατά 3 φορές μεγαλύτερο από το φασικό ρεύμα και καθυστερεί ως προς αυτό κατά -30 ο. Επομένως, το ρεύμα στη γραμμή 1 καθυστερεί ως προς το ρεύμα i AB της αντίστοιχης φάσης κατά -30 ο και είναι: I = 3 I 34, 47 30,00 = , 47 = 344,7 64, 47 A( RMS. 1 AB ( Τα ρεύματα γραμμής i 2 και i 3 θα έχουν το ίδιο μέτρο με το ρεύμα i 1 και θα καθυστερούν ως προς αυτό κατά -120 ο και -240 ο αντίστοιχα. Είναι: I = 344,7 ( 64, = 344,7 184, 47= 344,7 175,53 A( RMS 2 I = 344,7 64, = 344,7 304, 47= 344,7 55,53 A( RMS. 3 ( 3. Το διανυσματικό διάγραμμα των φασικών ρευμάτων και των ρευμάτων γραμμής παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα. I A I 3 V AB ω(rad/sec I 2 I B I , I AB V a A.A. Σελίδα 6 από 8

7 Θέμα 4 ο 4.1. Ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως ανοικτός διακόπτης στο συνεχές ρεύμα και ως κλειστός διακόπτης στο εναλλασσόμενο ρεύμα. Να εξηγήσετε τη συμπεριφορά αυτή του πυκνωτή. Απάντηση Το ρεύμα φόρτισης-εκφόρτισης ενός πυκνωτή δίνεται από τη σχέση, ( i t dt ( t dv =. Όταν ο πυκνωτής συνδεθεί σε πηγή ΣΡ, το ρεύμα του πυκνωτή παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή αμέσως μετά τη σύνδεσή του με την πηγή και ακολούθως μειώνεται εκθετικά μέχρι το μηδενισμό του, όταν φορτιστεί στην τάση της πηγής. Από αυτό το σημείο και μετά, η τάση στα άκρα του πυκνωτή έχει σταθερή τιμή, οπότε είναι = 0, και επομένως ο πυκνωτής dt συμπεριφέρεται ως ανοικτός διακόπτης. Εάν ο πυκνωτής συνδεθεί σε πηγή ΕΡ, τότε ο πυκνωτής φορτίζεται και εκφορτίζεται διαρκώς εντός κάθε περιόδου με αποτέλεσμα να επιτρέπει διαρκώς της ροή του ΕΡ και επομένως ισοδυναμεί με κλειστό διακόπτη. Η λειτουργία αυτή επεξηγείται με αναφορά στο παρακάτω dv ( t σχήμα. Για θετική κλίση της τάσης ( > 0, το ρεύμα ρέει από την πηγή προς τον dt dv ( t πυκνωτή και τον φορτίζει, ενώ για αρνητική κλίση της τάσης < 0, το ρεύμα αλλάζει dt φορά και ρέει από τον πυκνωτή προς την πηγή και τον εκφορτίζει. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται σε κάθε περίοδο ρεύματος. Ο πυκνωτής επιτρέπει τη ροή του εναλλασσόμενου ρεύματος και εμφανίζει αντίσταση, τη χωρητική αντίδραση, η οποία ισούται με X = 1/ ω. dv ( t T=1/f (2 dv c 0 dt > dv c 0 dt < (1 (3 (5 t v c dv c 0 dt < dv c 0 dt > (4 Σελίδα 7 από 8

8 4.2. Η τάση και το ρεύμα στο πεδίο της συχνότητας σε φορτίο κυκλώματος ΕΡ είναι V ( RMS και 8 25 V ( RMS. Να αποφανθείτε για το είδος του φορτίου και να υπολογίσετε το συντελεστή ισχύος, την πραγματική και άεργη ισχύ του φορτίου. Απάντηση Το ρεύμα στο φορτίο βρίσκεται σε προπορία σε σχέση με την τάση στα άκρα του φορτίου κατά τη γωνία: -25 ο -(-75 ο = 50 ο. Επομένως, το φορτίο έχει χωρητική συμπεριφορά, δηλαδή συνιστά ωμικό-χωρητική σύνθετη αντίσταση. Ο συντελεστής ισχύος του φορτίου είναι: ΣΙ=cs 50 = 0,643 (χωρητικό. Πραγματική ισχύς φορτίου: P=V I csφ = 135*8*0,643 = 694,44W. Άεργη (χωρητική ισχύς: Q=V I sinφ = 135*8*sin50 = 827,33VAr Ποιοι αγωγοί, κατά την άποψή σας, είναι ρευματοφόροι σε ένα μονοφασικό κύκλωμα ΕΡ και ποιοι σε ένα τριφασικό συμμετρικό κύκλωμα σε συνδεσμολογία αστέρα και γιατί; Οι αγωγοί στο μονοφασικό κύκλωμα είναι οι, N και στο τριφασικό κύκλωμα είναι οι 1, 2 και 3. Απάντηση Στο μονοφασικό κύκλωμα ΕΡ, κατά τη θετική ημιπερίοδο το ρεύμα προσέρχεται στο φορτίο μέσω της φάσης,, και επιστρέφει προς την πηγή μέσω του ουδέτερου αγωγού, Ν, και κατά την αρνητική ημιπερίοδο το ρεύμα προσέρχεται στο φορτίο μέσω του ουδέτερου αγωγού και επιστρέφει προς την πηγή μέσω του αγωγού της φάσης. Δηλαδή, ρευματοφόροι αγωγοί στο μονοφασικό κύκλωμα είναι οι αγωγοί της φάσης και του ουδετέρου. Στο συμμετρικό τριφασικό σύστημα, το αλγεβρικό άθροισμα των στιγμιαίων τιμών των ρευμάτων στις τρεις φάσεις του συστήματος είναι κάθε στιγμή ίσο με μηδέν και επομένως το ρεύμα του ουδετέρου είναι μηδέν. Επομένως, στο συμμετρικό τριφασικό σύστημα, ρευματοφόροι αγωγοί είναι μόνο οι αγωγοί των τριών φάσεων (γραμμών 1, 2 και 3. Σελίδα 8 από 8