ανθρωποθεωρία περιοδικό γενικής ανθρωπολογικής μελέτης και τέχνης τεύχος 7 ΠΑΤΡΑ, ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 1994 αχα ίκές εκδόσεις
ΤΑ ΣΧΟΛΙΑ ΤΡΕΙΣ ΜΕΡΕΣ ΠΟΥ ΣΥΓΚΛΟΝΙΣΑΝ ΤΟΝ ΚΥΒΕΡΝΟΧΩΡΟ Ο Pieπe de Feπnat, παρ' όλο ποu το επάγγελμά. τοu ήταν ο tκηγόpος, κατάφερε να μ.είνεt στην tστοpία τοu πολtτtσμ.ού σαν ένας πραγματικά. μ.εγά.λος μ.α-θημ.ατtκός. Γύρω στα 1637 περίποu οtατύπωσε στο περι-θώρtο ενός 6ι6λίοu των "Αρtvμ.ητικων ~(\ ' " τοu Δ to 'φ αντοu, εναν ' ισχupισμ.ο, ' γνωστο ' σαν "Τ ο Τ ε λ εuταιο ' Θ ""'εωρημ.α ' τοu Feπnat", και επί πλέον έγραψε ότt εtχε μ.ια -Θαuμ.ά.σια απόοειξη, αλλά. ο χώρος τοu πεpt-θωρίοu οεν επαρκούσε για την έκ-θεσή της. Ποτέ όμ.ως οεν 6ρέ-8ηκε μια τέτοια απόοε tξη! Από τότε πολλές γενιές μα-θηματικών προσπά-θησαν να αποοεtξοuν τον ισχ u pισμ.ό χωρίς επtτuχtα. Και ξαφνικά. μ.ετά. από τρεις πεptποu αιώνες, ένας Αγγλικής καταγωγής μ.α-θημ.ατικός, Κα-Θηγητής τοu Πανεπtστημ.ίοu τοu Pήnceton, ανακοί- 241
ΣΧΟΛΙΑ cιν-θρωπα8εωpία νωσε στtς 2lt-25-26 του Ιουνίου του 1993, σε μtα σεr.ρά: οtαλέξων, στο ε6οομαοιαίο σχολείο (workshop) πά:νω στtς "p-αοtκές αναπαραστάσεις του Galois, τη Θεωρία του Iwasawa, καt τους αpt-θμούς Tamagawa", την απόοεtξη του Τελευταίου Θεωρ ~ματος του Fermat, μαζf με ά:λλα σπουοαtα αποτελέσματα!, λ, λ,, ο τtτ ος της σεr.ρας των ομt tων ηταν: Α ''Modular forms, elliptic curves, and Galois Representations." ι ι ι ι _() ι ι ι ι ~~ ι,,, ψ λ,, ~ I Ε1:, λ,, λ,, υτο που απο την αρχη πρεπεt να σημεtωvεt εtναt οτt ο κοσμος σχεοον αγνοη- σε, η περασε απο t α την εtοηση. "αr.ρεση αποτε εt ο παντα χα α ενημερωμενος Αλ Παλμογράφος του πεptοοtκού RAM, όπου σε ά:ρ-θρο 6ρtου 1993, με τον χαρακτηρtστtκό τίτλο: "ο t τpεtς ημερες, που c~ οεν ) συγχ λ' ονtσαν τον κοσμο, " στο τεύχος του Σεπτεμ- 'λ ψ, λ, ()' π ''λ,,,, χα υ ε με σχ ετ tχύ) π ηροτητα το vεμα. αρ ο α αuτα μποpεt να tσχ υρ tστεt κανεtς, " Ρ, " Ι λ,, λλ' λ, οτt ο κυόεpνοχωρος του nternet, συγκ ονtστηκε απο τα πο α η εκτρονtκα μηνύματα (e-mails), που ανακοίνωσαν τον ά:-θλο! Αλλά: ποtό είναt το "Το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat"; Η οtατύπωσ~ του, λ, λ' 'I εtνα t τε εtως απ η χα t κατανοητη. "Ή Ί:' n n n 2 ~,,, λ,, ε"'a'bja'"l) Χ' + y = z, n >, οεν εχε,μ.η τετpψ.μ.ενες ακεpα~ς ur:rε~ Η τετρ tμμένη λύση είνα t 6έ6α tα η χ = y = z = Ο. Γtα n = 3, το πρό6λημα είναt tσοούναμο με το ακόλου-θο: "Δεν υπά:ρχεt ορ-θογώνιο παραλληλεπίπεοο (π.χ. τού6λο), I',~,, ~, λ~~~~ με ακεραtες μη-μ.ηοενtκες οtαστασεtς, π.μ.υ, ακεραtες οtαγωνtοuς π εuρων ο, ο2, ο3, 1, ~, ~ λλ λ '~" " καt ακεραtα οtαγωνtο ο, του παρα η επtπεοου. 4 242
αν-8ρωπο't9εωρία ΣΧΟΛΙΑ Αλλά ας έρ-θουμε ξανά σ-την απόδεlξη -του Wiles. Ή-ταν άραγε σωσ-τή η απόδεlξή -του; Από -τον Ιούνιο -του 93, σ-τρώ-θηκαν οι ειδικοί γlα να εξε-τάσουν προσεκηκά -την α:πόδεlξη. Με-τά από κάποιο καφό άρχ Lσαν να: κυκλοφορούν φήμες, όη η απόδειξη ή-ταν λά-θος! ΠερLεtχε -τελικά κάποιο χάσμα! Τέλος σ-τlς 4 Δεκεμ~ρίου 1993, ο fδιος ο Wiles παραδέχ-θηκε όη πράγμα-τt υπάρχεt χάσμα σ-την απόδεtξη! Τόνtσε όμως όη: "η αναγωγf;-χλειδ[ της ειχασ[ας των Taniyama-Shimura στον υπολογισμό της ομάδας Selmer είναι σωστή!" Αυ-τό ~ασtκά εfναt πολύ σο~αρό, για-τί αu-τ_ό -το πρώ-το μέρος -της ανακοίνωσης -του Wiles, σύμφωνα: με -την γνώμη -των ~ I I I I Θ I Α _(1 I I ξ' I ε to ικων, εχ ε L -τερασηα σημασtα για -την "" εωρlα ρ ιvμων, κ α t εtνα ι ε tσου, αν οχ ι περισσό-τερο, συγκλονισηκό και από αu-τήν κα-θ' αu-τήν -την απόδειξη -του tσχuρt-, F Δ ι ι ι φ ι ι "Τ λ ι Θ ι σμου -του eπnat tκαιωνε-ταl ε-τσι για μια: ακομη ορα οη -το ε εu-ταtο ""εωρημα -του Feπnat" έδρασε σαν α-τμομηχανή για -την ανάπ-τυξη -της Αρι-Θμο-Θεωρίας, ' 'λ Ι I~ ~ 1 1 ~ Ι 1 I I λ Ι παρ ο ο που α:υ-το -το ιοιο οεν εχει -τοσο σπουοαια σημασια, περα: απο μια απ η περιέργεια! Η εικασία -των Taniyama-Shimura μπορεί να: δια-τυπω-θεί ισοδύναμα ως εξής: "'Ολο' ο' pητο[ rzp,.oμo[ ε[νrχ' j-rzνrzλλο[ωτο' των modular ελλε,πτ,κών λ, " κrzμ.πυ ων. τ I I ~ ξ 'ζ 11, Ε 1.JI I ο χασμα σ-την αποοει η σχε-τι ε-ται με -τα συστηματα U1er, που ειναι ακολου-θίες ομάδων συν-ομολογίας, που επ ινοή-θ ηκαν -τελεu-ταfα από -τον Viktor Kolyvarin και που ο Wiles χρησιμοποίησε με μtα γεωμε-τρική γεύση, για -την μελέ-τη ομάδων συν-ομολογίας παρομοίων με τες ομ.1χδες Selmer, που επlσυνάπ-τον-ταl στη συμμε-τρική -τε-τραγωνική αναπαράσ-ταση που σχε-τίζε-ται με μια ελλειπηκή καμπύλη. Τ έλος με την ευκα tρtα -της π λ ήροuς αγνόησης 'του κόσμου ενός από -τα μεγαλύ-, (1 ι ι ξ'ζ λ ι ι -τερα επι-τευγμα-τα -του ανvρωπινου πνεuμα-τος, α L ει να σχο Lασ-τεL η σχεσ-η -των Μα-Θημαηκών και -της κοινωνίας. Πού οφεfλε-ται άραγε αυ-τή η κα-τάσ-ταση; Είναι (1 1 ξ Ι Ι I I I I λλ ot μαvημαηκοι απο ενωμενοl απο -την κοινωνια η εtναt καt η κοινωνtα α ο- -τρtωμένη από -τα πολι-τtσηκά προ"ι"όν-τα -του αν-θρωπfνοu πνεύμα-τος; Μάλλον υπάρχουν εu-θύνες καt από -τtς ουο μεριές! Κανένας δεν αρνεf-ταt όη πίσω από όλες ης -Θαυμασ-τές επι-τυχfες -της -τεχνολο-, 1 f> ι (1 ι Q ι ι ι λ' γιας καt -της επlσ-τημης Όptσκον-ται τα μαvημα-τικα. σ-τοσο ενα απο -τα μεγα υ-τερα κα-τορ-θώμα-τα -των μα-θημαηκών πεpνάεt σχεδόν απαρα-τήρη-το, -την ίδια σηγμή που η δημοσtό-τη-τα επικεν-τρώνει -τα φώ-τα -της σε γεγονό-τα -τέχνης, -τραγοuδlσ-τές, η-θοποιούς, μπασκε-τμπολίσ-τες, ποδοσφαιρισ-τές, -το ωράριο -το νυκ-τερινό -των κέν -τρων, κοσμικό-τη-τες, κ.λ.π. Είναι αλή-θεια ό-τt με-τά από μερικούς μήνες -τα μέσα 243
ΣΧΟΛΙΑ μ.α.ζικ+ις ενημ.έρωσης έδειξαν μ.ια. α.σuν+ι-θιστη προσοχ~ στον Wiles1 κα ι ονομ.άστηκε από το περιοδικό People, ένα. από τα. 25 περισσότερο ενδ ια.φέροντα. άτομ.α., λ ίστα. ποu περ ιλα.μ.bά: νει μ.ετα.ξu ά:λλων και την πριγκίπισσα. Diana, τον Michael Jackson κ α. ι τον πρόεδρο Κλίντον κ α. ι την γuνα.ίκα. τοu Hillary! Αρν~-Θηκε επίσης ο Wiles πρόταση από b ιομ. ηχ ανία. jeans, για. να. τα. δ ια.φημ.ίσε ι! Η παραπάνω κατάσταση, ελπίζοuμ.ε να. οιορ-θω-θεf μ.ε τ-ην α.νάπτuξ-η των μ.-ηκ ι ~() ι ι ι ι ι ~ α.ντορια.νων μα.vύjμ.α.τικων, ποu α.να.πτuσσοντα.ι κα.τω α.πο τ1jν εντα.σύj ποu ούjμ.ιοuργεί 1J μ.ετα.bιομ.ύjχα.νικ~ κοινωνία. και τα. πλ1jροφορικα.;τ1jς προbλ~μ.α.τα.. Τα. α.πόλuτα. μ.α.-ι91jμ.α.τικά ~ταν τα. μ.α.-ι91jμ.α.τικά τύjς bιομ.ύjχα.ν ικ~ς εποχής. Τα. μ.ύj- ι _() ι p ι ι ι " ι " ι κ α.ντορια.να. μ.α.vύjμ.α.τικα. τύjς μ.ετα.οιομ.ύjχα.νικύjς εποχύjς εινα.ι τοπικα., περισσο- _{) ι ι ι ι ι ι ι τερο α.νvρωπινα., και περιεχοuν σαν σuμ.φuτο στοιχειο εννοιες οπως: α.σα.φεια. και ασαφής λογική, μ.ύj-δια.κριτικότ1jτα., εν δuνάμ.ει άπειρο σε α.ντf-θεσύj μ.ε το α.πόλuτο ενεστωτικό ά:πεφο, έννοιες επιπέδοu πρα.γμ.α.τικότύjτc?κα. ι ορίζοντα. α.ντtλύjψης, κ.λπ. Τα. bα.σικά: διαλεκτικά σχήμ.α.τα. είναι: ~ Γεωμ.ετρία.- Λογική ~Έκτα.σΎJ ή πλά:τος -Έντα.σΎJ ή bά-θος ~ Σuμ.bα.τικός - μ.ύj σuμ.bα.τικός ~Εσωτερικός και τοπικός- εξωτερικός και α.πόλuτος ~Ποσοτικός- ποιοτικός Ας α.να.μ.ένοuμ.ε λοιπόν τ1jν έλεuσύj α.uτών των τοπικών μ.α.'ι91jμ.α.τικών, ποu επύjρεάζοντα.ι bα.-θιά από τις εξελίξεις και τα. προbλήμ.α.τα. τύjς πλύjροφορικ~ς. Ίσως να. είναι πρά:γμ.α.τι δuνα.τή μ.ια. μ.ύj-τuρα.νική σuν.sετικ~ γλώσσα. για. τα. μ.α.-ι91jμ.α.τικά, όποu όλος ο κόσμ.ος να. μ.πορεί να. σuμ.μ.ετάσχει στο πολιτιστικό ri.γα.-θό ποu λέγεται μ.α.-θύjμ.α.τικά:, μ.ε τον ίδιο τρόπο ποu α.πολα.μ.bά:νει μ.ια. μ.οuσική ΟΎJμ.ιοuργfα.. Αξίζει εοώ να. -Θuμ.ΎJ-Θοuμ.ε τα. λόγια. τοu μ.εγά:λοu μ.α..sύjμ.α.τικοu Η. Weyl (Symmetry, p. 52): "Όλοι οι μ.οuσικοί σuμ.φωνοuν ότι στύj bάση τοu σuνα.ισ'ι91jμ.α.τικοu-σuγκ ιν1jσια. κοu στοιχεfοu τύjς μ.οuσικής bρtσκετα.ι ένα. ισχuρό τuπικό-φορμ.α.λ ιστικό στοιχε ί ο. Είναι δuνα.τόν να. εfνα.ι ικανό για. κάποια. τέτοια. μ.α.-ι91jμ.α.τtκ~ δια.πρα.γμ.άτεuσύj, ι ι - ~ ι ι ι ~ ι 1: ς Α ι ι1 l ι οπως εχει α.ποοειχτει επιτuχες για. τ1jν τεχνύj τύjς οια.κοσμ.ύjςύj. ν εινα. ι εστι, ισως δεν έχοuμ.ε ανακαλύψεε τα κατάλληλα μ.α-βημ.ατεκά εpyαλε[α".2 Ίσως σ' α.uτά τα. μ.α.-8-ημ.α.τικά: τύjς μ.ετα.bιομ.ύjχα.νικ~ς κοινωνίας να. είναι οuνα.τή 1J μ.α..sύjμ.α.τική οια.πρα.γμ.ά:τεuσύj τ1jζ τέχνύjζ γενικότερα., το οε Τελεuτα.ίο ΘεώρΎjμ.α. τοu Fennat να. έχει μ.ια. εuκολύj και κα.τα.νούjτή λuσύj, α.νάλογύj μ.ε τύjν α.πλότύjτα. τ-ης δια.τuπωσ~ς τοu! Ίσως τελικά να. uπά:ρχοuν α.ντικείμ.ενα. και σχετικές έννοιες, ι ι ι e, ', ', ποu α.πο τύj φuσύj τοu εινα.ι μ.ύj-σuμ.οα.τtκα., οπως π.χ. εινα.ι οι κα.τα.νομ.ες 1J γενικεuμ.ένες σuνα.ρτήσεις τοu Schwartz, ή το στοχαστικό ολοκλ~ρωμ.α. τοu lto, και μ.ια. 244
αν-θpωπο19εωpία ΣΧΟΛΙΑ 11' ι 11' ι ' λ {) ι ι ι t ι 11' ι οποtαοηποτε οιατuπωση στα απο uτα μ.αvημ.α-τιχα να εtναt απο ε"αφετtχα οuσχολη και ακατανόητη μ.έχpt χαt αδύνατη!:~ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1. Δες π. χ. το ά.p19po Allyn Jackson: Update on Proof of Fermat's Last Theorem, Notices of A.MS. vol. 41, 1994. 2.. Υπογράμμιση οικ ~ μας. 3. Για μια τεχνικ~ περίληψη της απόοειξης τοu Wiles, οες την εργασία 30 σελίοων των Rubin Silverberg: Wiles' proof of Fermat's Last Theorem. E-mail rudin@math.ohio-state. edu & silver@math.ohio-state.edu. Κtuστας Α. Δpόσος