БИОФИЗИКА Биомеханика Доцент Др. Томислав Станковски За интерна употреба за потребите на предметот Биофизика Катедра за Медицинска Физика Медицински Факултет Универзитет Св. Кирил и Методиj, Скопjе Септември 2015
1. БИОМЕХАНИКА Механиката е дел од физиката и пошироко коjа ги проучува механичките движења на физичките материjални тела. Механичко движење претставува промена на положбата на материjалното тело во однос на друго тело во просторот со текот на времето. Биомеханиката ги проучува структурата и функциjата на живите организми со помош на методите од механиката. Механиката во коjа се разгледуваат движењата на макроскопски тела чиjа што брзина е многу помала од брзината на светлината се нарекува класична механика. Таа се заснова на основните Њутнови закони за движење. Дел од механиката што ги проучува микрочестиците кои имаат брзини споредливи со брзината на светлината се нарекува квантна механика. Биомеханиката, односно механиката се дели на два дела кинетика и динамика во зависност од тоа дали проучува природа на движење или сили. Кинетика ги проучува механичките движења на телата, без да ги земе во предвид причините што ги предизвикуваат движењата. Динамика пак ги изучува движењата на телата како резултат на деjство на сили. Во биомеханиката постоjат повеќе значаjни деjности и гранки, меѓу кои: кинезиологиjа коjа ги проучува кинетичките движењата на човекот; биолошка локомоторика коjа ги проучува одењето и било каква форма на движење кои ги доведува биолошките субjекти од едно место до друго; биомеханика на мускулоскелетен систем коj овозможува форма, подршка, стабилност и движење на телото; биомеханика на акустиката коj ги проучува механиката на слушниот и вестибуларниот апарат; кардиоваскуларна биомеханика коjа ги проучува механичките своjства на срцето како пумпа и движењето на крвта низ телото и биомеханика на медицински импланти и протези коjа ги изучува и дизаjнира
1. Биомеханика 3 механичките своjства на медицинските помагала кои се вештачки по природа а заменуваат некоj дел или функциjа од живиот организам. Во материjалот коj следува биомеханиката ги проучува движењата при тоа сметаjќи два модела за телата еден на материjална точка (апстрактен поим) или цврсто тело кое не ги менува обликот и волуменот под деjство на надворешни сили. Често ќе се користи и опис на вектор што претставува физичка големина на геометриски обjект коj има (не само) големина туку и насока. Векторите се прикажуваат со стрелка над величината, на пример забрзување a. Во зависност од формата на траекториjата, движењата може да бидат праволиниски или криволиниски. 1.1 Њутнови закони на движење Исак Њутан во 17 век дефинирал три закони на движење кои ќе станат основен столб во класичната механика и физиката воопшто. Тие jа опишуваат врската меѓу тело и силите кои деjствуваат на него со цел да опишат движење кое се jавува како резултат на деjството на тие сили. 1.1.1 Прв Њутнов закон Првиот закон на Њутн jа опишува врската на тело во мирување или константно движење и деjството на надворешни сили. Њутн прв го воведува поимот на сила, коj во овоj контекст се дефинира како форма на интеракциjа коjа може да го промени движењето на некое тело. Силите се векторски величини, со своjа скаларна големина и насока. Првиот Њутнов закон гласи: Едно тело останува во состоjба на мирување или константно движење доколку на него не деjствува некоjа надворешна сила. Овоj закон се нарекува уште и закон на рамномерно движење. Првиот Њутнов закон имплицира дека состоjбата на мирување и брзината на движење на едно тело останува непроменета доколку некоjа сила не му jа промени оваа состоjба. Математички законот се изразува како: Fi = 0 d v dt = 0,
1. Биомеханика 4 што значи дека доколку сумата на сите сили е нула (т.е. нема деjство на сили), тогаш промената на брзината во време е нула. 1.1.2 Втор Њутнов закон Вториот Њутнов закон изразува како се манифестира деjството на силата на движењето на телото. Законот гласи: деjството на надворешните сили кои деjствуваат на едно тело е еднакво на масата на телото по неговото забрзување: F = m a. Значи деjство на сила на едно тело jа променува неговата состоjба на мирување, при што се менува неговата брзина. Таа промента на брзина во време (d v/dt) го изразува забрзувањето на телото, па така законот може да се изрази и преку брзината: F = m a = m d v dt. Во изразот на законот, масата на телото m е единствената константна величина. Од тука вториот Њутнов закон пропишува дека иста сила на тела со различна маса ќе резултира во различни димензии. Слика 1.1 шематски прикажува дека иста сила на тело со помала маса ќе предизвика поголемо забрзување, отколку кога истата сила би влиjаела на тело со поголема маса. Оттука, произлегува и дефинициjата на маса како мерка за инертност на тело, односно како едно тело реагира на деjството на силата. Производот од масата по брзината се нарекува линеарен моментум, или ко- Сл. 1.1: Шематски приказ на деjство на иста сила на тела со различна големина, кои резултираат во различни забрзувања.
1. Биомеханика 5 личество движење: p = d(m v). Бидеjќи масата е константна, законот може да се изрази и како: F = m d v dt = d p dt. Доколку силата деjствува во време од некоj ограничен временски интервал t, тогаш моментумот се нарекува имплус на силата, а неговата промена е еднаква на промената на брзината: p = m v. Вкупниот импулс на системот составен од честички е еднаков на векторскиот збир на импулсите од сите честички: p = p 1 + p 2 +... + p n = n p i. i Законот на конзервациjа на импулси е искористен за создавање на балистокардиограф уред коj jа регистрира работата на срцето преку следење на движењето на човечкото тело предизвикано од испумпувањето на крв од срцето. Со следење на малите поместувања, се мери активноста на срцето. Во еден затворен систем импулсот е константен и не се менува со текот на времето. Во биомедицината обично системите не се затворени, туку се отворени, сепак ваквата конзервациjа на импулси во одредени случаи е добра апроксимациjа. 1.1.3 Трет Њутнов закон Третиот Њутнов закон се однесува на взаемно деjство на сили, односно на деjство и против-деjство на надворешните сили во однос на движењето на едно тело. Во суштина законот вели дека ако на едно тело деjствува сила да му jа смени состоjбата, тоа се противи на промените со иста мера. Третиот Њутнов закон гласи: силата на акциjа е еднаква на силата на реакциjа. Често се нарекува и акциско-реакциски закон. Изразен математички во однос на силите закон е: F 1 2 = F 2 1. При што треба да се забележи дека природата на силите е иста, тие се jавуваат во парови, двете имаат ист интензитет, а делуваат во спротивни насоки. Законот
1. Биомеханика 6 Сл. 1.2: Пример за движење во спротивни насоки под деjство на сили на акциjа и реакциjа. изразен преку масите на телата и нивното забрзување е: m 1 a 1 = m 2 a 2. Во секоjдневниот живот постоjано сме изложени на последиците од овоj закон. На пример на Слика 1.2 е прикажано движење во спротивни насоки заради реакциjа на силата коjа делува на телото. Имено, тргнуваjќи од состоjба на мирување кога ногата е на скиролот, сила деjствува за да се слезе од скиролот. Ногата се придвижува во една насока заради акциjата коjа е преземена, додека скиролот под деjство на реакциjа се движи во спротивната насока. 1.1.4 Њутнов закон за гравитациjа Едно од наjосновните феномени во природата е дека Земjата ги привлекува сите тела, а исто така и телата се привлекуваат меѓу себе. Резултат на тоа привлекување е паѓањето на телата врз површината на Земjата, што всушност и го инспирирало Њутн да размислува за силата на привлекување (настанот кога пред очите на Њутн паднало jаболко од дрво го мотивирало да размислува зошто телата слободно паѓаат). Слични примери на привлекување на телата вклучуваат и притисок од телата на подлогата, затегнување на конец доколку на него е закачено тело, отежнатото одделување на живите организми од површината на Земjата и привлекување на небесните тела и планетите. Овие броjните примери покажуваат дека постои сила на заемно деjство меѓу телата, коjа Њутн jа нарекол сила на гравитациjата. Со обид да го опише универзалното правило под кое се манифестира гравитациjата меѓу две тела генерално, Њутан го дефинирал законот за гравитациja, коj гласи: било кои две тела во универзумот се привлекуваат меѓусебно со сила
1. Биомеханика 7 Сл. 1.3: Взаемно привлекување на две тела т.е. привлекување на Земjата и Месечината на растоjание r. коjа е правопропорционална на производот од нивните маси, а обратно пропорционална со квадратот од меѓусебното растоjание, или математички изразено како: F = γ m 1m 2 r 2, каде γ = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 е коефициент на пропорционалност наречена гравитациона константа. Гравитационото заемно деjство е базирано на третиот Њутнов закон за сила на акциjа и реакциjа според коj, силата со коjа едно тело привлекува друго тело е еднаква но спротивна по насока од онаа со коjа второто тело го привлекува првото. Значаен пример за ова е како Земjата jа привлекува Месечината (види Слика 1.3). Силата коjа деjствува на телата во близина на Земjата е наречена гравитационата сила, коjа според вториот Њутнов закон за забрзување на тела со одредена маса е определена со: F = G = m g. Гравитационата сила воедно jа претставува и тежината на телата. Ако со M jа означиме масата на Земjата, а со m масата на телото, следува: F = γ Mm r 2. Од десните страни на претходните релации се добива релациjа за определување на земjиното забрзување g: g = γ M r 2. Подоцна Аjнштаjн jа дефинирал гравитациjата многу попрецизно, а се вели дека
1. Биомеханика 8 дефинициjата на Њутн претставува добра апроксимациjа. Од последната равенка може да се забележи дека масата на телото не влиjае на земjиното забрзување g, односно тоа е исто за било кое тело. За да го докаже ова, Њутн спровел експеримент со помош на така-наречената Њутнова цевка. Имено во една цевка се сместени предмети со различни тежини, како пердув, парче дрво и оловни зрна, и воздухот се извлекува надвор од цевката. Предметите се пуштаат од иста височина и тие паѓаат на дното од цевката во исто време што значи нивната маса не влиjае на земjиното забрзување g. Доколку истите предмети се пуштат надвор од цевката во нормални услови, тогаш заради силите на триење тие ќе паднат во различно време. Друга импликациjа од последната равенка на земjиното забрзување g е што ако растоjанието се зголеми со оддалечување H на телото од Земjата, тогаш земjиното забрзување ќе се намали: M g H = γ (r + H). 2 Така ако телото е на висина двоjно поголема од Земjиниот радиус, телото jа намалува своjата тежина за четири пати. Гравитациjата е основен елемент во космологиjата коj ги дефинира заемнодеjствиjата на пленетите и другите вселенски тела. Гравитационото заемнодеjство е причина за создавањето на космичките мегаструктури како Галаксии. Поради гравитационата сила планетите ротираат околу Сонцето, а лансираните вештачки сателити се движат околу Земjата. Физичкиот простор во коj се реализираат гравитационите деjства на телата се вика гравитационо поле. Така во зависност од нивната големина различни гравитациони полиња имаат Земjата, Сонцето, Месечината и другите планети. Секое небесно тело во космичкиот простор има сопствено забрзување. Гравитационото поле е присутно во сите материjални средини и вакуумот. Се смета дека гравитационото поле се простира со конечна брзина еднаква со брзината на светлината. На местата каде што е ослабнато или отсутно деjството на гравитационото поле се манифестира своjството на бестежинска состоjба. Гравитациска биологиjа е наука коjа проучува како гравитациjата деjствува
1. Биомеханика 9 на живите организми, а постои и научна област и здружение на гравитациска физиологиjа. Имено, од самиот почеток на животот на Земjата, низ милиони години еволуциjа покраj тоа што климата и многу други фактори се менувале, силата на гравитациjа останала иста. Затоа овоj ефект има големо значење за здравjето и правилното функционирање на живите организми. На пример, големината на клетките е обратно пропорционална со jачината на гравитациското поле. Така во поjаки гравитациски полиња големината на клетките се намалува, и обратно. Живите организми постигнале висок степен на адаптабилност во однос на насоката на гравитационата сила така што биолошките процеси во такви услови нормално функционираат. На пример, дистрибуциjата на крв низ крвните садови надолу низ телото е полесна заради гравитациjата отколку нагоре за што живите организми имаат механизми успешно да се справат. На сличен начин и растениjата, чие растење воглавно е вертикално во однос на земjината површина исто така се адаптираат за да опстоjат во насока на гравитационата сила. Отсуство на нормални гравитациони услови во бестежинска состоjба кога има летови во вселената нанесуваат значителни промени во функционирањето на органите во живите организми. Во многу од нив може да доjде до сериозно пореметување на метаболичките и други процеси во живите организми. Затоа постои посебна гранка во биомедицината коjа jа проучува физиологиjата на живите организми за време на летовите во вселената, споредено со истата физиологиjа пред и по летовите. 1.1.5 Неинерциjални системи и инерциjални сили Со дефинирање на првиот закон, Њутан го вовел и концептот за инерциjа. Во системите кои ги разгледавме предходно каде телата и системите се движат еден во однос на друг рамномерно праволиниски или се во мирување, референтниот систем се нарекува инерциjален референтен систем. Меѓутоа, движењето на едно тело може да се разгледува и во системи кои во однос на инерциjалните референтни системи се движат со забрзување. Тоа значи дека има движење на тела во систем коj и самиот се движи во однос на некоj референтен систем. Ако во овие тела се постави координатен систем, тоj систем е неинерциjален референтен систем. Во неинерциjалните системи тела-
1. Биомеханика 10 та добиваат дополнителни забрзувања кои се условени исклучиво од своjствата на неинерциjалните системи. Дополнителните сили кои се jавуваат во неинерциjалните референтни системи се викаат инерциjални сили (често наречени и фиктивни сили). Во неинерциjален систем вториот Њутнов закон има поинаков облик: m a = F + F in, a е забрзувањето на телото во неинерциjалниот систем а F in е инерциjалната сила. Од горнава равенка и вториот Њутнов закон F = m a, инерциjалната сила може да се изрази како F in = m( a a). Една од главните примени на инерциjалните сили во биомедицината е за медицинско биолошка центрифуга. Таа се користи за фина и прецизна сепарациjа на многу мали честички со различна големина и густина. Доколку човечкиот организам се смести во системи со променливо забрзување, тогаш може да доjде до сериозни нарушувања на неговото функционирање кое е адаптирано за работа во нормални инерциjални системи под деjство на гравитациони системи. Очигледен пример за ова е подложување на човечкиот организам на авионски и космички лет. Во таков случаj се испитува како големото забрзување ќе влиjае на физиологиjата за да не настанат сериозни нарушувања на органите. Наjголем ефект на виталните органи и системи заради неинерциjалните системи има на кардиоваскуларниот систем. Тоа пред сè се манифестира врз крвниот систем, поради подвижноста и поместување на крвта под деjство на инерциjалните сили. Доколку насоката на забрзувањето е од главата кон нозете (на пример при полетување на космички сателит) крвта се повлекува кон долниот дел на телото, поради што притисокот на нивото на срцето се намалува. Тогаш срцето не може да jа пумпа крвта, од причини што таа отежнато се враќа во него. Во обратниот правец кога инерциjалната сила делува од нозете кон главата, доаѓа до нагло зголемување на притисокот на крвта во срцето, а посебно во главата. И во двата случаи може да доjде до сериозни нарушувања, како несвестица, ментална конфузиjа, срцев или мозочен удар. Затоа при полетување и слетување во
1. Биомеханика 11 вселената космонаутите наjчесто се поставени во скоро хоризонтална положба. Вестибуларен инерциjален систем за ориентациjа Наjзначаjниот систем во човечката физиологиjа базиран на инерциjални системи е вестибуларниот систем за ориентациjа. Тоj спаѓа во групата на инерциjални системи за ориентациjа чиjа сензорска функциjа е да ги регистрира промените на насоката на движење и нивното забрзување. Вестибуларниот систем е сместен во внатрешното уво и се состои од три главни дела (Слика 1.4) три полукружни канали, вестибула за функциjа на ориентациjа коjа се состои од две комори наречени утрикул и сакул, и кохлеата за функциjата на слушање. Сл. 1.4: Шематски приказ на вестибуларниот систем составен од три главни дела три полукружни канали, вестибулата составена од две комори и спиралата кохлеата. Насоката и брзината на движење на главата се регистираат во полукружните канали, на пример дали главата jа мрдаме надоле нагоре, или гледаме од лево на десно. Во каналите постои специфичен густ флуид коj при движење се мрда и ги стимулира и отклонува нервните влакна во каналите кои го сигнализираат мозокот за промената. Двете комори утрикул и сакул во вестибулата пак се одговорни за детектирање линеарно поместување. Густиот флуид ги дразни нервните влакна секогаш кога главата е мрдната или телото jа менува положбата во однос на гравитациjата. Дисфункциjата на вестибуларниот систем доведува до лошење, дезориентациjа и вртење, доколку деjството е периодично и чувство на морска болест, а исто
1. Биомеханика 12 така космонаутите кога орбитираат во безтежинска состоjба постоjано чувствуваат дезориентациjа (познат и како вселенско адаптациски синдром). 1.2 Статика и механика на човечкото тело Статика е дел од механиката коjа ги проучува телата кои не се во движење, односно кои немаат линеарна или аглова брзина. Иако навидум за човечкото око изгледа дека кога телата мируваат не се случува многу, сепак различни сили делуваат и тие се од големо значење за биолошкиот систем. На пример, ако имаме трпезариска маса на неа делуваат гравитационата сила, ако има предмети на неа и тиа со своите сили деjствуваат на масата. Со примена на сила на туркање да пробаме да jа поместиме масата коjа од премногу тежина стои неподвижна во место. Статиката ги проучува содеjствиjата на силите во ваква недвижечка состоjба и кои се условите за телото да се придвижи. Според првиот Њутнов закон следува дека тело е во мирување доколку на него не деjствуваат сили или (поважно за статиката) доколку збирот на сите сили коj деjствуваат на телото е нула: Fi = 0. Ваквата состоjба се нарекува статички еквилибриум, т.е. статичка рамнотежна состоjба. Постоjат два вида на статички состоjби на мирување: транслациски статички еквилибриум и ротациски статички еквилибриум. Транслациски статички еквилибриум настанува кога линеарната праволиниска брзина и забрзување се нула. Според инверзното значење на вториот Њутнов закон за забрзување, бидеjќи забрзувањето е нула следува дека и сумата на силите е нула. Слично ротациски статички еквилибриум настанува кога агловата брзина и забрзување се нула. Според вториот Њутнов закон следува дека вкупниот вртежен момент на телото треба да е нула. 1.2.1 Механика и лостови на локомоторен систем Локомоторен систем овозможува движење на живиот организам и е составен од неговите коски и мускули. Функциjата на локомоторниот систем се реализира со
1. Биомеханика 13 Сл. 1.5: Три вида на лостови. (а) лост од I ред со пример за странично подигање товар. (б) лост од II ред со пример на количка за носење товар. (в) лост од III ред со пример на кран за вертикално подигање на товар. трансформациjа на хемиската метаболичка енергиjа во механичка работа. Постоjат два главни дела на локомоторниот систем на човекот: коски и зглобови (пасивен дел) и мускулите (активен дел). Лостови Лостовите се едноставни механички машини каде со примена на мала сила се совладуваат големи отпори. Лост е тврдо тело што може да ротира околу оска што минува низ неподвижна потпорна точка. Лостот го дефинираат три карактеристични нападни точки оска, отпор и сила на деjствување. Поточно, се применува мала сила на лостот фиксиран на оската за да се совлада поголем отпор. Во зависност на заемната положба на нападните точки на силата и отпорот во однос на потпирната оска, лостовите се делат на: двокраки лостови. Потпирната оска се наоѓа помеѓу силата и отпорот што деjствуваат врз лостот (Слика 1.5 (а) - на пример лост за подигање товар или
1. Биомеханика 14 Сл. 1.6: Движење и рамнотежа на главата каj човекот како пример за лост од I ред. jадица за рибарење). Тие се лостови од I ред. еднокраки лостови. Силата и отпорот што деjствуваат се наоѓаат од иста страна на потпирната оска. Можат да бидат од II ред (Слика 1.5 (б), на пример лост за количка за носење товар) каде што отпорот се наоѓа поблиску до потпорната точка, и од III ред (Слика 1.5 (в), на пример кран за подигање товар) каде што нападната точка на силата е поблиску до потпорната оска. Доколку нормалното растоjание од потпирната оска до нападната точка на силата се одбележи како крак на силата a, а нормалното растоjание од потпирната оска до нападната точка на отпорот како крак на товарот b. Тогаш производот M F = F a се вика модул на момент на силата, а производот M O = Ob се вика модул на момент на отпорот. Од услов за статичка рамнотежа на лостот M i = 0 за двокракиот лост следува дека: M F = M O F a = Ob. Коефициент на пренос на лостот k се дефинира како: k = O F = a b. Од тука следува дека карактеристиките на лостот се дефинирани од растоjаниjа-
1. Биомеханика 15 Сл. 1.7: Движење нагоре на телото каj човекот со помош на стапалото како пример за лост од II ред. та a и b, што имплицира дека за да се подигне отпор со помош на лост, треба да се делува со сила што е k-пати помала од товарот на отпорот. Локомоторни лостови каj човек Претставените модели на механички лостови се основа на движење на коските како пасивен дел од локомоторниот систем на живите организми. Каj човекот постоjат неколку карактеристични механизми кои можат да се опишат со лостови кои ги имаат оската, отпорот и силата на делување. Така пример за лост од I ред е движењето на главата на човекот во насока нагоре-надоле види Слика 1.6. Лостот е двокрак, а оската се наоѓа меѓу черепот и почетокот на вратните пршлени. Отпорот на оската на лостот го прави тежината на главата коjа делува надолу. Движењето на лостот се врши под деjство на силата нагоре коjа се реализира со вратниот мускул. Ваквиот лост има голем коефициентот на пренос k и помага со помала сила на мускулите да се одржи тежината на главата. Како пример за еднокрак лост од II ред може да се разгледа стапалото на човекот и негово придвижување нагоре со цел да се подигне телото (на пример за човекот да се подигне "на прсти"и да дофати нешто повисоко). Слика 1.7 го илустрира овоj случаj. Ваквиот лост се нарекува уште и лост на силата, бидеjќи
1. Биомеханика 16 Сл. 1.8: Движење на предмет во раката каj човекот како пример за лост од III ред. со него се крева големата тежина на телото коjа делува како отпор на оската коjа се наоѓа каj предните прсти. Силата деjствува преку мускулот на задниот дел од ногата за да jа подигне тежината нагоре. Поради големиот коефициентот на пренос k со помала сила на мускулите се придвижува голема тежина на телото. Значаен пример за лост од III ред каj човекот е механизмот за движење на подлактицата види Слика 1.8. Овоj еднокрак лост е познат уште и како лост на брзината, на пример брзото шутирање на топката во ракомет се реализира со овоj механизам. Оската на лостот се наоѓа на лакотниот зглоб, отпорот доаѓа од тежината во шаката додека силата коjа го придвижува лостот делува преку надлактниот мускул (бицепс). За ваквиот лост наjоптимална ефективност се постигнува доколку постои прав агол (α = 90 ) меѓу подлактицата и надлактицата (каков што е примерот на сликата). За агли помали од прав агол, потребна е поголема сила да се совлада отпорот. Досегашните примери беа опис на лостови како основни елементи на движење по праволиниска насока. Во реалниот локомоторен систем на човекот често има движења кои не се исклучиво праволиниски и за кои има потреба од поголема слобода во движењето. Во таквите случаи движењето не се извршува само со еден лост, туку со систем од лостови. Така на пример кога пливаме со рацете, има движење на неколку зглоба по различни оски и тогаш движењето може да се
1. Биомеханика 17 Сл. 1.9: Различни видови на ротациски зглобови каj човекот. (а) едноосни или споjувачки зглобови. Двоосни зглобови претставени со (б) седло и (в) елипсоидни зглобови. (г) троосни или топка-и-чашка зглобови. претстави со комбинациjа од неколку лоста. Исто така лостот не е единствениот модел на механичко движење туку постоjат и други механизми. Таков механизам е и макарата коjа исто така има оска на фиксациjа, но силата делува долж конец чие деjство се пренесува по принципот на затегнување на конецот. Со макарата, како и со лостот, се постигнува придвижување на поголем отпор со помала сила. Ротациjа на зглобови Сврзните елементи меѓу коските се нарекуват зглобови и тие играат многу значаjна улога во локомоторниот систем. Со зглобовите се одредува степенот на слобода на движење, а со тоа и слободата на движење на човечкиот организам во тридимензионалниот простор. Слободата на зглобовите е одредена со оските по кои зглобот може да ротира и според тоа се разликуваат три вида на зглобови: едноосни, двоосни и триосни зглобови едноосни зглобови овозможуваат ротациjа околу една оска, а се нарекуваат и споjувачки зглобови (Слика 1.9 (а)). Тука главата коjа се наоѓа во чашката може да ротира само по една оска. Примери за вакви ротации каj човекот вклучуваат зглобови каj коленото, лактот, главата и прстите; двоосни зглобови овозможуваат ротациjа околу две оски, а според формата и механизмот постоjат два каректеристични вида: седло двоосен зглоб (Слика 1.9 (б)) и елипсоиден двоосен зглоб (Слика 1.9 (в)). Двете оски се нормални на себе и движењето се одвива по одредена површина. Вакви зглобови има каj скочниот
1. Биомеханика 18 зглоб на стапалото каj човекот; троосни зглобови овозможуваат ротациjа околу три оски, а се нарекуваат и топка-и-чашка зглобови (Слика 1.9 (г)). Тука главата коjа се наоѓа во чашката може да ротира по сите три нормални оски, а со тоа и да го реализира движењето по сите три димензии во просторот. Примери за вакви ротации каj човекот има каj рамењата и колковите. Мускули и движење Излагањето досега беше концентрирано претежно на коските и зглобовите како пасивен дел од локомоторниот систем. Но и мускулите како активен дел од локомоторниот систем играат многу значаjна улога во движењето и одржувањето на рамнотежа на телото. Мускулите кои се во контакт со коскениот систем се движат по наша волjа и контрола, а постоjат и мускули кои се активни без наша волjа (како што се мускулите на срцето и другите внатрешни органи). Главната активност на мускулите се реализира преку промена на нивната должина коjа е придружена со сили кои предизвикуваат движење на коските при што мускулите вршат определена работа. Делот од биомеханиката коj ги проучува работоспособноста на мускулите, мерењата на механичката работа што човек jа врши при различни услови, а исто така и влиjанието на таа работа врз организмот се нарекува ергометриjа. Главната функциjа на мускулите е контракциjата коjа може да биде: изометриска каде должината на мускулот не се менува, но во него се создава сила што деjствува во точките каде што е прицврстен. Физиолошки за одржување или предизвикување на напната состоjба од организмот се троши неопходна енергиjа, коjа преминува во топлина што се ослободува во соодветниот мускул. Изометриската контракциjа овозможува држење на обjектите или средствата за работа; изотонична каде едниот краj на мускулот се фиксира, а слободниот краj се прицврстува за лост од прв ред. На другиот краj на лостот деjствува силата на товарот. Силата што jа развива мускулот за време на контракциjата има константна вредност но му се менува должината и брзината на контракциjа. Изотоничната контракциjа обезбедува поместување на обjектите или средствата за работа.
1. Биомеханика 19 Сл. 1.10: Вршење на работа преку движење на тело заради сила коjа деjствува под агол α. 1.3 Работа и моќност Една од основните физички величини е работа коjа се дефинира како поместување на тело во насока на делување на некоjа сила. Така работата се изразува како скаларен производ од силата на деjствување F и изминатиот пат S: A = F S. Единица мерка според SI системот е џул J, коjа во овоj случаj се изведува како Њутн по метар J = Nm. Бидеjќи работата е скаларен производ од два вектора и ако силата деjствува под некоj агол на телото, тогаш работата се изразува со косинусната компонента на силата од одклонувањето (види Слика 1.10): A = F cos(α)s. Доколку силата деjствува во насока на поместувањето и аголот е нула α = 0 cos(α) = 1, тогаш работата е производ од двата модула A = F S, а доколку силата деjствува под прав агол α = 90 cos(α) = 0 не се врши работа. Мерката коjа изразува колку работа се извршува во единица време се нарекува моќност: P = A t = F cos(α)s. t Единица мерка за моќност со SI системот е ват (1W ) коjа се изразува како џул по секунда W = J/s.
1. Биомеханика 20 1.3.1 Кинетичка и потенциjална енергиjа Способноста некое тело да врши работа се нарекува енергиjа. Во механиката постоjат два вида на енергии - кинетичка и потенциjална. Кинетичка енергиjа е енергиjа коjа телото jа поседува заради негово движење. Потенциjална енергиjа е енергиjа коjа телото jа поседува заради неговата положба во поле од сили или содеjство на неговите делови и честици. Некое тело со маса m под деjство на сила F се движи рамномерно забрзано и ќе измине пат S = v sr t. Средната брзина е пресметана со усреднување на брзината пред почетокот на деjството на силата и по деjството во момент t и е дадена со изразот: v sr = v t + v 0, 2 а забрзувањето изразено преку двете брзини е: a = v t v 0. t Од овие две равенки може да го добиеме изразот за работа: A = F S = mas = m v t v 0 t v t + v 0 t = mv2 t 2 2 mv2 0 2. Бидеjќи работата е квантитативна мерка за предадена енергиjа во одредено време, кинетичката енергиjа е дадена со изразот: E k = mv2 t 2. Потенциjалната енергиjа го изразува потенциjалот на едно тело да врши работа. Ова често се одредува со положбата на телото во некое поле на сили на пример ако имаме едно тело со маса m кое е подигнато на некоjа висина h во однос на површината на Земjата, тогаш на него делува гравитационата сила G = mg. Така потенциjалот на телото да врши работа е изразен со: E p = mgh. Кога телото е во мирување на некоjа висина се вели дека има потенциjална енер-
1. Биомеханика 21 гиjа да изврши работа A = E p. Во тоj момент на мирување кинетичката енергиjа е нула. Доколку потоа телото се пушти слободно да паѓа, тогаш неговата кинетичка енергиjа ќе расне, а ќе се намалува потенциjалната енергиjа пропорционално како што ќе се намалува висината h. Кога телото ќе падне на површината ќе има максимална кинетичка енергиjа, а потенциjалната енергиjа ќе му е нула. Така во еден затворен систем постоjано се случува конверзиjа од потенциjална во кинетичка енергиjа и обратно. Вкупната енергиjа во затворен систем е секогаш константна и е збир од моменталната кинетичка и потенциjална енергиjа: E = E k + E p. Со ова е изразен законот за запазување на механичката енергиjа на затворени системи. Единица мерка за енергиjа е џул, иста со единицата за работа. 1.3.2 Работа извршувана од човекот Во своjата секоjдневна активност и движење човекот извршува одредена механичка работа. Хемиската енергиjа коjа човекот jа внесува во телото преку храната, се трансформира преку метаболичките процеси во механичка енергиjа. Така кога одиме, кога пливаме, кога возиме велосипед, кога играме на музика или како дел од некоjа спортска игра, човечкиот организам извршува работа. Науката коjа се занимава со проучување на работата извршена од живите организми се нарекува ергометриjа. Од посебно значење се наодите на ергометриjата за работата на човекот кои често се користат од компаниите за дефинирање на нивната работна рутина. А постоjат и разни примери каде работата извршувана од човекот е искористена да се креира некоj уред или машина. Наjочигледен таков пример е велосипедот, каде човечката механичка работа (вртење на педалите) се користи за движење на велосипедот како превозно средство. Точната количина на вкупната извршена работа е тешко да се одреди бидеjќи зависи од многу фактори, но сепак постоjат многу студии каде работата се регистрира во одредени карактеристични случаи, како што е извршување на иста физичка вежба од страна на повеќе човечки субjекти. На пример при обичното пешачење по рамна подлога човекот врши работа, а дел од енергиjата се троши за пренесување
1. Биомеханика 22 Сл. 1.11: Пресек на срцето коj ги опишува левата и десната комора и преткомора каде се врши механичката работа. на телото, движење на нозете, загревање на организмот итн. Ако човек со маса 70 kg се движи со брзина 5 km/h, развива моќност од 60 W. Човечкиот организам е способен да изврши голема интензивна работа при голем напор, но само краткотраjно по што е потребен одмор за да се релаксираат срцето и другите органи. 1.3.3 Механичка работа на срцето Срцето е еден од наjважните органи во човечкиот организам. Неговата механичка работа е главниот механизам коj овозможува циркулациjа на крвта низ кардиовасцуларниот систем до останатите делови на телото. Механичката работа на срцето е резултат на претворање на хемиската во механичка енергиjа. Срцето има две главни комори, десна и лева (Слика 1.11), со кои се врши примање на крв од белите дробови и испумпување на крвта преку аортата (голем крвен сад) во телото. Целокупната работа на срцето е збир од работата на двете комори, при што соодносот не е еднаков туку десната комора извршува приближно само една петтина од работа на левата комора. Контракциjата на срцето, уште наречена и систола, е поврзана со поголема работа извршена во левата комора коjа испумпува одредено количество крв во аортата за да оди во телото. Оваа крв jа поседува кинетичката енергиjа и се движи низ крвоносниот систем. Дел од енергиjата преминува во потенциjална енергиjа на деформациjа на крвните садови. При отпуштање на срцето, уште наречено и диjастола, оваа потенциjална енергиjа се предава на крвта и преминува во кинетичка енергиjа. Работата коjа се врши во левата комора на срцето е збир од два дела A LK = A 1 + A 2, каде:
1. Биомеханика 23 Сл. 1.12: Шематски приказ на модел од цилиндар за движењето на крвта во аортата. A 1 e работа за да се предаде енергиjа на волуменот крв што при систола се пумпа во аортата под деjство на разликата во притисоците, и A 2 е работа што се троши да му се предаде кинетичка енергиjа на тоj волумен. Систолниот волумен на крвта V во аортата може да се претстави како цилиндер со должина l и напречен пресек S Слика 1.12. Така работата A 1 е дадена со: A 1 = F l = P Sl = P V, каде со Р е претставен притисокот што делува на аортата. Другата работа A 2 да се предаде кинетичка енергиjа се изразува како: A 2 = mv2 2 = V ρv2 2, каде со v е означена брзината на крвта во аортата, а со ρ густината на крвта. Двете работи заедно jа даваат работа на левата комора: A LK = A 1 + A 2 = P V + V ρv2 2. Притисокот на десната комора е пет пати помал од притисокот во левата комора. Исто така и количеството на крв и брзината на крвта во десната и левата комора се приближно исти. Од тука следува дека работата на десната комора може да се изрази пропорционално од работата во левата комора на срцето: A = A LK + 0.2A LK = 1.2V (P + ρv2 2 ). За да се добие претстава за големината на оваа работа ќе разгледаме неколку карактеристични вредности ако средниот притисок на крвта е P = 13, 3kP a, густината на крвта е ρ = 1, 05g/m 3, брзината на крвта во аортата е v = 0.5m/s
1. Биомеханика 24 а волумен е V = 7 10 5m 3, тогаш вкупната работа на срцето ќе изнесува A = 1.14J. Моќноста на срцето за времетраењето на една контракциjа на коморите кое изнесува 0.3ѕ се одредува како P = A/t = 3.8W. Срцето има периодична осцилаторна активност при што во еден циклус од околу 0.8ѕ има интервал 0.3ѕ кога тоа работи многу интензивно за време на систолната контракциjа и интервал на пауза од 0.5ѕ. Значи коморите имаат скоро двоjно поголемо време за одмор од времето за активна работа. 1.4 Еластичност За да се разберат своjствата на тврдите тела кои jа сочинуваат структурата на живиот организам, како на пример коските и мускулите, треба да се проучи и внатрешната структура на таквите тела. Едно од главните своjства е како телата реагираат на деjството на сила и дали се подложни на деформациjа. Еластичност е своjство на телата да се враќаат во првобитната рамнотежна состоjба откако се отстранети силите кои му деjствуваат. Во тврдите тела, секоj атом или молекул е опколен од соседни атоми и молекули. Тие се поврзани преку интератомски или интермолекуларни сили во стабилна рамнотежна состоjба. Кога тврдото тело е деформирано атомите или молекулите се отклонети од нивните рамнотежни состоjби причинуваjќи промени во интератомските растоjаниjа. Кога деформирачката сила е отстранета, тогаш интератомските сили се стремат да ги вратат атомите во нивната рамнотежна положба, за да телото си jа поврати оригиналната форма и големина. Ваквиот механизам на враќање на рамнотежната положба може да се претстави со модел на топки и пружини како на Слика 1.13. Тука топките ги претставуваат атомите, а пружините интератомските сили. Ако се отклони една топка од рамнотежната положба, системот од пружини ќе jа поврати неговата оргинална положба. 1.4.1 Хуков закон Еластичните своjства на тврдите тела може да се обjаснат со природата на нивните микроскопски елементи. Физичарот Роберт Хук ги дефинирал законите под
1. Биомеханика 25 Сл. 1.13: Модел на интератомска решетка на тврдо тело. Топките ги претставуваат атомите а пружините силите меѓу атомите. кои настанува деформациjата со проучување и експериментирање на механички пружини. Така законите за еластичноста на пружините се применливи и каj силите и структурата на атомите од тврдите тела. Доколку едно тело го менува обликот или волуменот под деjство на сили, настанува деформациjа. Постоjат два вида на деформации: еластични, кога телото се враќа во неговата првобитна рамнотежна форма и волумен по престанокот на деjството на силата, и пластични, кога телото по престанување на деjството на силата делумно jа задржува новодобиената форма или волумен. Тврдите тела имаат висок степен на еластичност и недеформабилност кои зависат од материjалот на конкретното тело и од големината на приложената сила. Доколку силата не надмине некоjа определена гранична вредност, телото претрпува еластична деформациjа. Во спротивно ако силата jа надмине граничната вредност, настанува пластична деформациjа и телото не се враќа во првобитната состоjба и добива нова форма. Хуковиот закон пропишува дека еластичната сила потребна да се издолжи или скуси пружина за некоjа должина е пропорционална со должината на таа деформациja: F el = k l, каде k е коефициент на жилавост и зависи од своjствата на материjалот, а l е должината на издолжувањето, односно деформациjата.
1. Биомеханика 26 Една од наjкарактеристичните деформации е линиската деформациjа коjа настанува каj тврди тела чиj напречен пресек е значително помал од должината. Такви се пред се еластичните пружини, потоа тенки жици, прачки, jаже итн. Доколку разгледаме деjство на надворешна сила F на прачка со должина l и плоштина на напречен пресек S, тогаш соодносот на силата и плоштината на пресекот го дава еластичното напрегање наречено механички напон: σ = F S. Доколку телото се издолжи за l под деjство на надворешната сила, тогаш односот на издолжувањето, наречен релативна деформациjа, е даден со: β = l l. Тогаш според Хуковиот закон механичкиот напон и релативната деформациjа се поврзани пропорционално, односно со растење на механичкиот напон расне и деформациjата: l l = ε F S, каде што ε се нарекува коефициент на линиска деформациjа, а често се користи и неговата реципрочна вредност E y = 1/ε наречена Jунгов модул на линиска еластичност. Големината на Jунговиот модул зависи од тоа колку телото може да се спротистави на напрегањето. Доколку при дадено напрегање, телото помалку се деформира (или повеќе се спротиставува на деjството на надворешните сили) неговиот Jунгов модул е поголем. Единица мерка според SI за Jунгов модул е N/m 2. Така на пример коските имаат голем Jунгов модул E y = 1.4 10 10 N/m 2 (споредливо со тоj на олово E y = 1.5 10 10 N/m 2 ), додека тетивите од мускулите имаа помал Jунгов модул E y = 2 10 7 N/m 2. Покраj линиска деформациjа, постоjат и волуменска деформациjа и аголна деформациjа. Волуменска деформациjа настанува кога сите три димензии се деформирани, односно различни од првобитната состоjба. Аголна деформациjа настанува заради лизгање што е резултат на сили кои деjствуваат тангенциjално на површината.
1. Биомеханика 27 Сл. 1.14: Торзиона деформациjа на цилиндер под деjство на вртлив момент. 1.4.2 Торзиона деформациjа Торзиона деформациjа е специjален случаj на аголна деформациjа. Наjчесто торзионата деформациjа се поjавува заради деjство на спрега на сили кои предизвикуваат торзиjа (всукување) на материjалот. Торзиjата може да се демонстрира со модел на цилиндар на коj делуваат спрегнати сили во спротивни насоки или едниот краj е прицврстен, а другиот е подложен на вртлив момент коj е насочен нормално на оската на цилиндерот (види Слика 1.14). Деjството на вртливите сили ќе го всукаат цилиндерот при што едната страна ќе се заврти во однос на другата за некоj агол φ. Аголот на всукување има улога на мерка за деформациjа на цилиндерот и според Хуковиот закон е пропорционален на вртливиот момент и еластичните своjства на цилиндерот дефинирани со неговата геометриjа (радиус R и должина l): φ l R 4 M M = Dφ, каде D се нарекува дирекционен момент и има единица мерка во SI изразена во Nm/rad. 1.4.3 Деформациjа при свиткување Деформациjа при свиткување може да настане како комбинациjа од збивање, истегнување или смолкнување, додека телото кое се деформира може да има една или повеќе потпорни точки. Деформациjа при свиткување често се поjавува каj елементите на локомоторниот систем или каj стоматолошките дентални протези. Таквата деформациjа, на пример каj денталната протеза, може да се прет-
1. Биомеханика 28 Сл. 1.15: Деформациjа при свиткување на греда под деjство на нормална надворешна сила. стави како модел на греда со две потпорни точки Слика 1.15. Како мерка за деформациjа и отклонување од рамнотежната положба се зема спуштањето ε. Спуштањето се определува преку наjголемото поместување на телото при свиткување во насока на делување на силата. Деформациjата и тука зависи од материjалот од коj е направено телото, неговите димензии и растоjанието на потпорните точки. Доколку телото е прицврстено само на едниот краj, а другиот краj деjствува силата, тогаш спуштањето ε ќе е четири пати поголемо. 1.4.4 Еластичност и фрактура на коски Еластичноста и механичките особини на коските зависат од структурата и материjалот на коските, како и од фактори како што се исхраната, спортување, возраста, тежина итн. Коските имаат сложена структура составена од компактен неоргански дел и мек органски дел. Главниот дел на компактната коска се состои од неоргански материjал хидроксоапатит (3Ca 3 (P O 4 )Ca(OH) 2 ), додека органскиот дел има наjмногу високомолекуларни соединениjа. Приближна густина на коските е 2400 kg/m 3. Во органскиот дел поминуваат и крвни садови. Коските каj човекот и другите живи организми наjчесто имаат цевкаста форма, како што е прикажано шематски на Слика 1.16. Цевкастите материjали имаат своjство за поголема издржливост на надворешни влиjаниjа. Теоретски и експе- Сл. 1.16: Шематски приказ на коска и неjзиниот цевкаст напречен пресек. Постоjат два карактеристични радиуси внатрешен r и надворешен радиус R.
1. Биомеханика 29 Сл. 1.17: Крива на зависност на напрегањето и деформациjата на коските. римантално е утврдено дека наjголем отпор при свиткување покажуваат цевките каj кои односот помеѓу внатрешниот r и надворешниот радиус R изнесува 8:11. Коските каj некои животни и птици го имаат овоj или приближен сооднос на радиусите. Поради карактеристичната форма, должина и напречен пресек, коските може да имаат различни карактеристики на издржливост кога се под деjство на надворешна сила. Експериментално опредена зависност на деформациjата на коските од jачината на напрегањето од надворешна сила т.е. напонот на напрегање е прикажано на Слика 1.17. За релативно мали напрегања коските имаат еластична деформациjа, одоносно нема траjна промена на нивната структура и тие се враќаат во првобитната состоjба по престанок на делување на силата. Во овоj еластичен регион на деформации за мали напрегања важи Хуковиот закон за елестичност каде деформациjата и напрегањето се линеарно зависни (линеарно на сликата е преставено со прав наклон нагоре). Степенот на наклонот е всушност поврзан со Jунговиот модул на еластичност. Коските имаат голема тврдина со голем Jунгов модул (на пример сличен со тоj на бетонот). Доколку напонот на напрегањето продолжи да се менува, тогаш зависноста со деформациjата станува нелинеарна (на сликата прикажан како параболична
1. Биомеханика 30 Сл. 1.18: Седум карактеристични вида на фрактура на коска. Од лево кон десно: трансферзно кршење на коската, линеарно, косо, косо изместено, спирално, нагризано во една точка и уситнето на повеќе помали делови. линиjа). Во овоj регион настануваат пластични деформации, односно надворешната сила причинува траjни промени на коските. Доколку напонот на напрегање продолжи да се зголемува во еден момент деформациите ќе станат толку големи што ќе настане фрактура (кршење) на коските. Во зависност од тоа како делува надворешната сила, односно под коj агол и насока, фрактурите може да се од различна природа. На пример на Слика 1.18 се прикажани седум карактеристични вида на фрактура под деjство. Трансферзна фрактура настанува доколку силата делува нормално на должината на коската, линерана фрактура е причинета од сили кои делуваат по должината на коската, додека коса фрактура настанува кога една сила или повеќе сили деjствуваат под некоj агол долж коската. Многу често косата фрактура може да предизвика целосно изместување на положбата на коската, дури и дел од коската да излезе од мускулот и надвор од кожата. Ова е едно од наjтешките видови фрактура. Вртливи торзиони сили причинуваат спирални фрактури. Често фрактурата не jа дели коската целосно туку само нагризува и крши дел од коската на една страна. Се поjавуваат и комплексни фрактури каде поголем дел од коската се уситнува и крши на многу помали делови (зараснувањето на ваков вид фрактура е потешко). Напонот за коj настанува фрактурата се нарекува критичен механички напон σ k. Табела 1.1 прикажува неколку карактеристички критични механички напони. Ваквите вредности за критичниот напон под коj настанува фрактура на коските
1. Биомеханика 31 не треба да се земат во предвид апсолутно, бидеjќи коските кога се дел од локомоторниот систем силите се распределуваат. Така на пример, ако разгледаме можност за фрактура на двете долни коски од нозете, според вредностите на критичниот напон би требало со скок од висина од околу 60cm двете коски на човекот да се скршат. Но од секоjдневниот живот знаеме дека човекот може да скокне и од поголема височина и притоа да не ги скрши и двете нозе. Тоа е затоа што силите на напрегање се распределуваат по целиот локомоторен систем, односно зависат и од аголот на нозете. Така доколку во моментот на доскок нозете се малку свиткани во зглобовите ударот ќе се амортизира и поголемиот дел од енергиjата ќе се пренесе на растегнување на мускулите тетивите и другите ткива што се оптеретени во моментот на доскокот. Затоа секогаш при доскок од некоjа висина нозете или рацете треба да не се исправени туку да зафаќаат некоj агол со подлогата за да не настане фрактура. Настанувањето на фрактура зависи и од jачината на силата, но и од брзината и времетраењето под кое делува. Така од интерес е да се наjде критична сила под чие деjствување настанува фрактура. Ако имаме многу споро и статично деjствување, критичната сила треба да има голма jачина за да настане фрактура. Спротивно на ова, доколку силата делува многу брзо и краткотраjно, тогаш фрактурата може да настане и за многу помала jачина на критичната сила. Ваквиот феномен е лесно воочлив со аналогиjа на клинец и чекан општо познато е дека клинецот ќе се набие само под деjство на брза и краткотраjна сила. Ваквата сила се нарекува импулсна сила и е директна последица на вториот закон на Њутн: F = m v t = mv p v k, t а бидеjќи во моментот на ударот кинетичката брзина е нула, импулсната сила Материjал Критичен напон на напрегање σ k (N/m 2 ) Коска 1 10 8 Дрво 0.8 1 10 8 Мускул 5.5 10 7 Тетива 6.8 10 7 Нерв 1.2 1.5 10 7 Таб. 1.1: Карактеристични механички напони на напрегање за неколку материjали.
1. Биомеханика 32 станува: F = m v p t. Од последната равенка jасно се забележува дека силата е обратно пропорционална на должината временскиот интервал t на деjствување на силата што директно посочува дека деjството на силата ќе е поголемо доколку имаме краткотраjно деjствување. Ова пак има импликации во стоматологиjата побрзо вадење на заб може да се постигне со помала сила.