1 ریاضیات درس در اين درس ميخوانيم: درسنامه سؤاالت پاسخنامه تشریحی
استخدامی آزمون ریاضیات پرورش و آموزش بانک آزمونهای از اعم کشور استخدامی آزمونهای تمام در ریاضیات پرسشهای مجموعهها میشود. ارائه نهادها و سازمانها دیگر و اجتماعی تأمین سازمان ارشاد و فرهنگ وزارت میباشد. آزمونها این در بحث مورد مسائل از... و احتمال و آمار معادالت مثلثات توابع معادالت حل 1- درجه معادله ( ) دلتا روش آن حل کلي روش و ميگردد بيان ax + bx + c صورت به دوم درجه معادلهی یک باشد: مي 1)ax + bx + c x1 1 x1 1 ) b 4ac a+ b+ c c a+ c b c x x b ± a a 3)x a شيپ زير حالت سه از يکي میکنیم حساب را ابتدا )( درجهی معادلهی یک ریشههای مقدار یافتن برای ميآيد: < دارد متمايز حقيقي ريشه دو ½معادله ½ دارد مضاعف ريشه ½معادله ½ > ندارد حقيقي ريشه ½معادله ½ معادله: حل بدون ) ) درجه معادله يک ريشههاي بين ½رابطه ½ داريم: معادله حل بدون باشد ax + bx + c معادله ريشههای β و α اگر b α+β a c α β a α β a b (k + 1) ac k )( درجه معادله تابع مورد در مهم نکات b که است اين باشند هم قرينه معادله يک ريشه اينکه شرط 1. c که است اين باشند هم عکس معادله يک ريشه دو اينکه شرط. a که: است اين باشد ديگر ريشه برابر k معادله ريشههای از يکي اينکه شرط 3. باشد: معلوم آن هاي ريشه وقتي معادله يک نوشتن طريقه 4. گذاريم. مي S را آن اسم کرده جمع را ريشه بار يک ميناميم. P و کرده ضرب را ريشه دو بار يک 10
درس اول : ریاضیات رابطه بین S و P همواره به صورت معادله مقابل است: 5. اگر يکي از ريشههای معادله m باشد ريشه ديگر حتما +m است و بالعکس. c 6. شرط مختلفالعالمت بودن دو ريشه اين است که < a 7. معادله ax + bx + c مفروض است معادلهای بنويسيد که ريشههايش: الف( قرينه ريشههای معادله فوق باشد. x Sx + P کافي است b را قرينه کنيم ax bx + c ب( معادلهاي بنويسيد که ريشههايش عکس ريشههاي معادله فوق باشد: کافي است جاي a و c را عوض کنيم: cx + bx + a ج( معادلهای بنويسيد که ريشههایش عکس و قرينه ريشههای معادله فوق باشد: هر دو عمل باال را با هم انجام میدهيم. cx bx + a د( معادلهای بنويسيد که ريشههايش k برابر ريشههای معادله فوق باشد کافي است: ax + bkx + ck 8- شرط اينکه يک تابع درجه دوم همواره مثبت باشد اين است و يا همواره منفي باشد: )به ازاي جميع مقادير x مثبت يا منفي باشد( نمودارها بررسي نمودار توابع < a > همواره مثبت a < همواره منفي < بيان ميگردد..1 تابع درجه دوم: به صورت y ax + bx + c I- نمودار آن بصورت يک سهمي قائم است. -II مختصات نقطه اکسترم نسبي در توابع درجه دوم اکسترمم نسبي b a 4a )طول و مقدار اکسترمم نسبي( 11
آزمون استخدامی ریاضیات b -III" هر تابع درجه دوم داراي يک محور تقارن به معادله x و خطي که محور تقارن را a y است. 4 a روي منحني قطع ميکند خط b x a -IV هر تابع درجه دوم محور y ها را فقط و فقط در يک نقطه قطع میکند. y x تالقي با محور y ها c + + y ax bx c تالقي با محور x ها محور xها را در نقطه قطع میکند < بيان ميگردد. 3 - تابع درجه سوم: به صورت y ax + bx + cx + d b a بر محور xها مماس است محور xها را قطع نميکند > xi است که همان مرکز تقارن منحني است. 1. هر تابع درجه سوم داراي يک نقطه عطف به طول 3. براي بررسي نمودار تابع درجه سوم يکبار مشتق بگيريد مساوي صفر قرار دهيد. الف( مشتق دو ريشه دارد: اين تابع دو اکسترمم و يک نقطه عطف دارد و نقطه عطف وسط پاره خط بين max و mi است. xmi + x x max I و ymi + y y max I ب( مشتق يک ريشه دارد: این تابع اکسترمم ندارد و یک نقطه عطف دارد که مماس در عطف موازی محور x ها است )افقی است(. 1
درس اول : ریاضیات ج( مشتق ريشه ندارد: این تابع اکسترمم ندارد و يک نقطه عطف دارد. و مماس در عطف مايل است. 4-3 تابع دومجذوري: y ax + bx + c براي نمودار آن يکبار مشتق بگيريد مساوي صفر قرار دهيد. 3 y 4ax + bx x x( ax + b) x b a شکل فقط يک اکسترمم دارد a b. > اگر )1 3 اکسترمم و عطف دارد a.b < اگر ( بيان میگردد. ax + b 4- تابع همواره گرافيک: به صورت y cx + d a b ميگردد. 1( بايد c باشد اگر c شود تابع تبديل به خط راست به معادله + x y است. d d ad bc باشد. اگر ad bc گردد تابع تبديل به تابع ثابت میشود که درريشه مخرج توخالي ) بايد y مانند x + 4 ( x + ) y x + ( x + ) 3( هر تابع هموگرافيک داراي مجانب است يکي افقي و يکي قائم. نکته مهم: مرکز تقارن درتابع هموگرافيک همان محل تالقي مجانبهاست. 4- نمودار تابع هموگرافيک: بستگي به ad bc دارد: الف( اگر مقدار < bc و تابع در يک طرف قائم خود صعودي است. ad مثبت باشد تابع در ربع دوم و چهارم مجانبها قرار میگيرد. 13
آزمون استخدامی ریاضیات ب( اگر مقدار ad bc > منفي باشد تابع در ربع اول و سوم مجانب است. و تابع در يک طرف مجانب قائم خود نزولي است. 5- هر تابع هموگرافيک داراي محور تقارن عمود بر هم به شيبهای ±1 است. که هر از مرکز تقارن عبور میکنند. 6- هرگاه مبدأ مختصات را از به مرکز تقارن انتقال دهيم ضابطه تابع هموگرافيک در دستگاه جديد به ad bc صورت xy k تبدیل میشود که k میباشد. c بسط دو جملهاي به b) (a+ بسط دو جملهای گويند. 1. هر بسط ) 1+ ) جمله دارد.. براي نوشتن جمله k ام يک بسط از رابطه زیر استفاده میشود: (y ( x را بدست آوريد مثال: ضريب جمله ي ششم از 10 (a) k 1 (k 1) (k 1) (b) 9 9 5 5 4 5 ( x) ( y) 136 x y 16 6 1 3. براي بدست آوردن مجموع ضرايب عددي کافي است جاي تمام متغيرها عدد يک را قرار دهيد. 10 10 x y 1 ( 1) 1 1 4. هرگاه ميانگين ضريب عددي را بخواهد 5. براي بدست آوردن بزرگترين ضريب عددي اگر اگر زوج باشد جمله 1+ میباشد و مجموع ضرایب عددی میانگین ضرایب تعداد جمالت 14
درس اول : ریاضیات a b اگر فرد باشد جمالت طرفین 1+ بزرگترین ضریب عددی را دارا میباشد. 6. هرگاه در بسط ضريب جمله p ام با ضريب جمله r ام باهم برابر باشد حتما داريم: + +P r 7. اگر عدد ثابت يک بسط را بخواهيد به جاي تمام متغيرها عدد صفر قرار دهيد. ب( روش تستي: در بسط ) x x) ± جمله مستقل از x برابر: a k a b + 1 - تابع تعریف تابع زوج مرتب: هر دوتايي به صورت( a,b ) را زوج مرتب گويند که ترتيب قرار گرفتن آنها مهم باشد. (a,b) (b,a) توجه: در یک تابع اگر (c,d) (a,b) آنگاه c a b d I: ازديدگاه زوج مرتبي: مجموعهای از زوج مرتب ها زماني تابع است که هيچ دو زوج مرتب متمايز عضوهاي اول مساوي نداشته باشند. نکته 1: تک عضو ها تابع هستند {(, 1 )} نکته : هرگاه دو زوج مرتب عضوهاي اولشان مساوي باشند به شرطي تابع است که عضوهاي دوم هم مساوي باشند. :II از ديدگاه نموداري: نموداري تابع است که به ازاي هر خط موازي محور y ها تابع را حداکثر در يک نقطه قطع کند. :III از ديدگاه ضابطهاي: ضابطهای تابع است که به ازاي هر x دلخواه حداکثر يک y نتيجه دهد. نتيجه: اگر y داخل قدر مطلق یا براکت يا داراي توان زوج باشد معموال تابع نيست. نکته: نامنفيها در رياضي بر 3 نوع میباشند: 1- راديکالها با فرجهي زوج - عبارتهای با توان زوج 3- قدر مطلقها نکته: اگر جمع چند نامنفي صفر شود به اين مفهوم است که تک تک آنها برابر صفر است. توابع چند ضابطهای چند ضابطهایها به شرطي تابع است که: 1( هر ضابطه در دامنه متعلق به خود تابع باشد. 15
آزمون استخدامی ریاضیات ( دامنهها عضوهاي مشترک نداشته باشند. اگر دامنهها در يک عضو مشترک شدند به شرطي تابع است که به ازاي آن عضو مشترک هر دو ضابطههای مساوي دهد. حدود تغييرات x )دامنه( 1. دامنه توابع خطي R است.. دامنه توابع کسري: مخرج را برابر صفر قرار بدهید دامنه میشود: }ريشههاي مخرج R{ نکته: اگر مخرج ريشه نداشت دامنه R است. است. 3. دامنه توابع راديکالي با فرجه ي فرد: فرجهي فرد را در نظر بگيريد هر تابعي که داخل آن است مد نظر 4. دامنه توابع راديکالي يا فرجهي زوج: زير راديکال را بزرگتر مساوي صفر قرار دهيد. توجه: اگر راديکال در مخرج بود فقط بزرگتر ازصفر قرار دهيد. 5. دامنه توابع مثلثاتي: الف( دامنه ي si و cos همان دامنه ي کمان است. ب( دامنهtg و cot داراي سه شرط π tg دامنه :D R { θ K π+ } cot دامنه :D R { θ K π} a > b > b 1 a 6. دامنه توابع لگاريتمي: لگاريتم log b است. است که اشتراک اين سه شرط دامنه تابع 7. دامنه توابع چند ضابطه اي: دامنه تک تک آنها را حساب کنيد و بين دامنه ها اجتماع بگيريد. 8. دامنه توابع قدر مطلقي و جزء صحيح: ربطي به قدرمطلق و جزء صحيح ندارد و دامنه تابع داخلي آنها را حساب کنيد. (f ± g)(x) f(x) ± g(x) (f g)(x) f(x) g(x) f f(x) ( )(x) g g(x) Df± g Df g Df Dg D f Df D g {g(x ) } g تساوي دو تابع 1( دامنه هايشان با هم مساوي باشد. ( ضابطه ها با هم مساوي باشد. اعمال روي توابع الف( چهار عمل اصلي روي توابع 16
درس اول : ریاضیات fog(x) f (g(x)) gof (x) g(f (x)) fof(x) f(f(x)) gog(x) g(g(x)) D fog(x) {x Dg g(x) D f } D gof (x) {x Df f (x) D g} ب( ترکيب توابع اعمال روي توابع زوج مرتبي عمل خواسته شده روي مولفه دوم دامنه مشترک انجام میشود. نکته 1: هرگاه fog و g معلوم باشد و f را بخواهند کافيستt g(x) فرض کرده و x را برحسب t به دست آورده و جايگذاري کنيد. نکته : هرگاه از g(x) t نتوان x را برحسب t محاسبه نمود بايد در fog عبارت g را توليد کنيم. f (g(x)) x 1 3g(x) + 4 x 1 f(x) 3x + 4 f(g(x)) 3g(x) + 4 x 5 g(x) 3 نکته 3: اگر fog و f معلوم و g را بخواهند مطابق مثال زير عمل کنيد. مثال: -1 اگر x 1 F(x) 3x + 4, Fog(x) مطلوبست( g(x : تابع يک به يک I- از ديدگاه زوج مرتبي: عالوه بر دارا بودن شرط تابع نبايد مولفههای دوم با هم مساوي باشند. F(x 1) F(x ) x1 از ديدگاه ضابطهای x -II -III از ديدگاه نموداري: عالوه بر دارا بودن شرط تابع هر خط که موازي محورx ها رسم گردد بايد حداکثر تابع را در يک نقطه قطع نمايد. نکته 1: اگر f و g يک به يک باشند fog و gof و fog و gog يک به يک هستند. a ad bc يک به يک است. با شرط x + b y c + d x نکته : تابع هموگرافيک 17
آزمون استخدامی ریاضیات پيوسته باشد مشتق آن مطابق فرمولهای زير محاسبه مي گردد: f(x) f(x ) f (x ) lim x x x x í Ç f(x + h) f(x ) f (x ) lim (h x) h h 3- مشتق مشتق: هرگاه تابع f در نقطه x نکته: تمام تعاريف مشتق منتهي به 0 0 میشود و بايد تمام آنها را از راه هوپيتال حل کنيد. f(x) f(x ) lim مشتق راست + f (x ) x x x x مشتق چپ و راست زماني تابع f(x) در نقطه x مشتق دارد که: 1. پيوسته باشد. مشتق چپ f(x) f(x ) _ lim - f (x ) x x x x. مشتق چپ و راست موجود متناهي )بينهايت نشود( و با هم برابر باشد. I) y f ± g ± h ±... y f ± g ± h ±... II) y f g y f g + g f f fg gf III) y y g g فرمولهای مشتق قضايا 1- مشتق توابع جبري 1) y a y 1 y y π )y ax y a 1 y y π π )y ax y 1 3 ax 5 y x y 4 10x 18
درس اول : ریاضیات ) y u y u 1 4 u 10 y ( x ) y 9 1 104 ( x)( x 1) u 5)y u y 1 u 5 3 3x x y x x y 5 3 4 5 (x x ) m mu 6)y u y m u 7 3 3 y x y 7 4 7 (x 1)y si u y u cos u )y cos u y u si u 3)y tg u y u ( 1+ tg u) 4)y cot u y u ( 1+ cot u) 1 5)y si u y u cos u si u u 1 6)y cos u y u u si u cos u 1 7)y tg u y u ( 1+ tg u)tg u 1 8)y cot u y u ( 1+ cot u)cot u هرجا گفتيم u يعني يک تابع برحسب x - مشتق توابع مثلثاتي نکته: هر گاه کمان خود يک تابع مثلثاتي باشد بهترين روش براي مشتق گيري اين است که از داخل به بيرون مشتق بگيريد. u u y u y u 3- مشتق تابع قدر مطلقي نکته: هرگاه مشتق تابع قدر مطلقي را در يک نقطه بخواهيم ابتدا نقطه را داخل قدر مطلق جايگذاري کنيد اگر داخل قدر مطلق مثبت شد خود عبارت و اگر منفي شد قرينه عبارت را بيرون میآوريم و سپس مشتق میگيريم و اگر صفر شد بايد در آن نقطه مشتق چپ و راست جداگانه تحليل گردد. نکته مهم: توابع قدر مطلقي به ازاي ريشههای ساده )توان يک ) داخل قدر مطلق مشتق پذير نيستند مگر آنکه به ازاي اين ريشه ضريب قدر مطلق صفر شود. 19
آزمون استخدامی ریاضیات 4- مشتق توابع براکتي: ابتدا حتما پيوستگي را بررسي کنيد تابع از هر طرفي که پيوسته نباشد ازآن طرف مشتق پذير نيست و براي محاسبه مشتق آن فقط مقدار براکت را در نقطه داده شده به دست آوريد و سپس از تابع مشتق بگيريد. نکته مهم: تابع g(x)[x] y در x z زماني مشتق پذير است که x ريشه مضاعف( g(x باشد. 1. مشتق توابع چند ضابطهای: ابتدا حتما پيوستگي را بررسي کنيد تابع از هر طرفي که پيوسته نباشد از آن طرف مشتق پذير نيست و براي مشتق گيري با توجه به دامنه روبروي آنها حتما مشتق چپ و راست را 1)y f(u) y u f (u) y f (Six) y Cos x f (Si x) I)y fog(x) y g (x)f (g(x)) II)y gof(x) y f (x)g (f(x)) f '( x ) y x f '( y ) u 1)y e y u e : مثال u )y l u y u جداگانه حساب کنيد. 5- مشتق توابع مرکب: 6- مشتق تابع ضمني: هر تابع به وصورت f(x,y) را ضمني گويند که مشتق آن به صورت زير است. u 7- مشتق تابع نمايي و لگاريتمي نکات مهم در مشتق نکته 1: هر تابع را میتوانيد قبل از مشتق گيري تا حد امکان ساده کنيد. نکته : اگر تابع داده شده بين جمالتش فقط ضرب يا تقسيم باشد و مشتق در يک نقطه را بخواهند اگر به ازاي نقطه داده شده فقط يکي از جمالت صفر شود فقط ازجمله صفر شده در جاي خود مشتق بگيريد و بقيه جمالت در جاي خود نوشته شود. 3 f (x) x (x + 1) f ( 1) 11 ( + 1) 4 " ( 4) () y y y y...y yk () k( 1)! a 1)y y ax + b + 1 (ax + b) () π )y Si ax y a Si (ax + ) () π y Cosax y a Cos(ax + ) مطلوبست ) 1 ( f 3 f(x) x (x + )( x ) Õ ÝÑ مثال: اگر 1 صفر»مشتق مرتبه ام«0
درس اول : ریاضیات نکته: براي مشتق مرتبه ام,Cos,Si کنيد و به تعداد باقيمانده مشتق بگيريد. 5- کاربرد مشتق a را مینويسيم و براي نسبت مشتق ام کافيست را بر 4 تقسيم نوشتن معادله مماس و قائم بر نمودار به کمک داشتن یک نقطه روي منحني: نياز به اطالعات زير داريم: I: نقطه روي منحني x A y :II شيب خط که همواره داريم در نقطه تماس y m مماس و معادله خط به صورت: y y m(x x ) توجه: 1 m قائم m نکته: هرگاه گفته شود خط مماس بر منحني موازي محور xهاست يعني: نکته: هرگاه گفته شود خط مماس بر منحني موازي محور yها يعني: وضعيت دو منحني نسبت به هم دو منحني را با هم تالقي میدهيم. اگر معادله تالقي ريشه نداشته باشد در اين حالت دو منحني همديگر را قطع نمي کنند. اگر معادله تالقي ريشه مضاعف داشته باشد در اين حالت دو منحني بر هم مماسند. اگر معادله تالقي ريشه ساده داشته باشد دراين حالت دو منحني همديگر را قطع میکنند. 1
آزمون استخدامی ریاضیات نکته خيلي مهم: هرگاه تستي گفته شود دو منحني بر هم مماسند یا خط بر منحني مماس است معادله تالقي آنها بايد ريشه مضاعف داشته باشد. زاويه بين دو منحني با يک خط و يک منحني 1( ابتدا دو تابع را تالقي میدهيم تا طول نقطه تالقي بدست آيد. ( شيب هر کدام را در نقطه تالقي حساب میکنيمm1 m, میناميم. 3( از رابطه m m 1 tgα زاويه بين دو منحني α بدست میآيد. 1 + m m 1 نکته: هرگاه گفته شود منحني بر محور x ها مماس است y بايد ريشه مضاعف داشته باشد. ريشه مضاعف: قرار دهيد. ½ ½مشتق بگيريد. ½ ½در درجه میتوانيد توابع صعودي و نزولي ثابت تابع پيوسته f را در فاصله( a,b ) الف( صعودي گويند هرگاه f و اکيدا صعودي گويند هرگاه: f > ب( نزولي گويند هرگاه: f و اکيدا نزولي گويند هرگاه: f < ج( ثابت گويند هرگاه f نقاط اکسترمم نسبي 1. max نسبي: نقطهای ايست که نسبت به نقاط مجاور خود عرض بيشتر يا مساوي داشته باشد.
درس اول : ریاضیات. mi نسبي: نقطه ايست که نسبت به نقاط مجاور خود عرض کمتر يا مساوي داشته باشد. نکته مهم: اگر x اکسترمم نسبي باشد: 1( تابع بايد در x تعريف شده باشد. ( عالمت مشتق در طرفين آن عوض میشود. 3( مشتق در اين نقطه يا صفر است يا اصال وجود ندارد. نکات مهم در مورد اکسترممهای نسبي 1( لزومي ندارد که تابع در نقطه اکسترمم نسبي پيوسته يا مشتق پذير باشد. 3
استخدامی آزمون ریاضیات نميشوند. نسبي اکسترمم هيچگاه تابع سر دو ( نسبي mi هم و است نسبي max هم نقاطش تمام ثابت تابع 3( y [ x] تابع )4 x z max x نیست اکسترمم مطلق و است نسبی x z mi max x y x [ x] تابع )5 x z mi x x z x 4
ریاضیات : اول درس بحراني نقاط x نقطه باشد. نداشته وجود يا و شود صفر نقطه اين در مشتق وقتي گويند بحراني را f دامنه به متعلق بحراني نقاط در مهم نکات هستند. بحراني باشند دامنه در که شرطي به دوسرتابع 1- نيست. اکسترمم بحراني نقطه هر ولي هستند بحراني ها اکسترمم تمام - است. بحراني نباشد پيوسته تابع هرجا 3- مطلق اکسترممهای باشد. داشته بيشتري عرض تابع در موجود نقاط تمام به نسبت که ايست نقطه مطلق: max 1( باشد. داشته کمتري عرض تابع در موجود نقاط تمام به نسبت که ايست نقطه مطلق: mi ( باشند مطلق اکسترمم میتوانند تابع سر دو 1: توجه ( باشد توخالي میگردد انتخاب مطلق اکسترمم عنوان به که نقطهای هرگاه : توجه نداريم. مطلق Df اکسترمم گوييم مي ) [,a b ] فاصله يک در مطلق اکسترممهای آوردن دست به روش میآوريم. دست به را تابع بحراني نقاط 1- مطلق max شد بيشتر مقدارش آنکه میدهيم قرار اصلي تابع در را فاصله دوطرف و آمده دست به نقاط - است. مطلق mi شد کمتر آنکه و نسبي اکسترمم طول آوردن دست به طريقه اکسترمم آوردن بدست برای y هستند نسبي اکسترمم نقطه طول تابع مشتق ساده ريشههای میباشند. عطف و نيستند اکسترمم تابع مشتق مضاعف ريشههای نسبي مم اکستر بودن mi يا max تعيين در دوم مشتق آزمون f (x ) > است نسبي mi,x میکنيم. گذاري جا درآن را x و آورده دست به را f (x) f (x ) < است نسبي max, x f (x ) نيست بررسي قابل آزمون اين با 5
آزمون استخدامی ریاضیات جهت تقعر و نقطه عطف f را محاسبه نموده و در هر فاصلهای که: (x) )1 f(x) > تقعر رو به باالست. ) f(x) < تقعر رو به پايين است. عطف: نقطهای است که جهت تقعر تابع در اين نقطه عوض میشود. توجه: تابع بايد در نقطه عطف پيوسته و مشتق پذير باشد نکته مهم: براي بدست آوردن طول نقطه عطف: y محاسبه طول نقطه عطف ½ ½فقط ريشههای ساده طول نقطه عطف است. ½ ½ريشههای مضاعف عطف نيست نکته: براي تعيين اينکه تابع در چه فاصلهای تقعرش رو به باال و درچه فاصلهای تقعرش رو به پايين است مشتق دوم تابع را به دست آورده تعين عالمت میکنيم. چه عباراتي در يک تست ما را متوجه نقطه عطف میکند 1 -هرگاه گفته میشود جهت تقعر تابع در اين نقطه عوض میشود. -هرگاه گفته میشود مشتق دوم تابع در اين نقطه با تغيير عالمت صفر میشود. 3 -هرگاه گفته میشود مماس بر منحني در اين نقطه از منحني عبور میکند. خواص مشترک اکسترمم نسبي و عطف 1- مختصات نقطه اکسترمم و عطف در منحني صدق میکند. 6 - طول اکسترمم نسبي مشتق اول را صفر میکند و طول عطف مشتق دوم را صفر میکند. نکته مهم: در تمام توابع قدر مطلقي و چند ضابطهای هر سوالي در مورد کاربرد مشتق مطرح شد حتما نمودار آن را رسم نماييد. نکته مهم: در توابع به صورت g(x) y (ax + b) اکسترمم نسبي است. اگر فرد باشد x طول نقطه عطف و اگر زوج باشد b k ± 1 x a b مینیمم نسبی g( ) > b a k x a b ماکزیمم نسبی g( ) < a
درس اول : ریاضیات مقايسه نمودار f با f 1. هر جا f باالي محور x ها بود تابع f صعودي و هر جا f پايين محور x ها بود تابع f نزولي است.. نقاطي که مشتق درآنها صفر است )تالقي مشتق با محور x ها( و یا مشتق وجود ندارد )تابع مشتق تعريف نشده( نقاط بحراني f است. 3. نقاطي که مشتق درآنها صفر است يا وجود ندارد به شرط اينکه حتما تغيير عالمت داشته باشيم.نقاط اکسترمم نسبي f است. 4. هر جا f صعود کند تقعر f رو به باال و هر جا f نزول کند تقعر f رو به پايين است. 5. max و miهايي که در نمودار f مشاهده میگردد نقاط عطف f است. 1) adx ax + c + 1 x )ax dx a + c + 1 6- انتگرال فرمولهای انتگرال I) af(x)dx a F(x)dx II) (f ± g ± h ±...)dx fdx ± gdx ± hdx +... 3 x x ( x x + 1)dx + x + c 3 m قضايا: m نکته مهم: در حل انتگرال هر جا راديکال ديديد به صورت توان کسري بنويسيد ) ( x x و اگر متغير 1 در مخرج بود آن را به اين صورت تبدیل کنید: x x 13 1 1 13 + 1 x x 6 3 dx x.x.x 3dx x 6dx + c 3 x 13 + 1 6 1 1) a si kxdx a cos kx + c k 1 ) a cos kxdx a si kx + c k 1 3) a( 1+ tg kx)dx a tgkx + c k 1 4) a( 1+ cot kx)dx a cot kx + c k انتگرال مثلثاتي 7
استخدامی آزمون ریاضیات گيري انتگرال روشهای رد مشتق توان گرفتن نظر در بدون که دارند انتگرال زماني تواندار عبارتهاي تواندار: عبارتهای 1( u + 1 u u dx + c + 1 6 5 (x + x + 1) ( x + 1)(x + x + 1) dx + c 6 باشد. داشت وجود کنارشان راديکالي عبارت يک مخرج در که باشد کسري صورت به شده داده انتگرال هرگاه کسری: انتگرال ( بگيريد. انتگرال سپس و کنيد ضرب راديکال مزدوج در را مخرج و صورت حتما باشيم داشته جملهای xdx x + + x( x + + ) xdx x + + x x + + dx x+ + + x+ x+ x + + x+ 1 (x + ) (x + ) + + x + c 3 1 cosax 1+ cosax si ax cos ax 3 x x 1 cot dx cot + 1 1 cot x x + c 3 3 1 3 3 cos ax 1 si ax si ax 1 cos ax 3 : Cos, Si انتگرال )3 کنيد: استفاده زير مثلثاتي فرمول دو از حتما : cot, tg انتگرال )4 بگيريد. انتگرال سپس و کنيد يک منهاي يکبار و يک بعالوه يکبار را انتگرال داخل 3 : cos, si 3 انتگرال )5 کنید حل را مسأله زیر مثلثاتی فرمول از استفاده با را حاصل زوج توان و کنيد کم توان يک si 3 xdx (si x.si x)dx si x.( 1 cos x)dx (si x si x cos x)dx 3 cos x cos x + + c 3 u dx I u + c u است: l آنها جواب انتگرالهايي چه 6( است. مخرج l جواب باشد داشته وجود صورت در مخرج مشتق که کسري انتگرالهای dx I x + c x 1 xdx 1 I x 1 + c x 1 8