Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
ýý ý º½ ¹ º º½ ¹ ½º ý (ý) = 1 ý º º½ ¹ ½µº ý º ý () = Ü(ý) = ܺ Ü º º ý º ½
¾ º ýº º½ ¹ ½ - A º½ ¹ ¾ µ Rº º½ ¹ ½ º½ ¹ ¾ µº º º º½ ¹ ¾µ ºº ½ ½ ºº ºº
º½ ¹ º½ ¹ º º = º º º½ ¹ º + º + º º º½ ¹ µº º½ ¹ º
º ýº ¹ 0 ¹ 0 ¹ = 0º º½ ¹ º º ÇÜÝÞ ÇÜ ÇÝ ÇÞº º º º½ ¹ º ô ¼º 0 0 = º½ ¹ ½µ ô ³ º½ ¹ (41 1) 0 = 1 = 1 = 1 0 = 1 ô ÇÜÝÞº
µ Ǻ ÔÓ ØÓÒ ÐÓØÓÒ ÖÙ ÚØÓÖµ Öº ý Ü Ý Þ Ö ¾ Ö = Ö(Ü Ý Þ) º½ ¹ ¾µ Ü Ý Þ Ö Ö = Ü+Ý+Þ º½ ¹ µ µ 3¹ (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) þ(ü 2 Ý 2 Þ 2 ) 1 = Ü 2 Ü 1 2 = Ý 2 Ý 1 3 = Þ 2 Þ 1 º () = ( 1 2 3 ) = (Ü 2 Ü 1 Ý 2 Ý 1 Þ 2 Þ 1 ) º½ ¹ µ = 1 + 2 + 3 = (Ü 2 Ü 1 ) +(Ý 2 Ý 1 ) +(Þ 2 Þ 1 ) º½ ¹ µ Ö = Ö(Ü Ý Þ) = ( 1 2 3 ) Ö = Ö = Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 º½ ¹ µ = = 2 1 + 2 2 + 3 2 º½ ¹ µ ¾ Ö = Ü Ý Þ º ø = 1 2 3 = Ü 2 Ü 1 Ý 2 Ý 1 Þ 2 Þ 1 º
º ýº º½ ¹ º½ ¹ ½ ô = (1 23)º = 1 2 +( 2) 2 +3 2 = 14 (41 1) 0 0 = = 1 ( 2 +3 ) 14 º½ ¹ µº ô ¼º ÓØ ÔÖÓÙص º º½ ¹ µ = cos 0 º½ ¹ µ º º
µ = µ (+) = + µ ( ) = ( ) = () Rº ø = 2 (41 8) = 0 º½ ¹ µ º (41 9) º = ± = 0 = ÓÐÐÒÖµº ý = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = (100) = (010) = (001) 1 (41 9) = 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 = 1 ( 1 + 2 + 3 ) + 2 ( 1 + 2 + 3 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 ) = 1 ( 1 + 2 + 3 )+ 2 ( 1 + 2 + 3 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 ) = = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 º½ ¹ ½¼µ ý (41 9) = 1 2 +0+0 = 1 = 1 = 1 (41 8) = cos = 1 1 0 = 0º ø = 0 2 = 0 ºº
º ýº ý (41 10) º½ ¹ ¾ = 2 = 2 1 + 2 2 + 2 3 º½ ¹ ½½µ ô (41 10) = (12 3) = ( 142)º = 1 ( 1)+2 4+( 3) 2 = 1 º½ ¹ µº ÖÓ ÔÖÓÙص ¼ µ = sin 0 º½ ¹ ½¾µ µ µ º º½ ¹ µº ( = 0 ) º ý µ = ÒØÓÑÑÙØØÚµ µ (+) = + (+) = + ØÖÙØÚµ
º½ ¹ µ ( ) = ( ) = () R Ú ( ) = ( ) = ( ) = ¼ ÂÓµº º µ ¹ º½ ¹ º µ ý º µ Î Î = ( ) ( ) = ( ) = ( ) º½ ¹ ½ µ
½¼ º ýº ØÖÔÐ ÔÖÓÙص ( )º ý = 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 º½ ¹ = = = = = = = ¼ = ¼ = ¼ º½ ¹ ½µ = ( 1 + 2 + 3 ) ( 1 + 2 + 3 ) = 1 ( 1 + 2 + 3 ) + 2 ( 1 + 2 + 3 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 ) = 1 ( 1 + 2 + 3 )+ 2 ( 1 + 2 + 3 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 ) = ( 2 3 3 2 ) ( 1 3 3 1 ) +( 1 2 2 1 ) º½ ¹ ½µ (41 15) 3 = 1 2 3 1 2 3 º½ ¹ ½µ 2 1 2 1 = 1 2 2 1 º½ ¹ ½µ 2 (41 16) 1
½½ 2 = 1 2 3 1 2 3 2 = 3 1 3 + 1 2 2 3 1 3 1 2 º½ ¹ ½µ º½ ¹ ½ = ( 2 3 3 2 ) ( 1 3 3 1 ) +( 1 2 2 1 ) µ 3 (41 16)º µ ø = 1 + 2 = 1 + 2 (41 16) = 1 2 0 = ( 1 2 2 1 ) º½ ¹ ½µ 1 2 0 ¹ µ º½ ¹ º º½ ¹ ô = 2 + = 2 ++º º º (41 18) 2 1 = 1 2 1 = 1 1 + 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 = ( 2 1) (1 2) +(1+4) = 3 ++5
½¾ º ýº = ( 3) 2 +1 2 +5 2 = 35 591608º º½ ¹ ½ ý = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 ) 1 2 3 ( ) = 1 2 3 1 2 3 º½ ¹ ¾¼µ ÅÌÀ¹ ÅÌÁ Ü = (Ü 1 Ü 2 Ü 3 ) Ý = (Ý 1 Ý 2 Ý 3 )º ÓØßܽ ܾ Ü Ð ßݽ ݾ Ý Ð ÖÓ ßܽ ܾ Ü Ð ßݽ ݾ Ý Ð º º½ ¹ ½¼ µº ô Ì Rº Ì Ì Ü Ý = (Ü) Ì º½ ¹ ¾½µ Ì (Ü) Ü Ì º Ý = (Ü) Ü Ü Ý Ì º Ý Üº (Ü) = Ü 2 = R 1 3 5 1 2 3 2 5 2 ºº
½ µ 1 3 5 ( 1 2 1 3) ( 3 2 3 3) ( 5 2 5 3) º½ ¹ ¾¾µ R R = R 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 3 2 3 3 3 5 2 5 3 5 º½ ¹ ¾ µ R R R = R 3 º (41 22) ( Ü 2 Ü 3) (41 22) ( Ü 2 Ü 3 Ü ) Ü Rº ô ³ (41 2)¹(41 3) 1 2 +1 3 1 2 +1 3 + (Ü) = ( Ü 2 Ü 3) = Ü 2 +Ü 3 (Ü) = ( ) Ü 2 Ü 3 Ü = Ü 2 +Ü 3 +Ü º½ ¹ ¾µ Ü Rº Ø ¹ ¹ ܺ º º½ ¹ ½½ µº ô R Ì R 2 Ì R 3 º ÚØÓÖ ÙÒØÓÒ ÚØÓÖ¹ÚÐÙ ÙÒØÓÒµ Ì Ì Ø (Ø) = Ý = 1 (Ø) 2 (Ø) Ì R 2 1 (Ø) 2 (Ø) 3 (Ø) Ì R 3 º½ ¹ ¾µ
½ º ýº (Ø) = 1 2 = 1 2 3 Ø ÖÙÑÒص º º½ ¹ ½½ ÇÜÝ 2¹ ÇÜÝÞ 3¹ (Ø) = 1 (Ø)+ 2 (Ø) (Ø) = 1 (Ø)+ 2 (Ø)+ 3 (Ø) º½ ¹ ¾µ 0Ü 0Ý 0Þ º º½ ¹ ¾ µ (Ü) º º½ ¹ ô (Ø) = Ø cos Ø +sin Ø (º 41 6) 1 (Ø) = Ø cos Ø 1 = [0+ ) 2 (Ø) = sin Ø 2 = Rº = 1 2 = [0+ )º Ø (Ø) = Ý = [ 1(Ø) 2(Ø)] Ì R 2 [ 1(Ø) 2(Ø) 3(Ø)] Ì R 3 þ ýº ¾ º º º
½ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 t º½ ¹ º½ ¹ (Ø) = Ø cos Ø +sin Ø Ø [035] µ lim (Ø) = lim 1 (Ø) + lim 2 (Ø) Ø Ø 0 Ø Ø 0 Ø Ø 0 º½ ¹ ¾µ lim (Ø) = lim 1 (Ø) + lim 2 (Ø) + lim 3 (Ø) Ø Ø 0 Ø Ø 0 Ø Ø 0 Ø Ø 0 Ø 0 Rº º½ ¹ ô (Ø) = (3 2Ø 2) + Ø + cos Ø 1 Ø Ø 0 = 0 (41 27) ( lim (Ø) = lim 3 2Ø 2) + lim Ø + lim Ø 0 Ø 0 Ø 0 Ø 0 ijÀÓ ÔØÐ {}}{ cos Ø 1 Ø sin Ø = 3 ++ lim = 3 ++0 = 3 + Ø 0 1
½ º ýº µ Ø 0 lim (Ø) = (Ø 0 ) Ø Ø 0 º½ ¹ ¾µ lim Ø Ø0 (Ø) (41 27)º º½ ¹ ô (Ø) = ln (9 Ø 2) + 2 Ø + 1+Ø (Ø) (41 28)º 1 (Ø) = ln ( 9 Ø 2) 1 = ( 33) 2 (Ø) = 1 2 Ø 2 = ( 2) (2+ ) 3 (Ø) = 1+Ø 3 = [ 1+ ) = 1 2 3 = [ 12) (23)º º¾ R 2 R 3 ÇÜÝ 2¹ ÇÜÝÞ 3¹ º º º¾ ¹ ½ ô º
½ ô R 3 º ý ÇÜÝÞ Å 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ö 0 Ö 0 = Ü 0 +Ý 0 +Þ 0 º¾ ¹ ½µ Ö 0 Å 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 )º ø Å 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) Å (Ü Ý Þ) Ö 1 = Ü 1 +Ý 1 +Þ 1 º¾ ¹ ¾µ Ö = Ü +Ý+Þ º¾ ¹ µ ô ³ º½ ¹ ½½ Ö 0 (42 1) Ö 1 (42 2) Ö (42 3) Ö(Ø) Ø [ ] Ø = Ø 0 Ö(Ø) = Ö(Ø 0 ) (42 1) º º¾ ¹ ½µ Ø = Ø 1 Ö(Ø) = Ö(Ø 1 ) (42 2) Ø = Ø Ö(Ø) (42 3)º Ö(Ø) Ö(Ø) = Ü(Ø) +Ý(Ø) +Þ(Ø) Ø [ ] R º¾ ¹ µ (42 4) غ Ö(Ø) = Ü(Ø) +Ý(Ø) Ø [ ] º¾ ¹ µ Ø º º
½ º ýº º¾ ¹ ½ º¾ ¹ ¾
½ ý Å º º¾ ¹ ¾µ Å 1 (Ü 1 Ý 1 Þ 1 ) Å 2 (Ü 2 Ý 2 Þ 2 ) Å 1 Å 2 = Ö Ö 0 Ö(Ø) = Ø Ö+(1 Ø) Ö 0 Ø R º¾ ¹ µ (42 6) Å 1 Å 2 º Ö 1 = Ü 1 +Ý 1 +Þ 1 Ö 2 = Ü 2 +Ý 2 +Þ 2 (42 6) º¾ ¹ ¾ Ö(Ø) = [ØÜ 2 +(1 Ø)Ü 1 ] +[ØÝ 2 +(1 Ø)Ý 1 ] +[ØÞ 2 +(1 Ø)Þ 1 ] Ø R º¾ ¹ µ (42 7) Ø [¼ ½] Å 1 Å 2 º º¾ ¹ ½ Å 1 Å 2 Å 1 = (120) Å 2 (243) ºº¾ ¹ µº º (42 7) º¾ ¹ ¾ Ö(Ø) = (1+Ø) +2(1+Ø) +3Ø Ø [01] ô º Ü 2 + Ý 2 = Ê 2 þ ýº ¾ º ½º
¾¼ º ýº º¾ ¹ º¾ ¹ ½ Å 1 Å 2 Ü = Ê cos Ø Ý = Ê sin Ø Ö(Ø) = Ê cos Ø +Ê sin Ø Ø [02) º¾ ¹ µ ý ( ) (Ü ) 2 +(Ý ) 2 = Ê 2 Ö(Ø) = ( + Ê cos Ø) +( + Ê sin Ø) Ø [02) º¾ ¹ µ
¾½ ô ø Ü 2 2 + Ý2 2 = 1 Ö(Ø) = cos Ø+ sin Ø Ø [02) º¾ ¹ ½¼µ ý Ý = Ü 2 Ü = Ø Ý = Ø 2 Ö(Ø) = Ø + Ø 2 Ø R º¾ ¹ ½½µ º¾ ¹ ½ µ ý º µ ý Ü = Ü(Ø) Ý = Ý(Ø) Þ = Þ(Ø) Ø º º¾ ¹ ¾ ô Ö(Ø) = (1+cos Ø)+(2+sin Ø) Ø [0 ] Ü = 1 + cos Ø Ý = 2 + sin Ø Ü 1 = cos Ø Ý 2 = sin Ø Ø (Ü 1) 2 +(Ý 2) 2 = 1º Ø [0 ] (12) 1º
¾¾ º ýº º º½ ¹ ½½ (41 27) º ¹ ½ ô (Ø) = ( ) R Ø 0 º (Ø) = (Ø) (Ø 0) Ø Ø 0 º ¹ ½µ Ø {Ø 0 } Ø 0 º 1 Ø 0 (Ø 0 ) º (Ø 0 ) = lim Ø Ø 0 (Ø) (Ø 0 ) Ø Ø 0 º ¹ ¾µ (Ø 0 + Ø) (Ø 0 ) (Ø 0 ) = lim º ¹ µ Ø 0 Ø À (Ø 0 ) º ý (Ø 0 ) Ø 0 1 (Ø) = (Ø) Ø À (Ø) º ø (Ø) 2 (Ø) = 2 (Ø) Ø 2 ¹ () (Ø) = (Ø) = [ ] 1 (Ø) Ø Ø Ø 1 = 2 3 º ¹ µ
¾ (0) (Ø) = (Ø)º ý ÇÜÝ ÇÜÝÞ (41 26) (Ø) = 1 (Ø) + 2 (Ø) (Ø) = 1 (Ø) + 2 (Ø) + 3 (Ø) Ø º ¹ µ ý º ¹ ½º 1 (Ø) 2 (Ø) 3 (Ø)º (Ø) = 1(Ø) + 2(Ø) (Ø) = 1 (Ø) + 2 (Ø) + 3 (Ø) Ø º ¹ µ ô Ï º ) ý = = ¼ ) (+) = + ) ( ) = Ú) ( ) = + Ú) ( ) = + Ú) () = + Ú) ( Ï) = Ï + Ï+ Ï Ú) [ ( Ï)] = ( Ï )+ ( Ï)+ ( Ï)º µ¹ Úµ ¹ º
¾ º ýº º ¹ ½ ô (Ø) = cos Ø +sin 2 Ø +Ø º ¹ ½ º ¹ ½µ ( (Ø) = (cos Ø) + sin Ø) 2 +Ø = sin Ø + sin2ø {}}{ 2 sin Øcos Ø + (Ø) = (sin Ø) +(sin2ø) +0 = cos Ø +2 cos2ø ºº º ¹ ¾ ø (Ø) = Ø +2 (Ø) = Ø 3 +Ø Úµ ( ) = + ( = (+0 ) Ø 3 +Ø ) +(Ø +2 ) (3 Ø 2 + ) = ( ) ( ) 1 Ø 3 +0 Ø + Ø 3 Ø 2 +2 1 = 4 Ø 3 +2 ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»
¾ º ¹ ½» ½ (Ü) (Ü) 1 (Ü) ¾ (Ü) (Ü) (Ü) ln (Ü) (Ü) (Ü) sin (Ü) (Ü)cos (Ü) cos (Ü) (Ü)sin (Ü) (Ü) tan (Ü) cos 2 (Ü) cot (Ü) (Ü) sin 2 (Ü) tan 1 (Ü) (Ü) 1+ 2 (Ü) sin 1 (Ü) (Ü) 1 2 (Ü) ½¼ cos 1 (Ü) (Ü) 1 2 (Ü) ½½ sinh (Ü) (Ü)cosh (Ü) ½¾ cosh (Ü) (Ü)sinh (Ü) ½ (Ü) [ ] tanh (Ü) cosh 2 (Ü) = (Ü) 1 tanh 2 (Ü) ½ coth (Ü) (Ü) [ ] sinh 2 (Ü) = (Ü) 1 ÓØ 2 (Ü)
þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÒÒÝ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº» ¾
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 2014. Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2