אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x) = b אז נוכל לרשום b+α(0 F ) = α(x)+α(0 F ) = α(x+0 F ) = α(x) = α(0 F +x) =... = α(0 F )+b (מתכונות α ומתכונות של 0 F (וקומוטטיביות) בשדה F.) טענה : α(1 F ) = 1 K יש להוכיח שלכל.b α(1 F ) = α(1 F ) b = b,b K מוכיחים באותו אופן כמו בטענה הראשונה (כדאי לנסות!). ב. טענה 3 : לכל 0, F x F ל α(x) קיים הופכי (בשדה K), ויתר על כן:.(α(x)) 1 = α(x 1 ) ראשית, נוכיחכיאם,x 0 F אז ל ( α(x קייםהופכיב K (ז"אנוכיחש.(α(x) 0 K אנו יודעים מטענה 1, ש,α(0 F ) = 0 K ו α חח"ע. לכן α(x) 0 K עבור.x 0 F כעת, נטעןשההופכישל α(x) הוא( 1.α(x (כאשר,x 0 F קיים לוהופכי 1 x בשדה.α(x) α(x 1 ) = α(x x 1 ) = α(1 F ) = 1 K =... = α(x 1 ) α(x) נבדוק: (.F כדרוש. {( ) } x y F = M (עם חיבור ג. בתרגיל 10 שאלה 5 ד', מדובר בשדה (R) y x מטריצות וכפל מטריצות הרגילים). ) ( 0 1 :z זהו. ( 1 0 (נשים לב שבשדה זה יש פתרון למשוואה 1 = (( )) x y נגדיר העתקה α : F C ע"י.α = x + iy אפשר לבדוק שהיא y x איזומורפיזם של שדות (בודקים שהיא מקיימת את כל התכונות: שומרת על המבנה הליניארי, חח"ע ועל.). לפי ההנחה, קיים בסיס } n {e 1,...,e של V מעל,C כלומר, כל וקטור v V ניתן לרשום (באופן יחיד) כצירוף ליניארי של וקטורי בסיס זה עם מקדמים מרוכבים:.α j = x j +iy j C כאשר,v = n j=1 α je j מכאן שכל וקטור v V ניתן לרשום כצירוף ליניארי עם מקדמים ממשיים x: j y, j.v = x 1 e 1 +y 1 (ie 1 )+x +y (ie )+...+x n e n +y n (ie n ) (כאן ie 1 V הוא וקטור חדש (מוגדר), שכן מהנתון ב V אנו יודעים איך להכפיל וקטורים בסקלארים מ C.) 1
לכן } n {e 1,ie 1,e,ie,...,e n,ie זוהי קבוצה פורשת של V מעל.R נוכיח שזו קבוצה בת"ל: נניח ש = 0 ) n.x 1 e 1 +y 1 (ie 1 )+x +y (ie )+...+x n e n +y n (ie אז = 0 n (x 1 +iy 1 )e 1 +(x +iy )e +...+(x n +iy n )e אנו יודעים ש } n e} 1 e,..., הוא בסיס מעל C, לכן קבוצה בת"ל מעל C. לכן כל המקדמים כאן הם = 0 :0 j.x j + iy אך x j,y j ממשיים. לכן = 0 j,x j = 0,y לכן.j = 1...n לכן מצאנו קבוצה (סופית) פורשת ובת"ל של V מעל R. לכן V נוצר סופית מעל R ובנוסף,.dim R V = dim C V 3. א. יהי L תת שדה של השדה F, כלומר L F ו L הוא בעצמו שדה עם החיבור והכפל של F. הראו ש F הוא מ"ו מעל L. (שאפשר להגדיר חיבור וקטורים וכפל בסקלאר מ L כך שיתקבל מ"ו. כמו שנעשה בשיעור/תרגול.) ב. יהי F שדה, כך ש.R F C הוכיחו כי F = R או F = C (רמז:.(dim R F א. נביט בקבוצה F (נקרא לאיבריה "וקטורים") עם שתי פעולות: חיבור שני וקטורים: עבור x,y F נגדיר וקטור חדש: x + y F (סכום של שני וקטורים מוגדר להיות הסכום שלהם כאיבר בשדה F.) כפל וקטור בסקלאר מ L : עבור וקטור x F וסקלאר λ, L נגדיר וקטור חדש λx = λ x (מוגדר להיות המכפלה שלהם בתוך F, זה אכן מוגדר.) טענה: F עם שתי פעולות אלה מהווה מרחב וקטורי מעל השדה L. יש לבדוק שכל התכונות של מ"וֹ מתקיימות: (1) החיבור קומוטטיבי כן, מתכונה זו בתוך השדה F. () החיבור אסוציאטיבי כנ"ל. (3) קיים וקטור האפס ב F (נייטרלי ביחס לחיבור) כן, זהו האפס של F כשדה. (4) לכל וקטור x ב F, קיים נגדי ((x ))? כן, מתכונה מקבילה בשדה F. (5) לכל x F ושני סקלארים.α (β x) = (αβ) x,α,β L (אכן מתקיים, מתכונות של השדה F) (6) לכל x,y F וסקלאר.α (x+y) = α x+α y,α L (כנ"ל.) (7) לכל x F ושני סקלארים.(α+β) x = α x+β x,α,β L (כנ"ל.) (8) לכל.1 x = x,x F (אכן, כיוון ש F L 1 זהו אותו = 1 F,1 לכן מקיים את התכונה הדרושה לכל x.) F (הערה: למה 1? L = 1 F אנו יודעים ש L הוא תת שדה של F, כלומר שדה עם הפעולות של F (סגור לפעולות אלה). אז קיים בו איבר היחידה 1. L L F ניקח איזשהו איבר a L 0 (ישנו כזה, מהגדרת שדה אצלינו. ואם לא, אז הטענה נכונה באופן ריק.). אז F נקבל בתוך,a אם נכפיל שני אגפים ב 1.F זה מתרחש בתוך.a 1 F = a 1 L = a ש.1 F = 1 L כדרוש.) ב. לפי סעיף א', אפשר להסתכל על F כעל מרחב וקטורי מעל R (כאשר הפעולות הן חיבור ב F וכפל בסקלארים מ R ). גם C אפשר לראותו כמ"ו מעל הממשיים. אנו יודעים ש = C F C.dim R אפשר לראותו כתת מרחב ליניארי של C מעל R (כי הוא תת קבוצה של המרוכבים שסגורה לפעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלאר ממשי). לכן הוא גם נוצר סופית מעל הממשיים, ומתקיים = C = dim R R dim R F dim R.1 אם = F,dim R אז (לפי טענה מהשיעור או מתרגיל 4 שאלה,(9 C.F =
אם,dim R F = 1 = dim R R אז.R = F וסיימנו. 4. הביטו ב R כבמרחב וקטורי מעל Q. הוכיחו כי " = R,"dim Q כלומר ש R הוא לא נוצר סופית מעל Q. נניח "בשלילה" ש R נוצר סופית מעל Q, כלומר יש לו קב' פורשת סופית (ולכן בסיס סופי). נניח כי } n α} 1 α,..., קב' פורשת (או אפשר בסיס) של R מעל Q. כלומר, } n.r = span Q {α 1,...,α n } = {q 1 α 1 +... + q n α באגף שמאל מופיעים צירופים ליניאריים של איברי הקבוצה הפורשת עם מקדמים רציונאליים. לכן עוצמת הקבוצה (בשני האגפים) היא לכל היותר ℵ) 0 ) n = ℵ 0 (כי ישנה פונקציה n ). אבל R היא לא בת מניה. סתירה! חח"ע מ R ל Q n ע"י ) n j=1 q jαj (q 1,...,q לכן הממשיים לא נוצרים סופית מעל הרציונאליים. 5. א.?Q, 1 }מעל } R,b אם 0.a אז = 0,b אם = 0 :a,b Q כאשר a 1+b אם נניח ש = 0 אז נקבל ש הוא מספר רציונאלי a b =. סתירה. לכן = 0 b a = והם בת"ל מעל הרציונאליים.?R, 1 }מעל } R כאן הם תלויים: 1 = (כאשר באגף שמאל זהו הוקטור ובאגף ימין זהו המספר כפול הוקטור 1.) (זהו מ"ו חד מימדי, אז כל זוג וקטורים יהיו תלויים.) ב*. R 3}, {1, מעל?R השאלה היתהאמורהלהיות מעלQ, שכן מעלR הםבפירושתלויים,כמו בסעיףהקודם. אם כן, נענה על השאלה לגבי "מעל Q"..a 1+b +c 3 נניח כי = 0 נכפיל שני אגפים ב"צמוד": 3 c.a 1 b נקבל = 0 6 ) bc.(a b 3c מכאן שאם 0,b,c נקבל ש 6 הוארציונאלי (מה שלא נכון), לכן = 0 c b = ולכן גם = 0.a (ל"צמוד"ישמשמעותבהקשרשלנורמה(מרחק)המוגדרבשדותהרחבהסופית,כמו= 3), Q( Q}.{a+b +c 3+d 6 : a,b,c,d ראו בקורס "אלגברה ב' ".) (אפשר גם להוכיח בדרך קצת יותר ארוכה ע"י חקירת כמה מקרים אפשריים..) ג. [x].{1,1 x,(1 x),...,(1 x) d } R d נכתוב = 0 d.a 0 1+a 1 (1 x)+...+a d (1 x) אם נפתח סוגריים ונשתמש בנוסחת הבינום של ניוטון, נקבל פולינום ממעלה d עם מקדמים מסוימים התלויים ב a. 0 a,..., d אם פולינום זה שווה לאפס, המקדמים לפני כל החזקות צריכים להיות אפס. את d הדרישות האלה ניתן לרשום ע"י המשוואה הבאה: ( 1 1 ) ( 0 = 1 d ) a 0 = 1 0 0 ( ) 1 a 1 ( 1) = 1 1 ( d 1) ( = d 0 0 1 d ) 0 0 ( 1) d+1( ) d d = ( 1) d+1 º º a d = 0 (למשל, אם פותחים סוגריים, המקדם החופשי הוא a. 0 a+ 1 a+...+ d והמקדם לפני (. (a 1 +a +...+da d ) הוא x 3
מתי מתקיימת המשוואה הזאת? נשים לב שהמטריצה היא משולשים עליונה עם איבר אלכסון שונים מאפס, לכן הפיכה. לכן למע' יש פתרון יחיד הטריביאלי. לכן כדי שהיא תתקיים בהכרח = 0 d a. 0 = a,...,0 כלומר הקבוצה היא בת"ל. (אגב, לכן היא מהווה בסיס למרחב זה, כי מימדו היא 1+d.) ד. (1,i),(i, 1) C תלויים מעל,C שכן, = 0.i(1,i)+( 1)(i, 1) ובת"ל מעל,R שכן, אם = 0,a(1,i)+b(i, 1) כלומר = 0,(a+bi, b+ai) כאשר.a = b אז בהכרח = 0,a,b R.6 א. C מעל :C למשל, הסטנדרטי {(1,0),(0,1)} = }.{e 1,e (או למשל, (.(1,1),(0,1) C מעל :R למשל, }.{e 1,ie 1,e,ie (ראו שאלה, או הוכיחו בנפרד שזו אכן קב' פורשת ובת"ל.) ב. למשל, {,1} (זו קב' פורשת, והיא בת"ל משאלה 5 א'.).7 א. נבחר בסיס כלשהו, } n.{e 1,...,e אז F}.V = {α 1 e 1 +...+α n e n : α j כל אחד מהמקדמים α 1 α,..., n הוא איבר בשדה הסופי שלנו, לכן יכול לקבל q ערכים בדיוק. בנוסף, כל צירוף שונה (עם מקדמים שונים) נותן איבר אחד ב V, שכן, לכן איבר במ"ו קיים יצוג יחיד לפי הבסיס (אם יש וקטור עם שתי כתיבות שונות, נקבל שאיבר הבסיס תלויים ליניארית.). לכן. V = q n ב. (!) יודעים ש dim( Ô Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ax = 0)+rkA.n = לכן מימד מרחב הפתרונות של המע' ההומוגנית הוא n, r לכן כמות הוקטורים בו היא q. n r (זה נעשה באותו אופן כמו בסעיף הקודם, יש לו בסיס בעל n r איברים וכל מקדם בצירוף ליניארי של הבסיס יכול לקבל בדיוק q ערכים. וכל בחירה של מקדמים נותנת בסכום וקטור שונה, שכן מדובר בבסיס.) (השוויון הראשון שמוזכר כאן הוזכר ברגול (ובשיעור) ולמעשה הוא גרסה "פרטית" של משפט המימד: עבור העתקה ליניארית T : V W ו V נוצר סופית, = dimv (.dimkert + dimimt 1 0 1 x 1 { U = span 1 0, 1 1, 0 1, W = x x 3 : x 1 x 3 = 0.8 x 1 +x x 4 = 0 0 0 0 x 4 ב.V = R 4 פתרון: הוקטור השלישי בתיאור של U הוא צירוף ליניארי של השניים הראשונים (ושני הראשונים 1 0.dimU = ו U = span 1 0, 1 בת"ל), אז 1 0 0 נתאר את W כ span של כמה וקטורים:.dimW אז =.W = {(s,t s,s,t)} = span{(1, 1,1,0),(0,1,0,1)} בנוסף,,U = {s(1,1,0,0)+t(0,1,1,0)}= {(s,s,0,0)+(0,t,t,0)} = {(s,s+t,t,0} 4
{ x 1 +x x 3 = 0 לכן אפשר לתארו ע"י המערכת. = 0 x 4 נחשב מהו החיתוך שלהם: x 1 x 3 = 0 x 1 +x x 4 = 0 x 4 = 0 x 1 +x x 3 = 0 פותרים את המע' (בשיטת גאוס, או בדרך יותר קצרה). ומקבלים פתרון יחיד והוא פתרון האפס. כלומר, {0} = W U ו 0 = W).dim(U לפי משפט המימד, = 4 +W).dim(U לכן U +W הוא כל המרחב.R 4 9. יהי V מרחב וקטורי מעל שדה F, ויהיו U,W ת"מ של V, כך ש U W = V (איחוד כקבוצות). הוכיחו כי V = U או.V = W אם V, = U אז סיימנו. אחרת, נרצה להוכיח כי V. = W כלומר, מספיק יהיה להוכיח ש.U W אם,V U אז: אם,V U זה לא ייתכן, כי.U U W = V לכן ייתכן רק המקרה U, V כלומר, המקרה שקיים v. V\U כיוון ש = v V.v W נובע ש,U W נוכיח ש U W (ואז (V = U W = W : ניקח.u U V אז.u+v V = U W אם,u+v U נסמן u,u+v = ואז v = u u הוא גם ב U (מסגירות U לחיבור וקטורים). סתירה. (הרי v.) / U לכן.u + v W נסמן w.u + v = אז מכיוון ש W,v גם u = w v W מסגירות W לחיבור). לכן.U W ולכן.V = U W = W 10. יהיו U,W תתי מרחבים של מרחב וקטורי נוצר סופית V. הוכיחו כי: א. אם,dimU +dimw > dimv אז {0} W.U ב. אם (W,dim(U (W+ = 1+dim(U אז U W+ שווה לאחד מתתי המרחבים U או W, והחיתוך U W שווה לשני. ג. עבור U ת"מ של V קיים תת מרחב H של V כך ש V. = U H א. נניח ש,dimU +dimw > dimv נביט במשפט המימד עבור U. W+.dimV dim(u+w) = dimu+dimw dim(u W) > dimv dim(u W) לכן > 0 (W,dim(U לכן החיתוך U W זה לא רק מרחב האפס. ב. נניח (W.dim(U (W+ = 1+dim(U ממשפט המימד עבור U, W+ יודעים ש.dim(U +W) = dimu +dimw dim(u W) לכן אצלינו (לאחר העברת אגפים) W)+1.dimU +dimw = dim(u (*) 5
אנו יודעים כי,U W U,W לכן.dim(U W) dimu,dimw אז +1 dimu.dimu +dimw = dim(u W)+1 לכן +1 dimu.dimw (באותו אופן, +1 dimw (.dimu נבחן את המקרים האפשריים: אם,W U אז סיימנו. (שכן אז U +W = U והחיתוך זה.(U W = W אחרת: נניח ש.W U מקרה 1: אם U W אז גם סיימנו. (אז הסכום הוא W והחיתוך הוא U.) מקרה : אם זה לא שני המקרים הקודמים (לא W U או U), W כלומר, אם,U W U,W אז,U W U,W לכן המימד החיתוך קטן ממש מהמימד של U ושל W, כלומר.dim(U W) dimu 1,dimW 1 ואז מהשויון (*), נקבל dimu + dimw = dim(u W) + 1 dimu 1 + dimw 1 + 1 = 1 +dimw.dimu סתירה. לכן בהכרח החיתוך הוא אחד הת"מ והסכום הוא השני. ג. V מ"ו נוצר סופית, U V ת"מ. רוצים ת"מ H של V כך ש U. H = V דרך א': ניקח בסיס של U (יש, כי הוא נוצר סופית כת"מ של משהו הנוצר סופית): e. 1 e,..., k נשלים אותו (זה אפשרי, לפי משפט) לבסיס של V ע"י תוספת: e. 1+k e,..., n אז } n H = span{e k+1,...,e ממלא את התפקיד הדרוש. (בפירוט: מדובר בסכום ישר, שכן U+H = V (כל וקטור מ V נמצא בסכום),ומשיקול מימדים, לא ייתכן שיש משהו בחיתוך: n = dimv = dim(u +H) = dimu +dimh dim(u H) = k +(n k).dim(u H) = n dim(u H) לחילופין, אפשר להוכיח ישירות משיקולי אי תלות של הבסיס (ללא שימוש במשפט המימד) שהחיתוך U H הוא רק האפס. (כדאי לנסות!)) דרך "אחרת" נבנה אותו (ובכך נחזור ונוכיח את המשפט לפיו פעלה דרך א', או חלק ממנו) : אם,U = V אז ניקח {0} =.H אם לא,כלומר אםיש v 1 V\U (לכן 0 1,(v ניקחאותו ונביטב } 1.H 1 = span{v אז {0} = 1.U H אם H 1 כבר מתאים (אם,(U H 1 = V אם סיימנו. אחרת, זה אומר שיש ) 1.v V\(U H נביט ב } v 1,v.H = span{v 1,v בת"ל (אם היו תלויים, אז היה v) H 1 ושניהם לא ב U. אז U H הוא סכום ישר. אם H כבר מתאים, אז סיימנו. אחרת ממשיכים באותו אופן (באינדוקציה): כל פעם מוסיפים וקטור, כך שהוא לא ב U וכך שמתקבלת קב' בת"ל שיוצרת את H. k זה אפשרי: אם 1 k H עדיין לא מתאים, אז קיים וקטור שאינו בסכום V\(U v k ) k 1.H נסמן } k.h k = H k 1 +{v k } = span{v 1,...,v אז U +H k הוא סכום ישר. אם הוא מתאים, סיימנו, אחרת נמשיך באותו אופן. 6
התהליך מסתיים מתישהו, כיוון שאחרי dimv צעדים בטוח הסכום U H dimv יכסה את כל V (שכן,.(dim(U H dimv ) dimh dimv = dimv 11. א. נביט במרחב הליניארי של הפונקציות {R V, = f} : [1,1 ] ובשני ת"מ:.U = {f V : f(x) = 0 1 x < 0},W = {f V : f(x) = 0 0 x 1} הוכיחו כי.V = U W הוכחה נוכיחשנידברים: שהחיתוךהוארקהאפס,ושכלפונקציהאפשרלכתובבסכום פונק' מ U ופונק' מ W. אז הסכום שלהם ישר ונותן את כל מרחב הפונק' הדרוש. הפרטים: (1) החיתוך הוא רק האפס אם f, U W אז מתוך הגדרות f(x) = 0,U,W לכל < 0 x 1 וגם = 0 f(x) לכל 1 x.0 כלומר, = 0 f(x) לכל [ 1,1].x לכן רק פונקצית האפס נמצאת בחיתוך (הקבועה אפס, שהיא איבר האפס של מ"ו זה). כדרוש. () כלפונקציה אפשר לכתוב בסכום פונק' מ U ופונק' מ W ניקח f. V נגדיר שתי { פונקציות { f(x) x [ 1,0) 0 x [ 1,0) g(x) =, h(x) = 0 x [0,1] f(x) x [0,1] אז g U, h W ומתקיים g(x)+h(x) f(x) = לכל x בתחום. כלומר, f = g +h ניתנת לכתיבה כסכום פונק' מ U ופונק' מ W. לכן סה"כ זה מוכיח את הדרוש. (הערה: אי אפשר היה להשתמש כאן בשיקולי מימדים, שכן המרחב ותת המרחבים הנתונים הם לא נוצרים סופית מעל הממשיים.) ב. נביט במ"ו של מטריצות (C) M n ובשני ת"מ שלו: A} U = {A M n (C) : A t = (ת"מ המטריצות הסימטריות), W =מרחב המטריצות המשולשיות עליונות עם אפסים באלכסון. הוכיחו כי M. n (C) = U W נוכיח שני דברים שהחיתוך הוא רק האפס, ושסכום המימדים של שתי תת המרחבים הוא בדיוק n. (1) החיתוך הוא רק האפס נניח A U W ונרצה להוכיח ש 0 = A. A משולשית עליונה עם אפסים באלכסון, אז = 0 ij a עבור.i j ניקח כעת i < j ונביט ב.a ij מתוך סימטריות A וכיוון ש.a ij = a ji = 0,j > i לכן סה"כ = 0,A כרצוי. n n (כמות איברים מעל וכולל +n = n +n () מימד מרחב המט' הסימטריות הוא האלכסון זה גודל בסיס של מרחב זה). מרחב המט' משולשיות עליונות עם 0 באלכסון הוא dim(u +W) = dimu +dimw האיברים מעל האלכסון לא כולל.) לכן (כמות n n.u +W = U W = M n (C) לכן.dim(U W) = n אז הסכום שלהם ישר ונותן את כל מרחב המטריצות.ÒÜÒ (הערה: במקרה הצורך, כדאי להוכיח את הטענות כאן לגבי המימדים. ראו גם תרגיל 5 שאלה 5 ב'.) (הערה : לגבי הדרך לחילופין, אפשר היה לנסות להוכיח שהסכום הוא כל המרחב, כלומר, להציג כל מטריצה כסכום מט' סימטרית ומט' משולשית עליונה עם אפסים באלכסון. אך זה כנראה יותר קשה.) 7
ג. נביט ב,C n ובשני תת מרחבים ליניאריים שלו: : n U = {(x 1,...,x n ) C 0} = n x 1 +... + x ו } n.w = {(x 1,...,x n ) C n : x 1 =... = x הוכיחו כי.F n = U W (*) עבור הוקטור e 1 = (0,...,1,0) C n מיצאו את ההצגה היחידה שלו מהצורה (.n = הביטו תחילה ב (רמז:.u U,w W כאשר,e 1 = u+w (1) החיתוך ביניהם הוא רק האפס. (אם לוקחים וקטור בחיתוך, הוא בהכרח וקטור האפס). ( )המימדיםהם 1 = dimw (כיווןש {( span{(1,1,...,1 W )ו n 1 =.dimu = (זה חושב בתרגיל 5 שאלה 4 ב'. אפשר לחשב, אגב, גם בעזרת טרנספורמציה ליניארית שמגדירים לעזר ומשפט המימד עבורה, כדאי לנסות!) לכן, כמו בסעיף הקודם, סכום המימדים שווה למימד המרחב כולו, לכן הסכום שלהם הוא סכום ישר ונותן את כל F. n ( 1 n,..., 1 n ) + (n 1 n, 1 n,..., 1 n =.(1,0,...,0) (קיימת הצגה (*) ההצגה היא ) יחידה מצורה זו, כיוון שזה סכום ישר!)