דף סיכום אלגברה לינארית

דף סיכום אלגברה לינארית מרחבי עמודות, שורות, אפס: = = c + c + + c k k כל פתרון של המערכת : A=b נתונה מטריצה :m = מרחב השורות של המטריצה spa = spa מרחב העמודות של המטריצה { r, r, rm { c, c, c מרחב הפתרונות = מרחב האפס = המרחב הנפרש ע"י כל הפתרונות של A= = lliy(a) A=b מערכת לינארית ב- m משוואות עם משתנים אז: A נמצאת במרחב העמודות של b קונסיסטנטית A=b I A=b קונסיסטנטית rak(a)=rak(a b) (עמודות A כפול וקטור b) הראה ש- b נמצאת במרחב העמודות של A והבע את b כצרוף לינארי של מרחב עמודות A: תקבל את b } } II שאלה: בצע דירוג גאוס ופתור את המשוואות קיבלנו ערכים של בדוק המערכת קונסיסטנטית (על פי I ) [ c ] + [ c] + + [ c הצב את הערכים ב: ] הראנו b שנמצא במרחב העמודות (כי הוא צרוף לינארי),v { בסיס למרחב האפס של A, (כלומר מרחב הפתרונות v, vk} ו A=b פתרון פרטי של המערכת = + c v + c v + + c v k k של,(A= אז: הפתרון הכללי של A=b יהיה: A=b יהיה פתרון של הוקטור, c, c, c k כמו כן, לכל בחירה של (במילים אחרות: [פתרון כללי של ]= A=b [פתרון פרטי של ]+ A=b [פתרון כללי של ([A= = 4 = 6 5 5 ( ( ( (4 דןגמא למציאת הפתרון הכללי של :A=b דרגנו את המטריצה יחד עם הפתרון b 4 + + r s 4 5 = r 4s+ 4 = r = s+ = s קיבלנו: ומכאן פתרון פרטי איך מוצאים בסיס למרחב הפתרונות של ההומוגנית :A= מדרגים את מטריצת המקדמים (מוצאים איברים פותחים) מוצאים איברים חופשיים נציב באחד המשתנים החופשיים, ו- בשארונעבור על כל האפשרויות לכל הצבה מקבלים וקטור שפורס את המרחב, ביחד בסיס שפורש את המרחב 4 במטריצה מדורגת: השורות עם האיברים הפותחים הן השורות שמהוות בסיס למרחב השורות העמודות המקוריות של המטריצה בהן לאחר הדרוג מופיע איבר פותח מהוות את הבסיס למרחב העמודות

משפטים: לכל מטריצה A מימד מרחב השורות = מימד מרחב העמודות: דרגת המטריצה = מימד מרחב השורות/עמודות = מימד מרחב הפתרון/האפס = לכל A אז: dim(r space)=dim(c space) rak(a) lliy(a) rak ( A) = rak( A ) A מטריצה עם עמודות אז: rak(a)+lliy(a)= A מטריצה m אז: = ak(a) = Nlliy(A) מספר האברים הפותחים בפתרון של A= מספר האיברים החופשיים בפתרון של A= למטריצות A ו- שקולות שורות יש אותו מרחב השורות עמודות A בת"ל ורק עמודות בת"ל A=b היא מערכת של m משוואות ב- משתנים אז: A=b קונסיסטנטית הוקטור b נמצא במרחב העמודות של A מטריצת המקדמים של A ומטריצת [A b] בעלות אותה דרגה ak(a)=rak(a b) השלמת בסיס למטריצה הוספת מטריצת היחידה ודירוג הוקטורים עם האיברים הפותחים במטריצת היחידה נם המשלימים של הבסיס

טרנספורמציות לינאריות: Tפונקציה : V W ממרחב V למרחב W, אז T נקראת טרנפורמציה לינארית לכל וקטורים,v ב- V ולכל סקלר T(c+dv)=cT()+dT(v) מתקיים: c,d ) T ( היא טרנס' = A( ) T : m A m אז טרנספורמציה המוגדרת ע"י לינארית מתיחה k>,k< והמטריצה כיווץ כאשר csθ siθ T ( ) = siθ csθ ( v) Tהמקיימת : V W = I ( v) = v המקיימת I : V V - דוגמאות: טרנס' סיבוב טרנס' האפס - כאשר θ היא זוית הסיבוב v V v V T לכל טרנס' זהות - טרנס' מתיחה/כיווץ - המקיימת לכל ) T ( k לכל = k, y, z לכל T (, y, z) = (, y,) המקיימת T T : : A= טרנס' שיקוף על מישור - y המתאימה לה היא : (באותה מידה ישנה טרנס' שיקוף על מישור z, yz במימד ) S T ( ) = S( T ( )) T : U V, S : V W טרנס' לינאריות אז: טרנס' לינארית v, w V T : V טרנס' לינארית אז: T( V ) = W v) T ( לכל = T ( v) T( v = T ( v) T ( v V לכל W ( ( ( כל וקטורי v שכאשר מפעילים עליהם T כל תוצאות הטרנס' T שמתקבלים שמפעילים על T : V W נניח ש: טרנס' לינארית אז נגדיר: V T( הגרעין של :T } ) ker T = { v v = ImT = { Tv v V} הופכים ל- התמונה של T: V במרחב v T : V W נניח ש: טרנס' לינארית אז: V הוא תת מרחב של kert W הוא תת מרחב של ImT כאשר T=A טרנס' לינארית אז: [מרחב האפס של kert=[a [מרחב העמודות של ImT=[A משפט המימד לטרנס' לינארית: טרנס' לינארית ו: dimv= אז: dim(ker(t))+dim(im(t))= T : V W הערה: כאשר T מוגדרת בעזרת מטריצה, T=A מקבלים את משפט המימד למטריצה

T : V W טרנס' לינארית: T על ImT=W T חח"ע kert={} T על ImT=V kert={} T : V נגזר מכאן: V ו- V בעל מימד סופי אז: T חח"ע T : W V T T : V W באותו הקשר T מוגרת ע"י ו- T חח"ע ועל, קיימת טרנס' לינארית הפיכה ל- T והיא תסומן ב: = A ועל אז קיימת חח"ע ו- T T= A T המטריצה שמתאימה לטרנס' - [ T ] = [ T ] = A מסמנים A מסמנים - המטריצה שמתאימה לטרנס' ההפיכה ל- T T : אפשר להראות שכל טרנס' לינארית היא מהצורה T=A שיטה למציאת הטרנס' הלינארית מבסיס נתון ומספר דגימות של הטרנס': נתונה טרנס' T : כאשר{ = v, v, v בסיס ( לא בסיס אז נמצא את הבסיס של התחום) α, β, γ {, Tv Tv, נתונים: (v Tv מוקטורי הבסיס שקיבלנו) ודא שיש בסיס לתחום, והוא שלם לא השלם אותו a b= α v + + c βv γv הצב בהת למימדים לדוגמא : כלומר α β= γ ( v v v ) נהפוך את המטריצה שמכילה את וקטורי הבסיס ונמצא את הערכים: a Tb= α T ( v) + βt ( v) + γt ( v) c עכשיו נציב ב: הם אלו שמצאנו קודם מצאנו את הטרנספורמציה אפשר לרשום אותה עם אותיות או רק מקדמים כאשר ה-( T(v נתונים וה- a b c α, β, γ אז: T=A כאשר { e, e,, e } T : m A היא המטריצה שעמודותיה הן: היא טרנס' לינארית ו הם וקטורי הבסיס הסטנדרטי של Te, Te,, Te [T] במילים T = [ T] ו-,[ T ] = A נסמן : היא המטריצה המתאימה לטרנס' T Tb i שיטה להעברת בסיסים: נתון: טרנספורמציה, בסיס ובסיס (חייבים להיות בסיסים שלמים חסר אז משלימים) [ T ] ' נניח מבקשים למצוא את - המטריצה שמעבירה מבסיס לבסיס : ניקח את וקטורי הבסיס ונפעיל עליהם את הטרנספורמציה קבלנו את כל ה- ניקח את וקטורי הבסיס ונכניס אותם למטריצה נהפוך את המטריצה 4

b ) α, β, γ Tb i = α b + + ' βb' γb' Tb i בנוסחא: נציב לכל ה- הם וקטורי הבסיס של ) הערכים האלו בוקטור מהווים את ונמצא את ערכי ' [ T ] = [[ Tb ] ' [ Tb ] '] [ Tb i ] ' α β γ ו) נציב את כל הוקטורים שקיבלנו במטריצה וקיבלנו: [ V ] = P[ V ] ' ' [ I] ' = [ I ] [ V ] = P [ V ] ' [ I ] ' מטריצות המעבר מבסיס לבסיס : נגדיר בסיס ישן, בסיס חדש ונסמן אותה מטריצות המעבר מ- ל- ומטריצת המעבר מ- ל- הפוכות זו לזו כאשר P היא מטריצת המעבר מבסיס לבסיס אז לכל v V מתקיים: וגם [ T ] ' = P [ T ] P T : V V טרנס' לינארית ו- V במימד סופי, ו- בסיסים של V, אז: מטריצת המעבר מ- ל- כאשר P היא = P AP (לזכור A ו- מטריצות ריבועיות מאותו סדר אומרים ש: דומה ל- A קיימת P הפיכה כך ש: ע"י (AP=P למטריצות דומות יש: אותה,de(A) אותה,rak(A) אותה lliy(a), ואותה race(a) סכום אברי אלכסון ראשי k k csθ siθ [A] = siθ csθ csθ si θ [A] = si θ csθ : גיאומטריה של טרנס' לינאריות: טרנס' סיבוב בזוית θבכיוון השעון: :X לציר θ בזוית l [A] = [A] = = A] [ הפעולה האלמנטרית טרנס' שיקוף ביחס לישר מקרים פרטיים: :(=) Y ציר l :(y=) X ציר l :(=y) מעלות 45 l טרנס' התארכות/התכווצות בכיוון אחד הצירים: קבוע <K התארכות, קבוע >K> התכווצות k [ A] = [ A] = k התארכות התכווצות בכיוון ציר X: התארכות התכווצות בכיוון ציר Y: טרנס' גזירה בכיוון ציר X /ציר Y: גזירה בכיוון ציר X: הפעולה האלמנטרית : הפעולה האלמנטרית : הפעולה האלמנטרית : + k [ A] = k 5

+ k [ A] = k גזירה בכיוון ציר Y: הפעולה האלמנטרית : A) T=A מטריצה :( A הפיכה T היא הרכבה של סדרת גזירות, למצוא כזו: מדרגים עד שמגיעים למטריצת היחידה מהסוף להתחלה התארכויות/התכוצויות, ושיקופים מפעילים הפוך את פעולות הדירוג על מטריצת יחידה סדר הפעולות הוא T : T(Q) T=A ו- A הפיכה אז: כל ישר עובר לישר התמונה של ישר דרך הראשית היא ישר דרך הראשית התמונה של ישר מקביל הוא ישר מקביל התמונה של קטע ישר שקצותיו הם הנקודות P ו- Q, הוא קטע ישר שקצותיו הם T(P) ו- הנקודות,Q,P מונחות על ישר אחד תמונותיהם מונחות על ישר אחד מסקנה: כפל המטריצה הפיכה מעביר משולשים למשולשים, ומקביליות למקביליות שיטה להפעלת מטריצה על נקודות / מציאת ישרים וכו': נתונה טרנס', ונקודות (או משוואה של ישר ממנו ניקח נקודות) מפעילים את הטרנס' על הנקודות מכניסים למשוואת הישר y=a+b מחלצים ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים: מילון: A= ערך עצמי ע"ע סקלר (מספר) ש כופלים בו וקטור אז לטרנס' מסויימת: λ וקטור עצמי ו"ע וקטור שמקיים את המשוואה עבור טרנס' (מטריצה מסויימת) הערכים המקיימים את המשוואה הם הע"ע של המטריצה משוואה אופיינית נוצר ע"י פולינום אופייני de( A λi ) = de( A λi) בסיס למרחב עצמי המתאים ל- - λ לכל ע"ע יש בסיס למרחב שהוקטורים העצמיים המתאימים לע"ע פורשים באופן כללי: = { v, v } טרנס' לינארית ויש בסיס T : כך ש: Tv =λ = λ v, Tv v [ T ] = λ λ אלכסונית במילים: כדי להציג טרנס' לינארית שמורכב מוקטורים שמקיימים את המשוואה טיפ: T : T= A= λ אז: T=A בעזרת מטריצה אלכסונית צריך למצוא בסיס של התחום למטריצות אלכסוניות, משולשיות תחתונות ועליונות, אברי האלכסון הם הע"ע של המטריצה כאשר λע"ע של A ו- ו"ע מתאים ל- λ אז: k λהוא ע"ע של הוא בסיס המורכב מו"ע של המטריצה A המשמשת בטרנס' לינארית אז: A ו- D דומות כלומר קיים P הפיכה כך ש: הוקטורים של הבסיס כלומר הם הו"ע של המטריצה A k ( k ) עם אותו A [ T ] = D,[ T ] E = A P AP= D ו- P היא מטריצת המעבר בין ל- E העמודות של P הם 6

P AP אומרים שמטריצה ריבועית A ניתנת לליכסון קיימת מטריצה הפיכה P כך ש: היא אלכסונית קיימת כזו P אז אומרים ש- P מלכסנת את A במילים אחרות: A דומה למטריצה אלכסונית אז A ניתנת לליכסון משפט מרכזי: ניתנת לליכסון יש ל- A A וקטורים עצמיים בת"ל P AP הו"ע הם עמודות של מטריצה P אז אלכסונית כאשר איברי האלכסון הם הע"ע של המטריצה A (ו"ע שמתאימים לע"ע שונים הם בת"ל) המטריצה D 7

למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני ולכן יש להן אותם ו"ע =, ומכאן P AP λi = P AP λi = P AP P ( λi) P= P ( A λi) P de( A λi) = de( λi λi, A דומות ולכן ) λi הוכחה: נניח A ו- דומות אז: אבל מרחבי מכפלה פנימית: ( v) = (, v) = v + + v = + (, ) = + d = (, v) = v = ( v) + + ( v) (, v) = ( + v, = (, + w ( k, v) = v (, ), = ( = מכפלה סקלרית =אוקלידית: נורמה (אורך של ): מרחק בין ל- v : תכונות של מכפלה פנימית - הגדרות: סימטריות: ) אדטיביות: ) k(, הומוגניות: ), ) חיוביות: בנוסף מתקיים גם: ( v, = (, (,,(, v = (, v) (, לדוגמא עם ( ו) הגדרות מרחבי מכפלה פנימית: ניתן להגדיר מרחב כאשר המכפלה הפנימית נתונה המכפלה הפנימית הפשוטה מכפלה מוגדרת בנתוני השאלה דוגמאות: מכפלה עם משקלים, v) = A Av, A אפשר לרשום גם: המטריצה מכפלה עם מטריצה ריבועית קבועה כלומר: =A המכפלה הנוצרת היא: (, v) = A Av= ( + )( v + v + v ) (, v) = A Av= ( Av) במרחב המטריצות ניתן להגדיר מכפלה פנימית: A= v A A v (, v) = v + + v, =, v= 4 b = a (, v) f ( ) g( ) אפשר גם ע"י: d בכל מקרה בו הוגדרה מכפלה פנימית שעומדת בקריטריונים ניתן להגדיר גם נורמה ומרחק v4 (, v) v = [ (, )][ v)] אי שיוויון קושי-שוורץ: אי שיווין קושי-שוורץ: תכונות הנורמה: לנורמה יש את התכונות הבאות: = = k = k 8

+ v + - אי שיוויון המשולש מוביל למשפט פיתגורס + v = + במרחב שני וקטורים ניצבים אחד לשני (,v)= אומרים שהם אורתוגונליים בקבוצה וקטורים כל שני וקטורים אורתוגונליים זה לזה אומרים שהקבוצה אורתוגונלית בקבוצה וקטורים אורתוגונליים כל הוקטורים הם בעלי אורך אומרים שוקטורים הם אורתונורמליים והקבוצה אורתונורמלית *בסיס אורתונורמלי / אורתוגונלי של מרחב הוא למעשה מערכת הצירים של המרחב על בסיס המרחב עצמו { v,, v } = בסיס אורתונורמלי למרחב V אז לכל וקטור v במרחב V מתקיים: v= v המקדמים של הצגת לפי בסיס וגם [] הוא וקטור v במרחב V מתקיים: ) v + v) v+ + v) v = ( v, vk ) vk k= [ ] = ( α,, α) = α ו: + α + יחידה v, אורתוגונליים זה לזה אז גם [],[v] אורתוגונליים זה לזה ( v v= v = { בסיס אורתוגונלי למרחב V אז לכל וקטור, v ) v) v) vk ) v + v+ + v = v v k= vk v,, v } v k v U = איך מוצאים בסיס אורתוגונלי: {,, } נתונה קבוצה נבדוק שהיא בת"ל לא נדרג ונמצא בסיס לקבוצה שיהיה בת"ל לפני תהליך גרם-שמידט נבדוק לכל זוג מכפלה פנימית = אז כבר אורתוגונליים,W = spa{ v ונחשב v נסמן } = נגדיר: = (, v ) v v (, v v ) v, v v = prj = v W v,w = spa v, v } { בלב נמשיך ונגדיר: ונחשב וכן הלאה עד סוף הקבוצה זה נקרא תהליך גרם-שמידט (הוא מייצר בסיס אורתוגונלי מטריצות אורתוגונליות: P = P מטריצה ריבועית P מקיימת את: אז היא נקראת מטריצה אורתוגונלית נתונה A ריבועית אז התכונות הבאות מתקיימות: A ריבועית היא אורתוגונלית אז העמודות של A אורתוגונליות אז השורות של A אורתונורמליות P P= I P P = P P = P = P=± הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא: de(p)= אז מדובר בסיבוב מערכת הצירים de(p)=- אז מדובר בשיקוף ואחר כך סיבוב של מערכת הצירים 9

P = PP= ( P) P= P P= כפל של וקטור במטריצה אורתוגונלית אינו משנה את אורכו ליכסון אורתוגונלי: A ניתנת לליכסון אורתוגונלי, קיימת מטריצה מלכסנת P כך ש- P היא מטריצה אורתוגונלית נגזר מכך ש- A סימטרית ו- P AP אלכסונית מציאת מלכסנת אורתוגונלית: מוצאים בסיס לכל מרחב עצמי של A בעזרת גרם-שמידט הופכים לבסיס אורתוגונלי מנרמלים לבסיס אורתונורמלי P היא המטריצה שעמודותיה התקבלו בשלב ג A ריבועית, אז : A ניתנת לליכסון אורתוגונלי A סימטרית ל- A יש וקטורים עצמיים אורתונורמליים A סימטרית אז ו"ע שמתאימים לע"ע שונים הם אורתוגונליים הקירוב הטוב ביותר: משפט הקירוב הטוב ביותר: נניח ש- V מרחב מכפלה פנימית W תת מרחב במימד סופי, וקטור ב- V prj W כלומר לכל w ב- W ששונה מ- מתקיים: prj W prj W < w במילים: הוקטור שהכי קרוב ל- בתת המרחב W הוא ההיטל של על תת המרחב W הוא הקירוב הטוב ביותר ל- ב- W יישום: מחפשים מבין כל ה- A האפשריים את הקרוב ביותר ל- b לכל A, הוא במרחב העמודות של A, ואוסף כל ה- A -ים הוא מרחב העמודות של A כלומר קיים A* שהוא הכי קרוב ל- b במרחב העמודות של A כלומר b-a* ניצב למרחב העמודות של A: b A* A ( b A*) A= ( A) ( b A*) = A ( b A*) = ( A b A A*) = ( A b A A*) = A b A A* A b A A* = A A= A b A A כלומר ריבועית ולמערכת יש פתרון העמודות של A בת"ל A A הפיכה שיטה: נתון ב- W אז: A A } v W = spa v,, במרחב במימד { k הפיכה אז יש פתרון יחיד, ונתון b וקטור ב-מימד ורוצים למצוא את הוקטור הכי קרוב ל- b דרך א: ניצור בסיס אורתוגונלי ל- W נסמן אותו הוקטור הדרוש הוא: { l w,, w } ( b, w ) w + + ( b, w l ) w l דרך ב': הבסיס הנתון אינו בת"ל צריך להגיע לבסיס בת"ל A הוא מרחב העמודות של A= [ v v k ] (עד וקטורים זה לא נור ( ( ( (

נפתור את המערכת A=b קיים פתרון אז b במרחב העמודות של A ואז הפתרון הוא b A A= A b אין פתרון אז נפתור את המערכת: הבסיס בת"ל אז יש פתרון יחיד ונקרא לו * נכפיל ב- A כלומר A* הוא הוקטור הקרוב ביותר ל- b ( (4 (5