ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:.....Επώνυμο:...Ομάδα: Α μ 3x8 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: 3χ-1 Α. 40 Β. 60 Γ. 48 Δ. 24 Ε. 36 2χ 10 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η γωνία A έχει μέτρο: Α Β Α. 30 Β. 60 Γ.120 Δ.150 Ε. 135 Δ χ 2χ Γ 3. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο το χ είναι ίσο με: Α. 5 Β. 6 Γ. 2 Δ. 3 Ε. 9 3χ 5 5 χ+6 Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι ίσες. μ 25 1
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και σημείο Μ της βάσης ΒΓ. Φέρουμε (Ε σημείο του ΑΓ) και (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι. μ 25 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα και τη ΔΑ κατά τμήμα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ,Β και Ε είναι συνευθειακά. μ 26 Καλή Τύχη! Στέλιος Μιχαήλογλου 2
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:....Επώνυμο:..Ομάδα: Β μ 3x8 χ + 2 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: 2χ - 7 Α. 40 Β. 23 Γ. 28 Δ. 32 Ε. 26 8 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η γωνία A έχει μέτρο: Α.140 Β. 60 Γ.120 Δ.150 Ε. 110 Δ Α 2x 60 x 10 Γ Β 3. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο το χ είναι ίσο με: Α. 5 Β. 4 Γ. 3 Δ. 2 Ε. 9 χ+5 3 3 9 Να αποδείξετε ότι αν σε ένα τετράπλευρο δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες τότε είναι παραλληλόγραμμο. μ 25 3
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Η παράλληλη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο Ε και η παράλληλη από το Ε προς τη ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι ΑΕ= ΒΖ. μ 25 Έστω Ε και Ζ, τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. μ 12 β) οι ΑΓ,ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν. μ 14 Καλή Τύχη! Στέλιος Μιχαήλογλου 4
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:...Επώνυμο:....Ομάδα: Γ μ 3x8 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: χ + 2 Α. 32 Β. 34 Γ. 28 Δ. 20 Ε. 16 χ-2 3χ - 8 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η γωνία A έχει μέτρο: Α x 20 Β Α.140 Β. 60 Γ.120 Δ.150 Ε. 110 Δ x 20 Γ 3. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο το χ είναι ίσο με: Α. 8 Β. 4 Γ. 3 Δ. 5 Ε. 9 2χ-5 8 8 χ+3 Να αποδείξετε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, αν οι διαγώνιές του διχοτομούνται. μ 25 5
Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ, ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ κατά τμήματα ΔΖ=ΒΔ και ΕΗ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) τα τετράπλευρα ΑΒΓΖ και ΑΗΒΓ είναι παραλληλόγραμμα. μ 13 β) τα σημεία Η,Α,Ζ είναι συνευθειακά και το Α είναι μέσο του ΗΖ. μ 13 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε σημείο της ΑΓ. Φέρνουμε (Ζ σημείο του ΑΓ). Να αποδείξετε ότι. μ 25 Καλή Τύχη! Στέλιος Μιχαήλογλου 6
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Όνομα:....Επώνυμο:....Ομάδα: Δ μ 3x8 1. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η περίμετρός του είναι ίση με: Α. 32 Β. 24 Γ. 28 Δ. 20 Ε. 16 χ - 2 4 2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο η γωνία έχει μέτρο: Α 3χ 2χ - 4 Β Α.108 Β.128 Γ.120 Δ.150 Ε. 110 Δ 2χ Γ 3. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο το χ είναι ίσο με: 5 8 Α. 8 Β. 5 Γ. 3 Δ. 12 Ε. 14 χ-4 5 Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου είναι ίσες. μ 25 7
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A και σημείο Μ της βάσης ΒΓ. Φέρουμε (Ε σημείο του ΑΓ) και (Δ σημείο του ΑΒ). Να αποδείξετε ότι. μ 25 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε τη ΔΓ κατά τμήμα και τη ΔΑ κατά τμήμα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ,Β και Ε είναι συνευθειακά. μ 26 Καλή Τύχη! Στέλιος Μιχαήλογλου 8
ΛΥΣΕΙΣ 9
1. Γ 2. Γ 3. Δ ΟΜΑΔΑ Α Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ έχουν: 1) ΒΔ κοινή 2) B 1 2 ως εντός εναλλάξ και 3) B 2 1 ως εντός εναλλάξ, οπότε είναι ίσα. Επομένως και To AZME είναι παραλληλόγραμμο, άρα ME A. Είναι ZM B ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΜΖ, ΑΓ που τέμνονται από την ΒΓ και B, άρα B M B, και το τρίγωνο ΔΒΜ είναι ισοσκελές, άρα M B. ME M A B AB Είναι AZ A B και AZ B, άρα το ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε είναι και ZB A (1) Είναι E AB και E AB, άρα το ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και BE A (2) Από τις (1),(2) είναι ZB BE, οπότε τα σημεία Ζ,Β, Ε είναι συνευθειακά. 1. Ε 2. Α 3. Β ΟΜΑΔΑ Β Έστω ότι AB και AB (1) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ έχουν: 1) AB 2) ΒΔ κοινή και 3) B 1 2 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΓΔ που τέμνονται από την ΒΔ. Άρα από το ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε είναι και B 2 1. Όμως οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ των ΑΔ, ΒΓ που τέμνονται από την ΒΔ, άρα A B (2). Από τις (1),(2) προκύπτει ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή B ZE και E BZ, το τετράπλευρο ΖΕΔΒ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε E BZ (1). Είναι A 1 1 ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, ΔΕ που τέμνονται από την ΑΔ και A 1 A2 λόγω της διχοτόμησης της γωνίας Α, άρα είναι και A 2 1, δηλαδή το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές και ισχύει ότι AE E (2) Από τις (1),(2) προκύπτει ότι AE BZ. α) Επειδή AB είναι και AE Z (1) AB Είναι AB AE Z (2) 2 2 Από τις (1),(2) το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. 10
β) Οι ΑΓ,ΒΔ είναι διαγώνιες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, οπότε διχοτομούνται σε σημείο Η. Οι ΑΓ, ΕΖ είναι διαγώνιες του παραλληλογράμμου ΑΕΓΖ, οπότε διχοτομούνται. Όμως το μέσο της ΑΓ είναι το Η οπότε και το μέσο της ΕΖ είναι το Η. Άρα οι ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ συντρέχουν στο Η. 1. Δ 2. Ε, 3. Α ΟΜΑΔΑ Γ Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΟΒΓ είναι ίσα γιατί έχουν: 1) ΟΑ = ΟΓ 2) ΟΒ = ΟΔ και 3) O 1 O2 ως κατακορυφήν, Άρα είναι και A 1 2. Οι γωνίες αυτές όμως είναι εντός εναλλάξ των ΑΔ, ΒΓ που τέμνονται από την ΒΔ, άρα A B (1). Όμοια τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι ίσα, οπότε και A 2 1.Οι γωνίες αυτές όμως είναι εντός εναλλάξ των ΑΒ, ΓΔ που τέμνονται από την ΑΓ, άρα AB (2). Από τις (1), (2) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. α) Τα ΑΓ,ΒΖ είναι διαγώνιες του τετραπλεύρου ΑΒΓΖ και έχουν κοινό μέσο το Δ, άρα το τετράπλευρο αυτό είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες του διχοτομούνται. Η Όμοια και το ΑΗΒΓ είναι παραλληλόγραμμο γιατί οι διαγώνιες του ΑΒ,ΗΓ διχοτομούνται. Ε β) Επειδή τα τετράπλευρα ΑΒΓΖ και ΑΗΒΓ είναι παραλληλόγραμμα είναι και, άρα. Επομένως τα σημεία Η,Α,Ζ είναι Β συνευθειακά και το Α είναι μέσο του ΗΖ. Α Δ Γ Ζ Τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΒΕΓ έχουν: 1) ΑΔ=ΒΓ (απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) 2) 1 B1 (έχουν πλευρές παράλληλες) 3) A 1 1 (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ που τέμνονται από την ΑΓ. Από το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΔΖ = ΒΕ. Επειδή είναι και Z BE, το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο 1. Β 2. Α 3. Δ ΟΜΑΔΑ Δ Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΔ έχουν: 1) ΒΔ κοινή 2) B 1 2 ως εντός εναλλάξ και 3) B 2 1 ως εντός εναλλάξ, οπότε είναι ίσα. Επομένως και To AZME είναι παραλληλόγραμμο, άρα ME A. Είναι ZM B ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΜΖ, ΑΓ που τέμνονται από την ΒΓ και B, άρα B M B, και το τρίγωνο ΔΒΜ είναι ισοσκελές, άρα M B. ME M A B AB 11
Είναι AZ A B και AZ B, άρα το ΑΖΒΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε είναι και ZB A (1) Είναι E AB και E AB, άρα το ΑΒΕΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε και BE A (2) Από τις (1),(2) είναι ZB BE, οπότε τα σημεία Ζ,Β, Ε είναι συνευθειακά. 12