1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.). Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος και να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις x 1 t, x 2 t, x t όταν : α. φ = 0, β. φ = π rad, Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης x (t) του σώματος : γ. φ = π / 3 rad. Λύση α. Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας, έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 2 π rad / s. Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου, είναι : ω = 2 π / Τ Τ = 2 π / ω Τ = 2 π / (2 π) Τ = 1 s. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = 0 ) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν 0 ) Α = (Α 1 + Α 2 )² Α = Α 1 + Α 2 Α = 3 + 4 Α = 7 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = (4 ημ 0 ) / (3 + 4 συν 0 ) εφ θ = 0 θ = 0. x = Α ημ (ω t + θ) x = 7 ημ [(2 π) t + 0] x = 7 ημ [(2 π) t], (S.I.). Tα ζητούμενα διαγράμματα :
β. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 (- 1)] Α = (Α 1 Α 2 )² Α = Α 1 Α 2 Α = 3 4 Α = 1 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = (4 ημ π) / (3 + 4 συν π) εφ θ = 0 αφού Α 1 < Α 2, τότε : θ = π rad. x = Α ημ (ω t + θ ) x = 1 ημ [(2 π) t + π], (S.I.). Tα ζητούμενα διαγράμματα :
γ. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π / 3 rad) Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν (π / 3)] Α = [Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 (1 / 2)] Α = (Α 1 ² + Α 2 ²) Α = (3² + 4²) Α = (25) Α = 5 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = [4 ημ π / 3] / [3 + 4 συν (π / 3)] εφ θ = [4 (1 / 2)] / [3 + 4 (1 / 2)] εφ θ = (2 / 5). Δεν μπορούμε να ξέρουμε την θ. x = Α ημ (ω t + θ ) x = 5 ημ [(2 π) t + θ ], (S.I.). 2) Ένα κινητό μάζας m = 0,5 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και πάνω στην ίδια διεύθυνση, με εξισώσεις : x 1 = 4 ημ [10 t + (π / 6)] και x 2 = 4 3 ημ [10 t + (2 π / 3)], (S.I.). Να υπολογίσετε την εξίσωση της απομάκρυνσης, της ταχύτητας, της επιτάχυνσης και της δύναμης επαναφοράς του σώματος.
Λύση Οι δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας, έχουν την ίδια κυκλική συχνότητα ω = 10 rad / s. Η σχέση κυκλικής συχνότητας και περιόδου, είναι : ω = 2 π / Τ Τ = 2 π / ω Τ = 2 π / 10 Τ = π / 5 s. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων : Δφ = φ 0,2 φ 0,1 Δφ = [(2 π / 3) (π / 6)] Δφ = [(4 π / 6) (π / 6)] Δφ = 3 π / 6 Δφ = π / 2 rad. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) Α = [4² + (4 3)² + 2 4 4 3 συν (π / 2)] Α = [4² + (4 3)²] Α = [16 + 16 3] Α = 64 Α = 8 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = [4 3 ημ (π / 2)] / [4 + 4 3 συν (π / 2)] εφ θ = (4 3 1) / (4 + 4 3 0) εφ θ = (4 3) / 4 εφ θ = 3 θ = π / 3 rad. x = Α ημ (ω t + φ 0,1 + θ) x = 8 ημ [10 t + (π / 6) + (π / 3)] x = 8 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος είναι : υ max = ω Α υ max = 10 8 υ max = 80 m / s. Άρα η εξίσωση της ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης είναι : υ = υ max συν (ω t + θ) υ = 80 συν [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη επιτάχυνση της ταλάντωσης του σώματος είναι : α max = ω² Α α max = 10² 8 α max = 800 m / s². Άρα η εξίσωση της επιτάχυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι : α = α max ημ (ω t + θ) α = 800 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.). Η μέγιστη δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος είναι : (2ος νόμος του Νεύτωνα) ΣF max = m α max ΣF max = m ω² Α ΣF max = 0,5 10² 8 ΣF max = 400 Ν. Άρα η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς της σύνθετης ταλάντωσης είναι : ΣF = ΣF max ημ (ω t + θ) ΣF = 400 ημ [10 t + (π / 2)], (S.I.).
3) Ένα σώμα μάζας m = 0,4 kg, εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) όπως φαίνονται στα διαγράμματα του παρακάτω σχήματος : Οι αρμονικές ταλαντώσεις (1) και (2) γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Να βρεθεί : α. Η εξίσωση της απομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. β. H εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο. Δίνεται π² 10. Λύση α. Από το διάγραμμα βλέπουμε : Τ = 2 s, A 1 = 0,2 m, A 2 = 0,4 m, η αρχική φάση της ταλάντωσης (1) είναι φ 0,1 = π / 2 rad και η αρχική φάση της ταλάντωσης (2) είναι φ 0,2 = 0. Η γωνιακή συχνότητα είναι : ω = 2 π / Τ ω = 2 π / 2 ω = π rad / s. H εξίσωση της απομάκρυνσης της (1), είναι : x 1 = A 1 ημ (ω t + φ 0,1 ) x 1 = 0,2 ημ [π t + (π / 2)]. H εξίσωση της απομάκρυνσης της (2), είναι : x 2 = A 2 ημ (ω t + φ 0,2 ) x 2 = 0,4 ημ (π t + 0). Όπου : φ = φ 0,2 φ 0,1 φ = 0 (π / 2) φ = (π / 2) rad. Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) Α = {0,2² + 0,4² + 2 0,2 0,4 συν [- (π / 2)]} Α = (0,2² + 0,4² + 0) Α = (0,2) Α = (20 0,01) Α = (4 5 0,01) A = 0,2 5 m. H διαφορά φάσης θ της σύνθετης ταλάντωσης, είναι : εφ θ = (Α 2 ημ φ) / (Α 1 + Α 2 συν φ) εφ θ = {0,4 ημ [- (π / 2)]} / {[0,2 + 0,4 [ συν (π / 2)]} εφ θ = 0,4 / 0,2
εφ θ = 2. x = Α ημ (ω t + θ) αφού θ < 0, x = 0,2 5 ημ (π t + (π / 2) + θ), (S.I.). β. Η σταθερά επαναφοράς είναι : D = m ω² D = 0,4 π² D = 0,4 10 D = 4 Ν / m. H εξίσωση της δυναμικής ενέργειας του του σώματος σε συνάρτηση με τον χρόνο : U = ½ D x² U = ½ 4 {0,2 5 ημ [π t + (π / 2) + θ]}² U = 2 0,04 5 ημ² [π t + (π / 2) + θ] U = 0,4 ημ² [π t + (π / 2) + θ]. 4) Ένα μικρό σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, ίδιας συχνότητας πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 4 ημ (2 t) και x 2 = 4 ημ [2 t + (π / 3)], (S.I.). Να υπολογίσετε : α. Την εξίσωση της κίνησης του σώματος, β. Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t = π / 4 s. Λύση α. Από τις εξισώσεις που δίνονται ω = 2 rad / s, A 1 = A 2 = 4 m και Δφ = π / 3 rad. Έχουμε σύνθεση ταλαντώσεων, με πλάτος : Α = [A 1 ² + A 2 ² + 2 A 1 A 2 συν (Δφ)] Α = [4² + 4² + 2 4 4 συν (π / 3)] Α = [4² + 4² + 2 4 4 (1 / 2)] Α = (3 4²) Α = 4 3 m. H διεύθυνση : εφ θ = (A 2 ημ Δφ) / (A 1 + A 2 συν Δφ) εφ θ = [4 ημ (π / 3)] / [4 + 4 συν (π / 3)] εφ θ = [4 ( 3 / 2)] / [4 + 4 (1 / 2)] εφ θ = [ 3 / 2] / [1 + (1 / 2)] εφ θ = 3 / 3 θ = π / 6 rad. H εξίσωση της απομάκρυνσης, της σύνθετης ταλάντωσης : x = A ημ (ω t + θ) x = 4 3 ημ [2 t + (π / 6)]. β. Η μέγιστη ταχύτητα της σύνθετης ταλάντωσης είναι : υ max = ω Α υ max = 2 4 3 υ max = 8 3 m / s. H ταχύτητα της σύνθετης ταλάντωσης : υ = υ max συν (ω t + θ) υ = 8 3 συν [2 t + (π / 6)]. Για t = π / 4 s : υ = 8 3 συν [2 (π / 4) + (π / 6)] υ = 8 3 συν (2 π / 3) υ = 8 3 (- 1 / 2) υ = 4 3 m / s. Η μέγιστη επιτάχυνση της σύνθετης ταλάντωσης είναι : α max = ω² Α α max = 2² 4 3
α max = 16 3 m / s². H επιτάχυνση της σύνθετης ταλάντωσης : α = α max ημ (ω t + θ) α = 16 3 ημ [2 t + (π / 6)]. Για t = π / 4 s : α = -16 3 ημ [2 (π / 4) + (π / 6)] α = 16 3 ημ (2 π / 3) α = 16 3 ( 3 / 2) α = 24 m / s².