ΜΕΛΕΤΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΕΝΙΣΧΥΤΗ ΝΤΟΠΑΡΙΣΜΕΝΗΣ ΙΝΑΣ ΕΡΒΙΟΥ (EDFA) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ και ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΟΠΤΙΚΟΥ ΕΝΙΣΧΥΤΗ ΝΤΟΠΑΡΙΣΜΕΝΗΣ ΙΝΑΣ ΕΡΒΙΟΥ (EDFA) ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Διπλωματική Εργασία του ΖΩΙΔΗ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ (ΑΕΜ 475) Επιβλέπων Καθηγητής : ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Ε. ΚΡΙΕΖΗΣ Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 7

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία αφορά στη μελέτη του οπτικού ενισχυτή ντοπαρισμένης ίνας Ερβίου, και ειδικότερα σκοπεύει στην εξαγωγή μαθηματικών μοντέλων εξισώσεων για την περιγραφή διαφόρων βασικών μεγεθών του ενισχυτή. Αποτελεί τη διπλωματική μου εργασία και έλαβε χώρα κατά τη διάρκεια του τελευταίου εξαμήνου φοίτησής μου στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Α.Π.Θ. Στο σημείο αυτό, οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Εμμανουήλ Κριεζή, αρχικά για τη δυνατότητα που μου παρείχε να ασχοληθώ με ένα θέμα που άπτεται του επιστημονικού ενδιαφέροντός μου, μα πρωτίστως για τη συνεχή και ουσιαστική καθοδήγησή του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας μας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καλούς μου φίλους και συναδέλφους, οι οποίοι με διάφορους τρόπους βοήθησαν καταλυτικά στην ολοκλήρωση της εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΟΠΤΙΚΟΥΣ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ 1.1 Οπτικοί Ενισχυτές - Εφαρμογές και Πλεονεκτήματα... 1 1. Τύποι Οπτικών Ενισχυτών... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ ΝΤΟΠΑΡΙΣΜΕΝΗΣ ΙΝΑΣ.1 Μηχανισμός Ενίσχυσης του Φωτός... 4. Ενισχυτής Ντοπαρισμένης Ίνας Ερβίου... 6..1 Μηχανισμός Ενίσχυσης... 6.. Αρχιτεκτονικές EDFA...7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ EDFA 3.1 Υπολογισμός Μεταβολής της Έντασης Οπτικού Σήματος κατά Μήκος του EDFA... 9 3.1.1 Διατομές Απορρόφησης και Εκπομπής... 11 3. Μεταβολή Ισχύος Άντλησης και Σήματος κατά Μήκος της Ίνας.. 14 3.3 Προσέγγιση Γκαουσιανού Φακέλου...16 3.3.1 Αριθμητική Εφαρμογή Μοντέλου Γκαουσιανής Προσέγγισης 19 3.4 Προσέγγιση Μικρού Σήματος... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ ΚΕΡΔΟΥΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΛΛΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΕΝΙΣΧΥΤΗ 4.1 Βέλτιστο Μήκος Ίνας του Ενισχυτή... 7 4. Επίδραση της Ισχύος Άντλησης στο Κέρδος... 8 4.3 Επίδραση της Ισχύος Σήματος - Κορεσμός του Κέρδους.. 3 4.4 Εξάρτηση του Κέρδους από το Μήκος Κύματος... 33 4.4.1 Εξάρτηση από το Μήκος Κύματος Σήματος... 34 4.4. Εξάρτηση από το Μήκος Κύματος Άντλησης... 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗΣ 5.1 Υπολογισμός Γενικών Εξισώσεων Διάδοσης... 37 5. Τροποποίηση Εξισώσεων και Αναλυτική Λύση... 39 5.3 Εφαρμογή της Εξίσωσης Ροής Φωτονίων... 41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΘΟΡΥΒΟΣ ΣΤΟΝ ΕΝΙΣΧΥΤΗ ΕΡΒΙΟΥ 6.1 Εικόνα Θορύβου του Ενισχυτή... 46 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.. 48 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΟΠΤΙΚΟΥΣ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ Τα οπτικά συστήματα χρησιμοποιούνται ευρύτατα στον τομέα των τηλεπικοινωνιών τα τελευταία χρόνια. Μάλιστα, λόγω των διαφόρων πλεονεκτημάτων τους, η χρήση τους μελλοντικά αναμένεται να διαδοθεί σε ακόμη σημαντικότερο βαθμό. Στα οπτικά τηλεπικοινωνιακά συστήματα μεγάλων αποστάσεων, προκύπτουν προβλήματα εξαιτίας των απωλειών ισχύος και της διασποράς των εκπεμπόμενων παλμών. Μια οπτική ζεύξη, όπως και κάθε άλλη ζεύξη, σχεδιάζεται υπολογίζοντας ένα ισοζύγιο ισχύος. Εάν, για οποιοδήποτε λόγο, η ισχύς που καταλήγει στον δέκτη δεν είναι επαρκής, τότε επιβάλλεται η ενίσχυση του σήματος με χρήση κατάλληλων αναμεταδοτών (reeater). Σε ένα συμβατικό αναμεταδότη το οπτικό σήμα μετατρέπεται σε ηλεκτρικό, αποκτά το σωστό χρονισμό και σχήμα παλμών, ενισχύεται και εν συνεχεία μετατρέπεται και παλι από ηλεκτρικό σε οπτικό. Η διαδικασία αυτή είναι αποτελεσματική και έχει λογικό κόστος, όταν εφαρμόζεται σε κανάλια χαμηλών ή μεσαίων ρυθμών μετάδοσης με τη χρήση ενός και μόνο μήκους κύματος για το σήμα πληροφορίας. Αντίθετα, γίνεται ιδιαίτερα περίπλοκη και οικονομικά ασύμφορη σε συστήματα με πολλά πολυπλεγμένα μήκη κύματος και υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης. Για τη δεύτερη αυτή περίπτωση, αποκτά σημαντικό ενδιαφέρον η χρήση του πλήρως οπτικού ενισχυτή που λειτουργεί αποκλειστικά στην οπτική συχνότητα και μπορεί να ενισχύσει οπτικά κανάλια στην περιοχή μηκών κύματος που χρησιμοποιούνται στις επικοινωνίες μακρινών αποστάσεων, δηλαδή στις περιοχές των 1.3 και 1.55 μm. 1.1 Οπτικοί Ενισχυτές - Εφαρμογές και Πλεονεκτήματα Οι οπτικοί ενισχυτές βρίσκουν εφαρμογές σε οπτικές ζεύξεις μακρινών αποστάσεων σημείο προς σημείο, καθώς και σε δίκτυα πολλαπλής πρόσβασης. Ακολουθούν ορισμένες από τις πλέον συνηθισμένες εφαρμογές τους. Οπτικοί ενισχυτές γραμμής : Το μήκος της ζεύξης μονόρυθμων οπτικών ινών καθορίζεται κυρίως από την απόσβεση (απώλειες μετάδοσης), μιας και τα φαινόμενα διασποράς είναι γενικά περιορισμένα. Έτσι, δεν απαιτείται συχνή πλήρης αναγέννηση του σήματος, ενώ η οπτική ενίσχυση που προσφέρουν οι ενισχυτές γραμμής κατά μήκος της ζεύξης είναι αρκετή, για να αντισταθμίσει τις απώλειες μετάδοσης. Συνεπώς αυξάνεται σημαντικά η απόσταση ανάμεσα στους αναμεταδότες που επιτελούν πλήρη αναγέννηση του σήματος, ενώ ταυτόχρονα μειώνεται το κόστος και η πολυπλοκότητα του συστήματος. Προενισχυτές : Στην περίπτωση αυτή ο ενισχυτής τοποθετείται στην πρώτη βαθμίδα ενός οπτικού δέκτη. Το ασθενές σήμα ενισχύεται πριν οδηγηθεί στο φωτοανιχνευτή, με 1

αποτέλεσμα η επίδραση του θερμικού θορύβου (λόγω των ηλεκτρονικών του δέκτη) στο λόγο σήματος προς θόρυβο (SNR) να περιορίζεται σημαντικά. Επιπλέον, η επιλογή ενός οπτικού ενισχυτή αντί κάποιου άλλου μηχανισμού κέρδους (πχ φωτοδίοδος χιονοστιβάδας), οδηγεί συνήθως σε μεγαλύτερο κέρδος και εύρος ζώνης. Ενισχυτές ισχύος : Ο οπτικός ενισχυτής μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σαν booter στην έξοδο του οπτικού πομπού, αυξάνοντας την ισχύ του εκπεμπόμενου σήματος. Με ταυτόχρονη χρήση και ενός οπτικού προενισχυτή, μπορούν να επιτευχθούν υποθαλάσσιες ζεύξεις μήκους -5 m, χωρίς την παρεμβολή αναμεταδότη. Επίσης, οπτικοί ενισχυτές μπορούν να τοποθετηθούν σε τοπικά δίκτυα πρόσβασης (LAN), για να αντισταθμίσουν τις απώλειες από τη διανομή του σήματος σε μεγάλο αριθμό αποδεκτών. Η χρήση οπτικών ενισχυτών σε μια οπτική τηλεπικοινωνιακή ζεύξη διάφορα πλεονεκτήματα, όπως : προσφέρει (1) Εφόσον τα σήματα πληροφορίας ενισχύονται άμεσα στο οπτικό πεδίο, χωρίς μετατροπή στο ηλεκτρικό πεδίο, η απόδοση ενός συστήματος με οπτικούς ενισχυτές δεν εξαρτάται από το ρυθμό μετάδοσης. Δηλαδή, σε αντίθεση με τους ηλεκτρονικούς επαναλήπτες, ο ενισχυτής λειτουργεί αποτελεσματικά ακόμη και σε υψηλότερους ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων. () Είναι δυνατή η ταυτόχρονη ενίσχυση περισσοτέρων του ενός σημάτων σε συστήματα πολυπλεξίας στο μήκος κύματος (WDM), μιας και οι οπτικοί ενισχυτές έχουν συνήθως μεγάλο γινόμενο κέρδους-εύρους ζώνης, δηλαδή μπορούν να παρέχουν κέρδος σε ένα μεγάλο φασματικό εύρος (πχ 4 nm). (3) Ο θόρυβος που προστίθεται από τον ενισχυτή είναι κοντά στα χαμηλότερα δυνατά επίπεδα (3-4 db). (4) Η σύνδεση (συγκόλληση) των οπτικών ενισχυτών με το υπόλοιπο τηλεπικοινωνιακό σύστημα γίνεται με μια απλή διαδικασία και με ελάχιστες απώλειες εισαγωγής. (5) Το κέρδος που παρέχουν οι οπτικοί ενισχυτές (ντοπαρισμένης ίνας) είναι ανεξάρτητο από την πόλωση του κύματος.

1. Τύποι Οπτικών Ενισχυτών Οι οπτικοί ενισχυτές κατατάσσονται σε δύο μεγάλες οικογένειες : στους οπτικούς ενισχυτές ημιαγωγού (emiconductor otical amlifier, SOA) και στους ενισχυτές ντοπαρισμένης ίνας (doed fiber amlifier, DFA). Ο μηχανισμός ενίσχυσης είναι και για τους δύο τύπους ενισχυτών ο ίδιος (η εξαναγκασμένη εκπομπή φωτονίων*, όπως θα δούμε λίγο αργότερα). Γενικά, η λειτουργία και η δομή ενός οπτικού ενισχυτή είναι σε γενικές γραμμές ανάλογη με αυτήν μιας οπτικής πηγής (laer διόδου), με μία όμως πολύ σημαντική διαφοροποίηση: σε έναν οπτικό ενισχυτή δεν υπάρχει ο μηχανισμός οπτικής ανάδρασης, ο οποίος όμως είναι απαραίτητος σε μία πηγή, αφού η τελευταία λειτουργεί σαν ταλαντωτής. Στους οπτικούς ενισχυτές ημιαγωγού (SOA) χρησιμοποιούνται συνήθως κράματα ημιαγωγών των ομάδων ΙΙΙ και IV του περιοδικού πίνακα των στοιχείων (P,Ga,A,In). Οι SOA είναι γενικά συμπαγείς διατάξεις με χαμηλή κατανάλωση ισχύος, προσφέρονται για εύκολη ολοκλήρωση σε κοινό υπόστρωμα με άλλες ενεργητικές ή παθητικές οπτικές διατάξεις και μπορούν να καλύψουν και τα δύο παράθυρα χαμηλών απωλειών (δηλ. 1.3 και 1.55 μm). Επίσης έχουν αρκετά γρήγορη απόκριση στην περιοχή του 1 έως.1n. Το γεγονός αυτό είναι περιοριστικό σε κάποιες περιπτώσεις, καθώς η εξάρτηση του κέρδους (σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος) από το ρυθμό μετάδοσης, οδηγεί σε γενικότερη διακύμανση του κέρδους και τελικά σε φαινόμενα παρεμβολής (crotal). Οι ενισχυτές ντοπαρισμένης ίνας (DFA) χρησιμοποιούν μία ίνα SiO με χαμηλό επίπεδο ντόπινγκ στον πυρήνα της από κάποιο στοιχείο Σπάνιας Γαίας, όπως το Er (Erbium) ή το Yb (Ytterbium). Η λειτουργία στα 13 nm είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση ινών τύπου fluoride και ντόπινγκ από στοιχεία όπως το Nd (Neodymium). Οι DFA παρέχουν τη δυνατότητα οπτικής άντλησης σε πολλά διαφορετικά μήκη κύματος, πολύ χαμηλές απώλειες σύζευξης ανάμεσα στις ίνες μετάδοσης και ενίσχυσης, καθώς και πολύ μικρή εξάρτηση του κέρδους από την πόλωση του κύματος. Επιπλέον λειτουργούν ανεξάρτητα από το ρυθμό μετάδοσης των δεδομένων (λόγω της αργής απόκρισής τους,.1-1 m), διατηρώντας έτσι σταθερό το κέρδος και αποκλείοντας την εμφάνιση φαινομένων παρεμβολής. Τέλος, προσφέρουν ταυτόχρονη ενίσχυση σε ένα ευρύ φάσμα μηκών κύματος (τυπικά από 153 έως 156 nm). Η παρούσα μελέτη αφορά κυρίως τη δεύτερη κατηγορία και συγκεκριμένα τους ενισχυτές ντοπαρισμένης ίνας Ερβίου (EDFA). * Σε αυτήν, ένα φωτόνιο ενέργειας ( E E1 ) αλληλεπιδρά με ένα άτομο που βρίσκεται στην υψηλότερη ενεργειακή στάθμη E. Ένα ηλεκτρόνιο του ατόμου μεταβαίνει στη χαμηλότερη στάθμη E 1, με την ταυτόχρονη δημιουργία-εκπομπή ενός δεύτερου φωτονίου που ενισχύει το αρχικό σήμα. 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΝΙΣΧΥΤΕΣ ΝΤΟΠΑΡΙΣΜΕΝΗΣ ΙΝΑΣ Τα υλικά που χρησιμοποιούνται στις οπτικές επικοινωνίες είναι φθορίζοντα, και ο φθορισμός είναι το κλειδί για την κατανόηση της λειτουργίας των οπτικών ενισχυτών. Μια φθορίζουσα ουσία εκπέμπει φως όταν προσπίπτει φως σε αυτήν, με το χρώμα της λάμψης να είναι διαφορετικό από το χρώμα του προσπίπτοντος φωτός. Το τελευταίο ονομάζεται και φως άντλησης. Αν και ο φθορισμός ξεκινά με την πρόσπτωση του φωτός άντλησης, με την απομάκρυνση αυτού η διαδικασία δε σταματά αμέσως, αλλά φθίνει με ένα χαρακτηριστικό χρόνο ζωής. Επίσης σημαντικό είναι το γεγονός πως, ενώ το μήκος κύματος (χρώμα) της εκπομπής είναι καθορισμένο, το μήκος κύματος του φωτός άντλησης δε απαιτείται να είναι αυστηρά καθορισμένο..1 Ενεργειακό Μοντέλο - Μηχανισμοί Εκπομπής Από αυτές τις παρατηρήσεις, οι επιστήμονες εξήγησαν το μηχανισμό ενίσχυσης των οπτικών ενισχυτών, χρησιμοποιώντας παράλληλα τις έννοιες των ενεργειακών επιπέδων των ατόμων/ιόντων και των μεταβάσεων μεταξύ αυτών. Το μοντέλο του σχήματος που ακολουθεί (Σχ. 1), γνωστό και ως μοντέλο των τριών ενεργειακών επιπέδων, είναι από τα πλέον συνήθη που χρησιμοποιούνται. Η άντληση γίνεται μεταξύ των επιπέδων E 1 και E 3, όπου E 3 E1 = hf 31, με f 31 τη συχνότητα του φωτός άντλησης και h τη σταθερά του Planc. Η φθορίζουσα εκπομπή συμβαίνει μεταξύ των ενεργειακών επιπέδων E και E 1, όπου f 1 είναι η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτός. Σημειώνεται, πως στην πραγματικότητα το E 3 είναι μία δέσμη πολλών (κοντά ευρισκόμενων) ενεργειακών επιπέδων και όχι ένα ξεχωριστό/συγκεκριμένο επίπεδο. Με την πρόσπτωση φωτός άντλησης, τα ιόντα του υλικού ντόπινγκ διεγείρονται από το επιπ. Ε1 διεγείρονται και μεταβαίνουν στο επίπεδο E 3, αν φυσικά στο φως άντλησης υπάρχουν φωτόνια με ενέργεια E3 E1. Σχεδόν άμεσα, μη ακτινοβολούσες μεταβάσεις λαμβάνουν χώρα μεταξύ των ενεργειακών ζωνών του E 3, καθώς και μεταξύ των E 3 και E. Η μετάβαση από το E στο E 1 είναι υπεύθυνη για τη φθορίζουσα λάμψη και ενδιαφέρον παρουσιάζουν κυρίως τα υλικά με μεγάλο χρόνο τ, το επίπεδο E των οποίων ονομάζεται μετασταθές. Στην περίπτωση αυτή τ τ 3 και η εκπομπή συνεχίζεται και μετά την απομάκρυνση του φωτός άντλησης. Τα επίπεδα E 1 και E είναι επίσης σύνολα κοντινών υπο-επιπέδων (όπως και το E 3 ), όμως η μετάβαση από τη στάθμη στην 1 γίνεται μεταξύ συγκεκριμένων υποεπιπέδων. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος κύματος του εκπεμπόμενου φωτός είναι συγκεκριμένο, ενώ το φως άντλησης μπορεί να μπορεί να έχει μια μπάντα μηκών κύματος. 4

Σχ. 1 : Μοντέλο των τριών ενεργειακών επιπέδων. Όταν η μετάβαση από το E στο E 1 γίνεται αυθόρμητα, ένα φωτόνιο ενέργειας h f 1 απελευθερώνεται και η διαδικασία ονομάζεται αυθόρμητη εκπομπή (ontaneou emiion). Τα φωτόνια που εκπέμπονται αυθόρμητα κινούνται σε τυχαίες διευθύνσεις κι έχουν διαφορετικές φάσεις, γι αυτό και ονομάζονται ασύμφωνα. Αυτά τα φωτόνια θα αποτελέσουν μία βασική πηγή θορύβου του ενισχυτή που ονομάζεται ενισχυμένη αυθόρμητη εκπομπή (ASE). Ο έτερος μηχανισμός εκπομπής φωτός ονομάζεται εξαναγκασμένη εκπομπή (timulated emiion) και σε αυτόν βασίζεται η ενίσχυση του φωτός-σήματος από τον DFA. Στην εξαναγκασμένη εκπομπή, το φως άντλησης διεγείρει τα άτομα του υλικού και αυξάνει τον πληθυσμό των ηλεκτρονίων στη στάθμη 3. Η γρήγορη μετάπτωσή τους όμως στη στάθμη, καθώς και η σχετικά αργή διαδικασία μετάβασής τους στη στάθμη 1, οδηγεί τελικά στην αύξηση του πληθυσμού του ου ενεργειακού επιπέδου. Αν τώρα στο υλικό προσπέσει φως συχνότητας f 1, τότε θα προκύψει μια αύξηση της έντασης του φωτός αυτής της συχνότητας. Αυτό θα συμβεί, γιατί η πρόσπτωση ενός φωτονίου συχνότητας f 1 θα προκαλέσει (εξαναγκασμένη) μετάβαση ενός ηλεκτρονίου από τη η στάθμη στην 1η και ταυτόχρονη εκπομπή ενός δεύτερου φωτονίου, το οποίο θα είναι στην ίδια διεύθυνση και φάση με το αρχικό. Δηλαδή το εκπεμπόμενο (λόγω της μετάβασης από τη η στην 1η στάθμη) φως είναι σύμφωνο με το προσπίπτον φως. Με τη διαδικασία αυτή τελικά ενισχύεται το προσπίπτον φως, που ουσιαστικά αντιστοιχεί στο σήμα πληροφορίας. Στο σημείο αυτό πρέπει να τονιστεί πως απαραίτητη προϋπόθεση για την επίτευξη κέρδους είναι η δημιουργία συνθηκών πληθυσμιακής αντιστροφής στο ενεργό μέσο του 5

ενισχυτή. Δηλαδή πρέπει η πληθυσμιακή πυκνότητα του ου ενεργειακού επιπέδου να είναι (αρκετά) μεγαλύτερη από αυτήν του 1ου επιπέδου, έτσι ώστε να υπάρχουν αρκετά εν δυνάμει διαθέσιμα φωτόνια, για να ενισχύσουν το σήμα μας.. Ενισχυτής Ντοπαρισμένης Ίνας Ερβίου (EDFA) Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο πλέον συνηθισμένος τύπος οπτικού ενισχυτή είναι ο ενισχυτής ντοπαρισμένης ίνας Ερβίου, γνωστός με τη συντομογραφία EDFA. Βασίζεται σε ίνες γυαλιού ( SiO ),των οποίων ο πυρήνας έχει νοθευτεί ελαφρά με τριπλά κατιόντα Ερβίου (τυπικές συγκεντρώσεις της τάξης των εκατοντάδων m κατά βάρος). Το μήκος της ίνας που προσφέρει την ενίσχυση είναι συνήθως από 5 έως 3 m και η λειτουργία κατά κανόνα περιορίζεται στο παράθυρο 153-156 nm...1 Μηχανισμός Ενίσχυσης Ο μηχανισμός ενίσχυσης που αναλύθηκε προηγουμένως, ισχύει βεβαίως και για τον EDFA. Και στην περίπτωση αυτή, λοιπόν, υιοθετείται το μοντέλο των τριών ενεργειακών επιπέδων του Σχήματος. Τα φωτόνια του σήματος άντλησης διεγείρουν τα ηλεκτρόνια του ενεργού μέσου, τα οποία μεταβαίνουν από τη βασική στάθμη ( 4 I 15 / ) στη στάθμη άντλησης ( 4 I 11/ ), μετάβαση που αντιστοιχεί σε απορρόφηση φωτονίου μήκους κύματος 98 nm. Σχ. : Ενεργειακό διάγραμμα τριών επιπέδων των ιόντων Ερβίου. 6

Τα ηλεκτρόνια πολύ γρήγορα μεταπίπτουν στο μετασταθές επίπεδο ( 4 I 13 / ), όπου ο χρόνος ζωής είναι πολύ μεγάλος συγκρινόμενος με τους χρόνους ζωής των υπολοίπων επιπέδων. Η ενεργειακή διαφορά μεταξύ των σταθμών και 1 αντιστοιχεί ουσιαστικά σε φωτόνιο μήκους κύματος (περίπου) 155 nm. Ορισμένα από τα ιόντα της μετασταθούς ζώνης επιστρέφουν στη ζώνη αναφοράς εν τη απουσία φωτονίων σήματος, οπότε έχουμε το φαινόμενο της αυθόρμητης εκπομπής, το οποίο αναγνωρίζεται ως θόρυβος του ενισχυτή. Η πρόσπτωση φωτονίων συχνότητας f 1 = 155 nm θα οδηγήσει στην εξαναγκασμένη εκπομπή νέων φωτονίων ίδιας ενέργειας, μήκους κύματος και πόλωσης με αυτά του σήματος εισόδου που τελικά μεταφράζονται σε ενίσχυση. Υψηλά επίπεδα εξαναγκασμένης εκπομπής είναι εφικτά ανάμεσα στα 153-156 nm, ενώ πέρα από τα 156 nm το κέρδος μειώνεται προοδευτικά μέχρι τα db (G = 1) περίπου στα 16 nm. Εναλλακτικά, σαν άντληση μπορεί να χρησιμοποιηθεί φως των 148 nm, οδηγώντας τα ηλεκτρόνια αρχικά στην κορυφή της μετασταθούς ζώνης και στη συνέχεια στη βάση αυτής. Άλλα μήκη κύματος (προφανώς μικρότερα από 148 nm, όπως τα 83 ή τα 664 nm) επίσης προσφέρονται για την άντληση, όμως για διάφορους λόγους συνήθως δεν προτιμώνται, όπως θα δούμε και αργότερα... Αρχιτεκτονικές EDFA Το κεφάλαιο αυτό κλείνει, αναφέροντας πως υπάρχουν τρεις δυνατές αρχιτεκτονικές για τους EDFA, ανάλογα με τη διεύθυνση διάδοσης του φωτός άντλησης και του προς ενίσχυση σήματος. Έτσι λοιπόν, διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις που απεικονίζονται στο Σχήμα 3 : συγκατευθυντική άντληση (co-directional uming), αντικατευθυντική άντληση (counter-directional uming) και διπλή άντληση (bidirectional uming). Η περίπτωση μονής άντλησης (μία πηγή άντλησης), είτε συγκατευθυντικής είτε αντικατευθυντικής, προσφέρει προφανώς σαφώς μικρότερο κέρδος από αυτήν της διπλής άντλησης (τυπικά στις περιοχές των 17 και 35 db αντίστοιχα). Εξάλλου, η συγκατευθυντική άντληση οδηγεί σε καλύτερα χαρακτηριστικά θορύβου, ενώ η αντικατευθυντική σε υψηλότερο κέρδος. Οι ζεύκτες ελέγχου (ta) που διακρίνονται στο Σχήμα 3, έχουν μικρό λόγο διαίρεσης (στην περιοχή 99:1 μέχρι 99:5) και τοποθετούνται στην είσοδο και έξοδο του ενισχυτή, προκειμένου να έχουμε δείγματα του σήματος εισόδου και εξόδου για την εκτίμηση της ενίσχυσης. Οι οπτικοί απομονωτές (otical iolator, OI) αποτρέπουν την επιστροφή του ενισχυμένου σήματος πίσω στη διάταξη λόγω ανακλάσεων, κάτι το οποίο θα είχε ως αποτέλεσμα την αύξηση του θορύβου και τη μείωση της αποδοτικότητας. 7

Σχ. 3 : Πιθανές αρχιτεκτονικές οπτικών ενισχυτών EDFA : (a) συγκατευθυντική άντληση, (b) αντικατευθυντική άντληση, (c) διπλή άντληση ( OI : Otical Iolator, WSC : Wavelength Selective Couler ). 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ TOY EDFA Στο κεφάλαιο αυτό, αναλύεται μαθηματικά η λειτουργία του ενισχυτή Ερβίου, χρησιμοποιώντας το μοντέλο των τριών ενεργειακών επιπέδων. Σκοπός μας είναι να εξαχθούν συγκεκριμένες εξισώσεις για την περιγραφή της μεταβολής διαφόρων μεγεθών (όπως οι ισχείς άντλησης-σήματος και το κέρδος) κατά μήκος της ίνας του ενισχυτή, καθώς και για τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. 3.1 Υπολογισμός Μεταβολής της Έντασης Οπτικού Σήματος κατά Μήκος του EDFA Έστω Ν1 και Ν ο αριθμός ατόμων ανά μονάδα όγκου στη βασική στάθμη ( E 1) και τη μετασταθή στάθμη ( E ), αντίστοιχα. Λόγω αυθόρμητης εκπομπής, ο πληθυσμός της E μειώνεται με ρυθμό ανάλογο του N και αντιστρόφως ανάλογο του χρόνου ζωής της αυθόρμητης εκπομπής ( t ) : dn N = (1) dt t Όπως έχει τονισθεί όμως, ο μηχανισμός ενίσχυσης του σήματος σχετίζεται με την έννοια της εξαναγκασμένης εκπομπής από την E στην E 1 λόγω της διέγερσης από το προσπίπτον σήμα. Προφανώς, λόγω της άντλησης, έχει προηγηθεί η (εξαναγκασμένη) απορρόφηση από την E 1 στην E 3 και τελικά η μετάπτωση στην E. Για ένα μονοχρωματικό σήμα, ονομάζουμε I την ένταση και φ τον αριθμό φωτονίων που διαπερνούν τη μοναδιαία επιφάνεια ανά μονάδα χρόνου. Δηλαδή είναι : I φ = () hf Η μεταβολή του N 1 λόγω (εξαναγκασμένης) απορρόφησης είναι : dn dt a IN1 = σ aφn1 = (3) hf 1 σ Ομοίως, λόγω εξαναγκασμένης εκπομπής, για τον N, ισχύει : dt IN = hf (4) 9 dn σ e

Οι σταθερές αναλογίας σ a και σ e είναι γνωστές ως διατομές απορρόφησης και εκπομπής, αντίστοιχα, προφανώς με διαστάσεις εμβαδού. Έστω τώρα μια διατομή εμβαδού S και δύο επίπεδα z και z + dz κατά μήκος της ίνας, τότε ο αριθμός ατόμων στις στάθμες E 1 και E (μεταξύ των δύο επιπέδων) είναι N 1 Sdz και N Sdz αντίστοιχα. Ο αριθμός των απορροφήσεων στη μονάδα του χρόνου είναι : Ab = σ a IN dz / hf (5) ενώ ο αντίστοιχος αριθμός των εξαναγκασμένων εκπομπών είναι : 1 Em = σ e IN dz / hf (6) Συνεπώς, η απορροφούμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου σε όγκο Sdz είναι : W I( σ a N1 σ e N ) Sdzhf = = σ a I( N1 ηn Sdz (7) hf ab ) όπου : η = σ e / σ (8) a Για την εξαγωγή της εξ. (7) παραβλέψαμε την ύπαρξη της αυθόρμητης εκπομπής, στην οποία οφείλεται ο θόρυβος του ενισχυτή. Η ανωτέρω υπολογισθείσα ενέργεια πρέπει να είναι ίση με την καθαρή ενέργεια που εισέρχεται στον όγκο Sdz : di I ( z) S I( z + dz) S = { I( z) I( z) ( ) dz} S = dz di = ( ) Sdz (9) dz Άρα, εξισώνοντας τις δύο ενέργειες, λαμβάνουμε : di( z) = σ a ( N1 ηn ) I( z) = αi ( z) (1) dz όπου : α = σ a N 1 ηn ) (11) ( Η εξίσωση (1) ουσιαστικά καταδεικνύει πως για να έχουμε ενίσχυση, θα πρέπει να ισχύει η συνθήκη : η N > N 1 (1) 1

Υπό φυσιολογικές συνθήκες, η συνθήκη αυτή δεν ισχύει και ένα σήμα συχνότητας f 1 εξασθενεί. Αν όμως δημιουργηθεί μια κατάσταση όπου η > N 1 N, τότε ένα σήμα αυτής της συχνότητας θα προκαλέσει περισσότερες (εξαναγκασμένες) εκπομπές παρά απορροφήσεις, με αποτέλεσμα να έχουμε ενίσχυση του σήματος. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό I για την ένταση της άντλησης και του σήματος, μπορούμε να καταλήξουμε σε μια εναλλακτική μορφή της συνθήκης για την επίτευξη κέρδους : I I ( r, z) > I t = (13) η ( I t Η σχέση (13) καταδεικνύει την ελάχιστη απαιτούμενη ένταση του φωτός άντλησης, ) για οποιεσδήποτε τιμές (r,z) στην ίνα, ώστε να επιτευχθεί ενίσχυση. Η παράμετρος η είναι ο λόγος των διατομών εκπομπής και απορρόφησης (μεταξύ των σταθμών E 1 και E ) στο μήκος κύματος του σήματος, δηλαδή : σ e η = (14) σ a Η ποσότητα I αποτελεί μία σταθερά που αναφέρεται στο φως της άντλησης και είναι : hf I = (15) σ t a Αντίστοιχα, για το σήμα ισχύει : I hf ( σ + σ = (16) a e ) t 3.1.1 Διατομές Απορρόφησης και Εκπομπής Ίνας Ερβίου Οι διατομές απορρόφησης και εκπομπής, σ a και σ e, που υπεισέρχονται στους υπολογισμούς, εκφράζουν ουσιαστικά ένα είδος πιθανότητας απορρόφησης ή εκπομπής, αντίστοιχα, φωτονίων από τα ιόντα Ερβίου. Τα μεγέθη αυτά έχουν, όπως είπαμε, διαστάσεις εμβαδού, είναι εν γένει διαφορετικά μεταξύ τους και μεταβάλλονται με το μήκος κύματος (συχνότητα). Ακολουθεί το ληφθέν 11

από πείραμα, ενδεικτικό γράφημα του Σχήματος 4 για τη μεταβολή των σ a -σ e των ιόντων Ερβίου στην περιοχή μηκών κύματος που μας ενδιαφέρει στην πράξη για το σήμα πληροφορίας, δηλαδή για λ=15-164 nm, καθώς και ο Πίνακας 1 με τις αντίστοιχες διατομές απορρόφησης και εκπομπής. Είναι εμφανές ότι οι μέγιστες τιμές προκύπτουν στη γειτονιά των 153 nm, ενώ και στα 155 nm η τιμή του σ e είναι αρκετά υψηλή. Τα δεδομένα αυτά επιβεβαιώνουν τα όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως σχετικά με τα υψηλά επίπεδα εξαναγκασμένης εκπομπής (άρα και κέρδους) στο παράθυρο μηκών κύματος λ=153-156 nm. 6 emiion abortion 5 cro ection (*e 5 m) 4 3 1 146 148 15 15 154 156 158 16 16 164 166 wavelength (nm) Σχ. 4 : Μεταβολή των διατομών εκπομπής/απορρόφησης σ a, σ e με το μήκος κύματος, για μια τυπική ίνα με ντόπινγκ Ερβίου. 1

Μήκος Κύματος λ (nm) σ a ( 1-5 m ) σ e ( 1-5 m ) 15.57 1.133 155.43 1.34 151.553 1.514 1515.744 1.884 15 3.365.489 155 4.41 3.495 153 5.379 4.79 1535 4.644 4.644 154 3.154 3.53 1545.85 3.386 155.545 3.41 1555.9 3.57 156 1.859.81 1565 1.33.18 157.934 1.717 1575.759 1.33 158.654 1.133 1585.576.978 159.53.889 1595.459.84 16.44.77 165.4.67 161.378.69 1615.345.544 16.35.487 165.9.46 163.76.369 1635.5.39 164.5.68 Πίνακας 1 : Διατομές απορρόφησης και εκπομπής τυπικής ίνας Ερβίου για μήκη κύματος 15-164 nm. 13

3. Μεταβολή Ισχύος Άντλησης και Σήματος κατά μήκος της Ίνας Στόχος της ανάλυσης που ακολουθεί, είναι η περιγραφή της διάδοσης του φωτός άντλησης και σήματος μέσα στον ενισχυτή, καθώς και η εξαγωγή εξισώσεων για τη μεταβολή της ισχύος σήματος και άντλησης κατά μήκος αυτού. Δεδομένου ότι η άντληση σε συχνότητα f αντιστοιχεί σε μεταβάσεις από τη στάθμη E 1 στην E 3, και θεωρώντας αμελητέο τον πληθυσμό της τελευταίας, από την εξίσωση (1) προκύπτει ο ρυθμός μεταβολής της έντασης για το φως άντλησης : di = σ a N1( r, z) I ( r, z) (17) dz Αντίστοιχα, η μεταβολή της έντασης του σήματος είναι : di dz = σ ( η N N1) I ( r, ) (18) a z Στην περίπτωση μιας οπτικής ίνας, περισσότερο ενδιαφέρον έχει η εξαγωγή εξισώσεων για τις ισχείς σήματος και άντλησης παρά για τις εντάσεις αυτών. Άλλωστε, οι διαδιδόμενοι ρυθμοί στα μήκη κύματος σήματος και άντλησης παρουσιάζουν ένα εγκάρσιο προφίλ έντασης, δηλαδή οι δύο εντάσεις είναι συναρτήσεις και της εγκάρσιας συντεταγμένης r. Έτσι, έχουμε : I = P ( z) f ( r) (19) και : I = P ( z) f ( r) () όπου f, f (κανονικοποιημένες) συναρτήσεις που περιγράφουν την εγκάρσια εξάρτηση του προφίλ της έντασης, για την άντληση και το σήμα αντίστοιχα. Η ισχύς του κάθε κύματος προκύπτει από το ολοκλήρωμα της έντασης σε μια επιφάνεια rdrd φ, ενώ ο ρυθμός μεταβολής της ισχύος από το ολοκλήρωμα του ρυθμού μεταβολής της έντασης. Δηλαδή : και : P( z) = I( r, z) rdrdφ = π I( r, z) dr (1) dp dz = di π rdr () dz 14

Οι εξισώσεις (1) και () ισχύουν τόσο για την άντληση όσο και για το σήμα, οπότε και παίρνουν τους δείκτες ή ανάλογα με την περίπτωση. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι η ίνα του ενισχυτή είναι ντοπαρισμένη με Έρβιο (ομοιόμορφης συνολικής συγκέντρωσης Ν) σε μια ακτίνα b, η οποία είναι εν γένει διαφορετική από την ακτίνα του πυρήνα a. Υποθέτοντας ότι ο πληθυσμός της 3ης στάθμης είναι αμελητέος λόγω της πολύ γρήγορης μετάπτωσης, ισχύει η σχέση : N 1 + N = N (3) Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού της 1 ης στάθμης, αν σ a, σ a και σ e είναι η διατομή απορρόφησης άντλησης, διατομή απορρόφησης σήματος και διατομή εκπομπής σήματος αντίστοιχα, μπορεί να γραφεί ως : σ I σ σ I dn1 a a e = N1 N1 + N + dt hf hf hf t I N (4) Στην περίπτωση της σταθερής κατάστασης, όπου δηλαδή ισχύει ότι dn 1 = dt (5) προκύπτει με συνδυασμό των ανωτέρω εξισώσεων η σχέση μεταξύ των N 1, N : N N 1 I I + I (1 + η ) I = (6) η I 1+ (1 + η ) I Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις, καταλήγουμε στις εξής σχέσεις : dp dz dp dz η P ( z) f ( r) 1+ b (1 + η ) I = πσ a N P ( z) f ( r) rdr (7) P ( z) f ( r) P ( z) f ( r) 1+ + I I η P ( z) f ( r) 1 b I = πσ a N P ( z) f ( r) rdr (8) P ( z) f ( r) P ( z) f ( r) 1+ + I I 15

Οι εξισώσεις (7) και (8) είναι γενικές. Οι συναρτήσεις f ( r), f ( r) για τα προφίλ των εντάσεων πρέπει να καθοριστούν. 3.3 Προσέγγιση Γκαουσιανού Φακέλου Για μία ίνα βηματικού δείκτη, οι συναρτήσεις f, f μπορούν να γραφούν με χρήση συναρτήσεων Beel. Εφόσον το εγκάρσιο προφίλ της έντασης προσομοιάζει στο γκαουσιανό μοντέλο, η προσέγγιση γκαουσιανού φακέλου χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη για τις εκφράσεις των f, f. Η προσομοίωση των δύο μοντέλων της f (απλή συνάρτηση Beel και γκαουσιανή προσέγγιση) στο Σχήμα 5 που ακολουθεί, επιβεβαιώνει την ουσιαστική ταύτιση των αποτελεσμάτων για τις δύο μεθόδους, ακτινικά εντός της ίνας. Το γκαουσιανό μοντέλο είναι ένα σχετικά απλό μοντέλο, το οποίο όμως δίνει αρκετά καλά και ακριβή αποτελέσματα. 1 x 11 Gauian Beel 1 tranvere intenity attern f 8 6 4.5 1 1.5.5 3 core radiu (µm) Σχ.5 : Σύγκριση μοντέλων του εγκάρσιου προφίλ της έντασης f, για ίνα με a=1.5μm, NA =.4 και σήμα με λ = 155 nm. 16

Στην προσέγγιση γκαουσιανού φακέλου λοιπόν, γίνεται η υπόθεση πως για τις συναρτήσεις f ισχύει : ( 1 r f r) = ex( π Ω Ω ) (9) Η σταθερά Ω καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά της ίνας, ενώ ο πολλαπλασιαστικός παράγων στη εξίσωση (8) επιλέχθηκε έτσι, ώστε να κανονικοποιήσει την f (r). Για μια ίνα βηματικού δείκτη, το Ω δίνεται από τη σχέση : V K1( W ) Ω = aj ( U ) (3) U K ( W ) Οι παράμετροι U,W,V χαρακτηρίζουν μια μονόρυθμη ίνα και δίνονται από τις εξής σχέσεις : U = a n (31) 1 β W = a β n (3) V 1 = Στις σχέσεις αυτές, υπεισέρχονται οι εξής παράμετροι : n 1 : δείκτης διάθλασης πυρήνα n : δείκτης διάθλασης περιβλήματος β : σταθερά διάδοσης του ρυθμού a : ακτίνα του πυρήνα b : ακτίνα ντοπαρίσματος : κυματικός αριθμός ( = π λ ) = a n n ana (33) Οι J, K, K1 είναι οι συναρτήσεις beelj και beel, μηδενικής και πρώτης τάξης αντίστοιχα. Οι σταθερές W,V συνδέονται με βάση την εξής εμπειρική σχέση : η οποία είναι ακριβής στο διάστημα 1.5 < V <. 5. W = 1.48 V.996 (34) Για τα μήκη κύματος της άντλησης και του σήματος, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις αντίστοιχες τιμές των σταθερών U,W,V και εν συνεχεία την παράμετρο Ω για τη γκαουσιανή προσέγγιση. 17

Εφαρμόζοντας τη γκαουσιανή προσέγγιση της εξίσωσης (8) για την άντληση () και το σήμα (),λαμβάνουμε : f 1 r r) = ex( ) (35) π Ω Ω ( και : f 1 r r) = ex( ) (36) π Ω Ω ( Κάνοντας την υπόθεση πως τα ολοκληρώματα και προκύπτει το εξής ζεύγος εξισώσεων : Ω = Ω, από τις εξισώσεις (7) και (8) υπολογίζονται dp dz = σ a NP ( z) u 1+ w w w 1+ wex( b / Ω ) { (1 )ln[ ] + u[1 ex( b / Ω )] } (37) dp dz a NP ( z) v 1+ w = σ w w 1+ wex( b / Ω ) { (1 + )ln[ ] + v[1 ex( b / Ω )] } (38) όπου για τις σταθερές u,w,v, έχουμε : u = η P 1+ η ) P (39) ( P P w + P P = (4) η P v = (41) P Εδώ πρέπει να τονιστεί, πως η υπόθεση που έγινε για περίπου ίδιες σταθερές Ω άντλησης και σήματος, εισάγει ελάχιστο σφάλμα. Κι αυτό, γιατί οι εκθετικοί γκαουσιανοί όροι των εξισώσεων (37) και (38) μεταβάλλονται με πολύ πιο γρήγορο ρυθμό από τους λογαριθμικούς όρους που εμφανίζονται στους υπολογισμούς. Παρατηρείται επίσης από τις (37) και (38) ότι, ενώ η dp dz είναι πάντοτε αρνητική, η dp dz μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική, οδηγώντας έτσι είτε σε ενίσχυση είτε σε εξασθένιση του σήματος. 18

3.3.1 Αριθμητική Εφαρμογή Μοντέλου Γκαουσιανής Προσέγγισης Ακολουθούν στο σημείο αυτό τα αποτελέσματα που προκύπτουν από το ζεύγος εξισώσεων (37) και (38) για μια τυπική ίνα με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά : Ακτίνα πυρήνα : a = 1. 64 μm Ακτίνα ντοπαρίσματος : b = 1.64 μm Αριθμητικό άνοιγμα : NA =. 64 Συγκέντρωση ιόντων Ερβίου : 4 N = 6.8 1 /m 3 (=1 mole m) Διατομή απορρόφησης (άντληση) : σ 5 =.17 1 m Διατομή απορρόφησης (σήμα) : Διατομή εκπομπής (άντληση) : Χρόνος ζωής αυθόρμητης εκπομπής : Μήκος κύματος άντλησης : Μήκος κύματος σήματος : Για τις τιμές αυτές των παραμέτρων, προκύπτουν : V =.37 W = 1.6416 U = 1.6 Ω = 1.35 1 I =.81 1 6 m 7 a σ a σ e V = 1.459 W =.6713 U = 1.95 =.57 1 = 3.41 1 t = 1 mec 5 5 m m λ = 98 nm λ = 155 nm (4) Ω = 1.96 1 7 W/m 7 I = 1.75 1 W/m P =.41 mw P =.1 mw Με είσοδο για την ισχύ σήματος P, in =1 μw, μήκος της ίνας L= m και για διάφορες τιμές της αρχικής ισχύος άντλησης, λαμβάνουμε με προσομοίωση από το Matlab τα ακόλουθα αποτελέσματα. Αρχικά, για την ισχύ άντλησης, έχουμε το Σχήμα 6. Από το σχήμα αυτό, προκύπτει ότι η ισχύς άντλησης μειώνεται εκθετικά και τελικά εξαντλείται περίπου στα 8,1 ή 1 m, ανάλογα με την αρχική τιμή της. Επίσης, παρατηρούμε ότι κοντά στην είσοδο του ενισχυτή η μείωση είναι σχεδόν γραμμική, ενώ για μεγαλύτερες τιμές του z γίνεται εκθετική. Ακολουθεί το γράφημα του Σχήματος 7 για τη μεταβολή της ισχύος του σήματος, η οποία είναι προφανώς το μέγεθος που πρώτιστα μας ενδιαφέρει. 6 m 19

7 6 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 5 Pum (mw) 4 3 1 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ.6 : Μεταβολή της ισχύος άντλησης κατά μήκος του ενισχυτή. 5 45 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 4 35 3 Pignal (µw) 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 7 : Μεταβολή της ισχύος σήματος κατά μήκος του ενισχυτή.

Παρατηρούμε πως αρχικά έχουμε μια εκθετική αύξηση της ισχύος του σήματος, σε κάποιο σημείο (ανάλογα με την αρχική ισχύ άντλησης) φτάνει στη μέγιστη τιμή της, και στη συνέχεια ακολουθεί μια εκθετική ελάττωση. Η εξέλιξη αυτή είναι βεβαίως φυσιολογική, μιας και η ισχύς άντλησης είναι αρχικά επαρκής, ώστε να οδηγήσει σε ενίσχυση. Από ένα σημείο κι έπειτα όμως, η P έχει ελαττωθεί σε βαθμό τέτοιο, που δε μπορεί να δημιουργήσει την απαιτούμενη πληθυσμιακή αντιστροφή για την επίτευξη κέρδους και, μοιραία, το σήμα αρχίζει να υφίσταται απόσβεση. Συμπεραίνουμε λοιπόν, πως για κάθε αρχική τιμή ισχύος άντλησης, υπάρχει ένα βέλτιστο μήκος ίνας (ενισχυτή), για το οποίο η έξοδος μας είναι μέγιστη. Παραδείγματος χάριν, από το σχ. 7 προκύπτει ότι για P, in = 5mW, το βέλτιστο μήκος του EDFA είναι (περίπου) τα 7m. Τέλος, στο Σχήμα 8 δίνονται οι καμπύλες για το κέρδος G του ενισχυτή : G = 1log[ P ( z) P ()] (db) (43) 3 Pin=3mW Pin=5mW Pin=7mW 1 Gain (db) 1 3 4 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 8 : Μεταβολή του κέρδους κατά μήκος του ενισχυτή. Προφανώς, οι καμπύλες του κέρδους είναι ανάλογες αυτών της ισχύος σήματος. Αρχικά το κέρδος αυξάνει, στη συνέχεια φτάνει σε μια μέγιστη τιμή και τελικά μειώνεται, πέφτοντας κάτω από τα db. Συνεπώς, αν το μήκος του ενισχυτή είναι αρκετά μεγάλο, η ισχύς σήματος στην έξοδο θα παίρνει τιμές μικρότερες της αρχικής. 1

Τα βέλτιστα μήκη προκύπτουν για G Gmax και βέβαια είναι ίδια με αυτά του προηγούμενου σχήματος. Οι εξισώσεις (37) και (38) είναι γενικές και ισχύουν για οποιεσδήποτε τιμές σήματος (και άντλησης), ακόμη και της τάξης των μερικών mw. Στην πράξη βέβαια, και σχεδόν πάντοτε, η ισχύς σήματος στις διατάξεις οπτικών επικοινωνιών είναι της τάξης των μw, ή και μικρότερη. Στη συνέχεια, ακολουθεί η τροποποίηση των εξαχθέντων εξισώσεων για την περίπτωση μικρού σήματος. 3.4 Προσέγγιση Μικρού Σήματος Πολύ συχνά στην πράξη (λόγω απωλειών, αποσβέσεων κλπ), η ισχύς σήματος σε μια οπτική τηλεπικοινωνιακή ζεύξη είναι πολύ μικρή, και συγκεκριμένα αρκετά μικρότερη από κάποια οριακή τιμή, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη λεγόμενη προσέγγιση μικρού σήματος (mall ignal aroximation - ). Η συνθήκη για την εφαρμογή αυτής της προσέγγισης, είναι : P z I << P = = π Ω I (44) ( ) f ( r = ) Κάνοντας τις απαραίτητες πράξεις και απλοποιήσεις που προκύπτουν με τη χρήση της συγκεκριμένης προσέγγισης, οι εξισώσεις (37) και (38) παίρνουν την εξής μορφή : dp dz dp dz P ( z) 1+ ex( b / Ω ) P = σ a P N ln[ ] (45) P ( z) 1+ P P 1+ P η P P = σ a NP { [1 ex( b / Ω )] + (1 + η )ln[ P P ex( b P 1+ P / Ω ) ]} (46) Κατ αρχάς, θα συγκρίνουμε τα δύο ζεύγη των εξισώσεων για ισχύ εισόδου P, in = 5 nw, τιμή που σαφώς ικανοποιεί την παραπάνω απαίτηση. Παραθέτουμε τα διαγράμματα μεταβολής ισχύος σήματος (Σχήματα 9 και 1) και κέρδους (Σχήματα 11 και 1), αναμένοντας την ουσιαστική ταύτιση των αποτελεσμάτων, καθώς το δεύτερο ζεύγος είναι παράγωγο του πρώτου, και P, in << P.

5 45 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 4 35 3 Pignal (µw) 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 9 : Μεταβολή ισχύος σήματος - γενικές εξισώσεις (37)-(38). 5 45 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 4 35 3 Pignal (µw) 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 1 : Μεταβολή ισχύος σήματος - εξισώσεις μικρού σήματος (45)-(46). 3

3 Pin=3mW Pin=5mW Pin=7mW 1 Gain (db) 1 3 4 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 11 : Μεταβολή κέρδους - γενικές εξισώσεις (37)-(38). 3 Pin=3mW Pin=5mW Pin=7mW 1 Gain (db) 1 3 4 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 1 : Μεταβολή κέρδους - εξισώσεις μικρού σήματος (45)-(46). 4

Οι υπολογισμοί των σταθερών U,V,W και Ω που προηγήθηκαν, προφανώς συνεχίζουν να ισχύουν, ενώ το μήκος του ενισχυτή επιλέχθηκε σχετικά μεγάλο (L = m), ώστε να έχουμε πλήρη εποπτεία της εξέλιξης των φαινομένων. Πράγματι, τα αποτελέσματα ουσιαστικά ταυτίζονται, επιβεβαιώνοντας την ορθότητα της προσέγγισης και των υπολογισμών. Οι μέγιστες αποκλίσεις που παρατηρούνται, είναι της τάξης των ελάχιστων μw, και φυσικά στη λογαριθμική κλίμακα (db) ουσιαστικά δεν υφίστανται. Για την περίπτωση της ίνας με τα χαρακτηριστικά που αναφέρθηκαν προηγουμένως, έχουμε P ~ 17.4 μw, άρα η προσέγγιση μικρού σήματος (mall ignal-) απαιτεί P (z) 17.4 μw. Συνεπώς, για σήμα εισόδου P, in = 1 μw (και για μικρότερες τιμές προφανώς) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση. Χρησιμοποιώντας λοιπόν τις εξισώσεις (45) και (46) για αυτήν την ισχύ εισόδου, θα υπολογίσουμε διάφορα μεγέθη, καθώς και τη μεταξύ τους εξάρτηση. Παραθέτουμε τα ήδη γνωστά γραφήματα ισχύος άντλησης, ισχύος σήματος και κέρδους κατά μήκος του ενισχυτή (Σχήματα 13,14 και 15 αντίστοιχα), για διάφορες τιμές P,. in 7 6 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 5 Pum (mw) 4 3 1 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 13 : Μεταβολή ισχύος άντλησης κατά μήκος του EDFA. 5

1 9 P,in=3mW P,in=5mW P,in=7mW 8 7 6 Pignal (µw) 5 4 3 1 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 14 : Μεταβολή ισχύος σήματος κατά μήκος του EDFA. 3 Pin=3mW Pin=5mW Pin=7mW 1 Gain (db) 1 3 4 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 15 : Μεταβολή του κέρδους κατά μήκος του EDFA. 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ ΚΕΡΔΟΥΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΛΛΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΕΝΙΣΧΥΤΗ Το σημαντικότερο μέγεθος στη μελέτη ενός οπτικού ενισχυτή, είναι το διαθέσιμο κέρδος που αυτός μπορεί να παρέχει. Το κέρδος αυτό, εξαρτάται όχι μόνο από την εισαγόμενη ισχύ άντλησης, αλλά και από την ισχύ σήματος, το μήκος του ενισχυτή, καθώς και από άλλα μεγέθη. 4.1 Βέλτιστο Μήκος Ίνας του Ενισχυτή Ένα σημαντικό συμπέρασμα που εξάγεται από τη μορφή των καμπυλών που προηγήθηκαν, είναι πως επιβάλλεται η επιλογή της κατάλληλης αρχικής ισχύος άντλησης και του βέλτιστου μήκους ίνας, ώστε το σήμα μας να εξέλθει του EDFA ενισχυμένο στα επιθυμητά επίπεδα. Κατά συνέπεια, ένα διάγραμμα χρήσιμο για τη σχεδίαση της λειτουργίας ενός οπτικού ενισχυτή, είναι αυτό που συσχετίζει την εισαγόμενη ισχύ άντλησης με το βέλτιστο μήκος ίνας, για την αποκομιδή του μέγιστου κέρδους. Τέτοιο είναι το Σχήμα 16, το οποίο προήλθε με χρήση των εξισώσεων μικρού σήματος, για τις ήδη γνωστές παραμέτρους της ίνας (εξ. 4). Όπως είναι λογικό, αύξηση της εισαγόμενης ισχύος άντλησης οδηγεί σε ταυτόχρονη αύξηση του βέλτιστου μήκους της ίνας, καθώς μια μεγάλη P, μπορεί να δημιουργήσει, αλλά και να διατηρήσει μια ικανοποιητική πληθυσμιακή αντιστροφή για μεγαλύτερο μήκος ίνας, ενισχύοντας έτσι όλο και περισσότερο το σήμα. Αξίζει να σημειωθεί, πως το βέλτιστο μήκος του ενισχυτή εξαρτάται από την αρχική ισχύ άντλησης, όπως και από το μήκος κύματος αυτής. Η ισχύς σήματος επηρεάζει, όπως θα δούμε και λίγο αργότερα, αυτό καθ αυτό το κέρδος ως τιμή. in 7

14 1 1 8 Lot (m) 6 4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 P,in (mw) Σχ. 16 : Μεταβολή του βέλτιστου μήκους με την P, in λ = 98 nm και ισχύ εισόδου σήματος, για μήκος κύματος άντλησης P, in = 1μW. 4. Επίδραση της Ισχύος Άντλησης στο Κέρδος Ας εξετάσουμε τώρα την επίδραση που έχει η εισαγόμενη ισχύς άντλησης στο κέρδος, με τη βοήθεια πάντα κατάλληλων διαγραμμάτων. Όπως είναι φυσιολογικό, το τελικό κέρδος (στην έξοδο του ενισχυτή) αυξάνεται με την αύξηση της P, in. Η αύξηση είναι μεγάλη και σχεδόν γραμμική για μικρές τιμές της P, in. Στη συνέχεια ο ρυθμός αύξησης πέφτει, για να καταλήξουμε στα όρια κέρδους του ενισχυτή, όπου το G παραμένει ουσιαστικά σταθερό παρά την περαιτέρω αύξηση της. Αυτό συμβαίνει, γιατί για δεδομένο μήκος ίνας, ο ενισχυτής μπορεί να P, in εκμεταλλευτεί μέχρι μία δεδομένη τιμή ισχύος άντλησης. Περαιτέρω αύξησή της δεν έχει νόημα, εκτός αν αυξηθούν και τα περιθώρια εκμετάλλευσής της, δηλαδή το μήκος της ίνας. Η μεταβολή αυτή του κέρδους σε συνάρτηση με την αρχική ισχύ άντλησης (για δεδομένη αρχική ισχύ σήματος και συγκεκριμένο μήκος ίνας) απεικονίζεται στο Σχήμα 17 που ακολουθεί. 8

4 3 1 Gain (db) 1 3 4 5 1 15 Pum,in (mw) Σχ. 17 : Μεταβολή του κέρδους εξόδου με την ισχύ άντλησης, για P, = 1 μw και L = 1 m. in Στο Σχήμα 18 παρουσιάζεται ένα διάγραμμα αντίστοιχο με αυτό του προηγούμενου σχήματος, για διάφορες όμως τιμές μήκους ίνας του ενισχυτή. Εδώ γίνεται φανερό αυτό που τονίστηκε προηγουμένως. Για μεγαλύτερα μήκη ίνας, το κέρδος στην έξοδο προκύπτει μεγαλύτερο, ακολουθώντας βέβαια την ίδια εξέλιξη και τρόπο μεταβολής. Επίσης παρατηρούμε ότι για P, in 1 mw, το τελικά κέρδη για μήκη ίνας 1 και m είναι ουσιαστικά τα ίδια, αλλά σαφώς υψηλότερα από αυτό για L=5m. Κι αυτό, γιατί η διαφορά από τα 5 στα 1 μέτρα είναι απαραίτητη για την πλήρη εκμετάλλευση της ισχύος άντλησης. Αντίθετα, η διαφορά από τα 1 στα μέτρα δεν παίζει ρόλο, γιατί η P, είναι προφανώς πλέον αρκετά μεγάλη, ώστε να εξασφαλίζει τη μέγιστη δυνατή in πληθυσμιακή αντιστροφή σε όλο το μήκος της ίνας, οδηγώντας έτσι σε ένα μέγιστοσταθερό κέρδος. Αν βέβαια το μήκος της ίνας αυξηθεί αρκετά, τότε το τελικό κέρδος θα μειωθεί, γιατί η (αρχικά επαρκής) ισχύς άντλησης θα εξαντλείται πλέον νωρίτερα, με αποτέλεσμα η ισχύς εξόδου του σήματος να μειώνεται. 9

4 Gain (db) 4 6 L=5m L=1m L=m 8 5 1 15 Pum,in (mw) Σχ. 18 : Μεταβολή του κέρδους εξόδου με την ισχύ άντλησης, για σήμα P, = 1 μw και διάφορα μήκη L. in 4.3 Επίδραση της Ισχύος Σήματος - Κορεσμός του Κέρδους Εξετάζοντας το θέμα θεωρητικά, μπορούμε να υποθέσουμε πως μια ενδεχόμενη αύξηση της ισχύος του σήματος, θα έχει αρνητική επίπτωση στο κέρδος του ενισχυτή. Το γεγονός αυτό μπορεί να εξηγηθεί με βάση την εξής απλουστευτική λογική : αν η ισχύς του σήματός μας έχει μεγάλη αρχική τιμή (ή αν αποκτήσει τέτοια λόγω του κέρδους), τότε τα υπερβολικά πολλά πλέον φωτόνια σήματος θα εξαντλούν σαφώς γρηγορότερα την πληθυσμιακή αντιστροφή (ουσιαστικά δηλαδή την ισχύ άντλησης), γεγονός που θα οδηγήσει σε μικρότερο κέρδος στη συνέχεια. Για να καταστεί και οπτικά σαφές το φαινόμενο κορεσμού του κέρδους, παραθέτουμε το διάγραμμα του Σχήματος 19 με την επίδραση της αρχικής ισχύος σήματος σε αυτό. Από το σχήμα αυτό γίνεται όντως σαφές, ότι καθώς αυξάνουμε την αρχική ισχύ του σήματος, το κέρδος μειώνεται. Μάλιστα παρατηρούμε, πως για την ίδια ποσοστιαία αύξηση στην P, in (δεκαπλασιασμό), η μείωση του κέρδους δεν είναι πάντοτε η ίδια. Για σχετικά μεγάλες τιμές της P, in (πάνω από 1μW), έχουμε και μεγαλύτερη μείωση του G. 3

15 1 Pin=1nW Pin=5nW Pin=1µW Pin=1µW Pin=1µW Pin=1mW 5 Gain (db) 5 1 15 5 4 6 8 1 1 14 16 18 fiber length (m) Σχ. 19 : Μεταβολή του κέρδους για διάφορες τιμές P, in και P, in =5mW. Ακολουθούν δύο διαγράμματα του κέρδους σε άμεση συνάρτηση με την ισχύ εισόδου σήματος (Σχήμα ), και για διάφορα μήκη ίνας (Σχήματα 1 και ). Εδώ να τονιστεί, πως σε αυτά τα διαγράμματα, το μήκος της ίνας είναι το βέλτιστο, ώστε να απεικονίζεται το μέγιστο κέρδος σε κάθε περίπτωση. Πλέον, γίνεται πιο σαφής η αρνητική επίδραση που έχει η αύξηση της ίνας στο κέρδος. Τιμές της P, της τάξης των δεκάτων του mw, οι οποίες πάντως είναι πολύ in μεγάλες και δύσκολα απαντούνται στην πράξη, οδηγούν σε μη ικανοποιητικές τιμές κέρδους (G < 1 db). Τέλος, στα Σχήματα 1 και μπορούμε να δούμε το φαινόμενο κορεσμού παραμετροποιημένο και ως προς την αρχική ισχύ άντλησης. Τέτοια διαγράμματα είναι χρήσιμα για την επιλογή της απαιτούμενης ισχύος άντλησης, όταν είναι γνωστή η εισερχόμενη ισχύς σήματος, έτσι ώστε να αποκομίσουμε το επιθυμητό (μέγιστο) κέρδος απ τον ενισχυτή. Όπως ήταν αναμενόμενο, υψηλότερη ισχύς άντλησης αποδίδει και υψηλότερο κέρδος. Παρ όλα αυτά, ικανοποιητικές τιμές κέρδους (μεγαλύτερες από 1-15 db) είναι εφικτές για σχετικά χαμηλές τιμές αρχικής ισχύος σήματος (μέχρι περίπου 1 μw), γεγονός που απεικονίζεται καλύτερα στο Σχήμα. 31

18 16 maximum Gain (db) 14 1 1 8 6 4 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Pignal,in (µw) Σχ. : Μεταβολή του κέρδους με την αρχική ισχύ σήματος, P, =5mW ( L 7m). in ot 3 Pin=3mW,Lot=4.5m Pin=5mW,Lot=7m Pin=7mW,Lot=9.5m 5 maximum Gain (db) 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Pignal,in (µw) Σχ. 1 : Μεταβολή του κέρδους με την αρχική ισχύ σήματος. 3

3 Pin=3mW,Lot=4.5m Pin=5mW,Lot=7m Pin=7mW,Lot=9.5m 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 Σχ. : Λεπτομέρεια του σχ. 1 για P, in =[.1-μW]. 4.4 Εξάρτηση του Κέρδους από το Μήκος Κύματος Ως τώρα, για την εξαγωγή των διαγραμμάτων έγινε η υπόθεση ότι η άντληση γίνεται με ακτινοβολία μήκους κύματος 98nm, ενώ το σήμα μας είναι μονοχρωματικό φως μήκους κύματος 155nm. Οι τιμές αυτές προφανώς δεν είναι τυχαίες, αλλά έχουν επιλεγεί βάσει των φυσικών ιδιοτήτων και χαρακτηριστικών της (ντοπαρισμένης με Έρβιο) ίνας SiO, ώστε να μεγιστοποιηθεί η απόδοση του ενισχυτή. Διαφορετικό μήκος κύματος ακτινοβολίας (είτε άντλησης είτε σήματος) συνεπάγεται διαφορετικές διατομές απορρόφησης και εκπομπής, με αποτέλεσμα να μεταβάλλονται οι συντελεστές των εξισώσεων (κι όχι βέβαια η μορφή τους) και να προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματα. 33

4.4.1 Εξάρτηση από το Μήκος Κύματος Σήματος Αρχικά παρατίθεται το διάγραμμα του Σχήματος 3 της μεταβολής του κέρδους (στην έξοδο ενός EDFA μήκους 1 m) σε συνάρτηση με το μήκος κύματος. Στο σχήμα 3, το κέρδος είναι παραμετροποιημένο ως προς την αρχική ισχύ άντλησης. Η παράμετρος x είναι : x = P ( ) P, όπου : P = π Ω I (47) και παίρνει διάφορες τιμές, αντιπροσωπεύοντας ουσιαστικά τις διάφορες αρχικές τιμές ισχύος άντλησης. Από το σχήμα αυτό παρατηρούμε, ότι για δεδομένη τιμή της αρχικής ισχύος άντλησης (ή ισοδύναμα του x), η ίνα παρέχει ενίσχυση για μήκη κύματος μεγαλύτερα από μια συγκεκριμένη τιμή, και εξασθένιση για μήκη κύματος μικρότερα αυτής της τιμής. Συγκεκριμένα, για x = 1, η ίνα παρουσιάζει κέρδος για μήκη κύματος μεγαλύτερα των 1,54 μm. Ανάλογες οριακές τιμές υπάρχουν και για τις υπόλοιπες τιμές P, in, αλλά δεν είναι εμφανείς στο σχήμα, καθώς σε αυτό εμφανίζονται τιμές μηκών κύματος που μας ενδιαφέρουν (στη γειτονιά των 155 nm). 8 6 4 x=.5 x=1 x=1.5 x= x=5 x=1 x= x=3 x=5 Gain (db) 4 6 8 1.48 1.5 1.5 1.54 1.56 1.58 1.6 1.6 wavelength (µm) Σχ. 3 : Μεταβολή του κέρδους εξόδου με το μήκος κύματος σήματος ( =1μW. λ ), για L =1m και 34 P, in

Το φαινόμενο αυτό εξηγείται με βάση την ιδιότητα του Ερβίου να παρουσιάζει μεγαλύτερη απορρόφηση (από τη βασική στάθμη) σε χαμηλότερα μήκη κύματος, και μεγαλύτερη εκπομπή σε υψηλότερα μήκη κύματος. Η ιδιότητα αυτή είναι εμφανής στο Σχήμα 4 που παρατέθηκε στη παράγραφο 3.1. Εξάλλου, όπως φαίνεται στο σχήμα 3, για χαμηλές τιμές της ισχύος άντλησης (δηλαδή x=.5,1,1.5,,5) δε δημιουργείται η απαραίτητη πληθυσμιακή αντιστροφή και η ίνα εξασθενεί το σήμα, αντί να το ενισχύει, μιας και οι απορροφήσεις φωτονίων σήματος είναι περισσότερες από τις εξαναγκασμένες επιθυμητές εκπομπές. Παρατηρείται επίσης, ότι εκτός από ένα μέγιστο γύρω στα 153 nm, το κέρδος είναι αρκετά υψηλό (και σχεδόν σταθερό) για ένα εύρος μηκών κύματος περίπου nm, στην περιοχή από 1535 nm έως 1555 nm. Το γεγονός αυτό καθιστά τον EDFA ικανό να ενισχύει ταυτόχρονα αρκετά σήματα σε ένα εύρος ζώνης περίπου nm. Συνυπολογίζοντας και την ιδιότητα των ελάχιστων απωλειών στη γειτονιά των 155 nm, γίνεται απολύτως κατανοητή η χρήση αυτών των μηκών κύματος στις οπτικές επικοινωνίες, ως φερόντων σήματος. Οι διατομές απορρόφησης και εκπομπής μιας τυπικής ίνας Ερβίου για τα διάφορα μήκη κύματος, σ a και σ e αντίστοιχα, προέκυψαν από τη σχετική βιβλιογραφία, είναι οι ίδιες με αυτές που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή του σχήματος 4 και δίνονται στον πίνακα 1. 4.4. Εξάρτηση από το Μήκος Κύματος Άντλησης Ακολουθεί στο Σχήμα 4 το διάγραμμα μεταβολής του μεγίστου κέρδους ενός EDFA με το μήκος κύματος της άντλησης. Η εφαρμογή έγινε για τα εξής πέντε, συνηθισμένα στην περίπτωση του EDFA, μήκη κύματος : λ = 53, 664, 87, 98 και 148 nm. Παρατηρείται ότι η άντληση μήκους κύματος 98 nm είναι η πλέον αποτελεσματική, ενώ ακολουθούν κατά σειρά αυτές στα 148, 664, 53 και 87 nm αντίστοιχα. Κι αυτό γιατί, για τις ίδιες αρχικές τιμές ισχύος άντλησης, δίνει μεγαλύτερο μέγιστο κέρδος. Με άλλα λόγια, η άντληση στα 98 nm παρέχει τη μέγιστη αποδοτικότητα κέρδους (gain efficiency), γεγονός που την καθιστά ως την πλέον χρησιμοποιούμενη στην πράξη. Εκτός αυτού, παρατηρούμε ότι παρέχει ενίσχυση του σήματος (δηλαδή G ) για μικρότερες τιμές ισχύος άντλησης. Σημαντικό είναι επίσης το γεγονός, πως η άντληση στα 8 nm (ή και σε μικρότερα μήκη κύματος) μπορεί να διεγείρει τα ιόντα Ερβίου της ενεργειακής στάθμης και να τα οδηγήσει σε υψηλότερα επίπεδα, επηρεάζοντας έτσι άμεσα την πληθυσμιακή αντιστροφή και μειώνοντας το κέρδος. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως απορρόφηση διεγερμένης κατάστασης (excited tate abortion - ESA) και, λόγω της της διάρθρωσης των ενεργειακών επιπέδων του Ερβίου, δεν παρουσιάζεται στις ζώνες άντλησης των 98 και 148 nm. Συνεπώς, η άντληση στα 148 nm χρησιμοποιείται κι αυτή αρκετά συχνά, ενώ οι υπόλοιπες τρεις σπανιότερα. 35

7 6 98nm 148nm 664nm 53nm 87nm 5 Gain (db) 4 3 1 4 6 8 1 1 14 16 18 P,in (mw) Σχ. 4 : Μεταβολή του μέγιστου κέρδους με την ισχύ άντλησης, για διάφορα μήκη κύματος λ και ισχύ σήματος P, = 1μW. Για την εξαγωγή του Σχήματος 4, χρησιμοποιήθηκε το ζεύγος εξισώσεων μικρού σήματος, θεωρήθηκε είσοδος σήματος 1μW, ενώ οι τιμές του κέρδους είναι οι μέγιστες για κάθε ζεύγος P, in και λ. Οι διατομές απορρόφησης για τα διάφορα μήκη κύματος προήλθαν από τη βιβλιογραφία και είναι οι εξής : in λ (nm) 53 664 87 98 148 σ a ( 1-5 m ).35.57.1.17 1. Πιν. : Διατομές απορρόφησης της ίνας Ερβίου για διάφορα μήκη κύματος άντληση 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΔΟΣΗΣ Σε αυτό το κεφάλαιο, σκοπός μας είναι η εξαγωγή εξισώσεων για την περιγραφή του ενισχυτή Ερβίου, οι οποίες θα επιδέχονται αναλυτικής λύσης με κάποια τεχνική (πχ με τη μέθοδο Newton-Rahon). 5.1 Υπολογισμός Γενικών Εξισώσεων Διάδοσης Η ανάλυση ξεκινά, υπολογίζοντας το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού ιόντων Ερβίου στην ενεργειακή στάθμη E, θεωρώντας τόσο εξαναγκασμένη εκπομπή, όσο και αυθόρμητη, καθώς και απορρόφηση από τη στάθμη E 1. Επίσης, θεωρούμε αρχικά τη διάδοση διαφορετικών κυμάτων μέσα στην ίνα. Στη συνέχεια θα περιορίσουμε τη μελέτη στη συνηθισμένη περίπτωση των δύο κυμάτων, άντλησης και σήματος. Συνεπώς, έχουμε : όπου : dn dt i = P i σ P i σ N hf hf τ a e N1 N (48) I ( r, φ, z) = (49) P ( z) και : N r, ϕ, z) = N ( r, ϕ, z) + N ( r, ϕ, ) (5) ( 1 z χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες. Δύο βασικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν την ίνα, είναι τα φάσματα απορρόφησης και εκπομπής, α και g αντίστοιχα. Αυτά ορίζονται ως εξής : a g = σ i ( r, φ) N( r, φ, z rdrdφ (51) a ) = σ i ( r, φ) N( r, φ, z rdrdφ (5) e ) Αν και πάλι κάνουμε τη λογική υπόθεση της ομοιόμορφης συγκέντρωσης των ιόντων σε ένα δίσκο ακτίνας b, οι (51) και (5) παίρνουν τη μορφή : a g = σ Γ N (53) a = σ Γ N (54) e 37

Ο όρος Γ που υπεισέρχεται στις εξισώσεις (53) και (54), είναι το λεγόμενο ολοκλήρωμα επικάλυψης μεταξύ του υλικού ντοπαρίσματος και των διαδιδόμενων οπτικών ρυθμών, και ορίζεται ως : Γ = i ( r, φ) rdrdφ (55) Χρησιμοποιώντας αυτές τις παραμέτρους, προκύπτει η εξίσωση διάδοσης για τις ισχείς : dp dz dp dz = σ a = e Γ + g i ( r, φ) N P ( r, φ, z) rdrdφ( P + mhf N ( r, φ, z) i rdrdφ ( a N + l Δf ) σ a g ) P + Γg i ( r, φ) N mhf Δf 1 ( r, φ, z) rdrdφp κ N ( r, φ, z) i rdrdφ N (56) Στην εξίσωση διάδοσης (56) έχει προστεθεί κι ένας επιπλέον όρος απωλειών της ίνας ( l ), ο οποίος μπορεί να είναι σημαντικός σε ίνες με υψηλά επίπεδα υδάτινου περιεχομένου, καθώς και σε ίνες με ελαφρύ ντοπάρισμα που χρησιμοποιούνται ως διανεμημένοι ενισχυτές. Ο όρος mhf Δf αντιπροσωπεύει την αυθόρμητη εκπομπή φωτονίων από τη στάθμη, η οποία ενισχύεται μαζί με το σήμα και αποτελεί τον θόρυβο ASE του ενισχυτή. Ο συντελεστής m εκφράζει τον αριθμό των διαδιδόμενων ρυθμών (συνήθως m=). Το ισοδύναμο εύρος ζώνης θορύβου Δ f παίρνει συνήθως τιμές στο διάστημα - Ghz, ανάλογα με τη σύνθεση της ίνας και τις συνθήκες λειτουργίας. Στη δική μας μελέτη, θα θεωρήσουμε αμελητέες απώλειες και χαμηλά επίπεδα αυθόρμητης εκπομπής, αγνοώντας έτσι τους δύο αυτούς όρους. Κάνοντας τώρα την υπόθεση ότι η διανομή των ιόντων Ερβίου είναι ακτινικά συμμετρική και μονότονα φθίνουσα από r =, η ισοδύναμη ακτίνα της περιοχής ντοπαρίσματος είναι : N( r) N() b eff =.5 rdrdφ (57) ενώ η μέση πυκνότητα είναι : N( r, φ, z) rdrdφ N i ( z) = (58) πb eff για τις στάθμες 1-, αλλά και για το συνολικό πληθυσμό ιόντων. 38