ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΕΣ ΖΩΗΣ ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΑ ΚΕΡ Η ΤΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Ιωάννης Ηλία Τσίγκανος ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής του Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Συµπληρωµατικής Ειδίκευσης στη Στατιστική Μερικής Παρακολούθησης (Part-time) Αθήνα Ιούλιος 2013

Στη µητέρα µου

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ τον Καθηγητή κ. Νικόλαο Φράγκο για το ενδιαφέρον που επέδειξε και τη σηµαντική βοήθεια που µου προσέφερε, τον κ. Βασίλειο Νικολαρόπουλο, στέλεχος της ασφαλιστικής εταιρείας Ευρωπαϊκή Ένωση Α.Ε.Γ.Α. - ΑΣΦΑΛ. ΜΙΝΕΤΤΑ, για τα στοιχεία που µου προσέφερε για την εκπόνηση της παρούσης ιπλωµατικής Εργασίας. I

ΙI

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµάζοµαι Ιωάννης Τσίγκανος, είµαι απόφοιτος της σχολής Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου, µε έδρα το Καρλόβασι της Σάµου. Συνεχίζω µε µεταπτυχιακές σπουδές στο Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών, στο Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Ειδίκευσης στη Στατιστική «Στατιστικές Μέθοδοι στη ιαχείριση Ασφαλιστικών Οργανισµών», στο οποίο εκκρεµεί η παρούσα ιπλωµατική Εργασία. Αφού εκπλήρωσα τις στρατιωτικές µου υποχρεώσεις, τα τελευταία δύο (2) χρόνια εργάζοµαι στο λογιστήριο του νοσοκοµείου Υγεία. III

IV

ABSTRACT Tsigkanos Ioannis LIFE INSURANCES WITH PARTICIPATION IN INVESTMENT RETURNS FROM INSURANCE COMPANY ACTUARIAL RESERVES July 2013 This Postgraduate Paper describes the phenomenon of mortality with the indices related thereto and subsequently defines survivorship tables, providing detailed data on the various types and their correlations (Chapter 2). Subsequently we will eamine life annuities with fied annual payments, such as the whole life annuity-immediate a and the whole life annuity-due a&&, but also the temporary n year term annuity-due a&& and the temporary n year term annuity-immediate n : n : a (Chapter 3). In the same chapter we will describe the survivorship insurance A 1 but also life insurances payable at the end of the year of death, such as the whole life annuity payable at end of year of death A and the temporary n year term insurance payable at end of year of deatha 1:. Chapter 3 is completed with the n year term mied insurance A. In the n : n following chapters (Chapters 4-5) a computation is made of specific premiums, reserves and dividends, while Chapter 6 presents the applications in insurance programmes. n : V

VI

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τσίγκανος Ιωάννης ΑΣΦΑΛΕΙΕΣ ΖΩΗΣ ΜΕ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΑ ΚΕΡ Η ΤΩΝ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΘΕΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Ιούλιος 2013 Στην παρούσα Μεταπτυχιακή Εργασία περιγράφουµε το φαινόµενο της θνησιµότητας µε τους αντίστοιχους δείκτες της και έπειτα ορίζουµε τους πίνακες επιβίωσης, δίνοντας αναλυτικά στοιχεία για τα είδη και τις συναρτήσεις τους (Κεφάλαιο 2). Στη συνέχεια θα µελετήσουµε ράντες ζωής µε ετήσιες πληρωµές σταθερού ύψους, όπως την ισόβια ληξιπρόθεσµη Ράντα a και την ισόβια προκαταβλητέα Ράνταa&&, αλλά και την πρόσκαιρη διάρκειας n-ετών προκαταβλητέα ράντα a&&, την πρόσκαιρη διάρκειας n-ετών ληξιπρόθεσµη ράντα a (Κεφάλαιο 3). n : n : Στο ίδιο κεφάλαιο θα περιγράψουµε την ασφάλεια επιβίωσηςa 1 αλλά και ασφάλειες ζωής πληρωτέες στο τέλος του έτους του θανάτου, όπως είναι η ισόβια ράντα ζωής πληρωτέα στο τέλος του θανάτουa και η πρόσκαιρη ασφάλεια διάρκειας n-ετών πληρωτέα στο τέλος του θανάτουa 1:. Το 3 ο κεφάλαιο ολοκληρώνεται µε την µικτή n ασφάλεια διάρκειας n-ετών A. Στα επόµενα δύο κεφάλαια (Κεφάλαια 4-5) γίνεται n : ο υπολογισµός συγκεκριµένων ασφαλίστρων, αποθεµατικών και µερισµάτων, ενώ στο 6 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι εφαρµογές σε ασφαλιστικά προγράµµατα. n : VII

VIII

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα 1.Εισαγωγή... 1-8 1.1 Ασφάλειες ζωής και επιβίωσης... 2 1.2 Ράντες... 5 2. Θεωρία θνησιµότητας....9-16 2.1 Το φαινόµενο της θνησιµότητας... 9 2.2 είκτες θνησιµότητας... 10 2.3 Ορισµός, είδη και συναρτήσεις πινάκων επιβίωσης... 13 2.4 Κατασκευή πινάκων επιβίωσης... 15 2.5 Αναλογιστικοί Πίνακες Συναρτήσεις Μετατροπής... 16 3. Ράντες ζωής Ασφάλειες ζωής... 17-22 3.1 Ενδεχόµενα επιβίωσης... 17 3.2 Ράντες ζωής µε ετήσιες πληρωµές σταθερού ύψους... 3.2.1 Ισόβια Ληξιπρόθεσµη Ράντα a... 17 3.2.2 Ισόβια Προκαταβλητέα Ράντα a&&... 18 3.2.3 Πρόσκαιρη ιάρκειας n-ετών προκαταβλητέα ράντα a&&... 19 n : 3.2.4 Πρόσκαιρη ιάρκειας n-ετών ληξιπρόθεσµη ράντα a... 20 n : 3.3 Ασφάλεια Επιβίωσης Ασφάλειες ζωής... 3.3.1 Ασφάλεια Επιβίωσης A 1... 20 n : 3.3.2 Ασφάλειες ζωής πληρωτέες στο τέλος του έτους του θανάτου... 3.3.2.1 Ισόβια Ράντα Ζωής πληρωτέα στο τέλος του θανάτου A... 21 3.3.2.2 Πρόσκαιρη ασφάλεια Ζωής διάρκειας n-ετών πληρωτέα στο τέλος του θανάτου A 1... 21 n : 3.3.2.3 Μικτή ασφάλεια διάρκειας n-ετών A... 22 n : 4.Ασφάλιστρα... 23-26 4.1 Καθαρά Ασφάλιστρα... 4.1.1. Καθαρό ασφάλιστρο ισόβιας ασφάλισης P... 23 4.1.2. Καθαρό ασφάλιστρο πρόσκαιρης ασφάλισης επιβίωσης n-ετών P 1. 23 4.1.3. Καθαρό ασφάλιστρο πρόσκαιρης ασφάλισης ζωής n-ετών P 1... 24 n : 4.1.4. Καθαρό ασφάλιστρο µικτής ασφάλισης n ετών P 24 n : 4.2 Εµπορικά Ασφάλιστρα... 24 n : IX

5.Αποθεµατικά-Συµµετοχή στα κέρδη... 27-33 5.1. Η έννοια του αποθεµατικού... 27 5.2. Προοπτική µέθοδος... 27 5.3. Αναδροµική µέθοδος... 28 5.4. ιαδοχικά αποθεµατικά... 28 5.5. Αποθεµατικά ασφαλίσεων ζωής µε συµµετοχή στα κέρδη... 31 6. Εφαρµογές σε ασφαλιστικά προγράµµατα... 33-37 6.1 Ισόβια ασφάλιση ζωής για άτοµα ηλικίας 30, 40 και 50 ετών... 33 6.2 Πρόσκαιρη ασφάλιση ζωής διάρκειας 20 ετών για άτοµα ηλικίας 30, 40 και 50 ετών... 34 6.3 Πρόσκαιρη ασφάλιση επιβίωσης διάρκειας 20 ετών για άτοµα ηλικίας 30, 40 και 50 ετών... 35 6.4 Μικτή ασφάλιση διάρκειας 20 ετών για άτοµα ηλικίας 30, 40 και 50 ετών..... 36 7. Βιβλιογραφία... 39 X

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας Σελίδα ΠΙΝΑΚΑΣ 1....41 Συναρτήσεις του πίνακα θνησιµότητας και συναρτήσεις µετατροπής µε εγγυηµένο επιτόκιο i= 3,35% ΠΙΝΑΚΑΣ 2....43 Μαθηµατικό απόθεµα ισόβιας ασφάλισης ζωής ΠΙΝΑΚΑΣ 3....47 Μερίσµατα για ισόβια ασφάλιση ζωής.... ΠΙΝΑΚΑΣ 4....52 Μαθηµατικό απόθεµα πρόσκαιρης ασφάλισης ζωής.. ΠΙΝΑΚΑΣ 5....54 Μερίσµατα για πρόσκαιρη ασφάλιση ζωής..... ΠΙΝΑΚΑΣ 6....56 Μαθηµατικό απόθεµα πρόσκαιρης ασφάλισης επιβίωσης....... ΠΙΝΑΚΑΣ 7....57 Μερίσµατα για πρόσκαιρη ασφάλιση επιβίωσης.... ΠΙΝΑΚΑΣ 8....59 Μαθηµατικό απόθεµα µικτής ασφάλισης....... ΠΙΝΑΚΑΣ 9....61 Μερίσµατα για µικτή ασφάλιση...... XI

XII

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Γράφηµα Σελίδα ΓΡΑΦΗΜΑ 1.. 63 Μαθηµατικό απόθεµα ισόβιας ασφάλισης ζωής ΓΡΑΦΗΜΑ 2.. 64 Μερίσµατα για ισόβια ασφάλιση ζωής.... ΓΡΑΦΗΜΑ 3.. 66 Μαθηµατικό απόθεµα πρόσκαιρης ασφάλισης ζωής.. ΓΡΑΦΗΜΑ 4.. 67 Μερίσµατα για πρόσκαιρη ασφάλιση ζωής..... ΓΡΑΦΗΜΑ 5.. 68 Μαθηµατικό απόθεµα πρόσκαιρης ασφάλισης επιβίωσης....... ΓΡΑΦΗΜΑ 6.. 69 Μερίσµατα για πρόσκαιρη ασφάλιση επιβίωσης.... ΓΡΑΦΗΜΑ 7.. 70 Μαθηµατικό απόθεµα µικτής ασφάλισης....... ΓΡΑΦΗΜΑ 8.. 71 Μερίσµατα για µικτή ασφάλιση....... XIII

XIV

1. Εισαγωγή Το κόστος των παραδοσιακών ασφαλιστικών προϊόντων που συνδυάζουν ταυτόχρονα ασφάλιση και επένδυση, καθώς και οι µικρές αποδόσεις που εξασφαλίζουν, είναι δύο από τα σηµαντικότερα θέµατα για τα οποία τα ασφαλιστικά προϊόντα έχουν δεχτεί έντονη κριτική τα τελευταία κυρίως χρόνια. Μάλιστα, η κριτική αυτή έχει ιδιαίτερη σηµασία, δεδοµένου ότι τα συγκεκριµένα προϊόντα είναι αρκετά δηµοφιλή ανάµεσα στις αναπτυγµένες χώρες του κόσµου. Η µεγάλη εξέλιξη που διαδραµατίστηκε στις περίπλοκες υπολογιστικές τεχνικές, συνέβαλε στη δηµιουργία σύγχρονων ασφαλιστήριων συµβολαίων. Γενικά, αποτελεί κοινή παραδοχή, ότι ο σχεδιασµός των ασφαλιστικών προϊόντων ζωής έχει αλλάξει και έχουν αναπτυχθεί νέα προϊόντα. Η ανάπτυξη της µαθηµατικής θεωρίας για τα δικαιώµατα προαίρεσης (options), δηµιούργησε νέα δεδοµένα στο χρηµατοοικονοµικό πεδίο. Από την πλευρά τους οι αναλογιστές αφού αντιλήφθηκαν τη σηµαντικότητα αυτών των µεθόδων για τη διαχείριση του κινδύνου, προσπάθησαν να εφαρµόσουν τεχνικές που συνδυάζουν νέες και παλαιότερες επιστηµονικές τεχνικές. Η ανάγκη για αυτές τις αλλαγές, προήλθε και µέσα από το αυξηµένο ενδιαφέρον των ασφαλιστικών εταιριών για την προσφορά προϊόντων που συνδυάζουν ασφάλιση και επένδυση. Άλλωστε, η έννοια της επένδυσης αποτελεί κύριο χαρακτηριστικό των σύγχρονων ασφαλιστικών προϊόντων. Οι συµβαλλόµενοι, που έχουν πλέον το ρόλο και του επενδυτή, εµφανίζονται περισσότερο ενηµερωµένοι για τις εξελίξεις και απαιτούν ευελιξία και τη δυνατότητα πολλών επιλογών στα συµβόλαιά τους. Έτσι, οι ασφαλιστικές εταιρίες αξιοποιώντας τα ισχυρά υπολογιστικά µέσα που έχουν εµφανιστεί τα τελευταία χρόνια, προσφέρουν πιο σύνθετα αλλά και πιο ανταγωνιστικά προϊόντα, προκειµένου να αυξήσουν το µερίδιο που κατέχουν στην ασφαλιστική αγορά. Οι χρηµατοοικονοµικές εγγυήσεις είναι µία από τις βασικές παροχές που παρέχουν στους πελάτες τους. Η σύγκλιση που υπάρχει ανάµεσα στον χρηµατοοικονοµικό και τον ασφαλιστικό κλάδο, εξαιτίας του µεγάλου ανταγωνισµού, προσέφερε µια σειρά από καινοτοµίες στον τελευταίο. Ένα τέτοιο παράδειγµα είναι τα συµβόλαια που συνδέονται µε δείκτες µετοχών µε εγγυήσεις ελάχιστου κεφαλαίου στη λήξη, τα οποία επιτρέπουν στους συµβαλλόµενους να επωφελούνται από τις υψηλές αποδόσεις στις χρηµαταγορές, χωρίς να αναλαµβάνουν όλον τον κίνδυνο που συνδέεται µε αυτές. Απόρροια αυτής της εξέλιξης είναι το µεγάλο πρόβληµα µε το οποίο έρχονται συχνά αντιµέτωποι οι αναλογιστές και δεν είναι άλλο από την επαρκή εκτίµηση της αξίας των εγγυήσεων, που λαµβάνουν συνήθως τη µορφή χρηµατοοικονοµικών δικαιωµάτων και την αναγκαιότητα της επιλογής των καταλληλότερων στρατηγικών αντιστάθµισης κινδύνου για αυτές. Εποµένως, ο συγκερασµός των αποτελεσµάτων που προέρχονται από την επιστήµη των χρηµατοοικονοµικών µε τις παραδοσιακές αναλογιστικές τεχνικές είναι πολύ σηµαντικός. Στο πλαίσιο αυτής της εργασίας θα παρουσιάσουµε έννοιες που σχετίζονται µε συγκεκριµένες ασφάλειες ζωής και 1

επιβίωσης. Στις δύο υποενότητες που ακολουθούν περιγράφουµε συνοπτικά ορισµένες εισαγωγικές έννοιες που θα µας απασχολήσουν στο υπόλοιπο µέρος της εργασίας και που σχετίζονται µε τις ασφαλίσεις ζωής και επιβίωσης, όπως επίσης και τις ράντες. 1.1 Ασφάλειες ζωής και επιβίωσης Οι ασφάλειες ζωής και επιβίωσης αποτελούν µία συναλλαγή στην οποία ένας ασφαλισµένος ενδέχεται να λάβει µία πληρωµή από την ασφαλιστική εταιρία ως αντάλλαγµα του ασφαλίστρου που πληρώνει για ορισµένο χρόνο. Αυτή η πληρωµή εξαρτάται από την επιβίωση ή τον θάνατο ή την κατάσταση της υγείας του ασφαλισµένου. Σε περίπτωση θανάτου του ασφαλισµένου, υπάρχει η δυνατότητα ώστε αυτή η προστασία να µεταφερθεί σε κάποιο από τα µέλη της οικογένειας του ασφαλισµένου. Τέσσερις είναι οι βασικές ασφάλειες που µπορούν να προσφέρουν, ανάλογα και µε τις προσωπικές ανάγκες του κάθε ασφαλισµένου, προστασία σε περίπτωση θανάτου ή δυνατότητα αποταµίευσης: Πρόσκαιρη ασφάλιση Ισόβια ασφάλιση Μικτή ασφάλιση Ασφάλιση επιβίωσης Απλή ή πρόσκαιρη ασφάλιση ζωής Αποτελεί την απλούστερη µορφή ασφάλισης καθώς δεν έχει αξία εξαγοράς ή αποταµιευτικά στοιχεία, κι έχει µικρό σχετικά κόστος. Προσφέρει κάλυψη στους δικαιούχους σε περίπτωση θανάτου του ασφαλισµένου από ατύχηµα ή ασθένεια. Αυτή η προστασία έχει προσωρινό χαρακτήρα που ισχύει για συγκεκριµένη χρονική περίοδο ή µέχρι κάποια ηλικία. Τα πληρωτέα ασφάλιστρα στη διάρκεια της περιόδου είναι σταθερά και αυξάνουν µόνο στις ανανεώσεις. Εάν ο ασφαλισµένος ζει στη λήξη της περιόδου ασφάλισης, η ασφαλιστική εταιρία δεν έχει άλλες υποχρεώσεις. Αυτός ο τύπος της ασφάλισης επιλέγεται κυρίως από άτοµα µε περιορισµένο εισόδηµα, ή όταν η ανάγκη για προστασία είναι προσωρινή. Αφορά οικογενειάρχες που επιθυµούν να καλύψουν τα µέλη της οικογένειάς τους σε περίπτωση που οι ίδιοι αποβιώσουν, αλλά και άτοµα που θέλουν να εξασφαλίσουν σε κάθε περίπτωση κάποιες οικονοµικές υποχρεώσεις που έχουν αναλάβει εν ζωή, όπως είναι η αποπληρωµή ενός δανείου. Οι κύριες κατηγορίες της απλής ασφάλισης είναι οι εξής: Ετησίως ανανεούµενη ή / και µετατρέψιµη Φθίνουσα Οµαδική 2

Με επιστροφή ασφαλίστρου Ετησίως ανανεούµενη απλή ασφάλιση ζωής Εκδίδεται για περίοδο ενός έτους και παρέχει τη δυνατότητα ετήσιας διαδοχικής ανανέωσης από τον ασφαλισµένο, για ορισµένη ηλικία, χωρίς αποδεικτικά ασφαλισιµότητας. Τα ασφάλιστρα είναι αυξανόµενα µε την αύξηση της ηλικίας του ασφαλισµένου και επίσης επιτρέπεται η µετατροπή σε αποταµιευτική ασφάλιση. Η ηλικία είναι το βασικό κριτήριο για τις αντεπιλογές των ασφαλιστικών εταιριών. Καθώς η ηλικία του ασφαλισµένου αυξάνεται, τα ασφάλιστρα γίνονται όλο και πιο δαπανηρά. Για παράδειγµα, για έναν ασφαλισµένο ηλικίας 70 ετών είναι σχεδόν απαγορευτικό να καλύψει το ύψος των απαιτούµενων ασφαλίστρων. Εποµένως, αυτού του είδους η ασφάλιση λειτουργεί αποτελεσµατικά σε νεότερες ηλικίες και δεν είναι κατάλληλη για ισόβια προστασία. Φθίνουσα απλή ασφάλιση Σε αυτή την ασφάλιση το ασφαλισµένο κεφάλαιο και τα ασφάλιστρα µειώνονται (φθίνουν) σταδιακά στη διάρκεια του συµβολαίου. Σε ορισµένες περιπτώσεις όπου η περίοδος της ασφάλισης βρίσκεται προς το τέλος της και το ασφαλισµένο κεφάλαιο έχει µειωθεί αισθητά, ο συµβαλλόµενος δε χρειάζεται να καταβάλλει άλλα ασφάλιστρα. ηλαδή, µπορεί η διάρκεια της ασφάλισης να είναι για 25 χρόνια αλλά η περίοδος καταβολής των ασφαλίστρων να είναι για 20 χρόνια. Αυτή η ασφάλιση επιλέγεται συχνά σε συνδυασµό µε ένα στεγαστικό δάνειο, προκειµένου το υπολειπόµενο ποσό του δανείου να αποπληρωθεί από την αποζηµίωση της απλής ασφάλισης, εφόσον ο ασφαλισµένος αποβιώσει. Οµαδική απλή ασφάλιση ζωής Στο συµβόλαιο αυτού του είδους της ασφάλισης συµβαλλόµενος συνήθως είναι ο εργοδότης (employee benefits), που πληρώνει κάποιο µέρος ή το σύνολο του κόστους, ενώ τα διαχειριστικά έξοδα του προγράµµατος µειώνονται λόγω οικονοµίας κλίµακας. Η ασφάλιση αφορά συνολικά µια οµάδα κι όχι κάθε µεµονωµένο µέλος της. Η θνησιµότητα αυτής της οµάδας πρέπει να είναι θετική, µε την υιοθέτηση βασικών αρχών ανάληψης κινδύνων (underwriting), ενώ η τιµολόγηση γίνεται µε εµπειρικό τρόπο. Σε περίπτωση απόλυσης ή παραίτησης του εργαζοµένου, η ασφάλιση παύει να ισχύει, αλλά υπάρχει το δικαίωµα µετατροπής της από οµαδική σε ατοµική, χωρίς της προσκόµιση αποδεικτικών ασφαλισιµότητας. Τέλος, προβλέπεται η δυνατότητα κάλυψης των εξαρτωµένων µελών του εργαζοµένου, συνήθως µε δικό του κόστος. Απλή ασφάλιση ζωής µε επιστροφή ασφαλίστρου Οι πιο πολλές µορφές απλής ασφάλισης δεν περιλαµβάνουν την επιστροφή του ασφαλισµένου κεφαλαίου στη λήξη της ασφάλισης και σε περίπτωση που δεν έχει 3

επέλθει ο κίνδυνος. Αντίθετα, η απλή ασφάλιση ζωής µε επιστροφή ασφαλίστρου περιέχει αυτήν τη δυνατότητα. Το ασφάλιστρο είναι υψηλότερο σε σχέση µε τις άλλες µορφές ασφαλίσεων αυτής της κατηγορίας και αν το ασφαλιστήριο δεν ακυρωθεί πριν από τη λήξη του, τότε το ασφάλιστρο επιστρέφεται, είτε ολόκληρο είτε µερικώς, και εφόσον ο ασφαλισµένος βρίσκεται στη ζωή. Ισόβια ασφάλιση Η ισόβια ασφάλιση δηµιουργήθηκε µε σκοπό κυρίως τις µεγαλύτερες ηλικίες (άνω των 65), προκειµένου να καλύπτει τους δικαιούχους σε περίπτωση θανάτου του ασφαλισµένου από ατύχηµα ή από ασθένεια. Αυτό εξυπηρετεί αρκετά τους δικαιούχους, δεδοµένου ότι ο ασφαλισµένος εάν φύγει από τη ζωή πριν τα 100, ενδέχεται να καταβάλουν χρήµατα για φόρους κληρονοµιάς ή άλλες οικονοµικές υποχρεώσεις. Βέβαια, εάν ο ασφαλισµένος ζει στα 100 έτη, τότε καταβάλλεται το ασφάλισµα στον ίδιο. Όσον αφορά το ύψος των ασφαλίστρων, στην αρχή αυτό είναι υψηλότερο, δηµιουργώντας το νόµιµο απόθεµα και στη συνέχεια χαµηλότερο. Η ισόβια ασφάλιση παρέχει επιπλέον τη δυνατότητα δηµιουργίας αποταµιευτικού λογαριασµού που µπορεί να εξαγοραστεί ή να δανειστεί. Η υπερχρέωση στα ασφάλιστρα τα πρώτα χρόνια του συµβολαίου καθορίζουν και την αξία εξαγοράς. Πάντως, η αξία εξαγοράς είναι µικρή τα πρώτα χρόνια και αυξάνει αρκετά τα επόµενα. Ισόβια ασφάλιση περιορισµένων καταβολών Το χαρακτηριστικό αυτής της ασφάλισης είναι ότι τα ασφάλιστρα είναι σταθερά, καταβάλλονται για συγκεκριµένη περίοδο και ο ασφαλισµένους απολαµβάνει προστασία για όλη τη διάρκεια της ζωής του. Μία µέση ισόβια ασφάλιση περιορισµένων καταβολών, έχει περιορισµένη περίοδο πληρωµής ασφαλίστρων 10, 20, 25 ή 30 ετών ή έχει λήξη στα 65 ή 70 έτη. Μετά το τέλος αυτής της χρονικής περιόδου το συµβόλαιο είναι ελεύθερο περαιτέρω καταβολών (paid-up), δηλαδή δεν απαιτείται η καταβολή άλλων ασφαλίστρων. Εδώ η αξία εξαγοράς είναι υψηλότερη καθώς και τα ασφάλιστρα είναι ακριβότερα. Μικτή ασφάλιση Αποτελεί την τρίτη βασική µορφή ασφάλισης. Το ασφαλισµένο κεφάλαιο καταβάλλεται είτε στους δικαιούχους, εάν ο ασφαλισµένος έχει αποβιώσει µέσα σε συγκεκριµένη χρονική περίοδο, είτε στον ίδιο τον ασφαλισµένο, εφόσον βρίσκεται στη ζωή µετά τη λήξη της περιόδου. Η παροχή συνδυάζει την παροχή µίας πρόσκαιρης ασφάλισης και µίας παροχής αποταµιευτικού χαρακτήρα. Το συσσωρευµένο αποταµιευτικό ποσό είναι ο λόγος ύπαρξης της συγκεκριµένης ασφάλισης, το οποίο ο ασφαλισµένος σκοπεύει να το προσφέρει στην οικογένειά του, σε περίπτωση που φύγει ο ίδιος από τη ζωή. Παρόλο που παλαιότερα η µικτή ασφάλιση ήταν µία από τις δηµοφιλέστερες ασφαλίσεις, λόγω του επενδυτικού της χαρακτήρα, σήµερα η ζήτηση έχει µειωθεί αρκετά σε παγκόσµιο επίπεδο, λόγω των 4

µεγάλων εξόδων που υπάρχουν στην ασφάλιση αυτή. Η αποζηµίωση µπορεί να πάρει τη µορφή ισόβιας µηνιαίας σύνταξης ή σύνταξης εγγυηµένης περιόδου, κατά τη διάρκεια της οποίας οι πληρωµές καταβάλλονται είτε στον ίδιο τον ίδιο τον ασφαλισµένο, είτε στους δικαιούχους του, εάν ο ασφαλισµένος δεν βρίσκεται στη ζωή. Μετά το πέρας της εγγυηµένης περιόδου, ο ασφαλισµένος εφόσον επιβιώσει, συνεχίζει να λαµβάνει το ίδιο ποσό σύνταξης όσο βρίσκεται στη ζωή. Ασφάλιση επιβίωσης Η αποταµίευση χρηµάτων καθ όλη τη διάρκεια ζωής του ανθρώπου στοχεύει σε µια µετέπειτα οικονοµική εξασφάλιση κατά τη διάρκεια της συνταξιοδότησης. Τα χρήµατα αυτά συγκεντρώνονται είτε µέσω αποταµίευσης, είτε µέσω της συµµετοχής σε κάποιο πρόγραµµα συνταξιοδότησης. Η ανάγκη για παροχή σύνταξης και για τη δηµιουργία συγκεκριµένων προγραµµάτων επένδυσης που βασίζονται στις ασφαλίσεις επιβίωσης, ενισχύεται µε την αβεβαιότητα που υπάρχει σχετικά µε τα απροσδόκητα έξοδα και την αύξηση του κόστους ιατροφαρµακευτικής περίθαλψης. 1.2 Ράντες Ως ράντα ορίζουµε µια περιοδική καταβολή µιας σειράς πληρωµών προς άτοµο, που διαρκεί για συγκεκριµένη περίοδο ή για τη διάρκεια ζωής του ασφαλισµένου. Αποτελεί µία χρηµατοροή που διαφοροποιείται ως προς τους όρους της που λήγουν σε ισαπέχουσες χρονικές στιγµές. Σχεδιάσθηκαν µε σκοπό να παρέχουν συνταξιοδοτικό εισόδηµα και κατ επέκταση αίσθηµα ασφάλειας σε άτοµα τρίτης ηλικίας. Οι σταθερές καταβολές µπορεί να είναι µηνιαίες, τριµηνιαίες, εξαµηνιαίες ή ετήσιες και να ξεκινούν άµεσα ή αργότερα σε συγκεκριµένη ηµεροµηνία. Ανάλογα µε το χρόνο έναρξης των καταβολών, οι ράντες ταξινοµούνται ως εξής: Άµεση ράντα Στην άµεση ράντα η πρώτη καταβολή είναι πληρωτέα το αµέσως επόµενο χρονικό διάστηµα από την ηµεροµηνία αγοράς. Εάν η πρόσοδος καταβάλλεται µηνιαία η πρώτη πληρωµή ξεκινά ένα µήνα µετά την ηµεροµηνία αγοράς, ενώ αν η πρόσοδος καταβάλλεται ετήσια, η πρώτη πληρωµή ξεκινά έναν χρόνο µετά. Ένα από τα χαρακτηριστικά των άµεσων ραντών είναι ότι συνήθως αγοράζονται µε εφάπαξ ασφάλιστρο από άτοµα που βρίσκονται λίγο πριν τη συνταξιοδότηση. Αναβαλλόµενη ράντα Εδώ η καταβολή της προσόδου ξεκινά σε µία µελλοντική ηµεροµηνία. Αν και υπάρχουν πολλά είδη αναβαλλόµενων ραντών, µία από τις δηµοφιλέστερες µορφές είναι η ράντα συνταξιοδότησης, όπου τα ασφάλιστρα συσσωρεύονται και επενδύονται. Όταν λήξει η περίοδος αναβολής, ο ασφαλισµένος µπορεί να: 5

Λαµβάνει ισόβια πρόσοδο Λαµβάνει ισόβια πρόσοδο µε 5, 10, 15 και 20 χρόνια εγγυηµένη περίοδο καταβολών Λάβει την αξία εξαγοράς µετρητοίς Την περίοδο αναβολής η ράντα προσφέρει τη δυνατότητα εξαγοράς και λήψης δανείου. Γενικά, µία αναβαλλόµενη ράντα µπορεί να αγορασθεί µε ενιαίο ασφάλιστρο, ή µε σειρά πληρωµών περιοδικών ασφαλίστρων. Το ποσό της συνταξιοδοτικής προσόδου εξαρτάται από το ποσό που έχει συσσωρευτεί στην ηλικία συνταξιοδότησης. Ανάλογα µε τη φύση της ασφαλιστικής υποχρέωσης οι ράντες κατηγοριοποιούνται ως εξής: Ισόβια ράντα Η πρόσοδος που παρέχει η ισόβια ράντα προϋποθέτει ότι ο συνταξιοδοτούµενος ζει, ενώ δεν καταβάλλεται κανένα ποσό σε περίπτωση θανάτου. ίνει το µεγαλύτερο ύψος προσόδου από τις υπόλοιπες εναλλακτικές και συνήθως ταιριάζει σε άτοµα που έχουν ανάγκη µεγαλύτερο ετήσιο εισόδηµα και δεν έχουν εξαρτώµενα µέλη ή τα έχουν εξασφαλίσει. Ισόβια ράντα Εγγυηµένων Καταβολών Παρέχει ισόβια πρόσοδο στον ασφαλισµένο µε συγκεκριµένο αριθµό εγγυηµένων καταβολών. Ο ασφαλισµένος έχει τη δυνατότητα στη λήξη της ασφάλισης, αντί για µία ισόβια ράντα, να ζητήσει ένα µικρότερο ποσό που όµως είναι εγγυηµένο για ορισµένα χρόνια. Οι συνταξιοδοτικές πληρωµές καταβάλλονται στον ίδιο τον ασφαλισµένο ή στους δικαιούχους του, σε περίπτωση που ο πρώτος δεν βρίσκεται στη ζωή, µέχρι τη λήξη της περιόδου. Το ίδιο ποσό σύνταξης καταβάλλεται στον ασφαλισµένο ακόµα και όταν εκείνος επιβιώσει πέραν της εγγυηµένης περιόδου. Σε περίπτωση που ο ασφαλισµένος αποβιώσει πριν από τη λήξη του προγράµµατος, τότε επιστρέφεται το σύνολο των καταβληθέντων ασφαλίστρων στο ακέραιο, καθώς και τα συσσωρευµένα µερίσµατα (εάν υπάρχουν). Τα άτοµα που επιλέγουν αυτού του είδους τη ράντα συνήθως επιζητούν ισόβια προστασία, αλλά και ένα εισόδηµα για τον δικαιούχο σε περίπτωση θανάτου τους. Ισόβια δύο ή περισσότερων κεφαλών Βασίζεται στην παρουσία δύο ή περισσότερων κεφαλών, όπως δύο συζύγων ή δύο αδελφών. Μόνον όταν πεθάνουν και οι δύο συνδικαιούχοι δίνεται η παροχή, είτε ολόκληρη, είτε σαν ποσοστό της παροχής του πρώτου συνταξιοδοτούµενου. Έχει τη δυνατότητα να παρέχει προστασία σε περίπτωση µακροζωίας µέσω της ρευστοποίησης συγκεκριµένου ποσού, προκειµένου να προστατεύει έναντι της απώλειας εισοδήµατος λόγω της επιβίωσης πέραν της αναµενόµενης ηλικίας και ως 6

εκ τούτου την εξάντληση των αποταµιεύσεων. Η καταβολή της προσόδου σε αυτού του είδους της ράντας µπορεί να προκύψει από τις εξής πηγές: α) καταβολές ασφαλίστρων, β) απόδοση τόκων και γ) ανεξάντλητα κεφάλαια όσων πεθαίνουν νωρίς (Σχήµα 1). Σχήµα 1: Πηγές καταβολής ισόβιας ράντας δύο ή περισσότερων κεφαλών Ένα µεµονωµένο άτοµο δε µπορεί να είναι σίγουρο εάν οι αποταµιεύσεις του θα επαρκέσουν όταν αποσυρθεί από την εργασία. Ακόµη, ορισµένοι µπορεί να αποβιώσουν νωρίς πριν εξαντληθούν οι αποταµιεύσεις τους κι άλλοι να ζήσουν πολύ µετά την εξάντλησή τους. Η ασφαλιστική εταιρία µαζεύει όλες τις αποταµιεύσεις αυτών των ατόµων θεωρώντας τα ως µία οµάδα, παρέχοντας εγγύηση ισόβιου εισοδήµατος. Ο ασφαλιστής εκτιµά προσεγγιστικά τον αριθµό των συνταξιοδοτούµενων που θα ζουν στο τέλος κάθε έτους και έτσι υπολογίζει το ποσό της εισφοράς που πρέπει να καταθέσει ο καθένας. Οι πηγές της προσόδου συµπληρώνονται από τους τόκους που αποδίδονται από τα συσσωρευµένα κεφάλαια, καθώς και από τα ανεξάντλητα κεφάλαια όσων αποβιώνουν νωρίς. Για τον υπολογισµό των ασφαλίστρων χρησιµοποιούνται ειδικοί πίνακες που αναγνωρίζουν τη µακροζωία των συνταξιούχων. Σταθερή ράντα Η περιοδική καταβολή στη σταθερή ράντα είναι ένα εγγυηµένο σταθερό ποσό. Τα συσσωρευµένα ασφάλιστρα επενδύονται συνήθως σε χρεόγραφα, οµόλογα, δάνεια κλπ. 7

Μεταβλητή ράντα Στη µεταβλητή ράντα προβλέπεται η παροχή ισόβιας προσόδου και το ύψος των καταβολών εξαρτάται από το επίπεδο του χρηµατιστηρίου. Ο κυριότερος λόγος ύπαρξής της, οφείλεται στην παροχή προστασίας έναντι του πληθωρισµού, διατηρώντας σταθερή την αγοραστική της αξία. Συναντάται συνήθως στην Αµερική και στηρίζεται στην υπόθεση ότι υπάρχει συσχέτιση τιµαρίθµου και δείκτη χρηµατιστηρίου. 8

2.Θεωρία θνησιµότητας 2.1 Το φαινόµενο της θνησιµότητας Η Παγκόσµια Οργάνωση Υγείας (Π.Ο.Υ) ορίζει το θάνατο ως εξής: «Θάνατος είναι η διαρκής και η οριστική εξαφάνιση κάθε ένδειξης ζωής, η οποία επέρχεται σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή µετά τη γέννηση ζώντος ανθρωπίνου οργανισµού». Από τον προηγούµενο ορισµό εξαιρείται ο θάνατος εµβρύου ή αλλιώς γέννηση νεκρού. Ως βρεφικός θάνατος ορίζεται ο θάνατος ενός βρέφους κατά τη διάρκεια του πρώτου έτους της ζωής του (δηλαδή µεταξύ της στιγµής της γέννησής του και της συµπλήρωσης του πρώτου έτους της ηλικίας του). Ακόµη, καλείται ως µητρικός θάνατος ο θάνατος γυναίκας που επέρχεται είτε κατά τη διάρκεια της γέννας, είτε κατά τη διάρκεια της εγκυµοσύνης. Ο θάνατος, ως δηµογραφικό γεγονός ή συµβάν, είναι αναπόφευκτος (δηλαδή είναι βέβαιο ότι θα συµβεί) και µη επαναλαµβανόµενος (δηλαδή θα συµβεί µία και µόνο φορά). Αν τώρα προσεγγίσουµε το παραπάνω γεγονός σε συνολικό και όχι σε ατοµικό επίπεδο, τότε η επέλευση του θανάτου γενικεύεται και αποκτά χαρακτήρα φαινοµένου. Αυτό ακριβώς το γενικευµένο φαινόµενο, το οποίο χρίζει µελέτης, καλείται θνησιµότητα. Η µελέτη της θνησιµότητας είναι σχετικά απλούστερη απ ότι των υπολοίπων φαινοµένων που αφορούν και επηρεάζουν ένα πληθυσµό, καθώς τα δύο µοναδικά στοιχεία που είναι άγνωστα όσον αφορά το θάνατο, είναι ο χρόνος που αυτός θα συµβεί και η αιτία του. Παράγοντες που παρουσιάζουν ερευνητικό ενδιαφέρον κατά τη µελέτη του παραπάνω φαινοµένου είναι: Τα χαρακτηριστικά του θανόντος (ηλικία, φύλο, επάγγελµα, αιτία θανάτου, εκπαίδευση, υπηκοότητα κ.λπ.) Τα χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος (υψόµετρο, τιµές µόλυνσης, διατροφικές συνήθειες, ποιότητα νερού κ.λπ.) Τα χαρακτηριστικά της καταγραφής του γεγονότος (τόπος θανάτου, ηµεροµηνία θανάτου, µέρος που συνέβη ο θάνατος (ιδιωτική κατοικία, νοσοκοµείο), άτοµο που πιστοποίησε το θάνατο κ.λπ.). Μέσω της µελέτης της θνησιµότητας προκύπτουν αποτελέσµατα τα οποία έχουν πολύ µεγάλη σηµασία, κυρίως λόγω του ότι µπορούν να χρησιµοποιηθούν αποτελεσµατικά από πολλούς επιστηµονικούς κλάδους όπως: Από τη ηµογραφία για την εκτίµηση της τρέχουσας δηµογραφικής κατάστασης ενός πληθυσµού, την ανάλυση ιστορικών τάσεων εξέλιξης του πληθυσµού και την επεξεργασία δηµογραφικών προβολών και προβλέψεων. Από την Ασφαλιστική Αναλογιστική Επιστήµη για τον υπολογισµό διαφόρων δεικτών που σχετίζονται µε τη διάρκεια ζωής ενός ατόµου, όπως οι Ασφαλίσεις Ζωής, τα Συνταξιοδοτικά Προγράµµατα κ.α. 9

Από τη Βιολογία και τις Ιατρικές Επιστήµες γενικότερα για την αξιολόγηση των διαφόρων νοσηµάτων όπως αυτά σχετίζονται µε τον κίνδυνο του θανάτου. 2.2 είκτες θνησιµότητας Οι δείκτες που αφορούν τη θνησιµότητα και υπολογίζονται µε βάση τα διαθέσιµα στατιστικά στοιχεία, χωρίζονται σε απλούς και προτυποποιηµένους. Τα στατιστικά στοιχεία που είναι απαραίτητα για τον υπολογισµό αναλυτικών και προτυποποιηµένων δεικτών θνησιµότητας είναι: Ο αριθµός των θανάτων που προέρχεται από τις ληξιαρχικές καταγραφές. Το µέγεθος του πληθυσµού που προέρχεται είτε από µια απογραφή πληθυσµού, είτε από µια εκτίµησή του από κάποιον φορέα (όπως για παράδειγµα η Στατιστική Υπηρεσία ). Το µέγεθος ενός πρότυπου πληθυσµού ή µίας σειράς πρότυπων δεικτών θνησιµότητας ( για τους προτυποποιηµένους δείκτες ). Παρακάτω, παρατίθενται ενδεικτικά ορισµένοι βασικοί δείκτες θνησιµότητας. Αδρός είκτης Θανάτων ( όλες οι αιτίες, όλες οι ηλικίες και τα δύο φύλα). D CDR= 1.000 P Όπου: D: Το σύνολο των θανάτων ενός ηµερολογιακού έτους. P: Ο συνολικός πληθυσµός στο µέσω του έτους Ο δείκτης δείχνει την αναλόγια των θανάτων σε 1.000 άτοµα για ένα έτος και περιλαµβάνει όλες τις αιτίες θανάτου, όλες τις ηλικίες και τα δύο φύλα. Ειδικός κατά Ηλικία είκτης Θνησιµότητας n m nd = 1.000 P n Όπου D : Το σύνολο των θανόντων µεταξύ ηλικιών και + 1. nd : Το σύνολο των θανόντων µεταξύ ηλικιών και + n. P : Το σύνολο των ατόµων ηλικίαςστο µέσο του έτους. np : Το σύνολο των ατόµων µεταξύ των ηλικιών και+ nστο µέσο του έτους. 10

Ο δείκτης δείχνει την αναλογία των θανάτων σε 1.000 άτοµα για µία συγκεκριµένη ηλικία ή για ένα διάστηµα ηλικιών περιλαµβάνοντας όλες τις αιτίες θανάτου, για κάθε φύλο ξεχωριστά. Αδρός κατά Αιτία είκτης Θανάτου CDR j Dj = 100.000 P Όπου D j: Το σύνολο των θανάτων ενός ηµερολογιακού έτους λόγω του αιτίου j. P: Ο συνολικός πληθυσµός στο µέσο του έτους. Ο δείκτης δείχνει την αναλογία των θανάτων σε 100.000 άτοµα για ένα έτος, λόγω του αιτίου θανάτου j. Ειδικός κατά Ηλικία και Αιτία είκτης Θανάτου Όπου m m D, j, j = 100.000 P D ή n, j n, j = 100.000 np D, j:το σύνολο των θανάτων µεταξύ των ηλικιών και + 1, λόγω του αιτίου j. nd, j:το σύνολο των θανάτων µεταξύ των ηλικιών και+ n, λόγω του αιτίου j. P : Το σύνολο των ατόµων ηλικίαςστο µέσο του έτους. np : Το σύνολο των ατόµων µεταξύ των ηλικιών και+ nστο µέσο του έτους. Ο δείκτης δείχνει την αναλογία των θανάτων σε 100.000 για µία συγκεκριµένη ηλικία ή για ένα διάστηµα ηλικιών για το αίτιο θανάτου j,για κάθε φύλο ξεχωριστά. είκτης Βρεφικής Θνησιµότητας D 0 IMR= 365 1.000 B 11

Όπου D0 365 : Το σύνολο των βρεφικών θανάτων ενός ηµερολογιακού έτους B: Ο συνολικός αριθµός γεννήσεων ζώντων του ίδιου έτους. Ο δείκτης δείχνει την αναλογία των βρεφικών θανάτων σε 1.000 γεννήσεις ζώντων για ένα έτος. Άµεσα Προτυποποιηµένος είκτης Θανάτου Όπου s nm np = 0 s np = 0 DSDR= 1.000 s np : Το σύνολο των ατόµων µεταξύ των ηλικιών και + n ενός προτύπου πληθυσµού που επιλέγεται για την προτυποποίηση. nm : Ο Ειδικός κατά Ηλικία είκτης Θνησιµότητας (για µία οµάδα ηλικιών από έως + n). s nm np = 0 : Το σύνολο των θανάτων για όλα τα κλιµάκια των ηλικιών µε βάση την ηλικιακή δοµή του πρότυπου πληθυσµού. s np = 0 : Το σύνολο των ατόµων του πρότυπου πληθυσµού. Προτυποποιηµένος Λόγος Θνησιµότητας Όπου s nm np = 0 D s s s s nm np nm np = 0 = 0 SMR= 100= 100 np : Το σύνολο των ατόµων µεταξύ των ηλικιών και+ n. s nm : Ο Ειδικός κατά Ηλικία είκτης Θνησιµότητας του πρότυπου πληθυσµού (για µία οµάδα ηλικιών από έως + n). 12

s s nm np = 0 : Το σύνολο των θανάτων µε βάση τις συνθήκες θνησιµότητας του πρότυπου πληθυσµού. D: Το σύνολο των θανάτων ενός ηµερολογιακού έτους. Με αυτόν το δείκτη εφαρµόζουµε έµµεση προτυποποίηση, επιλέγοντας πρότυπους κατά ηλικία δείκτες θνησιµότητας και εφαρµόζοντάς τους στην πραγµατική κατά ηλιακή δοµή του υπό µελέτη πληθυσµού µας. 2.3 Ορισµός, είδη και συναρτήσεις πινάκων επιβίωσης Το µέσο µέσω του οποίου µπορούµε να εκθέσουµε και να επεξεργαστούµε στοιχεία που αφορούν τη θνησιµότητα ονοµάζεται Πίνακας Θνησιµότητας ή Πίνακας Επιβίωσης. εν υπάρχει σαφής διαχωρισµός των δύο εννοιών, καθώς µε βάση τα στοιχεία της θνησιµότητας και του πληθυσµού είναι δυνατόν να υπολογιστούν όλες οι βιοµετρικές ποσότητες οι οποίες εκτίθενται σε έναν Πίνακα Επιβίωσης. Κατά τον London είναι καθαρά υποκειµενική η επιλογή του εάν κάποιος θα αποκαλεί τον πίνακα, Πίνακα Επιβίωσης ή Θνησιµότητας και εξαρτάται από το εάν το βλέπει από πεσιµιστική σκοπιά ή όχι.οι Πίνακες Επιβίωσης χωρίζονται σε γενεαλογικούς και χρονολογικούς. Για την κατάρτιση των γενεαλογικών πινάκων εξετάζουµε µία γενεά (δηλαδή µια οµάδα ατόµων που έχουν γεννηθεί το ίδιο έτος, γεγονός το οποίο ορίζουµε ως αρχικό) από τη δηµιουργία της, µέχρι την πλήρη εξαφάνισή της (δηλαδή µέχρι να πεθάνει και το τελευταίο µέλος της), θεωρώντας ότι η παραπάνω γενεά είναι κλειστή σε µεταναστευτικές κινήσεις (δηλαδή δεν επιτρέπονται µεταναστευτικές εισροές ή εκροές). Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει η γενεά να παρακολουθηθεί για µεγάλο χρονικό διάστηµα (ίσως µεγαλύτερο και του αιώνα) και θα πρέπει γι αυτό το λόγο να έχουµε διαθέσιµες για κάθε έτος τις ληξιαρχικές καταγραφές των θανάτων αυτής της γενεάς. Το κυριότερο πλεονέκτηµα των γενεαλογικών πινάκων είναι ότι αναφέρονται σε µια πραγµατική γενεά και αποτελούν ένα ευκόλως κατανοητό και επαρκές µέσο αποτύπωσης της διαχρονικής φθοράς που υφίσταται η γενεά λόγω θανάτου. Από την άλλη πλευρά, για την κατάρτιση ενός γενεαλογικού πίνακα απαιτείται µεγάλο χρονικό διάστηµα, το στατιστικό υλικό µπορεί να µην είναι σε περιπτώσεις αξιόπιστο ή διαθέσιµο και το µεγαλύτερο µειονέκτηµα είναι ότι στο τέλος της µελέτης έχουµε έναν πίνακα ο οποίος αναφέρεται σε µία γενεά που δηµιουργήθηκε πριν 100 και πλέον έτη. Συνεπώς τα αποτελέσµατα του πίνακα όσον αφορά τη θνησιµότητα της γενεάς θα έχουν µόνο ιστορική αξία, καθώς τα πρότυπα επιβίωσης θα έχουν µεταβληθεί, όπως επίσης και οι συνήθειες ζωής και η ποιότητα της ιατροφαρµακευτικής περίθαλψης κ.λπ. Αντίθετα µε τους χρονολογικούς Πίνακες Επιβίωσης περιγράφουµε το ιστορικό επιβίωσης (ή θνησιµότητας) µίας πλασµατικής γενεάς µε βάση τα στατιστικά στοιχεία που έχουµε στη διάθεσή µας από τις ληξιαρχικές καταγραφές των θανάτων και τις απογραφές του πληθυσµού. Εποµένως, µε τους χρονολογικούς πίνακες πετυχαίνουµε 13

την αποτύπωση και την περιγραφή των συνθηκών θνησιµότητας που επικρατούν αυτή τη στιγµή και εξετάζουµε τι θα συνέβαινε πραγµατικά σε µία γενεά, µε την προϋπόθεση ότι αυτές οι συνθήκες δεν θα µεταβάλλονταν. Σε αυτήν την περίπτωση για την κατάρτιση των χρονολογικών πινάκων οι υποθέσεις στις οποίες στηριζόµαστε είναι οι εξής: Η πλασµατική γενεά αποτελείται από σταθερό αριθµό γεννήσεων ο οποίος είναι συνήθως δύναµη του δέκα (100, 1000 κ.ο.κ.). Ο αριθµός αυτός λέγεται ρίζα του πίνακα, αποτελεί τον αρχικό πληθυσµό και συµβολίζεται µε l 0. Η γενεά είναι κλειστή σε µεταναστευτικές κινήσεις. Ο αρχικός πληθυσµός µειώνεται σταδιακά µε την πάροδο των ετών σύµφωνα µε αµετάβλητα πρότυπα θνησιµότητας. Η ηλικία κατά την οποία πεθαίνει και το τελευταίο µέλος της πλασµατικής γενεάς καλείται οριακή ή έσχατη ηλικία και συµβολίζεται µε ω. Οι θάνατοι ισοκατανέµονται κατά τη διάρκεια όλων των ηλικιών πλην των ηλικιών 0 και 1. Ο συνολικός αριθµός των θανάτων της πλασµατικής γενεάς ισούται µε τον συνολικό αριθµό των γεννήσεων, δηλαδή τη ρίζα του πίνακα. Η γενεά περιλαµβάνει µέλη του ίδιου φύλλου, λόγω των διαφορών που υπάρχουν ανάµεσα στα πρότυπα θνησιµότητας των ανδρών και των γυναικών. Οι Πίνακες Επιβίωσης, στους οποίους θα παρουσιαστούν οι διάφορες συναρτήσεις οι οποίες σχετίζονται µε τη θνησιµότητα, µπορεί να είναι είτε πλήρεις, είτε συνεπτυγµένοι. Στους πλήρεις πίνακες, όλες οι συναρτήσεις αναφέρονται σε κάθε ηλικία ξεχωριστά από την ηλικία 0 έως την οριακή ηλικία. Αντίθετα, στους συνεπτυγµένους πίνακες οι συναρτήσεις εκφράζονται για ένα διάστηµα ηλικιών (το οποίο είναι συνήθως πενταετές), ενώ συνήθως εξαιρούνται οι δύο πρώτες ηλικίες 0 και 1. Ακολουθούν οι ορισµοί των κυριότερων συναρτήσεων οι οποίες παρουσιάζονται σε έναν Πίνακα Επιβίωσης: είναι η ακριβής ηλικία του ατόµου στην αρχή του έτους. n είναι το µέγεθος του διαστήµατος µεταξύ και +n. l 0 είναι το µέγεθος του αρχικού πληθυσµού ή ρίζα του πίνακα. l είναι ο αριθµός των επιζώντων στην αρχή της ηλικίας. l + n είναι ο αριθµός των επιζώντων στην αρχή της ηλικίας + n. d είναι ο αριθµός των θανόντων µεταξύ των ηλικιών και +1. nd είναι ο αριθµός των θανόντων µεταξύ των ηλικιών και +n p είναι η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να επιζήσει µέχρι την αρχή της ηλικίας +1. 14

np είναι η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να επιζήσει µέχρι την αρχή της ηλικίας +n. qείναι η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να πεθάνει κάποια στιγµή εντός του έτους, δηλαδή πριν φτάσει στην αρχή της ηλικίας +1. nq είναι η πιθανότητα άτοµο ηλικίας να πεθάνει κάποια στιγµή εντός των επόµενων n ετών, δηλαδή πριν φτάσει στην αρχή της ηλικίας + n. Lείναι οι επιζώντες στο µέσο της ηλικίας (δηλαδή στο µέσο του διαστήµατος των ηλικιών και +1). 2.4 Κατασκευή πινάκων επιβίωσης Τα βήµατα για την κατασκευή ενός πλήρους ή ενός συνεπτυγµένου πίνακα είναι όµοια και η διαδικασία συνοψίζεται ως εξής: Υπολογισµός κεντρικών δεικτών θνησιµότητας (κατά ηλικία ή διάστηµα ηλικιών). Μετατροπή των κεντρικών δεικτών σε πιθανότητες θανάτου. Εξοµάλυνση των εµπειρικών πιθανοτήτων θανάτου. Εκτίµηση των ανωτέρω συναρτήσεων του πίνακα. Αν λοιπόν, για κάποιον πληθυσµό, δεν υποθέσουµε κάποια συνεχή κατανοµή για τη τυχαία µεταβλητή X, X 0, που εκφράζει τη συνολική διάρκεια ζωής ενός νεογέννητου ατόµου, θα έχουµε για τις συναρτήσεις του Πίνακα Επιβίωσης: d d = l l l = l d + 1 + 1 nd n 1 d = l l = d l = l d. n + n + t + n n t= 0 p np p l l = l + 1 n 1 + n np = = p+ t. l t= 0 q 15

nq q q n d = = 1 p. l = = d n 1 np l L l+ l + L = l 0,5* d = 2 1 (για ηλικίες 2 και υποθέτοντας οµοιόµορφη κατανοµή των θανάτων κατά τη διάρκεια ενός έτους). 2.5 Αναλογιστικοί Πίνακες Συναρτήσεις Μετατροπής Η σύνθεση ενός Πίνακα Θνησιµότητας µε ένα ποσοστό του επιτοκίου παράγει έναν Αναλογιστικό Πίνακα. Παρατηρούµε ότι ο πίνακας (Πίνακας Ι) έχει δέκα στήλες και περιέχει κάποιες επιπλέον (από τις ήδη γνωστές) συναρτήσεις. Αυτές οι έξι νέες συναρτήσεις ονοµάζονται συναρτήσεις µετατροπής και υπολογίζονται ως εξής: 1 D = v l, όπουv= 1 +i ω 1 N = D = D + D + D +... + D + t + 1 + 2 ω 1 t= 0 ω 1 S = N t = N+ N + N +... + N t= 0 + 1 C = v d ω 1 + + 1 + 2 ω 1 M = C = C + C + C +... + C + t + 1 + 2 ω 1 t= 0 ω 1 R = M = M + M + M +... + M + t + 1 + 2 ω 1 t= 0 16

3. Ράντες ζωής Ασφάλειες ζωής 3.1 Ενδεχόµενα επιβίωσης Έστω ότι σε ένα έτος από σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδώσουµε ποσό C σε άτοµο το οποίο σήµερα είναι ηλικίας (εφόσον το άτοµο ζει). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. 0 +1 C Παρούσα Αξία χρηµάτων = l v l D C v p = C v = C = C + 1 + 1 + 1 + 1 l v l D 3.2 Ράντες ζωής µε ετήσιες πληρωµές σταθερού ύψους 3.2.1 Ισόβια Ληξιπρόθεσµη Ράνταa Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδίδουµε ποσό C ετησίως (η πρώτη πληρωµή γίνεται σε ένα χρόνο από σήµερα) σε άτοµο το οποίο σήµερα είναι ηλικίας (εφόσον το άτοµο ζει). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C..... 0 +1 +2 Παρούσα Αξία χρηµάτων= ω 1 2 ω 1 t 1 2 ω 1 t t= 1 = ( C v p ) + ( C v p ) +... + ( C v p ) = C ( v p ) 17

ή Παρούσα Αξία χρηµάτων= D D D D + D +... + D N = C + C +... + C = C = C D D D D D + 1 + 2 ω 1 + 1 + 2 ω 1 + 1 3.2.2 Ισόβια Προκαταβλητέα Ράνταa&& Μία προκαταβλητέα ράντα ζωής που πληρώνει 1 νοµισµατική µονάδα κάθε έτος σε άτοµο ηλικίας είναι µία σειρά από ετήσιες πληρωµές 1 νοµισµατικής µονάδας που ξεκινά στην αρχή του 1 ου έτους (εφόσον το άτοµο βρίσκεται στη ζωή) και συνεχίζεται κατά τη διάρκεια της ζωής του. Συµβολίζεται µε a&& και εκφράζεται ως το άθροισµα µιας σειράς τιµών ασφάλισης επιβίωσης: ω 1 a&& = p + E + E + E +... + E = E 1 2 3 ω 1 t t= 0 Για το άθροισµα έχουµε: a&& = D N ω 1 ω 1 t + t u tp = = t= 0 t= 0 DX D, µε N ω 1 = D. t= 0 + t Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδίδουµε ποσό C ετησίως (η πρώτη πληρωµή σήµερα) σε άτοµο το οποίο σήµερα είναι ηλικίας (εφόσον το άτοµο ζει). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C C..... 0 +1 +2 Παρούσα Αξία χρηµάτων= ω 1 2 ω 1 t 1 2 ω 1 t t= 0 = C+ ( C v p ) + ( C v p ) +... + ( C v p ) = C ( v p ) 18

ή Παρούσα Αξία χρηµάτων = D D D D D + D + D +... + D N = C + C + C +... + C = C = C D D D D D D + 1 + 2 ω 1 + 1 + 2 ω 1 3.2.3 Πρόσκαιρη ιάρκειας n ετών προκαταβλητέα ράντα a&& n : Ας θεωρήσουµε πρόσκαιρη ράντα ζωής n ετών και προκαταβλητέα, η οποία στην αρχή καθενός από τα n έτη, παρέχει πληρωµές 1 νοµισµατικής µονάδας σε άτοµο ηλικίας ετών, εφόσον βρίσκεται στη ζωή. Αυτή η ράντα συµβολίζεται µε a&& και η παρούσα αξία της εκφράζεται από την n : παρακάτω σχέση: a&& n : D N N = = = n 1 n 1 + t + n te t= 0 t= 0 D D Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδίδουµε ποσό C ετησίως για n-έτη (η πρώτη πληρωµή σήµερα) σε άτοµο το οποίο σήµερα είναι ηλικίας (εφόσον το άτοµο ζει). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C C C...... 0 +1 +2 +n-1 +n Παρούσα Αξία χρηµάτων= n 1 2 n 1 t 1 2 n 1 t t= 0 = C+ ( C v p ) + ( C v p ) +... + ( C v p ) = C ( v p ) ή Παρούσα Αξία χρηµάτων = D D D D ( D + D +... + D ) ( D + D +... + D ) N N = C + C + C +... + C = C = C D D D D D D + 1 + 2 n 1 + 1 ω n 1 + n + n+ 1 ω n 1 + n 19

3.2.4 Πρόσκαιρη ιάρκειας n ετών ληξιπρόθεσµη ράντα a n : Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδίδουµε ποσό C ετησίως για n-έτη (η πρώτη πληρωµή σε ένα έτος από σήµερα) σε άτοµο το οποίο σήµερα είναι ηλικίας (εφόσον το άτοµο ζει). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C C C...... 0 +1 +2 +n-1 +n Παρούσα Αξία χρηµάτων= n 2 n t 1 2 n t t= 1 = ( C v p ) + ( C v p ) +... + ( C v p ) = C ( v p ) ή Παρούσα Αξία χρηµάτων = D D D ( D + D +... + D ) ( D + D +... + D ) N N = C + C +... + C = C = C D D D D D + 1 + 2 n 1 + 1 + 2 ω n + n+ 1 + n+ 2 ω n + 1 + n+ 1 3.3 Ασφάλεια Επιβίωσης Ασφάλειες ζωής 3.3.1 Ασφάλεια ΕπιβίωσηςA 1 n : Ασφάλεια επιβίωσης n-ετών, δηλαδή η υποχρέωση καταβολής ενός ποσού C, µόνο σε ενδεχόµενο επιβίωσης στο τέλος της διάρκειας των n-ετών. D n + n A 1 = C v np = C n : D 20

3.3.2 Ασφάλειες ζωής πληρωτέες στο τέλος του έτους του θανάτου 3.3.2.1 Ισόβια Ράντα Ζωής πληρωτέα στο τέλος του θανάτουa Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδώσουµε ποσό C στο τέλος του έτους του θανάτου ενός ατόµου το οποίο είναι ηλικίας (οποτεδήποτε αυτό συµβεί). Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C..... 0 +1 +2 Παρούσα Αξία χρηµάτων= ω 1 2 ω t+ 1 0/ 1/ ( ω 1)/ t/ t= 0 = C v q + C v q +... + C v q = C ( v q ) ή C C C C + C... + C M C + C +... C = C = C D D D D D + 1 ω 1 + 1 ω 1 3.3.2.2 Πρόσκαιρη Ασφάλεια Ζωής διάρκειας n ετών πληρωτέα στο τέλος του θανάτουa 1: n Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδώσουµε ποσό C στο τέλος του έτους του θανάτου ενός ατόµου το οποίο είναι ηλικίας στο ενδεχόµενο όπου το άτοµο αυτό αποβιώσει στο χρονικό διάστηµα µεταξύ και +n. Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; Π.Α. C C C..... 0 +1 +2 +n 21

Παρούσα Αξία χρηµάτων= n 1 2 n t+ 1 0/ 1/ ( n 1)/ t/ t= 0 = C v q + C v q +... + C v q = C ( v q ) ή C C 1 C 1 M M C + C +... C = C D D D D + n + n 3.3.2.3 Μικτή ασφάλεια διάρκειας n ετών A n : Έστω ότι σήµερα έχουµε την υποχρέωση να αποδώσουµε ποσό C είτε στο ενδεχόµενο επιβίωσης του ατόµου, είτε στο ενδεχόµενο όπου το άτοµο αυτό αποβιώσει στο χρονικό διάστηµα µεταξύ και +n. Ποιο είναι το ποσό των χρηµάτων που πρέπει να αποταµιεύσουµε (µε ετήσιο επιτόκιο i) ώστε να εξασφαλίσουµε την συγκεκριµένη υποχρέωση; n : n 1 n t+ 1 1 1 n ( t/ ) n : n : t= 0 A = A + A = C v p + C v q ή D M M A = A 1 + A1 = C + C n : n : n : D D + n + n 22

4. Ασφάλιστρα 4.1. Καθαρά Ασφάλιστρα Καθαρό ασφάλιστρο ονοµάζεται το ασφάλιστρο το οποίο υπολογίζει η ασφαλιστική εταιρία χωρίς να λάβει υπόψη της τα λειτουργικά ή άλλα έξοδά της, δηλαδή το ασφάλιστρο το οποίο απαιτείται αποκλειστικά για την πληρωµή των καλυπτόµενων κινδύνων. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τα ετήσια καθαρά ασφάλιστρα για διάφορα τυπικά ασφαλιστικά προγράµµατα. 4.1.1. Καθαρό ασφάλιστρο Ισόβιας ασφάλισης P Έστω άτοµο ηλικίας το οποίο µόνο σε περίπτωση θανάτου του (όποτε αυτός συµβεί), οι δικαιούχοι εισπράττουν ποσό C στο τέλος του συγκεκριµένου έτους. Το καθαρό ασφάλιστρο συµβολίζεται µε P και υπολογίζεται ως εξής: Παρούσα αξία Ασφαλίστρων =Παρούσα αξία Παροχών A P a&& = C A P = C a && ή εναλλακτικά χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις µετατροπής N M M P = C P = C D D N 4.1.2. Καθαρό ασφάλιστρο πρόσκαιρης ασφάλισης επιβίωσης n ετών P 1. n : Έστω άτοµο ηλικίας το οποίο µόνο σε περίπτωση επιβίωσής του (εάν αυτή συµβεί στα επόµενα n έτη), οι δικαιούχοι εισπράττουν ποσό C στο τέλος του συγκεκριµένου έτους. Το καθαρό ασφάλιστρο συµβολίζεται µε P 1 και υπολογίζεται ως εξής: Παρούσα αξία Ασφαλίστρων = Παρούσα αξία Παροχών P a&& = C A 1 1 n : n : n : ή εναλλακτικά χρησιµοποιώντας συναρτήσεις µετατροπής N N+ n D+ n D+ n P 1 = C P 1 = C n : D D n : N N + n n : 23

4.1.3. Καθαρό ασφάλιστρο πρόσκαιρης ασφάλισης ζωής n ετών P 1 n : Έστω άτοµο ηλικίας το οποίο µόνο σε περίπτωση θανάτου του (εάν αυτός συµβεί στα επόµενα n έτη), οι δικαιούχοι εισπράττουν ποσό C στο τέλος του συγκεκριµένου έτους. Το καθαρό ασφάλιστρο συµβολίζεται µε P 1 και υπολογίζεται n : ως εξής: Παρούσα αξία Ασφαλίστρων = Παρούσα αξία Παροχών P a&& = C A 1 1 n : n : n : ή εναλλακτικά χρησιµοποιώντας συναρτήσεις µετατροπής N N+ n M M+ n M M+ n P1 = C P1 = C n : D D n : N N + n 4.1.4. Καθαρό ασφάλιστρο µικτής ασφάλισης n ετών P n : Έστω άτοµο ηλικίας το οποίο είτε σε περίπτωση θανάτου του, είτε σε περίπτωση επιβίωσής του για τα επόµενα n έτη, οι δικαιούχοι εισπράττουν ποσό C στο τέλος του συγκεκριµένου έτους. Το καθαρό ασφάλιστρο συµβολίζεται µε P και n : υπολογίζεται ως εξής: P Παρούσα αξία Ασφαλίστρων = Παρούσα αξία Παροχών P a && = C A n : n : n : ή χρησιµοποιώντας συναρτήσεις µετατροπής N N M M D M M + D = + P = n D D D N N + n + n + n + n + n n : : + n 4.2. Εµπορικά ασφάλιστρα Η ασφαλιστική εταιρεία η οποία ασχολείται µε το σχεδιασµό και τη διαχείριση των διαφόρων ασφαλιστικών προγραµµάτων είναι προφανές ότι έχει κάποια έξοδα, τα οποία ενσωµατώνει στα καθαρά ασφάλιστρα, διάφορα περιθώρια εγγύησης για ενδεχόµενες προκαλούµενες ζηµιές της ασφαλιστικής εταιρίας, καθώς και περιθώρια κέρδους. Σύµφωνα µε τα παραπάνω προκύπτουν τα εµπορικά ασφάλιστρα. Οι συνήθεις βασικές κατηγορίες εξόδων είναι οι παρακάτω: Έξοδα κτίσεως Τα έξοδα κτίσεως πραγµατοποιούνται όταν εκδίδεται ένα συµβόλαιο και θα πρέπει να εισπράττονται µε την υπογραφή του ασφαλιστηρίου. Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι αρχικών εξόδων: 24

Οι προµήθειες των πρακτόρων για την πώληση του ασφαλιστηρίου, οι οποίες το πρώτο έτος ασφάλισης µπορεί να είναι ένα µεγάλο ποσοστό του αρχικού ασφαλίστρου, προσαυξηµένο κατά ένα πολύ χαµηλότερο ποσοστό για τα επόµενα ασφάλιστρα. Τα έξοδα εκτίµησης του αναλαµβανόµενου κινδύνου π.χ. ιατρικές εξετάσεις που απαιτούνται ανάλογα µε το ασφαλισµένο κεφάλαιο. Τα έξοδα έκδοσης του ασφαλιστηρίου που µπορεί να περιλαµβάνουν δαπάνες διαφήµισης καθώς και δαπάνες για το δικαίωµα του συµβολαίου. Έξοδα διαχείρισης Τα έξοδα διαχείρισης που αναλαµβάνει συνήθως η ασφαλιστική εταιρία κάθε φορά που εισπράττει ένα ασφάλιστρο ή καταβάλει µία πληρωµή µίας ράντας. Στα έξοδα αυτά περιλαµβάνονται τα πάγια έξοδά της καθώς οι µισθοί των υπαλλήλων, τα ενοίκια των γραφείων της ασφαλιστικής εταιρείας, οι δαπάνες λειτουργίας της επιχείρησης, τα έξοδα γραφικής ύλης, φωτισµού, ανανέωσης επίπλων κλπ., τα έξοδα των αιτήσεων εκκαθαριστικών που αποστέλλονται στον συµβαλλόµενο, τα αναµενόµενα κέρδη καθώς και τα έξοδα επενδύσεων. Τα αρχικά έξοδα και τα έξοδα διαχείρισης µπορεί να είναι ποσοστό των ασφαλίστρων ή των παροχών ή µπορεί να υπολογίζονται ανά συµβόλαιο, δηλαδή το ποσό είναι σταθερό για όλα τα συµβόλαια και δεν εξαρτάται από το µέγεθος του ασφαλίστρου ή του ασφαλιζόµενου κεφαλαίου. Συχνά, τα έξοδα διαχείρισης αυξάνονται µε σύνθετο ρυθµό κατά τη διάρκεια του συµβολαίου λόγω της επίδρασης του πληθωρισµού. Έξοδα εισπράξεως Τα έξοδα αυτά είναι οι προµήθειες, οι οποίες καταβάλλονται σε εκείνους που διενεργούν την είσπραξη ασφαλίστρων. Λόγω της φύσης τους, οι προµήθειες υπολογίζονται είτε το ασφάλιστρο προβλέπεται ενιαίο ή περιοδικό, ως ποσοστό επί του εισπραττόµενου εµπορικού ασφαλίστρου. Αρχή υπολογισµού µικτών ασφαλίστρων Τα εµπορικά ασφάλιστρα υπολογίζονται από την ακόλουθη εξίσωση των παρουσών αξιών Παρούσα αξία εµπορικών ασφαλίστρων = Παρούσα αξία παροχών + Παρούσα αξία εξόδων. 25

Αρκετά από τα έξοδα µίας ασφαλιστικής εταιρείας εκφράζονται συναρτήσει του εµπορικού ασφαλίστρου G. Είναι προφανές ότι το δεύτερο µέλος της παραπάνω εξίσωσης θα περιέχει το εµπορικό ασφάλιστρο. Έτσι, αν θεωρήσουµε ότι τα έξοδα εισπράξεως ανέρχονται σε ποσοστό γ επί του εµπορικού ασφαλίστρου, τα έξοδα διαχείρισης σε ποσοστό a επί του ασφαλιζοµένου κεφαλαίου και τα έξοδα κτίσεως είναι β, τότε ισχύει: Όπου G a&& = A+ γ G a&& + a a&& + β P: το καθαρό ασφάλιστρο G: το εµπορικό ασφάλιστρο a&&: η παρούσα αξία της προκαταβλητέας ράντας A: η παρούσα αξία του ασφαλιζοµένου κεφαλαίου Επειδή ισχύει P a&& = A, η προηγούµενη σχέση γράφεται: (1 γ) G a&& = ( P+ a) a+ β απ όπου προκύπτει G 1 ( ) 1 P β = + + g a a Η διαφορά µεταξύ του εµπορικού και του καθαρού ασφαλίστρου G P, είναι η επιβάρυνση του ασφαλιστικού συµβολαίου. 26

5. Αποθεµατικά 5.1. H έννοια του αποθεµατικού Στις ασφαλίσεις ζωής ο ασφαλιστής αναλαµβάνει την υποχρέωση να πληρώσει µελλοντικά ένα ορισµένο χρηµατικό ποσό προς τον ασφαλισµένο, ο οποίος µε τη σειρά του συµφωνεί να εξοφλήσει ή εφάπαξ ή µε περιοδικές πληρωµές τις υποχρεώσεις του προς τον ασφαλιστή. Τη χρονική στιγµή που γίνεται το ασφαλιστήριο συµβόλαιο, η παρούσα αξία των πληρωµών που πρόκειται να καταβάλλει ο ασφαλιστής είναι ακριβώς ίση προς την παρούσα αξία των καθαρών ασφαλίστρων, τα οποία πρόκειται να πληρώσει ο ασφαλισµένος. Όµως µε την πάροδο του χρόνου, η παρούσα αξία των πληρωµών που πρόκειται να καταβάλλει ο ασφαλιστής µεταβάλλεται. Αυτή γενικώς, ελαττώνεται για τις ράντες ζωής και αυξάνει για τις ασφαλίσεις σε περίπτωση θανάτου. Με παρόµοιο τρόπο, η παρούσα αξία των ασφαλίστρων που πρόκειται να εισπράξει ο ασφαλιστής, ελαττώνεται κατά τη χρονική περίοδο καταβολής των ασφάλιστρων. Έτσι είναι απαραίτητο για τον ασφαλιστή να γνωρίζει κάθε στιγµή το χρηµατικό ποσό που πρέπει να διαθέτει, ώστε να µπορεί να εκπληρώσει τις υποχρεώσεις του που προκύπτουν από το ασφαλιστήριο συµβόλαιο προς τους ασφαλισµένους. Αυτό το χρηµατικό ποσό, που είναι η διαφορά µεταξύ των παρουσών αξιών των πληρωµών που πρόκειται να καταβάλλει ο ασφαλιστής και των ασφαλίστρων που πρόκειται να εισπράξει, είναι γνωστό ως αποθεµατικό της ασφαλιστικής εταιρείας. Π.Α. Υποχρεώσεων ασφαλιστή Π.Α. Υποχρεώσεων Ασφαλισµένου Το σύµβολο που χρησιµοποιείται για το αποθεµατικό στο τέλος του t-οστού έτους, είναι της µορφής t V µε διάφορους δείκτες που τίθενται στα δεξιά και δείχνουν τη µορφή της ασφάλισης. Έτσι, το σύµβολο t V χρησιµοποιείται για το αποθεµατικό στο τέλος του t-οστού έτους ισόβιας ασφάλισης σε περίπτωση θανάτου, ενώ το σύµβολο tv για n : πρόγραµµα µικτής ασφάλισης. 5.2. Προοπτική µέθοδος Το προοπτικό αποθεµατικό, σε κάποια χρονική στιγµή, υπολογίζεται από τη διαφορά µεταξύ παρουσών αξιών των µελλοντικών υποχρεώσεων του ασφαλιστή και του ασφαλισµένου. Θεωρούµε ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου µε ασφαλισµένο ποσό 1 νοµισµατική µονάδα, µε την οποία ασφαλίζεται άτοµο ηλικίας. Στο τέλος των t ετών, η παρούσα αξία των πληρωµών, που θα καταβληθούν µελλοντικά εκ µέρους του ασφαλιστή θα είναι A + t και η παρούσα αξία των µελλοντικών περιοδικών ασφαλίστρων, που θα καταβληθούν εκ µέρους του ασφαλισµένου, συµπεριλαµβανοµένου και του ασφάλιστρου που θα καταβληθεί στην αρχή του t+1 έτους θα είναι P && a + t. Η διαφορά µεταξύ αυτών που είναι το αποθεµατικό στο τέλος των t-ετών, θα είναι 27

V = A P && a t + t + t ή V t M N = P D + t + t + t D+ t Για την ισόβια ασφάλιση σε περίπτωση θανάτου που τα ασφάλιστρα πληρώνονται περιοδικώς για n έτη, το αποθεµατικό στο τέλος των t-ετών, θα είναι: M+ t N+ t N+ n V = np, t p n D D t + t + t V t M+ t =, t n D + t 5.3. Αναδροµική Μέθοδος Η σχέση V M N = P D + t + t + t D+ t µπορεί να µετασχηµατιστεί στη σχέση N N M M V = P = P + t + n + t t n n D+ t D+ t Ο πρώτος όρος παριστάνει την τελική αξία των ασφαλίστρων που πληρώθηκαν κατά τη διάρκεια των t πρώτων ετών, ενώ ο δεύτερος όρος ονοµάζεται συσσωρευµένο κόστος ασφάλισης και συµβολίζεται µε t K. Η παραπάνω σχέση για το αποθεµατικό, συναρτήσει των παρελθόντων ασφαλίστρων και των παρελθόντων παροχών, αποτελεί και τον ορισµό του αναδροµικού αποθεµατικού. 5.4. ιαδοχικά αποθεµατικά Αποδεικνύεται ότι το κέρδος της ασφαλιστικής εταιρείας, που προκύπτει κατά τη διάρκεια του έτους από ένα σύνολο ασφαλιστηρίων συµβολαίων, θα είναι η διαφορά µεταξύ του ποσού το οποίο η εταιρεία προβλέπει ότι χρειάζεται να έχει διαθέσιµο στο τέλος τους έτους και του ποσού το οποίο πράγµατι απαιτείται. ηλαδή, η διαφορά µεταξύ του αναµενόµενου και πραγµατικού κόστους ασφάλισης βάσει του κεφαλαίου υπό κίνδυνο. 28