Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Cretive Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ÌÜèçìá 7 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÙÍ - ÌÅÑÏÓ I ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá 6, ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò I(f) = f() d ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò ôïõ, êáé ii) üôáí äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, áëëü ìüíïí ïé ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá Ïé ðñïóåããßóåéò ðïõ èá åîåôáóôïýí óôï ìüèçìá áõôü âáóßæïíôáé óôïí ôýðï ðáñåìâïëþò ôïõ Newton. Óýìöùíá ìå ôïí áñéèìü êáé ôïí ôñüðï ðïõ óõíäõüæïíôáé ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò ðñïêýðôïõí ïé ìýèïäïé õðïëïãéóìïý Þ üðùò óõíþèùò ëýãïíôáé ïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò.

ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 7. Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ÁíÜëïãá ìå ôï èåùñïýìåíï áñéèìü ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò Ý ïõìå ôïõò ðáñáêüôù êáíüíåò. 7.. Êáíüíáò ôïõ ïñèïãùíßïõ ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò óôù ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá I(f) = f() d (7.. - ) üðïõ ç f() èåùñåßôáé üôé åßíáé ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç óôï [; ] Þ ãåíéêüôåñá óôçí ðåñßðôùóç ðïõ äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò üôé åßíáé ãíùóôýò ïé ôéìýò ôçò óôá n + äéáöïñåôéêü óçìåßá 0,, : : :, n ôïõ [; ]. Ôüôå, üðùò åßíáé Þäç ãíùóôü, éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ðáñåìâïëþò ôïõ Newton f() P n () = f [ 0 ] + f [ 0 ; ] ( 0 ) + : : : (7.. - ) +f [ 0 ; ; : : : ; n ] ( 0 ) ( n ) : ÕðïèÝôïíôáò üôé f() > 0 ãéá êüèå [; ], ôï ïëïêëþñùìá (7:: ) ãåùìåôñéêü éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí ôïõ ó Þìáôïò ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí - Üîïíá, ôéò åõèåßåò =, = êáé ôï äéüãñáììá ôçò y = f() (Ó. 7.. - ). Óçìåßï ðáñåìâïëþò : 0 ÅðåéäÞ õðüñ åé Ýíá óçìåßï ðáñåìâïëþò, áðü ôçí (7:: ) ðñïêýðôåé ôüôå üôé f() P 0 () = f [ 0 ] = f ( 0 ) ; ïðüôå I(f) = f() d f ( 0 ) d = ( )f ( 0 ) (7.. - ) ñá n + = 0 +, ïðüôå n = 0 êáé åðïìýíùò ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò èá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý. ÂëÝðå ÌÜèçìá Èåþñçìá ôïõ Lgrnge.

Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò f Ó Þìá 7.. - : ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò f() d ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ïñèïãùíßïõ (rectngle rule). ÁíÜëïãá ìå ôéò èýóåéò ôïõ óçìåßïõ 0 äéáêñßíïõìå ôéò åîþò ðåñéðôþóåéò: Áí 0 =, áíôßóôïé á 0 =, ôüôå áðü ôçí (7:: ) Ý ïõìå (Ó. 7.. - ) I(f) = áíôßóôïé á (Ó. 7.. - ) I(f) = f() d ( )f(); (7.. - ) f() d ( )f(): (7.. - 5) óôù ôþñá üôé 0 = ( + )=. Ôüôå ç (7:: ) ãñüöåôáé I(f) = ( ) + f() d ( )f (7.. - 6) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ (midpoint rule). (Ó. 7.. - )

ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f y y (i) (ii) Ó Þìá 7.. - : (i) ÐñïóÝããéóç (7:: ) ìå: 0 =, y = f() êáé (ii) (7:: 5) ìå: 0 =, y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() f f y c y c c c Ó Þìá 7.. - : Êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ (7:: 6) ìå: c = 0 = + êáé y c = f(c). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() 7.. Êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0, Ôüôå, åðåéäþ ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò åßíáé, áðü ôçí (7:: ) ðñïêýðôåé üôé f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) ; äçëáäþ ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý, ïðüôå ðñüêåéôáé ãéá åõèåßá ãñáììþ. ÈÝôïíôáò (Ó. 7.. - ) 0 = ; = êáé h = ; áðü ôçí (7:: ) ôåëéêü ðñïêýðôåé üôé I(f) P () d = h {f() + f()}: (7.. - )

Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò 5 f f y y y y Ó Þìá 7.. - : Áðëüò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (7:: ) ìå: 0 =, y = f() êáé =, y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () Ï ôýðïò (7:: ) åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (trpezoidl rule). 7.. Êáíüíáò ôïõ Simpson Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0,, Ôüôå, åðåéäþ ôá óçìåßá åßíáé, ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý (ðáñáâïëþ), äçëáäþ f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) ÈÝôïíôáò (Ó. 7.. - ) +f [ 0 ; ; ] ( 0 ) ( ) : 0 = ; = + ; = ìå h = êáé áíôéêáèéóôþíôáò óôçí (7:: ) ôåëéêü Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù êáíüíá ïëïêëþñùóçò I(f) = 6 P () d { f() + f ( + ) } + f() = h {f ( 0) + f ( ) + f ( )} (7.. - )

6 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f f y y y c y c c c Ó Þìá 7.. - : Áðëüò êáíüíáò ôïõ Simpson (7:: ) ìå: 0 =, = c = +, =, y = f(), y c = f(c) êáé y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôïõ Simpson (Simpson's rule). 7.. Êáíüíáò ôùí /8 Óçìåßá ðáñåìâïëþò : 0,,, ¼ìïéá, åðåéäþ ôá óçìåßá åßíáé, ôï ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò åßíáé ïõ âáèìïý, äçëáäþ f() P () = f ( 0 ) + f [ 0 ; ] ( 0 ) +f [ 0 ; ; ] ( 0 ) ( ) +f [ 0 ; ; ; ] ( 0 ) ( ) ( ) : Áêïëïõèþíôáò ðáñüìïéïõò õðïëïãéóìïýò ìå åêåßíïõò ôçò ÐáñáãñÜöïõ 7.. èåùñþíôáò üôé ôï äéüóôçìá [; ] õðïäéáéñåßôáé óå éóïáðý ïíôá äéáóôþìáôá áðü ôá óçìåßá (Ó. 7.. - ) 0 = ; = 0 + + ; = 0 + ( + ) ; = ìå h = áðïäåéêíýåôáé üôé ï ôýðïò õðïëïãéóìïý ôïõ ïëïêëçñþìáôïò (7:: ) ôåëéêü ãñüöåôáé ùò åîþò: I(f) P () d ÁêñéâÝóôåñá êáíüíáò ôïõ Simpson ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò (Simpson's rule with qudrtic interpolting polynomil).

Áðëïß êáíüíåò ïëïêëþñùóçò 7 f f y y y y c d c d Ó Þìá 7.. - : Áðëüò êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson (7:: ) ìå: 0 =, = c = +, = c = (+), =, y = f() êáé y = f(). Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() êáé ç êüêêéíç ôïõ ðïëõùíýìïõ P () = h 8 {f ( 0) + f ( ) + f ( ) + f ( )} : (7.. - ) Ï ôýðïò (7:: ) åßíáé ãíùóôüò óáí ï êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson (Simpson's =8 rule). ¼ëïé ïé ðáñáðüíù êáíüíåò ïëïêëþñùóçò åßíáé ãíùóôïß åðßóçò êáé óáí êáíüíåò ïëïêëþñùóçò ôùí Newton-Cotes (Newton-Cotes rules) êáé áñáêôçñéóôéêü ôïõò åßíáé ç ðñïóýããéóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò(7:: ) ìå éóïáðý ïíôá óçìåßá. Ïé áíôßóôïé ïé ôýðïé ëýãïíôáé ôüôå êáé ôýðïé ïëïêëþñùóçò ôùí Newton-Cotes (Newton-Cotes formuls). 7. Óýíèåôïé êáíüíåò Ç áêñßâåéá ôùí ôýðùí óôïõò áðëïýò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò åßíáé ðåñéïñéóìýíç, êõñßùò üôáí ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò åßíáé ìåãüëï. íáò ôñüðïò ãéá íá Ý ïõìå êáëýôåñç áêñßâåéá åßíáé íá áõîçèåß ï áñéèìüò ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò, ðïõ üìùò üðùò åßíáé öõóéêü èá äõóêïëýøåé ðåñéóóüôåñï ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ôýðïõ. íáò Üëëïò ôñüðïò ôüôå, ðïõ ðáñáêüìðôåé ôéò äõóêïëßåò áõôýò, åßíáé íá õðïäéáéñåèåß êáôüëëçëá ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò óå åðéìýñïõò õðïäéáóôþìáôá êáé íá åöáñìïóôåß Ýíáò áðü ôïõò ðáñáðüíù êáíüíåò óå êáèýíá áðü ôá Åðßóçò åßíáé ãíùóôüò êáé óáí êáíüíáò ôïõ Simpson ìå ïõ âáèìïý ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò (Simpson's rule with cuic interpolting polynomil). Ï áíáãíþóôçò ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá êáé óôï âéâëßï Á. ÌðñÜôóïò [] Êåö. 9.

8 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò õðïäéáóôþìáôá áõôü. Ç ðáñáðüíù äéáäéêáóßá, üôáí ãåíéêåõôåß, ïäçãåß óôïõò ëåãüìåíïõò óýíèåôïõò êáíüíåò ïëïêëþñùóçò (composite qudrture rules), ïé êõñéüôåñïé ôùí ïðïßùí óõíáíôþíôáé óôéò åöáñìïãýò äßíïíôáé óôç óõíý åéá. 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ óôù üôé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] õðïäéáéñåßôáé óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò (Ó. 7.. - ) h = N áðü ôá N + óçìåßá i = + ih; i = 0; ; : : : ; N: Ôüôå óýìöùíá ìå ãíùóôþ éäéüôçôá ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí êáé ôïí ôýðï (7:: ) Ý ïõìå I(f) = =N f() d = = 0 0 f() d + f() d + : : : + N N f() d h {f ( 0) + f ( )} + h {f ( ) + f ( )} + : : : + h {f ( N ) + f ( N )} ; äçëáäþ I(f) h {f ( 0) + [f ( ) + : : : + f ( N )] + f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí ï óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ (composite trpezoidl rule). Ï õðïëïãéóìüò äßíåôáé óôïí Áëãüñéèìï 7.. -.

Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ 9 f Ó Þìá 7.. - : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ôñáðåæßïõ. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Áëãüñéèìïò 7.. - (óýíèåôïõ êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ) ÄåäïìÝíá ; ; N; h = ( )=N óôù S 0 = f () + f () ; S = 0: Ãéá i = ; ; : : : ; N = 0 + ih; S := S + f() ôýëïò i I = h (S 0 + S )

0 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson Õðïäéáéñþíôáò ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá 5 ðëüôïõò h = ( )=N áðü ôá N + óçìåßá 0,, : : :, N, üìïéá óýìöùíá ìå ãíùóôþ éäéüôçôá ôùí ïñéóìýíùí ïëïêëçñùìüôùí êáé ôïí ôýðï (7:: ) Ý ïõìå I(f) = = N = 0 f() d = 0 f() d + f() d + : : : + N N f() d h {f ( 0) + f ( ) + f ( )} + h {f ( ) + f ( ) + f ( )} + : : : + h {f ( N ) + f ( N ) + f ( N )} ; äçëáäþ I(f) h {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] +f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson (composite Simpson's rule). Ï õðïëïãéóìüò äßíåôáé óôïí Áëãüñéèìï 7.. -. ÐáñÜäåéãìá 7.. - Æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ, áíôßóôïé á ôïõ Simpson ôï ïëïêëþñùìá I = : 0 d ; üôáí h = 0:: + 5 ÅðåéäÞ ï áðëüò êáíüíáò ôïõ Simpson áðáéôåß ãéá ôçí åöáñìïãþ ôïõ óçìåßá, äçëáäþ õðïäéáóôþìáôá, ç õðïäéáßñåóç ôïõ [; ] ðñýðåé íá ãßíåé óå Üñôéï áñéèìü õðïäéáóôçìüôùí.

Óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson f Ó Þìá 7.. - : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Áëãüñéèìïò 7.. - (óýíèåôïõ êáíüíá ôïõ Simpson) ÄåäïìÝíá ; êáé n = N Üñôéïò óôù h = ( )=n; S 0 = f () + f () ; S = S = 0: Ãéá i = ; ; : : : ; n = 0 + ih áí i Üñôéïò S = S + f(); äéáöïñåôéêü S = S + f() ôýëïò i I = h (S 0 + S + S )

ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò 7.. - : ÐáñÜäåéãìá 7.. - : ïé ôéìýò ( i ; f ( i )) i f ( i ) i f ( i ) 0.0 0.00 000 0.7 0.89 9 0. 0.995 07 0.8 0.780 8688 0. 0.980 580 0.9 0.7 9 0. 0.957 86.0 0.707 068 0. 0.98 76. 0.67 678 0.5 0.89 7. 0.60 8 0.6 0.857 9 ( Ç èåùñçôéêþ ôéìþ åßíáé I = ln + ) : + :05 97. 0 Ëýóç. Áí 0 = 0 = 0 êáé = = :, ôüôå ï ôýðïò (7:: ) ãéá ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ äßíåé I h {f ( 0) + [f ( ) + : : : + f ( )] + f ( )} = :05 7; áíôßóôïé á ï ôýðïò (7:: ) ãéá ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ Simpson I h {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + f ( 5 ) + f ( 7 ) + f ( 9 ) + f ( )] + [f ( ) + f ( ) + f ( 6 ) + f ( 8 ) + f ( 0 )] + f ( )} = :05 97: Óôïí Ðßíáêá 7.. - äßíïíôáé ïé ôéìýò ( i ; f ( i )) ôùí ðáñáðüíù õðïëïãéóìþí, åíþ óôïí Ðßíáêá 7.. - ïé ôéìýò ôùí óöáëìüôùí ôïõ ïëïêëçñþìáôïò I ãéá äéüöïñåò ôéìýò ôïõ h. Áðü ôá áðïôåëýóìáôá ôïõ Ðßíáêá 7.. - ðñïêýðôåé üôé ï óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ Simpson ãéá ôéìýò ôïõ h ìå h 0:00, ïðüôå ôï n åßíáé áñêåôü ìåãüëï, äßíåé áêñéâýóôåñá áðïôåëýóìáôá áðü ôïí áíôßóôïé ï ôïõ ôñáðåæßïõ, åíþ, üôáí h = 0:000, ïðüôå Ý ïõìå ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ n, áêñéâýóôåñá áðïôåëýóìáôá ðñïêýðôïõí áðü ôïí êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ. ÈåùñçôéêÜ åßíáé

Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 Ðßíáêáò 7.. - : ÐáñÜäåéãìá 7.. - : ôá óöüëìáôá ôçò ïëïêëþñùóçò ôïõ I ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ h h ÓöÜëìá ôñáðåæßïõ ÓöÜëìá Simpson 0.000.6E-0 9.06E-09 0.0500 6.55E-05.9E-09 0.000.6E-06 7.69E-0 0.000.55E-08 7.68E-0 0.000 5.06E-0 7.68E-0 áíáìåíüìåíï, üôáí ç ëåðôüôçôá ôçò äéáìýñéóçò ôåßíåé óôï ìçäýí Þ äéáöïñåôéêü üôáí ôï h ôåßíåé óôï ìçäýí, ç áñéèìçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò íá ôåßíåé óôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ. ÐïëëÝò öïñýò üìùò, üðùò êáé ðáñáðüíù, óõìâáßíåé ôï h íá åëáôôþíåôáé, ùñßò íá Ý ïõìå êáé áíôßóôïé ç ìåßùóç ôïõ óöüëìáôïò. Áõôü êýñéá ïöåßëåôáé áöåíüò ìåí óôï óöüëìá ðïõ ðáñïõóéüæåé ï êáíüíáò ïëïêëþñùóçò ðïõ ñçóéìïðïéåßôáé êáé áöåôýñïõ óôá óöüëìáôá óôñïããõëïðïßçóçò ðïõ õðåéóýñ ïíôáé óôïõò äéüöïñïõò õðïëïãéóìïýò. 7.. Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 Õðïäéáéñþíôáò ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá 6 ðëüôïõò h = ( )=N áðü ôá N + óçìåßá 0,, : : :, N. Ôüôå üìïéá Ý ïõìå I(f) = = N f() d = = 0 0 f() d + 6 f() d + : : : + N N f() d 6 ÅðåéäÞ ï áðëüò êáíüíáò ôùí =8 áðáéôåß ãéá ôçí åöáñìïãþ ôïõ óçìåßá, äçëáäþ õðïäéáóôþìáôá, ç õðïäéáßñåóç ôïõ [; ] ðñýðåé íá ãßíåé óå áñéèìü õðïäéáóôçìüôùí, ðïõ íá åßíáé ðïëëáðëüóéï ôïõ.

ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá 7.. - : óýíèåôïò êáíüíáò ôùí =8 ôïõ Simpson. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() h 8 {f ( 0) + f ( ) + f ( ) + f ( )} + h 8 {f ( ) + f ( ) + f ( 5 ) + f ( 6 )} + : : : ïðüôå + h 8 {f ( N ) + f ( N ) + f ( N ) + f ( N )} ; I(f) h 8 {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( 5 ) + : : : + f ( N )] + [f ( ) + f ( 6 ) + : : : + f ( N )] +f ( N )} (7.. - ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò óáí óýíèåôïò êáíüíáò ïëïêëþñùóçò ôùí =8 ôïõ Simpson (composite =8 Simpson's rule).

Óýíèåôïò êáíüíáò ôùí /8 5 ÐáñÜäåéãìá 7.. - óôù üôé æçôåßôáé íá õðïëïãéóôåß ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôùí /8 ôï ïëïêëþñùìá I ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò 7.. -. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (7:: ), üôáí h = 0:, Ý ïõìå I h 8 {f ( 0) + [f ( ) + f ( ) + f ( 7 ) + f ( 0 )] + [f ( ) + f ( 5 ) + f ( 8 ) + f ( )] + [f ( ) + f ( 6 ) + f ( 9 )] +f ( )} = :05 97: ÁóêÞóåéò. óôù üôé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò [; ] õðïäéáéñåßôáé óå N ôï ðëþèïò õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò (Ó. 7.. - ) h = N áðü ôá N + óçìåßá i = + ih; i = 0; ; : : : ; N: Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (7:: 6) ôïõ áðëïý êáíüíá ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ óå êüèå Ýíá õðïäéüóôçìá, õðïëïãßóôå ôïí áíôßóôïé ï ôýðï ôïõ óýíèåôïõ êáíüíá. Óôç óõíý åéá åöáñìüóôå ôïí ôýðï áõôü óôïí õðïëïãéóìü ôïõ ïëïêëçñþìáôïò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò 7.. - êáé óõãêñßíáôå ôá áðïôåëýóìáôá ìå ôá áíôßóôïé á ôùí Üëëùí ìåèüäùí.. Íá õðïëïãéóôåß ìå ôïõò ðáñáðüíù óýíèåôïõò êáíüíåò ôï ïëïêëþñùìá : 0 e d; üôáí h = 0: êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþi = 0:806 75.. Åßíáé ãíùóôü üôé 0 d + = :

6 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f Ó Þìá 7.. - : óýíèåôïò êáíüíáò ôïõ ìýóïõ óçìåßïõ. Ç ìðëå êáìðýëç äåß íåé ôï äéüãñáììá ôçò f() Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ êáé ôïõ Simpson üôáí ôï h = 0:; 0:0 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ.. Ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ ôñáðåæßïõ íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá 0 e d; üôáí h = 0: êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôïõ áðïôåëýóìáôïò ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò. 5. ¼ìïéá ìå ôï óýíèåôï êáíüíá ôïõ Simpson êáé ôùí /8 ôï ïëïêëþñùìá 0:6 0 ( ) = d; üôáí h = 0:, 0:05 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ ôïõ ïëïêëçñþìáôïò (0:9 99). 7 7 Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç Þ áíáðáñáãùãþ ôïõ ðáñüíôïò óôï óýíïëü ôïõ Þ ôìçìüôùí ôïõ ùñßò ôç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ Êáè. Á. ÌðñÜôóïõ. E-mil: rtsos@teith.gr URL: http://users.teith.gr/rtsos/

Âéâëéïãñáößá [] Aêñßâçò, Ã., ÄïõãáëÞò, Â. (995), ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç, ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò, ÁèÞíá, ISBN 978{960{5{0{6. [] ÌðñÜôóïò, Á. (0), ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 978{960{5{87{7. [] ÌðñÜôóïò, Á. (00), Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ, Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç, ÁèÞíá, ISBN 960{5{5{5/978{960{5{5{. [] ÓôåöáíÜêïò,., Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB, Ãêïýñäáò ÅêäïôéêÞ, ISBN 978{960{87{856{8. [5] Brtsos, A. G., The solution of the two-dimensionl sine-gordon eqution using the method of lines, J. Comput. Appl. Mth., vol. 06 No. (006), pp. 5{77. [6] Burden, Richrd L. nd Fires, J. Dougls (000), Numericl Anlysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978{0{5{86{. [7] Conte, S. D., Crl de Boor (98), Elementry Numericl Anlysis: An Algorithmic Approch (rd ed.), McGrw-Hill Book Compny, ISBN 978{0{07{07{9. [8] Don, E., Schum's Outlines { Mthemtic (006), Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò, ISBN 978{960{6{000{6. [9] Kendell A. Atkinson (989), An Introduction to Numericl Anlysis (nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0{7{500{. 7

8 ÐñïóÝããéóç ïëïêëçñùìüôùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò [0] Leder, Jeery J. (00), Numericl Anlysis nd Scientic Computtion, Addison Wesley, ISBN 978{0{0{799{7. [] Schtzmn, M. (00), Numericl Anlysis: A Mthemticl Introduction, Clrendon Press, Oford, ISBN 978{0{9{85079{. [] Stoer, Josef; Bulirsch, Rolnd (00), Introduction to Numericl Anlysis (rd ed.), Springer, ISBN 978{0{87{955{. [] Sli, E. nd Myers, D. (00), An Introduction to Numericl Anlysis, Cmridge University Press, ISBN 978{0{5{0079{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí http://en.wikipedi.org/wiki/min Pge http://eqworld.ipmnet.ru/inde.htm http://mthworld.wolfrm.com/ http://eom.springer.de/

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, 0. Αθανάσιος Μπράτσος. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι». Έκδοση:.0. Αθήνα 0. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teith.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://cretivecommons.org/licenses/y-nc-s/.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.