Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Σχετικά έγγραφα
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 2: Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Σύνθετες Συναρτήσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Ιστορία της μετάφρασης

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 6: Ακρότατα Συνάρτησης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ιστορία της μετάφρασης

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Παράκτια Τεχνικά Έργα

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ

Διοικητική Λογιστική

Διπλωματική Ιστορία Ενότητα 2η:

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Οδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Διαγλωσσική μεταφορά και διαμεσολάβηση

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Φ 619 Προβλήματα Βιοηθικής

Γεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Λογισμός 4 Ενότητα 10

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εκκλησιαστικό Δίκαιο Ι (Μεταπτυχιακό)

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής

Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

Οικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης

Επικοινωνία Ανθρώπου- Υπολογιστή Σχεδίαση Αλληλεπίδρασης

Διαγλωσσική μεταφορά και διαμεσολάβηση

Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Συμπεριφορά Καταναλωτή

Επιμέλεια μεταφράσεων και εκδοτικός χώρος

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Στρατηγικό Μάρκετινγκ

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διπλωματική Ιστορία. Ενότητα 12η: Ο Β Παγκόσμιος Πόλεμος Η Ευρώπη. του Hitler Ιωάννης Στεφανίδης, Καθηγητής Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Λογισμός 4 Ενότητα 12

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Χώρος και Διαδικασίες Αγωγής

ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Αξιολόγηση και ανάλυση της μυϊκής δύναμης και ισχύος

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Συνταγματικό Δίκαιο Ενότητα 11:Εκτελεστική Λειτουργία

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Ευαγγελικές αφηγήσεις της Ανάστασης

Συγκριτικό Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Transcript:

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες: cos sin 1 1 tan sec 1 cot csc 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 4

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες (γενικευμένη μορφή): a a sin a cos a a tan a sec acos a a tan 5

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα ολοκληρωμάτων από τον πίνακα ολοκληρωμάτων: csc d cot c d 1 arcsin c 6

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα αντικαταστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: d u tan d sin du 1 7

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Παραδείγματα αντικαταστάσεων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: d sin u du tan d 1 d 4 sin 4 d cosd cos 8

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d 9

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand 10

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand tan sec 1 5tan d 5 1 sec d 11

Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: 5 d d 5sec 5 d 5tan d 5sec tand tan sec 1 5tan d 5 1 sec d 5tan 5 c 1

Ορισμένα Ολοκληρώματα Θεμελιώδες Θεώρημα της Ολοκλήρωσης: Απόδειξη: df( ) F( ) f ( t) dt f ( ) d a df( ) d lim h0 F( h) h F( ) lim h0 1 h h a f ( t) dt a f ( t) dt lim h 0 h f ( t) dt 13

Ορισμένα Ολοκληρώματα Θεμελιώδες Θεώρημα της Ολοκλήρωσης: Απόδειξη: df( ) F( ) f ( t) dt f ( ) d a df( ) d lim h0 F( h) h F( ) lim h0 1 h h a f ( t) dt a f ( t) dt lim h0 h f ( t) dt lim h0 f ( h) f ( ) 14

Ορισμένα Ολοκληρώματα Απόδειξη: Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος: b a f ( t) dt F( b) F( a) 15

Ορισμένα Ολοκληρώματα 16 Υπολογισμός Ορισμένου Ολοκληρώματος: ) ( ) ( ) ( a F b F dt t f b a Απόδειξη: Θέτουμε συνάρτηση G() και έχουμε a d df F d dg dt t F G ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( a F b F G b C b F G b C a F C F G

Γενικευμένα Ολοκληρώματα a f ( ) d Μας ενδιαφέρει να δείξουμε αν ένα τέτοιο ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλαδή δεν απειρίζεται. 17

Γενικευμένα Ολοκληρώματα a f ( ) d Μας ενδιαφέρει να δείξουμε αν ένα τέτοιο ολοκλήρωμα συγκλίνει, δηλαδή δεν απειρίζεται. Αν a f ( ) d g( ) d a και το ο ολοκλήρωμα συγκλίνει, τότε συγκλίνει και το 1 ο (ισχύει και αντίστροφα). 18

Γενικευμένα Ολοκληρώματα Υπολογίζουμε ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα ως εξής: 1 f ( ) d lim l l 1 f ( ) d lim l F( l) F (1) 19

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 1 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 1 d lim l l 1 d d lim ln l l 0

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 d 1 1

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 d 1 d l d lim d limarctan l 1 1 l 0 0 l 0 lim arctan l l arctan 0

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 3 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 1 e d 0 3

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 3 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: 0 1 e d 0 1 e d lim 1 l l 0 e d l 1 0 l l l 0 e lim l l 1 1 lim l e e d le lim 0 4

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Τρόπος υπολογισμού ολοκληρωμάτων της μορφής: f ( ) d 5

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Τρόπος υπολογισμού ολοκληρωμάτων της μορφής: f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c και στη συνέχεια υπολογίζουμε κάθε ολοκλήρωμα ως συνήθως 6

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 7

Γενικευμένα Ολοκληρώματα: Εφαρμογή 4 Υπολογίστε το παρακάτω γενικευμένο ολοκλήρωμα: d 1 0 d d d 1 1 1 0 8

Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Λουκάς Βλάχος.. Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης Θεσσαλονίκη, 015

ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.