ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ Δρ ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΟΜΙΛΟΥ ΤΑΞΗ Άσε το Χάος να βάλει τάξη. Fractals Πλακοστρώσεις(Penrose) Χάος Α Β Γ Λυκείου ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ (Αν ο αριθμός των μαθητών υπερβαίνει τους 20 αιτιολογήστε γιατί) 13 20 Σκοπός του ομίλου είναι να δώσει την δυνατότητα στους μαθητές να πειραματιστούν, να διερευνήσουν, να κατανοήσουν και να συνδέσουν έννοιες των Μαθηματικών για τις οποίες έχουν πληροφορηθεί στην τάξη ή μέσω του διαδικτύου, και λόγω του περιορισμένου χρόνου διδασκαλίας από το Πρόγραμμα Σπουδών αντιμετωπίζουμε δυσκολία να τις διερευνήσουμε ή να επεκταθούμε σε αυτές. ΣΤΟΧΟΙ Σκοπός μας είναι να εξεταστεί ένας άλλος τρόπος παρουσίασης εννοιών που είτε είναι από μόνες τους δύσκολες είτε δυσκολεύουν τους μαθητές. Κύριος στόχος του ομίλου είναι ο εμπλουτισμός των μαθηματικών γνώσεων των μαθητών με ενδιαφέροντα, διασκεδαστικά και προκλητικά θέματα των μαθηματικών σε επίπεδο ανώτερο των τάξεων του Λυκείου.
1. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ FRACTAL ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ: Σύντομη ιστορική αναδρομή τι είναι τα Fractal. Οι δραστηριότητες με Fractal αντικείμενα αποσκοπούν στην κατανόηση των μαθητών αναφορικά με: (α) Την περιγραφή, προσδιορισμό και μέτρηση των μαθηματικών μοντέλων της Fractal γεωμετρίας. (β) Το χαρακτηριστικό της αυτοομοιότητας που αφορά τα Fractal αντικείμενα. Η διαδικασία διερεύνησης των Fractal θα περιλαμβάνει: ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ/ΔΡΑΣΕΩΝ α) Χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα. β) Κατανόηση της έννοιας της κλασματικής διάστασης. γ) Διερεύνηση των μαθηματικών Fractal (π.χ τρίγωνο του Sierpinski (ή Sierpinski Sieve), χαλί του Sierpinski (Sierpinski Carpet), το σφουγγάρι του Menger, η χιονονιφάδα του Koch (Koch Snowflake), το Box Fractal (anticross stitch curve, Dragon Καμπύλη) κατασκευές εικόνων fractal (Julia, Mandelbrot sets) με χρήση λογισμικών κατασκευής Fractal εικόνων. Η διαδικασία κατασκευής Fractal θα διαχωριστεί σε : α) Διαδικασία κατασκευής Fractal αντικειμένων σε στατικά μέσα, χρησιμοποιώντας τα εργαλεία της παραδοσιακής γεωμετρίας. β) Διαδικασία κατασκευής Fractal με λογισμικά (π.χ σε γλώσσα Logo ή σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας όπως το The Geometer s Sketchpad, Geogebra, Ultra Fractal, Fractint, Chaos κ.α.).
Οι μαθηματικές έννοιες που έχουν σχέση με την κατασκευή και την διερεύνηση ενός fractal διαχωρίζονται σε γεωμετρικές και αλγεβρικές. Επισημαίνεται ότι η κατασκευή των fractal βοηθά τους μαθητές να αναπτύξουν λογικομαθηματικές ικανότητες ανώτερου επιπέδου (Van Hiele) από ό,τι μέσα από τα παραδοσιακά μαθηματικά. Εισαγωγή: ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΤΕΡΑ 1. FRACTAL Τι είναι τα Fractal; Ποιες είναι οι ιδιότητες των Fractal αντικειμένων; Τι είναι η αυτοομοιότητα; Πώς και πού εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα στη φύση; Παραδείγματα Fractal στη φύση. Η έννοια της διάστασης στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Η έννοια της κλασματικής διάστασης. Κατασκευές Fractal στο επίπεδο στατικά Κατασκευές Fractal σε λογισμικά (π.χ. δυναμικής γεωμετρίας κλπ.) Επαναληπτικές διαδικασίες και υπολογισμοί Πυθαγόρεια κατασκευή Fractal δένδρου Παρουσίαση των μαθηματικών Fractal (Τρίγωνο του Sierpinski (ή Sierpinski Sieve), Χαλί του Sierpinski (Sierpinski Carpet), Το Σφουγγάρι του Menger, Χιονονιφάδα του Koch (Koch Snowflake), H σπείρα Baravelle) L Systems
2. ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ (Penrose) Τι είναι οι επιστρώσεις επιπέδου (πλακοστρώσεις); Πλακοστρώσεις με κανονικά πολύγωνα Κατασκευές κανονικών πολυγώνων Επαναλαμβανόμενες πλακοστρώσεις αυτοόμοιες πλακοστρώσεις Μετασχηματισμοί και αυτοόμοιες πλακοστρώσεις Περιοδικές και μη περιοδικές πλακοστρώσεις. 3. ΧΑΟΣ Η έννοια του χάους στη φύση, στα Μαθηματικά και στη Φυσική. Εισαγωγή στην έννοια των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων θέματα ισορροπίας. Το φαινόμενο της «πεταλούδας», o ελκυστής του Λόρεντζ. Ενδεχομένως να αφιερωθεί κάποιο χρονικό διάστημα για την μελέτη των αντικειμένων που προβάλλονται στην ιστοσελίδα http://www.eyliko.gr/lists/list40/dispform.aspx?id=183 ΙΕΞΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ Οι δραστηριότητες που θα διερευνηθούν από τους μαθητές έχουν σκοπό την αντιμετώπιση ανοικτών προβλημάτων με τη βοήθεια μαθηματικού λογισμικού. Η διδασκαλία γίνεται με την παρουσίαση των μαθηματικών εννοιών
από τον υπεύθυνο καθηγητή του ομίλου, την βοήθεια διαδικτυακών πληροφοριών και κατάλληλα προσχεδιασμένων διδακτικών καταστάσεων σε περιβάλλον ηλεκτρονικού υπολογιστή. Με τη βοήθεια των προτεινόμενων εργαλείων οι μαθητές θα μάθουν να διερευνούν με δυναμικό τρόπο τα γεωμετρικά σχήματα που οι ίδιοι θα κατασκευάζουν και θα μπορούν έτσι να κάνουν διάφορες εικασίες και υποθέσεις σχετικές με τα υπό διερεύνηση θέματα. ΧΡΟΝΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Η διεξαγωγή του ομίλου θα γίνεται μετά το ωράριο του σχολικού προγράμματος. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Ο όμιλος θα διεξαχθεί εξ ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών ή σε αίθουσα που υπάρχει εγκαταστημένος διαδραστικός πίνακας, ώστε οι μαθητές να μοιράζονται τους υπολογιστές και να μπορούν να πειραματίζονται οι ίδιοι, χωρισμένοι σε μικρές ομάδες ή και σε τάξη όπου υπάρχει ένας διαδραστικός πίνακας, έτσι ώστε όλοι οι μαθητές να συμμετέχουν σε συζήτηση αλληλεπιδρώντας. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Οι μαθητές πρέπει να γνωρίζουν στοιχειωδώς το περιβάλλον των λογισμικών, αφού οι δραστηριότητες θα είναι ημιπροσχεδιασμένες και ο διδάσκων θα καθοδηγεί τους μαθητές σχετικά με τη χρήση εντολών και εργαλείων του λογισμικού προκειμένου να οδηγηθούν σε ανάπτυξη εικασιών και συμπερασμάτων μέσω της διερεύνησης. Οι μαθητές μπορούν να συμμετέχουν ανεξαρτήτως της επίδοσης τους στα Μαθηματικά. Συνεργατική ενορχήστρωση της ομάδας Οι μαθητές εργαζόμενοι σε ομάδες και καθοδηγούμενοι από τον υπεύθυνο του ομίλου καλούνται να εξερευνήσουν τις προϋποθέσεις
κατασκευής των εννοιών. Η διερεύνηση αυτή θα γίνει συνεργατικά. ΩΡΕΣ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΩΣ 2 ΩΡΕΣ / ΕΒΔΟΜΑΔΑ Οι ενδιαφερόμενοι μαθητές θα χωριστούν σε ομάδες, οι οποίες θα επιμερίσουν τους στόχους που θα τίθενται στην αρχή των προς διερεύνηση θεμάτων του ομίλου, δηλαδή την διαδικασία κατασκευής και την εξερεύνηση των Fractal αντικειμένων, τις πλακοστρώσεις και το χάος. Για την υλοποίηση της διαδικασίας είναι αναγκαία η υποστήριξή της με Ελληνική και ξένη βιβλιογραφία που θα προταθεί από τον υπεύθυνο καθηγητή του ομίλου και ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ α) με κατάλληλη υλικοτεχνική υποδομή που αφορά τα στατικά μέσα (π.χ χαρτόνια, υλικά χρωματισμού των επιφανειών) β) με τεχνολογική υποδομή, όπως τα προτεινόμενα λογισμικά (γλώσσα Logo, Geometer s Sketchpad Geogebra κ.λ.π.), και σύνδεση με διαδίκτυο. Στην τεχνολογική υποδομή περιλαμβάνεται η προβολή παρουσιάσεων από τον διδάσκοντα ή από μαθητές και βιντεομαθημάτων που υπάρχουν ανηρτημένα στο διαδίκτυο (π.χ YouTube) και απευθύνονται κυρίως σε μαθητές ή φοιτητές. Η προβολή των βίντεο μαθημάτων στην Αγγλική γλώσσα θα ενισχύσει την διαθεματικότητα της προσέγγισης των Fractal αντικειμένων, των πλακοστρώσεων και της θεωρίας του χάους. Προβολές παρουσιάσεων, μοντελοποιήσεις ΠΑΡΑΔΟΤΕΑ fractal αντικειμένων, πλακοστρώσεων και κατασκευές αυτών σε διαφορετικά μέσα (π.χ χαρτόνι, υπολογιστής) κ.λ.π.
Δυνατότητα συνεργασίας ομιλιών με φοιτητές και καθηγητές του Ε.Κ.Π.Α. και του Ε.Μ.Π. (στα πλαίσια της ήδη υπάρχουσας συνεργασίας με ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΦΟΡΕΙΣ κ.λ.π. τα ανωτέρω εκπαιδευτικά ιδρύματα). Επιπλέον, δυνατότητα επισκέψεων στο Ε.Μ.Π. και στο Μουσείο Ηρακλειδών για παρακολούθηση κατάλληλων ομιλιών παρουσιάσεων. ΑΛΛΟ