Festigkeitslehre Lösung zu Aufgabe 11b Grundsätzliches und Vorüberlegungen: Hookesches Gesetz für den zweidimensionalen Spannungszustand: ε = 1 ( ν (1 ε = 1 ( ν ( Die beiden Messwerte ε = ε 1 und ε = ε 3 liefern nach Umstellung die Spannungen = ( 1 ν ε + ν ε = ( 1 ν ε 1 + ν ε 3 (3 σ = ( 1 ν ε + ν ε = ( 1 ν ε 3 + ν ε 1 Dies erlaubt uns unmittelbar, die Spannungen und aus den Messwerten ε 1 und ε 1 zu bestimmen. Die Messung der Dehnung unter einer Richtung im Winkel liefert analog zu den Gleichungen (1 und ( im gedrehten Koordinatensstem: ε = 1 ( σ ν σỹ (4 (5 σ τ τ τ π/ =τ σ τ εỹ = 1 (σỹ ν σ (6 σ π/ Aus dem Gleichgewicht am dreieckigen lement gilt für die Normalspannungen: τ σỹ = + + cos( sin( (7 σ = + + cos(( π/ sin(( π/ = + cos( + sin( (8 ingesetzt in die Gleichungen (5 und (6 liefert dies: ε = 1 ( σ + (1 ν σ (1 + ν cos( + (1 + ν sin( (9 εỹ = 1 ( σ + (1 ν + (1 + ν cos( (1 + ν sin( Durch Gleichung (9 steht mit den Normalspannungen und und dem dritten Messwert ε = ε eine Beziehung für die gesuchte Schubspannung zur Verfügung: = ε ( + (1 ν + ( + (1 + ν cos( (1 + ν sin( 1 (10 falls sin( 0. (11
s bietet sich an, für die Messung = π/4 zu wählen, da dann der Messwert ε von den beiden anderen jeweils die größte Unabhängigkeit besitzt, und die Formel (11 besonders einfach wird. s ergibt sich dann ( = ε + σ (1 ν. (1 (1 + ν Hieraus lässt sich schon mit ε und den bereits ermittelten Werten für und die Schubspannnung ausrechnen. s soll aber noch eine interessante Diskussion angeschlossen werden: s ist instruktiv in Gleichung (11 die Normalspannungen zu eliminieren. Aus den Gleichugen (3 und (4 erhält man für Summe und Differenz der Normalspannungen ingesetzt in Gleichung (11 ergibt sich + = = (1 ν (ε + ε (1 + ν (ε ε. = ε (ε + ε + (ε ε cos( (1 + ν sin( falls sin( 0. s lohnt der Vergleich mit dem Schubspannungsansatz = G γ. Dies liefert die Abhängigkeit der drei Stoffwerte untereinander und die Beziehung G = (1 + ν γ = ε (ε + ε + (ε ε cos( sin( falls sin( 0, die umgestellt Folgendes ergibt: ε = ε + ε s ist üblich darin 1 γ zu ersetzen durch ε ε cos( + 1 γ sin( ε = 1 γ, so dass die Beziehung schließlich ε = ε + ε ε ε cos( + ε sin( lautet. ine entsprechende Gleichung erhält man durch eine analoge Vorgehensweise für εỹ, nämlich εỹ = ε + ε + ε ε cos( ε sin( mit ε = 1 γ.
Damit lässt sich genauso neben dem Spannungstensor ein Deformationstensor bilden. Spannungstensor hatten wir τ z σ = τ τ z τ z τ z σ z mit dem Transformationsverhalten Für den σ = + cos( + sin( σỹ = + + cos( sin( Für die Dehnungen und Scherungen lautet der Deformationstensor mit dem gleichen Transformationsverhalten ε ε ε z ε = ε ε ε z ε z ε z ε z ε = ε + ε εỹ = ε + ε ε ε + ε ε cos( + ε sin( cos( ε sin( Mit diesen Überlegungen lässt sich Gleichung (1 umschreiben in = (1 + ν ( ε ε 1 ε 3, (13 die zur Auswertung der Messungen zur Verfügung steht und gültig ist, falls die drei Dehnmessstreifen untereinander jeweils einen Winkel von π/4 versetzt sind. Alternative Herleitung der Beziehung (1: Diese Lösungsmöglichkeit geht von folgender Darstellung des Spannungsvektors t = σ tr n = n tr σ aus. Für den zweidimensionalen Fall wird σ = und n = sin + cos n t t σ 3
Für die Normalspannung σ = σỹ gilt dann σ = n tr σ n = ( sin, cos sin + cos Ausrechnung liefert σ = sin τ sin cos + cos, was mit der Formel (7 übereinstimmt, wenn trigonometrische Beziehung für den doppelten Winkel angesetzt werden. Analog liefert die Beziehung σ π/ = n π/ σ n π/ σ π/ = cos τ sin cos + sin Aus dem Hookeschen Gesetz in Richtung errechnet sich die Dehnung ε zu ε = 1 (σ π/ ν σ. Nach insetzen der Normalspannungen erhält man für den Winkel = π/4 wieder für die Schubspannung Gleichung (13 = (1 = ν ( ε ε 1 ε 3 4
Lösung der Aufgabe 11 a a Formeln und Zuordnung: ε = ε 1, ε = ε 3, ε = ε = Zahlenwerte: ( 1 ν ε + ν ε, = ( 1 ν ε + ν ε, = ( ε ε ε (1 + ν = = =, 1 105 ( N 1 0, 3 1, 8 10 3 + 0, 3 ( 1, 10 3 mm 498, 5 N mm, 1 105 ( N 1 0, 3 1, 10 3 + 0, 3 ( 1, 8 10 3 mm 401, 5 N mm, 1 105 1 + 0, 3 (3, 6 1, 1, 8 10 3 N mm +83, 8 N mm Spannungstensor: σ = 498, 5 +83, 8 +83, 8 401, 5 N mm b, c Der Mohrsche Kreis lässt sich wegen ungünstiger Zahlenwerte schlecht quantitativ auswerten. Qualitativ mit < < 0 und > 0 sieht dieser aber so aus wie nebenstehend abgebildet. Wir werten die Zusammenhänge für den Mohrschen Kreis rechnerisch aus. Für den Mittelpunkt und Radius des Kreises gilt: M = + (σ R = hier: M = 450 + τ hier: R = 85 N mm N mm σ min β(σ ma R M β(τ ma τ τ ma = 0 β(σ ma σ ma (σ ma σ Die maimale und minimale Normalspannungen sowie die maimale Schubspannung sind: = π/ σ ma = M + R hier: σ ma = 375 N mm σ min = M R hier: σ min = 175 N mm τ ma = R hier: σ ma = 85 N mm Bezüglich der Schubspannung bedeutet dies, dass die Richtungen 1 und 3 nahezu maimale Schubspannungen aufweisen. σ min < 0 σ ma > 0 (σ ma σ ma > 0 σ min < 0 σ(τ ma τ ma > 0 σ(τ ma = M < 0 Die zu σ ma und τ ma gehörenden Richtungen sind ( β(σ ma = (σ ma = arctan ( / hier: β(σ ma = 86, 6 σma = 43, 3 β(τ ma = (τ ma = π/ β(σ ma hier: β(τ ma = 3, 4 τma = 1, 7 τ ma > 0 τ ma > 0 σ(τ ma τ ma > 0 σ(τ ma 5
(In der grafischen Darstellung ist die Drehung des lementes für die Schubspannung entgegen dem Uhrzeigersinn um 1, 7 kaum zu erkennen. 6